Chuyên đề khảo sát hàm số ôn thi THPT Quốc Gia 2016

Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá CHUYEÂN ÑEÀ 1 KHAÛO SAÙT HAØM SOÁ 2x  1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. Bài 1. Cho hàm số y  b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 0 , biết x 0 là nghiệm dương của phương trình 4y ' 3  0 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3 2 x  1  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 - ● x 1 Bảng biến thiên  1  Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận  2  làm tâm đối xứng. y  x   b) Ta có y '  3 2 x  1  nên 4y ' 3  0  y '    1 | Trang 1 2 3 2 x  1   3 4 x  3 2 3  x  1  4   . 4 x  1 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Vì x 0 là nghiệm dương của phương trình 4y ' 3  0 nên ta chọn x 0  3 . Với x 0  3 , suy ra y0  2x 0  1 x0  1  7 3 và y ' x 0    . 2 4 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y   3 7 3 23 . x  3    x   4 2 4 4 1 , với m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 . Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị có hoành độ x1 , x 2 thỏa mãn: Bài 2. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  m  2 a) b) x12  x 22  3 x1  x 2   12 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x 3  3x 2  2 . ● ● Tập xác định: D   . Sự biến thiên: - x  0 Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x  3x x  2 ; y '  0   . x  2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0; ; nghịch biến trên khoảng 2; 0 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  2 , yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  0 , yCT  2 . Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1;2 , 3; 2 . y y 2 x -2 O -2 2 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá b) Ta có y '  3x 2  6x  m . Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt   'y '  9  3m  0  m  3 . Khi đó các điểm cực trị có hoành độ x1 , x2 là nghiệm của phương trình y '  0 . Theo Viet, ta có x1  x 2  2 và x1x 2  m . 3 Yêu cầu bài toán x12  x 22  3 x1  x 2   12 2  x1  x 2   2x1x 2  3 x1  x 2   12 m  3 2  12  m  3 . 3 Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m  3 . 2  2  2. Bài 3. Cho hàm số y  2x  1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị C  , biết tiếp tuyến của C  tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B tạo thành một tam giác IAB có trung tuyến IN  10 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3 2 x  1  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim  2 ; tiệm cận ngang: y  2 x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 - x 1 Bảng biến thiên 3 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá  1  Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận  2  làm tâm đối xứng. y ● 2 x   1 1 -1 2  2a  1    C  , a  1 . Tiếp tuyến của C  tại M có dạng: b) Gọi M a;  a  1  d :y  3 2 a  1 x  a   2a  1 . a 1  2a  4   và d  TCN  B 2a  1;2 . Ta có d  TCĐ  A 1;  a  1   2a  1  M . Suy ra trung điểm của AB là N a;  a  1   2a  1 2 2   10 Từ giả thiết bài toán, suy ra IN 2  10  a  1    2  a  1  9 2  a  1  4 2 a  1 2  10  a  1  10 a  1  9  0 2  a  0  a  2 a  1  1    a  4  a  2 . 2  a  1  9  Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là: M 0; 1 hoặc M 2; 5 hoặc M 4; 3 hoặc M 2;1 . 1 , với m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị A , B sao cho A , B Bài 4. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  2 a) b) và M 1; 2 thẳng hàng. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 3 a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  3x 2  2 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  2 . 4 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 2 , 3;2 . y 2 1 O 2 x -2 b) Ta có y '  3x 2  6mx  3x x  2m  ; y '  0  x  0 hoặc x  2m . Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt  2m  0  m  0 .   Tọa độ các điểm cực trị A 0;2 và B 2m; 2  4m 3 .   Suy ra MA  1; 4  , MB  2m  1; 4  4m 3 .     Để A , B và M thẳng hàng  1. 4  4m 3  4. 2m  1  4m 3  8m  0  m  0 hoặc m   2 . Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m   2 . Cách 2. Ta có y '  3x 2  6mx ; y '  0  x  0 hoặc x  2m . Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt  2m  0  m  0 . 1 m Ta có y   x   y ' 2m 2x  2 .  3 3  Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A , B là d : y  2m 2x  2 . Yêu cầu bài toán  M  d  2  2m 2 .1  2  m   2 . Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m   2 . Nhận xét: Cách 1 áp dụng khi ta tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị theo m . Cách 2 cho trường hợp ta không tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị. Bài 5. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2 5 | Trang 1 , với m là tham số thực. www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị đồng thời một điểm cực đại, một điểm cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành ba đỉnh của tam giác có diện tích bằng 2. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 4 a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  2x 2  2 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - ● x  0 Chiều biến thiên: y '  4x 3  4x  4x x 2  1 ; y '  0   . x  1 Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; Các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  .   - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  1 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  2 . - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . - Bảng biến thiên x  x    Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2;2 ,  2;2 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 2 1 -1 O x 1 x  0 b) Ta có y '  4x 3  4mx  4x x 2  m ; y '  0   2 . x  m Để hàm số có ba cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 .   Tọa độ điểm cực đại A 0;2 , các điểm cực tiểu B      m ;2  m 2 , C  m ;2  m 2 .  Suy ra tọa độ trung điểm của BC là H 0;2  m 2 . Theo giả thiết bài toán ta có: 1 1 AO .BH  2  .2. m  2  m  4 . 2 2 Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m  4 . SABO  2  Bài 6. Cho hàm số y  6 | Trang 3x  4 . 4x  3 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm điểm A có tọa độ nguyên thuộc C  , biết tiếp tuyến của đồ thị tại A cắt trục hoành tại điểm B và tam giác OAB cân tại A . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● ●  3  Tập xác định: D   \    .  4  Sự biến thiên: 25 - Chiều biến thiên: y '  -   3  3 Hàm số đồng biến trên từng khoảng ;   và  ;  .   4 4   Giới hạn và tiệm cận: 3 3 lim y  lim y  ; tiệm cận ngang: y  . x  x  4 4 lim y   và x  3 4  2 4x  3  0, x  D . 3 lim y   ; tiệm cận đứng: x   .  4 3 x  4 Bảng biến thiên ● 4    3 3 4 Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0;   nhận giao điểm I  ;  của hai đường tiệm cận  3    4 4  3  làm tâm đối xứng. y 3 4 x 4 3   4 4 3 3  3a  4  3   C  , a   . b) Gọi A a;  4a  3  4 Phương trình tiếp tuyến của C  tại A có dạng: d : y  25 3a  4 x  a   4a  3 . 2 4 a  3    12a 2  32a  12   Ta có d  Ox  B  ; 0 .  25  Theo giả thiết bài toán ta có AO  AB 7 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá 2  3a  4 2  12a 2  7a  12   3a  4 2        a      25  4a  3    4a  3   2 12a 2  7a  12 2   .  a     25  2 12a 2  7a  12 1  2a 2  3a  2  0  a  2 hoặc a  (loại). 25 2 Suy ra A 2;2 . ● a ●  12a 2  7a  12     12a 2  32a  12  0 (loại vì B 0; 0  O ). a      25  Vậy A 2;2 thỏa yêu cầu bài toán. Cách 2. Gọi H là hình chiếu của A trên Ox , suy ra H a; 0 . Tam giác OAB cân tại A nên AH vừa là đường cao vửa là đường trung tuyến. Do đó H là trung điểm OB . Điều này tương đương với 12a 2  32a  12  2a 25 1  2a 2  3a  2  0  a  2 hoặc a  (loại). 2 Vậy A 2;2 thỏa yêu cầu bài toán. xO  x B  2x H  Cách 3. Do tam giác OAB cân tại A nên hệ số góc của đường thẳng OA và hệ số góc của đường thẳng AB là đối nhau: y  yO 3a  4 25  A  f ' a    2 x A  xO a 4a  3 4a  3   2a 2  3a  2  0  a  2 hoặc a  Vậy A 2;2 thỏa yêu cầu bài toán.  1 (loại). 2 Nhận xét. Cách 1 xuất phát từ ý tưởng thông thường nên các em hay chọn cách này. Cách 2 và 3 đòi hỏi các em có khả năng tư duy về hình học một chút. 1 , với m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 . Tìm m để hàm số 1 đồng biến trên khoảng 0; . Bài 7. Cho hàm số y  x 3  3x 2  3mx  3 a) b) HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x 3  3x 2  3 . ● ● Tập xác định: D   . Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  3 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  1 . 8 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 ● Khaûo saùt haøm soá - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . - Bảng biến thiên x  x  Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 1 , 3; 3 . y 3  -1 2 x b) Ta có y '  3x 2  6x  3m . Cách 1. Phương pháp hàm số Hàm số 1 đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi y '  0 , x  0  3x 2  6x  3m  0 , x  0  m  x 2  2x , x  0 . Xét hàm số f x   x 2  2x với x  0 . Ta có f ' x   2x  2 ; f ' x   0  x  1 . Bảng biến thiên Dựa vào BBT ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m  1 . Cách 2. Phương pháp tam thức bậc hai Hàm số 1 đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi y '  0 , x  0  3x 2  6x  3m  0 , x  0 hay g x   x 2  2x  m  0 , x  0 . ●  '  1  m  0 Trường hợp 1. g x   0 , x      m  1.  a  1  0  ● Trường hợp 2. Khi  '  1  m  0  m  1 thì g x   0 có hai nghiệm x1  x 2 . 9 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu bài toán  g x   0 có hai nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn: a.g 0  0 1.m  0  (vô lý). x1  x 2  0  S     0 1  0   2 Kết hợp hai trường hợp ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m  1 . Nhận xét: Cách 1 chỉ dùng được khi ta cô lập được m ở một vế còn biểu thức chứa x (không chứa m ) ở một vế. Cách 2 thì dùng được cho mọi trường hợp nhưng khó hơn. Bài 8. Cho hàm số y  x 1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm điểm M thuộc C  có tọa độ nguyên, biết khoảng cách từ O đến tiếp tuyến tại của C  tại M bằng 1 khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị đến tiếp tuyến đó ( O là gốc tọa độ). 4 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2 2 x  1  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  1 ; tiệm cận ngang: y  1. x  x  lim y   và x 1 lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 Bảng biến thiên ● Đồ thị C  cắt Ox tại 1; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 10 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá y 1 -1  -1 x 1  a  1    C  , a  1 và a   . b) Gọi M a;  a  1 Phương trình tiếp tuyến của C  tại M có dạng: d :y  a 1 2 2 a  1 x  a   a  1 Theo giả thiết bài toán, ta có d O, d    2 hay d : 2x  a  1 y  a 2  2a  1  0 . 1 d I , d  4 a 2  2a  1 4 4  a  1 2 1  . 4 2. 1  a  1 .1  a 2  2a  1 4 4  a  1 a 2  2a  1  1  a  .  a  2a  1  1  a   2 a  2a  1  1  a  2 3  17 (loại). 2 M 0; 1 0   . 1 M 1; 0 ● Với a 2  2a  1  1  a  a 2  3a  2  0  a  ● a Với a 2  2a  1  1  a  a 2  a  0   a Vậy có hai điểm M thỏa yêu cầu bài toán là: M 0; 1 hoặc M 1; 0 . Bài 9. Cho hàm số y  x 3  3x  1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y  m x  1  1 cắt C  tại ba điểm phân biệt A 1;1 , M , N sao cho tích các hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M và N bằng 27 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  3 ; y '  0  x  1 hoặc x  1 . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;  ; đồng biến trên khoảng 1;1 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  1 , yCD  1 ; đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  3 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . - Bảng biến thiên x  11 | Trang x  www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 ● Khaûo saùt haøm soá Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2;1 , 2; 3 . y 1 x -1 O -1 1 -3 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C  là x 2  3x  1  m x  1  1 x  1  x  1 x 2  x  2  m  0   2 . x  x  2  m  0 * Để đường thẳng d cắt đồ thị C  tại ba điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác 1      9  4m  0 m  9   .   m  0 m  04   Gọi A 1;1 , M x1; y1  , N x 2 ; y2  trong đó x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình * . Theo Viet, ta có x1  x 2  1 và x1x 2  m  2 . Tích hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị tại M và N bằng 27     f ' x1  .f ' x 2   27  3x12  3 3x 22  3  27 2    x1x 2   x12  x 22  1  3 2  2   x1x 2   x1  x 2   2x1x 2   1  3    m 2  2m  3  0  m  1 hoặc m  3 . Đối chiếu điều kiện để d cắt C  tại ba điểm phân biệt ta được: m  1 . Bài 10. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m  1 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . b) Tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2 độ dài cạnh bên. 3 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 4 a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  2x 2 . ● ● Tập xác định: D   . Sự biến thiên: 12 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 - Khaûo saùt haøm soá Chiều biến thiên: y '  4x 3  4x ; y '  0  x  0 hoặc x  1 . Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  . ● - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  1 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  0 . - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . - Bảng biến thiên x  x    Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2; 0 ,  2; 0 và nhận Oy làm trục đối xứng. y x 1 -1 O -1 x  0 b) Ta có y '  4x 3  4mx  4x x 2  m ; y '  0   2 . x  m Để hàm số có ba cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 .   Điểm cực đại A 0; m  1 ; các điểm cực tiểu B     m ; m 2  m  1 , C  m ; m 2  m  1 . Yêu cầu bài toán  BC  2 2 AB  2 m  m  m4 3 3  3  1  m3  m  2 . Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m  2 . x 2 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. Bài 11. Cho hàm số y  b) Tìm m để đường thẳng d : y  x  2m cắt C  tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn biểu thức A  x12x 2  x 22x1  x1  x 2  2 đạt giá trị lớn nhất. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: 13 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 - Chiều biến thiên: y '  3 2 x  1 Khaûo saùt haøm soá  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  1 ; tiệm cận ngang: y  1. x  x  lim y   và x 1 - ● lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 Bảng biến thiên Đồ thị C  cắt Ox tại 2; 0 , cắt Oy tại 0; 2 và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. y 1 x 2 -1  -2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị x 2  x  2m x  1 x 1  x  2  x  2m x  1  x 2  2mx  2m  2  0. 1 Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phần biệt  phương trình m  1  3  .   '  m  2m  2  0   m  1  3  2 1 có hai nghiệm phân biệt * Ta có A  x12x 2  x 22x1  x1  x 2  2  x1x 2 x1  x 2   x1  x 2  2 . x  x  2m 2 Do x1 , x 2 là hai nghiệm phương trình * . Theo Viet, ta có  1 . x1x 2  2m  2  2  3  1 1   Do đó A  2m  22m  2m  2  4m  6m  2  4 m     .   4 4 4 2 3 thỏa mãn điều kiện * . 4 3 1 Vậy với m   thì A đạt giá trị lớn nhất bằng . 4 4 Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: m   Bài 12. Cho hàm số y  2x 3  3 m  1 x 2  6mx 14 | Trang 1 , với m là tham số thực. www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có các điểm cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng d : y  x  2 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  2x 3  6x . ● ● Tập xác định: D   . Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  6x 2  6 ; y '  0  x  1 hoặc x  1 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;  ; nghịch biến trên khoảng 1;1 . ● - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  1 , yCD  4 ; đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  4 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . - Bảng biến thiên x  x  Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2; 4  , 2; 4  . y 4 -1 O 1 x -4 b) Ta có y '  6x 2  6 m  1 x  6m ; y '  0  x  1 hoặc x  m . Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  1 .   Tọa độ các điểm cực trị: A 1; 3m  1 , B m; m 3  3m 2 . Yêu cầu bài toán  d A; d   d B; d   1  3m  1  2  m  m 3  3m 2  2 11 11 3 2  4  3m  m  3m  m  2 m 3  3m 2  4m  2  0 m  1    3  .  m  3m 2  2m  6  0 m  3  m   6  Đối chiếu điều kiện, ta được giá trị m cần tìm là: m  3 hoặc m   6 . 15 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Cách 2. Áp dụng cho bài toán không tìm được cụ thể tọa độ các điểm cực trị. Đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt 2 2    m  1  4m  0  m  1  0  m  1 . Tọa độ các điểm cực trị A x1; y1  , B x 2 ; y2  với x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình y '  0 . Theo Viet, ta có x1  x 2  m  1 và x1x 2  m . 1 2 m  1  y ' m  1 x  m m  1 . Ta có y   x   3 6  Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 2 y   m  1 x  m m  1 . 2 2 Do đó y1   m  1 x1  m m  1 và y2   m  1 x 2  m m  1 . Yêu cầu bài toán  d A; d   d B; d   x1  y1  2  x 2  y2  2 11 11  x1  y1  2  x 2  y2  2 x  y  2  x  y  2 1 2 2   1 x  y  2   x   2 y 2  2  1 1 x  x   y  y   0 2 1 2   1 .  x1  x 2   y1  y2   4  0 ● 2 Với x 1  x 2   y1  y2   0  x1  x 2   m  1 x1  x 2   0  2  x1  x2  1  m  1   0 .   2 Phương trình vô nghiệm do x1  x 2 và 1  m  1  0 . ● Với x1  x 2   y1  y2   4  0 2  x1  x 2   m  1 x1  x 2   2m m  1  4  0 2  m  1  m  1 m  1  2m m  1  4  0  m 3  3m 2  2m  6  0  m  3 hoặc m   6 . Đối chiếu điều kiện, ta được giá trị m cần tìm là: m  3 hoặc m   6 . Nhận xét. Các em nên làm theo Cách 1, cực chẳng đã khi không biểu diễn được tọa độ các điểm cực trị theo m thì mới làm Cách 2 này. Bài 13. Cho hàm số y  2x  1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm điểm M thuộc C  sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 16 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3 2 x  1  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 . x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 - ● x 1 Bảng biến thiên  1  Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận  2  làm tâm đối xứng. y 2 O  1 2 x -1 1  2a  1   , a  1 là điểm thuộc đồ thị C  . b) Gọi M a;  a  1  Đường tiệm cận đứng d : x  1 ; đường tiệm cận ngang d ' : y  2 . Yêu cầu bài toán  d M , d   3d M , d ' 2a  1 3 2  a 1  3 a 1 a 1 M 4; 3 a  4  9     . M 2;1 a  2  a 1  3 2  a  1 Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài toán là: M 4; 3 hoặc M 2;1 . Bài 14. Cho hàm số y  x 3  6x 2  9x . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. 17 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá b) Tìm điểm M thuộc C  có tọa độ nguyên sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M tạo với đường thẳng 4  : x  y  1  0 một góc  thỏa mãn cos   41 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  12x  9 ; y '  0  x  1 hoặc x  3 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 3; ; nghịch biến trên khoảng 1; 3 . ● - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  1 , yCD  4 ; đạt cực tiểu tại x  3 , yCT  0 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . - Bảng biến thiên x  x  Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 0; 0 , 4; 4  . y 4 x O  1 3  b) Gọi M a; a 3  6a 2  9a  C  . Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng   d : y  3a 2  12a  9 x  a   a 3  6a 2  9a .   Tiếp tuyến d có VTPT nd  3a 2  12a  9; 1 ;  có VTPT n   1;1 .   Theo yêu cầu của bài toán, ta có cos d ;   4 41   n d .n  4      41 nd . n  Đặt t  3a 2  12a  9 , ta được t 1 2. t 2  1 ●  4 41 3a 2  12a  9  1  2 2. 3a  12a  9  2  1 4 41  9t 2  82t  9  0  t  9 hoặc t  . 1 . 9 a  0  M 0; 0 Với t  9 , suy ra 3a 2  12a  9  9   . a  4  M 4; 4  18 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá 1 6  28 1 , suy ra 3a 2  12a  9   a  (không thỏa mãn). 9 9 3 Vậy có hai điểm M cần tìm là: M 0; 0 hoặc M 4; 4 . ● Với t  Bài 15. Cho hàm số y  x 4  2m 2x 2  2m 2  1 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . b) Tìm m để hàm số 1 có ba điểm cực trị A , B , C với A thuộc trục tung sao cho M 1;2 nhìn đoạn BC dưới một góc vuông. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 4 a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  2x 2  3 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  4x 3  4x ; y '  0  x  0 hoặc x  1 . Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  . ● - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  2 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  3 . - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . - Bảng biến thiên x  x    Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2; 3 ,  2; 3 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 3 2 x -1 O 1 x  0 b) Ta có y '  4x 3  4m 2x  4x x 2  m 2 ; y '  0   2 2 . x  m   Để hàm số có ba cực trị  phương trình y '  0 có ba nghiệm phân biệt  m 2  0  m  0 . Tọa độ các điểm cực trị:       A 0;2m 2  1 , B m; m 4  2m 2  1 , C m; m 4  2m 2  1 . 19 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá   2    2 Ta có MB  m  1;  m 2  1  , MC  m  1;  m 2  1  .        Yêu cầu bài toán tương đương   MB.MC  0  1  m 2  m 2  1    4   0   0  1  m 2 1  1  m 2   1  m 2  0 m  1     . 1  m 2  1 m   2      1  m 2  1  m2  4    3    0 Đối chiếu điều kiện, ta được giá trị m cần tìm là: m  1 hoặc m   2 . 2x  3 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. Bài 16. Cho hàm số y  b) Tìm m để đường thẳng d : x  3y  m  0 cắt C  tại hai điểm phân biệt M , N sao cho tam giác AMN vuông tại A 1; 0 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  1 2 x  1  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang : y  2 x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng : x  1 . x 1 x 1 Bảng biến thiên ● 3  Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 3 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận làm  2  tâm đối xứng. 20 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá y 3 2 x O 1 3 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và C  : 2x  3 1   x  m  x 1 3  x 2  5  m  x  9  m  0 . x  1 * 2 Ta có   m 2  14m  61  m  7   12  0 , m   . Do đó d luôn cắt C  tại hai điểm phân biệt M x1; y1  , M x 2 ; y2  với x1 , x2 là hai nghiệm của phương x  x  5  m 2 trình * . Theo Viet, ta có  1 . x1x 2  9  m    Ta có AM  x1  1, y1  , AN  x 2  1, y2  .   Tam giác AMN vuông tại A , nên AM .AN  0  x1  1x 2  1  y1y2  0 1 x  m x 2  m   0 9 1  10x1x 2  m  9x1  x 2   m 2  9  0  x1  1x 2  1   10 9  m   m  95  m   m 2  9  0  6m  36  0  m  6. Vậy m  6 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Bài 17. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 . b) Tìm m để hàm số 1 có hai điểm cực trị đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : 2x  y  1  0 một góc bằng 450 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 3 a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x  3x 2  2 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0; ; nghịch biến trên khoảng 2; 0 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  2 , yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  0 , yCT  2 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . 21 | Trang x  x  www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 - ● Khaûo saùt haøm soá Bảng biến thiên Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 3; 2 , 1;2 . y 2 x -2 -1 O -2 b) Ta có y '  3x 2  6x  m . Hàm số có hai cực trị  phương trình y '  0 có hai nghiệm phân biệt   '  9  3m  0  m  3 . 1  2m  1 m Ta có y   x   y '   2 x  2  .   3  3 3  3 Suy ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là  2m  m  : y    2 x  2  .   3 3   Đường thẳng d có VTPT là nd  2; 1 ;  có VTPT là n  2m  6; 3 .   Giả thiết bài toán  cos n1; n2  cos 450    4m  12  3 5 2m  6  12m 2  24m  63  0  m  Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m   Bài 18. Cho hàm số y  2 9  1 2 7 3 hoặc m   . 2 2 3 thỏa yêu cầu bài toán. 2 x 3 . 1x a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2 và có hệ số góc là m . Tìm m để d cắt C  tại hai điểm phân biệt   M , N thỏa mãn AM  2AN . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 22 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2 2 1  x   0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  1 ; tiệm cận ngang: y  1 . x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 x 1 - Bảng biến thiên ● Đồ thị C  cắt Ox tại 3; 0 , cắt Oy tại 0; 3 và nhận giao điểm I 1; 1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. y 1 3 x O -1 -3 b) Phương trình của đường thẳng d : y  m x  1  2 . Phương trình hoành độ giao điểm giữa d và C  là x 3  m x  1  2 x  1 1x  x  3  m x  1  2 1  x     mx 2  2m  1 x  m  1  0 . Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  phương trình * * có hai nghiệm phân biệt m  0 m  0 1       m  0.   0 8m  1  0 8   23 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Giả sử M x1; y1  , N x 2 ; y2  là tọa độ giao điểm của d và C  .  x  x  2m  1 2  1 m . Khi đó x1 , x2 là nghiệm của * . Theo Viet, ta có   m 1 x1x2  m    Ta có AM  x1  1; y1  2 và AN  x 2  1; y2  2 .   Để thỏa mãn AM  2AN  x1  1  2 x 2  1  x1  3  2x 2 . 2m  1 ta được: m Từ x1  3  2x2 , kết hợp x1  x 2   x  3  2x x  1  2  1 2 1  m.   2 m  1 x  x   1 2  1 x 2  1  m m  m 1 , ta tìm được m  1 . m Đối chiếu điều kiện ta chọn m  1 . Thay vào x1x 2  Bài 19. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y  m x  1 tại ba điểm phân biệt có hoành độ là x1 , x 2 , x 3 thỏa mãn x 12  x 22  x 32  5 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  2 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 2 , 3;2 . 24 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá y 2 x 2 O 1 -2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị: x 3  3x 2  2  m x  1 x  1  x  1 x 2  2x  m  2  0   2 x  2x  m  2  0   Để d cắt C  tại ba điểm phân biệt  phương trình * * . có hai nghiệm phân biệt khác 1 m  3  '  1  m  2  0  2    m  3 . 1  2.1  m  2  0 m  3   Giả sử x1  1 . Khi đó x2 , x 3 là hai nghiệm của phương trình * . Theo Viet, ta có x 2  x 3  2 và x 2x 3  m  2 . Yêu cầu bài toán x12  x 22  x 32  5  x 22  x 32  4 2  x 2  x 3   2x 2x 3  4  4  2 m  2  4  m  2 . Đối chiếu điều kiện để d cắt C  tại ba điểm phân biệt ta chọn m  2 . 1 , với m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . Với những giá trị nào của m thì hàm số 1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành Bài 20. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 a) b) một tam giác có diện tích bằng 4 2 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x 4  2x 2  3 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  4x 3  4x ; y '  0  x  0 hoặc x  1 . Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  . - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  2 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  3 . 25 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . x  x  - Bảng biến thiên    ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2; 3 , 2; 3 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 3 2 x -1 O 1 x  0 b) Ta có y '  4x 3  4mx  4x x 2  m ; y '  0   2 . x  m Để hàm số có ba cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 .     Điểm cực đại A 0;2m  m 4 ; cực tiểu B     m ; m 4  m 2  2m và C  m ; m 4  m 2  2m .   Gọi H là trung điểm BC , suy ra H 0; m 4  m 2  2m . Tam giác ABC cân tại A , nên SABC  1 1 BC .AH  4 2  .2 m . m 2 2 2  m 2 m  4 2  m 5  32  m  2 . Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được giá trị m cần tìm là: m  2 . Bài 21. Cho hàm số y  2x  1 x 1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d : y   3x  m cắt C  tại hai điểm A và B phân biệt sao cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng  : x  2y  2  0 với O là gốc tọa độ. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: 26 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 - Chiều biến thiên: y '  3 2 x  1 Khaûo saùt haøm soá  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 x 1 - Bảng biến thiên  1  ● Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận  2  làm tâm đối xứng. y 2 x 1  2 O -1 1 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C  : 2x  1 x 1 x  1  3x  m    2x  1  3x  m x  1    3x 2  1  m x  m  1  0 . * Để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phần biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt    m 2  10m  11  0  m  1 hoặc m  11 .     Gọi A x1 ;  3x1  m , B x 2 ;  3x 2  m với x1 , x 2 là hai nghiệm của * . 1m m 1 và x1x 2  . 3 3 x  x 3 x  x   2m   1 2 2  . Suy ra tọa độ trọng tâm của tam giác OAB là: G  1 ;  3  3   Theo Viet, ta có x1  x 2  Vì G thuộc  nên 27 | Trang x1  x 2 3  2. 3 x1  x 2   2m 3 2  0 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá  m  1  2m 1m 11  2. 2  0  m   . 9 3 5 11 Đối chiếu điều kiện, ta được m   là giá trị cần tìm. 5  Bài 22. Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị C  tại M cắt đồ thị C  tại điểm thứ 2 hai là N (khác M ) thỏa mãn 5x M  x N2  6 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  2 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  2 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 2 , 3;2 . y 2 x 2 O 1 -2   b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có tọa độ M a; a 3  3a 2  2 . Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:   y  3a 2  6a x  a   a 3  3a 2  2 . 28 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị C  và tiếp tuyến là:   x 3  3x 2  2  3a 2  6a x  a   a 3  3a 2  2 x  a 2  x  a  x  2a  3  0   . x  2a  3 Để đồ thị C  cắt tiếp tuyến tại N khác M khi và chỉ khi: a  2a  3  a  1 . Khi đó: x M  a , x N  2a  3 . 2 2 Theo yêu cầu bài toán: 5x M  x N2  6  5a 2  2a  3  6  9a 2  12a  3  0  a  1 hoặc a  Đối chiếu điều kiện ta chọn a   1 46  1 , suy ra M  ;  .  3 27  3 1 . 3 2 hai là N (khác M ) thỏa mãn 5x M  x N2  6 . 2x  3 . x 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. Bài 23. Cho hàm số y  b) Viết phương trình tiếp tuyến của C  , biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại hai điểm A , B phân biệt sao cho AB  2IB với I 2; 2 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 2 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  1 2 x  2  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;2 và 2;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 . x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  2 . x 2 x  2 - Bảng biến thiên 29 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá 3   3 ● Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0;  và nhận giao điểm I 2;2 của hai đường tiệm cận làm  2   2  tâm đối xứng. y 2 3 2 x 2 3 2 O  2a  3   , a  2 là điểm thuộc đồ thị C  . b) Gọi M a;  a  2  Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng d :y   1 2 a  2 x  a   2a  3 . a 2  2a  2   , d  TCN  B 2a  2; 2 . Ta có d  TCĐ  A 2;  a  2    2    , IB  2a  4; 0 . Suy ra IA  0;  a  2  Tam giác IAB vuông tại I nên IA  AB 2  IB 2  IB  2 2  2a  4  a  2  1  a 2 a  1  a  3 .  ● Với a  1 suy ra phương trình tiếp tuyến d : y  x  2 . ● Với a  3 suy ra phương trình tiếp tuyến d : y  x  6 . Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  x  2 hoặc y  x  6 . 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  3 . b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Bài 24. Cho hàm số y  x 3  mx 2  4 HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 3 a) Với m  3 , hàm số trở thành: y  x  3x 2  4 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . 30 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  4 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  0 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 0 , 3; 4  . y 4 x -1 O 2 b) Nhận xét. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi hàm số có hai điểm cực trị và hai điểm cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành. 2m . 3 Để hàm số có hai điểm cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  0 . Ta có y '  3x 2  2mx  x 3x  2m  ; y '  0  x  0 hoặc x   4m 3   2m   Yêu cầu bài toán  y 0 .y    0  4.   4  0  m  3 .  27  3   Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 , với m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  2 . Tìm m để đồ thị hàm số 1 có ba điểm cực trị A , B , C sao cho bốn điểm O , A , B , C Bài 25. Cho hàm số y  2x 4  m 2x 2  m 2  1 a) b) là bốn đỉnh của một hình thoi (với O là gốc tọa độ). HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  2 , hàm số trở thành: y  2x 4  4x 2  3 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  8x 3  8x ; y '  0  x  0 hoặc x  1 . Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  . - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  1 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  3 . 31 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . x  x  - Bảng biến thiên   y 2; 3 và nhận Oy làm trục đối xứng. ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2; 3 , y 3 x -1 O 1 x  0  2 . b) Ta có y '  8x  2m x  2x 4x  m ; y '  0   x 2  m  4  Để hàm số có ba cực trị  y '  0 có ba nghiệm phân biệt  m  0 .  m  m  m4 m4   Tọa độ các điểm cực trị A 0; m 2  1 , B  ;   m 2  1 , C  ;   m 2  1 .  2  2 8 8   3  2  2 2     m4  Suy ra tọa độ trung điểm của BC là I 0;   m 2  1 . 8   Ta thấy A  Oy ; B , C đối xứng nhau qua Oy và A  O  m 2  1  0  m  1 . * Để bốn điểm O , A , B , C là bốn đỉnh của một hình thoi khi I cũng là trung điểm của OA , nên  m4 m2  1  m2  1  8 2  m 4  4m 2  4  0  m   2 : thỏa mãn (*) . Đối chiếu điều kiện tồn tại cực trị ta được m   2 là giá trị cần tìm. Bài 26. Cho hàm số y  2x  4 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y  2x  m cắt đồ thị C  tại hai điểm phân biệt A và B sao cho 4S IAB  15 với I là tâm đối xứng của đồ thị C  . 32 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2 2 x  1  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 x 1 - Bảng biến thiên ● Đồ thị C  cắt Ox tại 2; 0 , cắt Oy tại 0; 4  và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. y 4 2 x O 1 2 b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và C  : 2x  4  2x  m x 1 x  1  2x  4  2x  m x  1  2x 2  m  4 x  m  4  0. Để đường thẳng d cắt C  tại hai điểm phân biệt *  * có hai nghiệm phân biệt    m 2  16  0  m  4 hoặc m  4 . Giả sử A x1;2x1  m  , B x1;2x 2  m  với x1 , x 2 là hai nghiệm của * . Theo Viet, ta có x1  x 2  33 | Trang 4m 4 m và x1x 2  . 2 2 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Theo giả thiết bài toán: 4SIAB  15  2d I , AB .AB  15 2 m 5 .AB  15  4AB 2 .m 2  1125 2  20 x1  x 2  .m 2  1125  2   4 x1  x 2   4x1x 2  m 2  225   m 2  25   m 2  16 m 2  225   2  m 2  25. m  9  Đối chiếu điều kiện, ta được m  5 thỏa yêu cầu bài toán.   Bài 27. Cho hàm số y  x 3  3x 2  3m m  2 x  1 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 . b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua điểm I 1; 3 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x 3  3x 2  1 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; đồng biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  2 , yCD  5 ; đạt cực tiểu tại x  0 , yCT  1 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 5 , 3;1 . y 5 1 O 34 | Trang x 2 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá b) Ta có y '  3x 2  6x  3m 2  6m ; y '  0  x  m hoặc x  m  2 . Hàm số có hai cực trị  y '  0 có hai nghiệm phân biệt  m  m  2  m   1 . Với x  m thì y  2m 3  3m 2  1 ; Với x  m  2 thì y  2m 3  9m 2  12m  5 .   Tọa độ hai điểm cực trị là A m; 2m 3  3m 2  1 và   B m  2;2m 3  9m 2  12m  5 . Theo giả thiết bài toán I 1; 3 là trung điểm AB x  x  2x B I   A  6m 2  12m  0  yA  yB  2yI  Đối chiếu điều kiện, ta được: m  0 hoặc m  2 . Bài 28. Cho hàm số y  m  0  m  2 .  2x  4 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của C  tại M nằm trên C  có hoành độ lớn hơn 1 , biết rằng tiếp tuyến   cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A , B sao cho 3MA  2MB . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2 2 x  1  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 . x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 x 1 - Bảng biến thiên ● Đồ thị C  cắt Ox tại 2; 0 , cắt Oy tại 0; 4  và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 35 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá y 4 2 x 1 O 2  2a  4    C  với a  1 . b) Gọi M a;  a  1  Phương trình tiếp tuyến của C  tại M có dạng d :y  2 2 a  1 x  a   2a  4 . a 1     2 a 2 a  4  . Ta có d  Ox  A a  4a  2; 0 ; d  Oy  B 0;   2   a  1 a  1     2     2a  4    2a  2   ; MB  a;  . Suy ra MA  a  3a  2;  2  a  1    a  1    Theo giả thiết bài toán: 3MA  2MB  2  3 a  3a  2  2a    2     2a  4   a  3 hoặc a  (loại).  2 a  3  3   2    a  1  2     a  1     Với a  3 suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  1 1 x . 2 2 Bài 29. Cho hàm số y  2x 3  6x  1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng  : y  mx  2m  5 cắt đồ thị C  tại ba điểm phân biệt và khoảng cách từ điểm cực đại của C  đến  bằng hai lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của C  đến  . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  6x 2  6 ; y '  0  x  1 hoặc x  1 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;  ; nghịch biến trên khoảng 1;1 . 36 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  1 , yCD  5 ; đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  3 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2; 3 , 2; 5 . y 5 1 x 1 -1 O -3 b) Phương trình hoành độ giao điểm của C  và  là: 2x 3  6x  1  mx  2m  5  2x 3  6  m  x  2m  4  0 x  2  x  2 2x 2  4x  2  m  0   2 2x  4x  2  m  0   * . Để đường thẳng  cắt đồ thị C  tại ba điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt m  0  '  2m  0 khác 2   2   . 2.2  4.2  2  m  0 m  18   Tọa độ diểm cực đại A 1; 5 , tọa độ điểm cực tiểu B 1; 3 . Yêu cầu bài toán tương đương d A,   2d B,   3m  2 8  m  m  16 hoặc m  Đối chiếu điều kiện để  cắt C  tại ba điểm phân biệt ta chọn m  Bài 30. Cho hàm số y  x 4  2 2  m  x 2  3  2m 1 , 16 . 5 16 . 5 với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 . b) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng. 37 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x 4  4x 2  3 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  4x 3  8x ; y '  0  x  0 hoặc x   2 .    Các khoảng nghịch biến  2; 0 và      2;  ; các khoảng đồng biến ;  2 và 0; 2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x   2 , yCD  1 ; đạt cực tiểu tại x  0 , yCT  3 . - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2; 3 , 2; 3 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 1 x - 2 O 2 3 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị 1 với trục hoành: x 4  2 2  m  x 2  3  2m  0 .  I Đặt t  x 2 , phương trình trở thành: t 2  2 2  m t  3  2m  0 . Phương trình I  có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi II II có hai nghiệm dương phân biệt m 2  2m  1  0  '  0    m   3     S  0  m  2  0  2 . *   m  1 P  0 3  2m  0    Giả sử t1 , t2 0  t1  t2  là hai nghiệm phân biệt của II , khi đó I có bốn nghiệm phân biệt là: x 1   t2 , x 2   t1 , x 3  t1 , x 4  t2 . Để x1 , x 2 , x 3 , x 4 lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi: x 2  x1  x 3  x 2  x 4  x 3  t2  9t1 . 38 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Theo Viet, ta có t1  t2  2 m  2 và t1t2  3  2m . Từ t2  9t1 , kết hợp với t1  t2  2 m  2 , ta được  t  m  2 t  9t 1 2 1 5   .  9 m  2 t1  t2  2 m  2   t2  5  2 9 m  2 Thay vào t1t2  3  2m , ta được 25  3  2m 13 . 9 13 Đối chiếu điều kiện * ta được giá trị m cần tìm là: m  3 hoặc m   . 9  9m 2  14m  39  0  m  3 hoặc m   Bài 31. Cho hàm số y  3x  1 x 2 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y  mx  11 cắt C  tại hai điểm phân biệt A , B sao cho diện tích tam giác OAB gấp hai lần diện tích tam giác OBM , với M 0; 11 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 2 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  7 2 x  2  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 2 và 2;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  3 ; tiệm cận ngang: y  3 x  x  lim y   và x 2 lim y   ; tiệm cận đứng: x  2 . x 2 - Bảng biến thiên 1   1 ● Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0;   và nhận giao điểm I 2; 3 của hai đường tiệm cận  3   2  làm tâm đối xứng. 39 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá y 3 -2 O x 1 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C  : 3x  1  mx  11 x 2 x  2  3x  1  mx  11x  2  mx 2  2 m  7  x  21  0 . Để d cắt C  * tại hai điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt m  0 m  0     2  m  0.  '  0 m  7m  49  0   Gọi A x1; mx1  11 , B x 2 ; mx 2  11 với x1 , x2 là hai nghiệm của * . Theo Viet, ta có x1  x 2  14  2m m 1 và x1x 2   21 2 . m Ta thấy: 11  m.0  11 suy ra M 0; 11  d . Ta có SOAB  2SOBM 1 1 d O, d  AB  2 d O, d  BM  AB  2BM . 2 2 ● TH1: M nằm giữa A và B khi đó M là trung điểm của AB , suy ra x1  x 2  2x M  x1  x 2  0  m  7 .  y1  y2  2yM  ● TH2. M nằm ngoài đoạn AB . Khi đó ta có   x  x  2 0  x  1 2 AB  2BM   2  3x 2  x1  0  x1  3x 2 . y2  y1  2 11  y2    3 7  m   x 1  2m Thay 3 vào 1 ta được  , thay vào 2 ta được  7 m x 2  2m   3 3 7  m  7  m  2 21 .   m  7   0  m  7 . 2m 2m m Kết hợp hai trường hợp và đối chiếu điều kiện ta được: m  7 . 40 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Bài 32. Cho hàm số y  2x 3  3mx 2  m  1 x  1 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . b) Tìm m để đường thẳng d : y  2x  1 cắt đồ thị hàm số 1 tại ba điểm phân biệt A , B , C 0;1 sao cho C nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng 170 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  2x 3  3x 2  1 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  6x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  1 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 1;  ; nghịch biến trên khoảng 0;1 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  1 ; đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  0 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 4  , 2; 5 . y 1 x O 1 b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị: 2x 3  3mx 2  m  1 x  1  2x  1 x  0  x 2x 2  3mx  m  3  0   2 2x  3mx  m  3  0. * Đường thẳng d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt A , B , C 0;1 sao cho C nằm giữa A và B khi và chỉ   khi phương trình * có hai nghiệm trái dấu  2 m  3  0  m  3 . 1 Khi đó, giả sử A x1;2x1  1 , B x1; 2x 2  1 với x1 , x 2 là hai nghiệm của * . Theo Viet, ta có x1  x 2  3m m 3 và x1x 2  . 2 2 Theo giả thiết bài toán: AB  170 41 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá 2 2 2 x1  x 2   2x1  2x 2   170  x 1  x 2  2 2  x1  x 2   34  x1  x 2   4x1x 2  34   9m 2 m 3  4.  34 4 2  9m 2  8m  112  0  m  4 hoặc m   Đối chiếu điều kiện 1 ta được m   Bài 33. Cho hàm số y   34 28 . 9 28 là giá trị cần tìm. 9 x 1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị C  tại hai điểm A , B phân biệt sao cho OA2  OB 2  2 , trong đó O là gốc tọa độ. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2 2 x  1  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  1 ; tiệm cận ngang: y  1 . x  x  lim y   và x 1 lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 - Bảng biến thiên ● Đồ thị C  cắt Ox tại 1; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 42 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá y 1 -1 x 1 O -1 b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị C  : x 1  x m x 1 x  1  x  1  x  m x  1 *  x 2  mx  m  1  0 . Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt    m 2  4m  4  0  m  2  6 hoặc m  2  6 . Gọi A x1; x1  m  , B x 2 ; x 2  m  với x1 , x 2 là hai nghiệm của * . Theo Viet, ta có : x1  x 2  m và x1x 2  m  1 . Yêu cầu bài toán: OA2  OB 2  2 2 2  x12  x1  m   x 22  x 2  m   2 2  2 x1  x 2   4x1x 2  2m x1  x 2   2m 2  2  m 2  2m  3  0  m  1 hoặc m  3 . Đối chiếu điều kiện để d cắt C  tại hai điểm phân biệt ta chọn m  1 . Bài 34. Cho hàm số y  x 3  3x 2  m  2 x  3m 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  2 . b) Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị 1 vuông góc với đường thẳng d : x  y  2  0 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  2 , hàm số trở thành: y  x 3  3x 2  6 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  6 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  2 . 43 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1;2 , 3; 6 . y 6 2 x O 2 b) Ta có y '  3x 2  6x  m  2 . Tiếp tuyến  tại điểm M thuộc đồ thị có hệ số góc 2 k  3x 2  6x  m  2  3 x  1  m  5  m  5 . Dấu ''  '' xảy ra khi và chỉ khi: x  1 . Suy ra hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến  bằng m  5 tại điểm M 1; 4m  4 . Theo giả thiết bài toán : tiếp tuyến  vuông góc với d khi và chỉ khi m  5 .1  1  m  4 . Vậy m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 1 , với m là tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  2 . Bài 35. Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 a) b) Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại A vuông góc với đường thẳng x  2y  2015  0 , với A là điểm cố định có hoành độ dương của đồ thị. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  2 , hàm số trở thành: y  x 4  2x 2  1 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  4x 3  4x ; y '  0  x  0 hoặc x  1 . Các khoảng nghịch biến ; 1 và 0;1 ; các khoảng đồng biến 1; 0 và 1;  . - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  0 ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  1 . - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . x  x  - Bảng biến thiên 44 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá    ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt  2;1 , 2;1 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 1 -1 O  x 1  b) Ta có y  x 4  mx 2  m  1  m x 2  1  x 4  y  1  0 . Gọi A x A ; yA  là điểm cố định của đồ thị    m x A2  1  x A4  yA  1  0 , m   x 2  1  0 x  1 x  1    A4   A hoặc  A . x  y  1  0 yA  0 yA  0 A A    Do A có hoành độ dương nên ta chọn A 1; 0 .  1 Yêu cầu bài toán  y ' xA .    1  2   y ' 1  2  4  2m  2  m  1 . Vậy m  1 là giá trị cần tìm. Bài 36. Cho hàm số y  2x  4 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm hai điểm A , B thuộc đồ thị C  sao cho tiếp tuyến của đồ thị C  tại các điểm đó song song với nhau đồng thời ba điểm O , A , B tạo thành tam giác vuông tại O . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2 2 x  1  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 x  45 | Trang x  www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 x 1 - Bảng biến thiên ● Đồ thị C  cắt Ox tại 2; 0 , cắt Oy tại 0; 4  và nhận giao điểm I 1; 2 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. y 1 x 2 O -2 -4 a, b  1  2a  4   2b  4   và B b;  với  b) Gọi A a; là hai điểm thuộc C  .  b  1  a  b a  1      2a  4    2b  4   , OB  b;  . Ta có OA  a;      a 1   b  1  Tiếp tuyến của C  tại A và B song song, nên y ' a   y ' b    2 2 a  1  2 2 b  1  a b  2. Tam giác OAB vuông tại O , nên   2a  42b  4 OAOB .  0  ab   0. a  1b  1 a  b  2  4ab  8 a  b   16 Ta có hệ  . ab  0  ab  a  b   1  a  1 a  3 Giải hệ ta được  hoặc  hoặc   b  3 b  1   a  2 a  0  hoặc  .   b  0 b  2   Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là 1; 3 và 3; 1 hoặc 2; 0 và 0; 4 .   Bài 37. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  3 m 2  1 x  m 3  1 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . 46 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá b) Gọi d là tiếp tuyến tại điểm cực đại A của đồ thị hàm số 1 , tiếp tuyến d cắt trục tọa độ Oy tại điểm B . Tìm m để diện tích tam giác OAB bằng 6, với O là gốc tọa độ. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI 3 a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  3x 2 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  0 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  4 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 4  , 3; 0 . y O 2 x -4 x  m  1 b) Ta có y '  3x 2  6mx  3 m 2  1 ; y '  0   . x  m  1 Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu m   . Vì hàm số có hai cực trị và hệ số a  1  0 nên hoành độ   điểm cực đại nhỏ hơn hoành độ điểm cực tiểu nên tọa độ điểm cực đại là A m  1; 3m  3 . Phương trình tiếp tuyến d tại điểm cực đại A của đồ thị có dạng d : y  y ' x A x  x A   y A hay d : y  3m  3 . Ta có d  Oy  B 0; 3m  3 . Điều kiện để có tam giác OAB là m  1 . Do tiếp tuyến d song song với trục Ox nên tam giác OAB vuông tại B . Ta có AB  m  1 , OB  3m  3 . Diện tích tam giác OAB là: 47 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá m  1 2 1 AB.OB  m  1  4   . 2 m  3 Đối chiếu điều kiện tồn tại tam giác OAB ta có: m  1 hoặc m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. SOAB  Bài 38. Cho hàm số y  2mx  3 x m 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị. Tìm m để tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận tại A và B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 42 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  2x  3 . x 1 ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  5 2 x  1  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 . x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 x 1 - Bảng biến thiên  3  ● Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 3 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận  2  làm tâm đối xứng. y 2 - x 3 2 1 O -3 48 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 b) Ta có Khaûo saùt haøm soá lim y  lim y  2m ; tiệm cận ngang: y  2m . x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  m . x m  x m  Do đó tâm đối xứng của đồ thị I m;2m  .  2ma  3   , a  m là điểm thuộc đồ thị. Giả sử M a;  a  m  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại M có dạng: d :y  2m 2  3 2 a  m  x  a   2ma  3 . a m  2m2  2ma  6    ; B  d  TCN  B 2a  m;2m  . Gọi A  d  TCD  Am;   a m  Theo giả thiết bài toán SIAB  42   1 IA.IB  42  IA.IB  84 2 2m 2  2ma  6  2m . 2a  2m  84 . a m  4m 2  6  42  m  3. Vậy m  3 thỏa yêu cầu bài toán. Bài 39. Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm hai điểm A , B thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại A và B song song với nhau đồng thời 2 đường thẳng đi qua hai điểm A , B cắt đường tròn C  : x  3  y 2  13 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 và 2;  ; nghịch biến trên khoảng 0;2 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD  1 ; đạt cực tiểu tại x  2 , yCT  3 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên 49 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 1; 3 , 3;1 . y 1 x 2 O -3 b) Gọi A x1; y1  , B x 2 ; y2  x1  x 2  là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị. Tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B nên f ' x1   f ' x 2   3x12  6x1  3x 22  6x 2  x1  x 2 x1  x 2  2  0  x1  x 2  2  0 . Gọi M x M ; yM  là trung điểm AB . Ta có xM  yM  x1  x 2 2 y1  y2 2  1;  3  x1  x 2    x13  x 23  3 x12  x 22  2 2 2  3x1x 2 x1  x 2   3 x1  x 2   6x1x 2  2 2 8  6x1x 2  12  6x1x 2  2   1. 2 Suy ra M 1; 1 . Đường thẳng đi qua hai điểm A và B luôn đi qua M 1; 1 với hệ số góc k có dạng d : y  k x  1  1 hay d : kx  y  k  1  0 . Đường tròn C  có tâm I 3; 0 . Khoảng cách từ tâm I đến d là: d I , d   2k  1 2  k 1 Yêu cầu bài toán  d I , d  lớn nhất  4  1. k 2  1 2  5. k 1 k 1   k  2 . 2 1 Suy ra d : y  2x  1 . Tọa độ của A , B là nghiệm của hệ y  x 3  3x 2  1 x  0 x  2    hoặc  . y  2x  1 y  1 y  3    Vậy A 0;1 , B 2; 3 hoặc A 2; 3 , B 0;1 . 50 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Bài 40. Cho hàm số y  Khaûo saùt haøm soá 1 4 5 x  3x 2  . 2 2 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Gọi A là điểm thuộc đồ thị C  có hoành độ là m . Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt M , N khác A sao cho AN  3AM ( M nằm giữa A và N ). HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2x 3  6x ; y '  0  x  0 hoặc x   3 .        Các khoảng nghịch biến ;  3 và 0; 3 ; các khoảng đồng biến  3; 0 và - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  0 , yCD   3;  . 5 ; đạt cực tiểu tại x   3 , yCT  2 . 2 - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . x  x  - Bảng biến thiên  3 ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2;   ,  2    2;  3  và nhận Oy làm trục đối xứng.   2  y 5 2  3 3 x O -2  1 5 b) Tọa độ điểm A m; m 4  3m 2   .  2 2  Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A có dạng   1 5 d : y  2m 3  6m x  m   m 4  3m 2  . 2 2 Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị C  : 51 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá   1 4 5 1 5 x  3x 2   2m 3  6m x  m   m 4  3m 2  2 2 2 2 2    x  m  x 2  2mx  3m 2  6  0 x  m   2 2 x  2mx  3m  6  0 . * Để d cắt C  tại ba điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác m  '  2m 2  6  0   3  m  3 .   2  m  2m 2  3m 2  6  0 m  1   Gọi M x1; y1  , N x 2 ; y2  với x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình * . Theo Viet, ta có x1  x 2  2m 1 và x1x1  3m 2  6 2 . Theo giả thiết bài toán, ta có   AN  3AM  x 2  m  3 x1  m   3x1  x 2  2m . 3 x  x  2m x  0 2 Từ 1 và 3 , ta được  1   1 . 3x1  x 2  2m x 2  2m   Thay vào 2 , ta được 0. 2m   3m 2  6  m   2 (thỏa mãn). Vậy m   2 là giá trị cần tìm thỏa yêu cầu bài toán. Bài 41. Cho hàm số y  x 2 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y  x  m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A , B tạo thành tam giác OAB thỏa mãn 1 1   1 , với O là gốc tọa độ. OA OB HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  1 2 x  1  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  1 ; tiệm cận ngang: y  1 x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 - x 1 Bảng biến thiên 52 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá ● Đồ thị C  cắt Ox tại 2; 0 , cắt Oy tại 0;2 và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. y 2 1 x 1 O 2 b) Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 2  x  m x 1 x  1  x  2  x  m x  1  x 2  mx  m  2  0 . * 2 Phương trình * có   m 2  4m  8  m  2  4  0 , m   . Suy ra phương trình * luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m . Vậy d cắt đồ thị hàm số C  tại hai điểm phân biệt A , B với mọi m . y  x  m 1 Gọi A x1 ; y1  , B x 2 ; y2  với x1 , x 2 là hai nghiệm của * và  1 . y2  x 2  m  Ta có OA  2x12  2mx1  m 2  2x12  2mx1  2m  4  m 2  2m  4  m 2  2m  4 ; OB  m 2  2m  4 . Theo giả thiết bài toán: 1 1  1 OA OB 2 m 2  2m  4 1  m 2  2m  4  2  m  0 hoặc m  2 . Để ba điểm O , A , B tạo thành tam giác nên ta chọn m  2 thỏa yêu cầu bài toán. Bài 42. Cho hàm số y  x 3  3x  2 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm trên đồ thị C  điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M cách đều hai điểm cực trị. 53 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  3 ; y '  0  x  1 hoặc x  1 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;  ; nghịch biến trên khoảng 1;1 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  1 , yCD  4 ; đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  0 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2; 0 , 2; 4  . y 4 2 x -1 O  1  b) Gọi M m; m 3  3m  2 là điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị tại M có dạng      : y  3m 2  3 x  m   m 3  3m  2 hay  : 3m 2  3 x  y  2m 3  2 . Điểm cực đại A 1; 4 , điểm cực tiểu B 1; 0 . Theo giả thiết ta có: d A,   d B,   2m 3  3m 2  1  2m 3  3m 2  1    2m 3  3m 2  1   2m 3  3m 2  1  m  0 hoặc m   Với m  0 thì M 0; 2 ; Với m   Bài 43. Cho hàm số y  54 | Trang 1 3 .  1  8 thì M  ;  2 .   3 3 3 3 1 x 1 . x 1 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y  m  x cắt đồ thị C  tại hai điểm A , B phân biệt sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là 2 2 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  2 2 x  1  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  1 ; tiệm cận ngang: y  1 . x  x  lim y   và x 1 lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 - Bảng biến thiên ● Đồ thị C  cắt Ox tại 1; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;1 của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. y 1 -1 O 1 -1 x b) Phương trình hoành độ giao điểm x  m  x x  1 x 1  x  m  x x  1  x 2  mx  m  0. Để d cắt C  tại hai điểm phân biệt  phương trình * * có hai nghiệm phân biệt    m 2  4m  0  m  0 hoặc m  4 . 55 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá Gọi A x1, m  x1  , B x 2 , m  x 2  với x1 , x 2 là hai nghiệm của * . 2 Ta có OA  x12  m  x1   2x12  2mx1  m 2  2x12  2mx1  2m  m 2  2m  m 2  2m ; OB  m 2  2m ; d O, AB   d O, d   m 2 . Theo công thức tính diện tích: SOAB  1 OAOB . .AB AB.d O, AB   2 4R  2Rd O, AB   OAOB .  4 m  m 2  2m  m  0 hoặc m  6 hoặc m  2 . Đối chiếu điều kiện để d cắt C  ta được: m  6 hoặc m  2 thỏa mãn. Bài 44. Cho hàm số y  x 3  3x  1 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm tọa độ điểm A x1; y1  thuộc đồ thị C  , biết rằng tiếp tuyến của đồ thị C  tại điểm A cắt đồ thị C  tại điểm B x 2 ; y2  (khác điểm A ) thỏa mãn x1  x2  1 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  3x 2  3 ; y '  0  x  1 hoặc x  1 . Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 1 và 1;  ; nghịch biến trên khoảng 1;1 . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x  1 , yCD  3 ; đạt cực tiểu tại x  1 , yCT  1 . - Giới hạn tại vô cực: lim y   ; và lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2; 1 , 2; 3 . 56 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá y y 3 1 -1 O -1 x 1 b) Phương trình tiếp tuyến của C  tại điểm A có dạng:      : y  3x12  3 x  x1   x13  3x1  1 hay y  3x12  3 x  2x13  1 . Cách 1. Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến  với đồ thị C  là nghiệm của phương trình:   x 3  3x  1  3x12  3 x  2x13  1 x  x 2 1  x 3  3x12x  2x13  0  x  x1  x  2x1   0   . x  2x1 Từ đó suy ra x 2  2x1 . Điều kiện để B  A  x1  0 . Theo giả thiết x1  x 2  1  x1  1 (thỏa mãn). Suy ra A 1; 3 . Cách 2. Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến  với đồ thị C  là nghiệm của phương trình:   x 3  3x  1  3x12  3 x  2x13  1  x 3  3x 12x  2x 13  0 . * Từ giả thiết: x1  x 2  1  x 2  1  x1 và hoành độ điểm B thỏa mãn phương trình * 3 1  x1   3x 12 1  x1   2x13  0  4x13  3x1  1  0  x1  1 hoặc x1  nên 1 . 2 Với x1  1 suy ra A 1; 3 . Với x1  1 1 suy ra x 2  nên A  B : không thỏa mãn. 2 2 Vậy A 1; 3 là điểm cần tìm. 2x  1 . x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. Bài 45. Cho hàm số y  b) Cho A 0;1 , B 3; 2 . Tìm điểm M trên đồ thị C  sao cho diện tích tam giác ABM nhỏ nhất. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: 57 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 - Chiều biến thiên: y '  3 2 x  1 Khaûo saùt haøm soá  0, x  D . Hàm số đồng biến trên từng khoảng ; 1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 . x  x  lim y   và x 1 lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 - Bảng biến thiên 1  ● Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0; 1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận  2  làm tâm đối xứng. y 2 x -1 O -1 1 b) Ta có AB  10 và phương trình đường thẳng AB  : x  3y  3  0 .  2a  1   với a  1 . Khi đó Do M  C  nên M a;  a  1    d M , AB   a 2  2a  6 . a 1 10 1 1 a2  2a  6 Vì SABM  AB.d M, AB nên SABM nhỏ nhất khi nhỏ nhất. 2 a 1   Cách 1. Dùng đạo hàm ta tìm được GTNN của hàm số f a   a 2  2a  6 bằng 2 khi a  2 . a 1 Vậy diện tích tam giác ABM nhỏ nhất bằng 1 ; khi M 2;1 . Cách 2. Ta có f a   a 2  2a  6 9 9  a 3  a 1 4 . a 1 a 1 a 1 Do A 0;1 , B 3; 2 nằm về phía bên phải tiệm cận đứng nên điểm M thỏa mãn bài toán thuộc nhánh phải của đồ thị, suy ra a  1  a  1  0 . 58 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khi đó f a   a  1  Khaûo saùt haøm soá Côsi  9  9   4  2 .  4  2 a  1.  a 1 a  1 Dấu ''  '' xảy ra khi a  2 . Vậy M 2;1 và diện tích tam giác ABM đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 . Bài 46. Cho hàm số y  x 4  3m  2 x 2  12m  8 1 , với m là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 . b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn là x1 , x 2 , x 3 , x 4 thỏa mãn x1  2x 2  3x 3  4x 4  7 . HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x 4  5x 2  4 . ● Tập xác định: D   . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  4x 3  10x ; y '  0  x  0 hoặc x   5 . 2   5  5    Các khoảng nghịch biến ;   và 0;  ; các khoảng đồng biến 2  2    - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x    5      và  5 ;  .  ; 0     2   2  5 9 , y   ; đạt cực đại tại x  0 , yCD  4 . 2 CT 4 - Giới hạn tại vô cực: lim y  lim y   . x  x  - Bảng biến thiên ● Đồ thị hàm số đi qua các điểm đặc biệt 2; 0 , 2; 0 và nhận Oy làm trục đối xứng. y 4  5 2 5 2 x O - 59 | Trang 9 4 www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá b) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành x 4  3m  2 x 2  12m  8  0 x 2  4  .  x 2  4 x 2  3m  2  0   2 x  3m  2  3m  2  0 2 Để 1 cắt Ox tại bốn điểm phân biệt    m  2.  3m  2  4 3   ● Trường hợp 1. Với   2 m 2, 3 khi đó x1  2 , x 2   3m  2 , x 3  3m  2 , x 4  2 . Yêu cầu bài toán  3m  2  1  2  m  1. 3 ● Trường hợp 2. Với m  2 , khi đó x 1   3m  2 , x 2  2 , x 3  2 , x 4  3m  2 . Yêu cầu bài toán  3 3m  2  5  m  43 : không thỏa mãn. 27 Vậy các giá trị m cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán là: Bài 47. Cho hàm số y  mx  1 x 1 1 , với m 2 m 1. 3 là tham số thực. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  2 . b) Tìm m để trên đồ thị 1 có hai điểm M , N cùng cách đều hai điểm A 3; 6 , B 3; 0 và tạo thành tứ giác AMBN có diện tích bằng 18 (đvdt). HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Với m  2 , hàm số trở thành: y  2x  1 . x 1 ● Tập xác định: D   \ 1 . ● Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y '  1 2 x  1  0, x  D . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng ;1 và 1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim y  lim y  2 ; tiệm cận ngang: y  2 x  x  lim y   và lim y   ; tiệm cận đứng: x  1 . x 1 x 1 - Bảng biến thiên 60 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá 1  ● Đồ thị C  cắt Ox tại  ; 0 , cắt Oy tại 0;1 và nhận giao điểm I 1;2 của hai đường tiệm cận làm  2  tâm đối xứng. y 2 1 O x 1 b) Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là: d : y  x  3 . Hai điểm M , N cách đều hai điểm A , B nên M , N thuộc đường thẳng d . Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị 1 : mx  1 x 3 x 1  x 2  m  2 x  2  0 x  1 x  1 . Để d cắt 1 tại hai điểm phân biệt M , N  phương trình * * có hai nghiệm phân biệt khác 1  2   m  2  8  0    m  1. 12  m  2 .1  2  0  Khi đó * có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 . x  x  m  2 2 Theo định lí Viet, ta có  1 . Gọi M x 1 ; x1  3 , N x 2 ; x 2  3 . x1x 2  2   2   2  Ta có MN  2 x1  x 2   4x1x 2   2 m  2  8 .     Do tứ giác AMBN có hai đường chéo vuông góc nên:  2  1 AB.MN  18  3 2. 2 m  2  8   2 m  1 2  m  2  1   . m  3 SAMBN  Đối chiếu với điều kiện để d cắt 1 tại hai điểm phân biệt, ta được m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 61 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá x 1 . x 1 Bài 48. Cho hàm số y  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm m để đường thẳng d : y  mx  m  1 cắt đồ thị tại hai điểm A , B phân biệt sao cho CD  EF nhỏ nhất với C , D lần lượt là chân đường vuông góc của A, B trên trục hoành và E , F là giao điểm của các tiếp tuyến tại A, B của đồ thị với trục tung. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Bạn đọc tự giải. b) Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị x 1  mx  m  1 x 1 x  1  x  1  mx  m  1x  1  mx 2  2mx  m  2  0 * Để đường thẳng d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt  phương trình * có hai nghiệm phân biệt m  0    m  0.   '  2m  0 Giả sử A x1; y1  , B x 2 ; y2  với x1, x 2 là hai nghiệm của phương trình * . Theo Vi-et, ta có x1  x 2  2 và x1x 2  ● m 2 . m Do C , D là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành nên C x1; 0 , D x 2 ; 0 . Suy ra CD  x1  x 2 . ● Phương trình tiếp tuyến tại A của đồ thị có dạng d1 : y   x 1 2 2 x1  1 x  x1   x1  1 . 1  2   2   x  2x  1  x  2x  1   . 1 1 2 2    . Tương tự F 0; Khi đó d1  Oy  E 0;   2   2    x1  1   x 2  1  Suy ra EF  x12  2x1  1 2 x1  1  x22  2x 2  1 2 x 2  1 Từ đó ta có CD  EF  2m  1 x1  x 2 2 CD  EF  2  2m x1  x 2 . , suy ra 2  2m  1 x1  x 2   2  2 8  2m  1 x1  x 2   4x1x 2   32  32m   64 .   m  32m  8 2 1 Vậy CD  EF nhỏ nhất  CD  EF  nhỏ nhất   m . m m  0 2  62 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Bài 49. Cho hàm số y  mx  1 x 1 1 , với m Khaûo saùt haøm soá là tham số thực.  a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  2 . b) Tìm m để trên đồ thị có hai điểm M , N cùng cách đều hai điểm A 3; 6 , B 3; 0 và tạo thành tứ giác AMBN có diện tích bằng 18. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI a) Bạn đọc tự giải. b) Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB là d : y  x  3 . Hai điểm M , N cách đều hai điểm A , B nên M , N thuộc đường thằng d . Phương trình hoành độ giao điểm của d và đồ thị mx  1 x 3 x 1 x  1  mx  1  x  3x  1  x 2  m  2 x  2  0 . Đường thẳng d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt M , N  * phương trình * có hai nghiệm phân biệt khác  2   m  2  8  0 1   m  1. 12  m  2 .1  2  0    Gọi M x 1 ; x1  3 , N x 2 ; x 2  3 với x1, x 2 là hai nghiệm của * . Theo Vi-et, ta có x1  x 2  m  2 và x1x 2  2 .     2 2 Ta có MN  2 x1  x 2   4x1x 2   2 m  2  8 .     Do tứ giác AMBN có hai đường chéo vuông góc nên SAMBN   2  2 1 AB.MN  18  3 2. 2 m  2  8  m  2  1    2   m  1  m  3 .  Đối chiếu điều kiện để d cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt, ta được m  3 thỏa mãn. Bài 50. Cho hàm số y  x 3  3x  2 . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số. b) Tìm trên đồ thị điểm M sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M cách đều hai điểm cực trị. HÖÔÙNG DAÃN GIAÛI Câu 1. a) Bạn đọc tự giải.   b) Gọi M m; m 3  3m  2 là điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị tại M có dạng:     d : y  3m 2  3 x  m   m 3  3m  2 hay d : 3m 2  3 x  y  2m 3  2 . Tọa độ điểm cực đại A 1; 4 , tọa độ điểm cực tiểu B 1; 0 . Theo giả thiết ta có d A, d   d B, d   2m 3  3m 2  1  2m 3  3m 2  1 63 | Trang www.noon.vn Nguyeãn Vaên Huy – 0968 64 65 97 Khaûo saùt haøm soá    2m 3  3m 2  1   2m 3  3m 2  1  m  0 hoặc m   Với m  0 thì M 0;2 ; Với m   64 | Trang 1 3 .  1  8 thì M  ;  2 .   3 3 3 3 1 www.noon.vn [...]...   Bài 12 Cho hàm số y  2x 3  3 m  1 x 2  6mx 14 | Trang 1 , với m là tham số thực www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 có các điểm cực đại và cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu cách đều đường thẳng d : y  x  2 HƯỚNG DẪN GIẢI a) Với m  1 , hàm số trở thành: y... 6 1 , với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  3 b) Tìm m để đồ thị hàm số 1 cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt Bài 24 Cho hàm số y  x 3  mx 2  4 HƯỚNG DẪN GIẢI 3 a) Với m  3 , hàm số trở thành: y  x  3x 2  4 ● Tập xác định: D   ● Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 Hàm số đồng biến trên các khoảng... Cho hàm số y  2x  1 x 1 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị C  của hàm số b) Tìm điểm M thuộc C  sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 3 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị HƯỚNG DẪN GIẢI 16 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số a) ● Tập xác định: D   \ 1 ● Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y '  3 2 x  1  0, x  D Hàm số. .. Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số 1 6  28 1 , suy ra 3a 2  12a  9   a  (khơng thỏa mãn) 9 9 3 Vậy có hai điểm M cần tìm là: M 0; 0 hoặc M 4; 4 ● Với t  Bài 15 Cho hàm số y  x 4  2m 2x 2  2m 2  1 1 , với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 b) Tìm m để hàm số 1 có ba điểm cực trị A , B , C với A thuộc trục... 17 Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  2 1 , với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  0 b) Tìm m để hàm số 1 có hai điểm cực trị đồng thời đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với đường thẳng d : 2x  y  1  0 một góc bằng 450 HƯỚNG DẪN GIẢI 3 a) Với m  0 , hàm số trở thành: y  x  3x 2  2 ● Tập xác định: D   ● Sự biến thi n: - Chiều biến thi n:... m là tham số thực Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 Với những giá trị nào của m thì hàm số 1 có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành Bài 20 Cho hàm số y  x 4  2mx 2  2m  m 4 a) b) một tam giác có diện tích bằng 4 2 HƯỚNG DẪN GIẢI a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x 4  2x 2  3 ● Tập xác định: D   ● Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y '... với m là tham số thực a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số 1 khi m  1 b) Tìm m để hàm số có ba cực trị tạo thành tam giác cân có độ dài cạnh đáy bằng 2 độ dài cạnh bên 3 HƯỚNG DẪN GIẢI 4 a) Với m  1 , hàm số trở thành: y  x  2x 2 ● ● Tập xác định: D   Sự biến thi n: 12 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 - Khảo sát hàm số Chiều biến thi n: y '  4x 3  4x ; y '... vào x1x 2  Bài 19 Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị C  của hàm số b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d : y  m x  1 tại ba điểm phân biệt có hồnh độ là x1 , x 2 , x 3 thỏa mãn x 12  x 22  x 32  5 HƯỚNG DẪN GIẢI a) ● Tập xác định: D   ● Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y '  3x 2  6x ; y '  0  x  0 hoặc x  2 Hàm số đồng biến trên các khoảng... 2;1 Bài 14 Cho hàm số y  x 3  6x 2  9x a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị C  của hàm số 17 | Trang www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số b) Tìm điểm M thuộc C  có tọa độ ngun sao cho tiếp tuyến của đồ thị tại M tạo với đường thẳng 4  : x  y  1  0 một góc  thỏa mãn cos   41 HƯỚNG DẪN GIẢI a) ● Tập xác định: D   ● Sự biến thi n: - Chiều biến thi n: y '  3x...  2 3 x1  x 2   2m 3 2  0 www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số  m  1  2m 1m 11  2 2  0  m   9 3 5 11 Đối chiếu điều kiện, ta được m   là giá trị cần tìm 5  Bài 22 Cho hàm số y  x 3  3x 2  2 a) Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị C  của hàm số b) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến của đồ thị C  tại M cắt đồ thị C  tại điểm thứ 2 hai ... Cho hàm số y  x  2mx  | Trang 1 , với m tham số thực www.noon.vn Nguyễn Văn Huy – 0968 64 65 97 Khảo sát hàm số a) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị hàm số 1 m  b) Tìm m để đồ thị hàm số. .. 97 Khảo sát hàm số Bài 32 Cho hàm số y  2x  3mx  m  1 x  1 , với m tham số thực a) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị hàm số 1 m  b) Tìm m để đường thẳng d : y  2x  cắt đồ thị hàm số. .. 65 97 Bài 40 Cho hàm số y  Khảo sát hàm số x  3x  2 a) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị C  hàm số b) Gọi A điểm thuộc đồ thị C  có hồnh độ m Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số A cắt đồ thị