Đề cương ôn thi môn toán THPT Quốc Gia năm 2016 phần 3

Ñeà cöông toaùn THPT 2016 CHUYÊN ĐỀ 8: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Biên soạn sưu tầm: Nguyễn Minh Nhiên – Sở GD&ĐT THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 1.1 Kiến thức liên quan 1.1.1 Tỉ số lượng giác góc nhọn MH • sin α = OM OH • cos α = OM MH • tan α = OH • cot α = OH MH 1.1.2 Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ∆ABC vuông A BC = AB + AC hay a = b + c • Định lý Pitago: 2 2 • BA = BH BC ; CA = CH CB hay b = a.b ', c = a.c ' • AB AC = BC AH hay bc = ah 1 1 1 = + = 2+ 2 2 AB AC hay h b c • AH • BC = AM 1.1.3 Hệ thức lượng tam giác thường a = b + c − 2bc.cos A • Định lý hàm số Côsin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C • Định lý hàm số Sin: 1.1.4 Các công thức tính diện tích a Công thức tính diện tích tam giác 1 S = a.ha = bhb = chc 2 • • • • S= 1 ab sin C = bc sin A = ca sin B 2 VABC A′B′C ′ = S ABC AA′ = a 183 S = pr • S= 1|Page p( p − a)( p − b)( p − c) với p= a+b+c (Công thức Hê-rông) Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Đặc biệt: S= • ∆ABC vuông A: AB AC a2 S= • ∆ABC cạnh a: b Diện tích hình vuông cạnh a: S = a (H.1) c Diện tích hình chữ nhật: S = a.b (H.2) d Diện tích hình thoi: S= e Diện tích hình thang: m.n S= (H.3) h ( a + b) (H.4) 1.1.5 Một số tính chất đặc biệt thường sử dụng • Đường chéo hình vuông cạnh a d = a • Đường cao tam giác cạnh a h= (H.5) a (H.6) AG = AM • Điểm G trọng tâm tam giác ABC (H.7) 1.1.6 Thể tích khối đa diện a Thể tích khối lăng trụ V = Bh , với B diện tích đáy ; h chiều cao •Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc , với a, b, c chiều dài, rộng, cao • Thể tích khối lăng trụ: •Thể tích khối lập phương: 2|Page V = a3 với a cạnh Ñeà cöông toaùn THPT 2016 b.Thể tích khối chóp V = Bh , với B diện tích đáy, h chiều cao •Thể tích khối chóp: 1.2.Phương pháp tính thể tích khối đa diện 1.2.1.Phương pháp tính trực tiếp việc sử dụng công thức thể tích Khi tính thể tích khối đa diện cần quan tâm hai yếu tố quan trọng xác định thể tích là: chiều cao diện tích đáy dựa công cụ học hệ thức lượng tam giác thường, hệ thức lượng tam giác vuông,… a Thể tích khối chóp Ví dụ (Đề thi TSĐH Khối A năm 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM theo a Lời giải SH ⊥ ( ABCD ) Vì nên 1 VS CDMN = SH SCDMN = SH ( S ABCD − S BCM − S AMN ) 3 5 3 = a a2 = a 24 *Nhận xét: Trong nhiều toán yếu tố quan trọng chiều cao Với khối chóp cần xác hóa đường cao (chân đường cao) hình chóp Ở ta liệt kê số trường hợp thường gặp sau: Ví dụ Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD có độ dài tất cạnh a Lời giải Gọi H tâm hình vuông SH ⊥ ( ABCD ) Vì S ABCD hình chóp nên 3|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 VS ABCD = SH S ABCD Do đó, 2 Vì ABCD hình vuông nên S ABCD = AB = a (đvdt) 2 2 2 Ta có SA + SC = AB + BC = AC = 2a nên ∆SAC vuông S, mà H trung điểm AC nên SH = AC a = 2 1 a 2 ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = a = a 3 (đvtt) *Nhận xét: Với khối chóp đều, chiều cao đoạn thẳng nối đỉnh tâm đáy Ví dụ Tính thể tích khối chóp tam giác S.ABC, biết cạnh đáy a cạnh bên hợp đáy góc 60 Lời giải Gọi H tâm tam giác ABC , M trung điểm BC SH ⊥ ( ABC ) Vì S ABC hình chóp nên VS ABC = SH S ABC Do đó, Vì ABC tam giác nên AM ⊥ BC Trong tam giác vuông ACM , a 3a AM = AC − CM = a − = ⇒ AM = a 4 (1) ⇒ S ABC = 2 AM BC = a (đvdt) (2) SBC ) Mà ta lại có AM ⊥ BC , SH ⊥ BC nên SM ⊥ BC Do đó, Góc mặt phẳng ( · ABC ) mặt phẳng ( góc SM AM hay góc SMA = 60 Do H trọng tâm tam giác ABC nên Trong tam giác vuông SHM , HM = · tan SMH = AM = a SH a ⇒ SH = HM tan 600 = HM 1 a 3 ⇒ VS ABC = SH S ABC = a = a 3 24 (đvtt) *Ghi nhớ: + Cách xác định góc đt d mặt phẳng 4|Page (α) : ( α ) 900 d ⊥ (α) α α -Nếu góc d ( ) góc d d’ hình chiếu d ( ) α β +Cách xác định góc hai mặt phẳng ( ) ( ) a ⊥ ( α ) ,b ⊥ ( β ) α β -Cách 1: Xác định hai đt A, B cho góc ( ) ( ) góc -Nếu d ⊥ (α) Ñeà cöông toaùn THPT 2016 góc d a b α β -Cách 2: Nếu giao tuyến ( ) ( ) d xác định hai đt A, B nằm ( α ) ( β ) cho a ⊥ d , b ⊥ d thì góc ( α ) ( β ) góc a b Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, BCD tam giác vuông cân D, mặt phẳng π r Tính thể tích khối tứ diện ABCD Lời giải Gọi H trung điểm BC AH ⊥ BC Ta có tam giác ABC nên ABC ) ⊥ ( BCD ) ( ABC ) ∩ ( BCD ) = BC mà ( , ⇒ AH ⊥ ( BCD) Ta có ∆ABC tam giác cạnh a nên Mà ∆BCD tam giác vuông cân nên DH = ⇒ S BCD AH = a a BC = ⇒ BD = DH = a 2 a2 = BD = (đvdt) ⇒ VABCD = 1 a2 3 AH S BCD = a= a 3 24 (đvtt) *Nhận xét: Hình chóp có mặt bên mặt chéo vuông góc với đáy góc chân đường cao thuộc giao tuyến mặt với đáy, đường cao nằm mặt bên mặt chéo 5|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 ( α ) ⊥ ( β )  ( α ) ∩ ( β ) = d ⇒ a ⊥ ( β )  a ⊂ (α ) ,a ⊥ d *Ghi nhớ:  Ví dụ Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, BC = 2a Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với đáy, cạnh SC hợp với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Lời giải ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SA ⊥ ( ABCD )  ( SAB ) ∩ ( SAD ) = SA Ta có:  VS ABCD = SA.S ABCD Do đó, Diện tích đáy ABCD là: S ABCD = AB.BC = 2a Do AC hình chiếu SC mặt phẳng · ( ABCD ) góc SCA = 600 ( ABCD ) nên góc SC mặt phẳng 2 · Ta có: AC = AB + BC = a ⇒ SA = AC.tan SCA = a 5.tan 60 = a 15 2a 15 = (đvtt) VS ABCD Vậy thể tích khối chóp là: *Nhận xét: Hình chóp có hai mặt bên kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt Ví dụ Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, BC = 2a Các cạnh bên SA = SB = SC = 2a Tính thể tích khối chóp S ABC Lời giải ABC ) Gọi H hình chiếu S mặt phẳng ( đường xiên SA = SB = SC nên hình chiếu tương ứng HA = HB = HC Do đó, H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC mà tam giác ABC vuông A nên H trung điểm BC 6|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Vì SBC tam giác cạnh 2a nên đường cao =a AC = BC − AB = 3a ⇒ AC = a ⇒ S ABC Theo định lí Pitago, SH = 2a 2 a2 = AB AC = 2 (đvdt) a3 = SH S ABC = (đvtt) VS ABC Nên thể tích khối chóp là: *Nhận xét: Hình chóp có cạnh bên (hoặc hợp đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ (Đề TSĐH khối A năm 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A,D; AB=AD=2a, CD=a, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 gọi I trung điểm AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính VS ABCD Lời giải Gọi H hình chiếu I BC Từ giả thiết suy SI vuông góc với mặt đáy Ta dễ dàng tính được: IC = a 2, IB = BC = a , S ABCD = AD ( AB + CD ) = 3a 2 IH BC = S IBC = S ABCD − S ABI − SCDI Ta có a 3a = 3a − a − = 2 nên IH = 2 S BCI 3 = a BC Từ tìm VS ABCD = 15 a (đvtt) Ví dụ 10 Hai cạnh đối diện tứ diện có độ dài x, cạnh khác có độ dài Với giá trị x thể tích tứ diện đạt giá trị lớn ? Lời giải S Giả sử SA = BC = x, cạnh khác tứ diện có độ dài Gọi I, D trung điểm BC & SA D Ta có: SA ⊥ (BCD) Do đó: 7|Page C A H B I Ñeà cöông toaùn THPT 2016 1 V = dt ∆BCD.SA = BC.ID.SA x2 mà ID = CD2 – CI2 = SC2 – SD2 – CI2 = – Suy ra, Vì , V= x2 x 1− = x2 − x 12 MaxV = 2 đạt x = b Thể tích khối lăng trụ Với thể tích khối lăng trụ ta sử dụng hướng để làm tìm cách xác định đường cao diện tích đáy Ví dụ ABC ' D ' ) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB = 4a, AC = 5a mặt phẳng ( hợp đáy góc 45 Tính thể tích khối hộp chữ nhật Lời giải 2 Theo ĐL Pitago ta có: BC = AC − AB = 3a ⇒ S ABCD = AB.BC = 12a (đvdt) ( ABCD ) ∩ ( ABC ' D ') = AB   BC ⊂ ( ABCD ) , BC ⊥ AB  BC ' ⊂ ( ABC ' D ' ) , BC ' ⊥ AB Do  · ABC ' D ' ) Nên góc mặt phẳng ( đáy góc CBC ' = 45 Suy ra, tam giác vuông cân nên CC ' = BC = 3a Vậy thể tích khối hộp chữ nhật VABCD A ' B ' C ' D ' = CC '.S ABCD = 36a (đvtt) *Nhận xét:Với khối lăng trụ khối đa diện khác ta sử dụng số hướng sau: +Sử dụng trực tiếp công thức biết thể tích khối lăng trụ +Quy tính thể tích khối chóp đặc biệt + Chia nhỏ thành nhiều khối chóp để tính +Bù thêm vào khối đa diện phức tạp để khối đa diện dễ tính thể tích Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' , đáy tam giác cạnh a diện tích tam giác A ' BC 2a Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải 8|Page Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Gọi I trung điểm BC Ta có ∆ABC nên AI = AB a = 2 ABC ) Vì AI hình chiếu A’I mặt phẳng ( , AI ⊥ BC ⇒ A′I ⊥ BC (ĐL ba đường vuông góc) S A′BC = 2S BC A′I ⇒ A′I = A′BC = 4a BC Do tam giác AIA’ vuông A nên VABC A′B′C′ = S ABC AA′ = AA′ = A′I − AI = 61 a a 183 (đvtt) Ví dụ Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = · AA ' C ' C ) a, ACB = 60 , biết BC' hợp với ( góc 300 Tính AC' thể tích khối lăng trụ Lời giải · Ta có ABC tam giác vuông A với AC = a, ACB = 60 ⇒ AB = AC.tan 60o = a AA ' C ' C ) ′ ′ ′ Ta có: AB ⊥ AC ; AB ⊥ AA ⇒ AB ⊥ ( AA C C ) nên AC' hình chiếu BC' ( · AA ' C ' C ) Vậy góc BC’ mặt phẳng ( góc AC ' B = 30 AB ⇒ AC ′ = = 3a tan 30o Trong tam giác vuông AC ' A ' , AA ' = AC '2 − A ' C '2 = 8a = 2a Trong tam giác vuông ABC , tan ·ACB = ⇒ S ABC AB = ⇒ AB = a AC a2 = AB AC = 2 (đvdt) Vậy VABC A ' B ' C ' = AA '.S ABC = a (đvtt) Ví dụ Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh 9|Page a Ñeà cöông toaùn THPT 2016 · BAD = 600 , biết AB' hợp với đáy ABCD A ' B ' C ' D ' Lời giải Vì ∆ABD cạnh a nên ( ABCD ) góc 30 Tính thể tích khối hộp a2 a2 ⇒ S ABCD = S ABD = o ∆ABB′ vuông B ⇒ BB′ = AB tan 30 = a S ABD = VABCD A ' B ' C ' D ' = S ABCD BB′ = 3a (đvtt) Vậy Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải ′ Ta có C H ⊥ ( ABC ) ⇒ CH hình chiếu CC' (ABC) Nên góc CC’ mặt phẳng S ABC = Vậy ( ABC ) 60 ⇒ C ′H = CC ′.sin 600 = 3a a2 V = S ABC C ′ H = 3a 3 Ví dụ Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D có đáy hình chữ nhật với AB = a 3, AD = a Hai mặt bên ( ABB’ A’) ( ADD’ A’) tạo với đáy góc 450 , 600 Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên a Lời giải ABCD ) Gọi H hình chiếu A’ mặt phẳng ( , M,N hình chiếu AD,AB · · ABB’ A’) ADD’ A’) Dễ thấy, góc mặt ( ( đáy ANH = 45 , AMH = 60 · Đặt A’H = x ta có: NH = A ' H cot ANH = x x MH = A ' H cot ·AMH = Vì AMHN hình chữ nhật nên 10 | P a g e 10 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 d) Tìm điểm cố định mà đường tròn qua 2 Bài 7: Cho ( Cm ): x + y + (m + 2) x − (m + 4) y + m + = a) Chứng minh ( Cm ) đường tròn với m b) Tìm quỹ tích tâm m thay đổi c) Tìm đường tròn có bán kính nhỏ d) Tìm điểm cố định mà đường tròn qua Bài 8: Yêu cầu giống Ví dụ với đường tròn sau 2 ( Cm ): x + y − 2(m + 1) x − 2(m + 2) y + 6m + = 2 ( Cm ): x + y − 2(m − 1) x + 4my + m + = 2 ( Cm ): x + y − (m − 2) x + m = 2.2 Dạng 2: Viết phương trình đường tròn Bài 1: Viết phương trình đường tròn (C) biết 1) Qua A(2;4) tâm I(-1;3) 2) Đường kính AB với: A(1;-3); B(3;1) A(1;1); B(7;5)  x = + 4t  y = 3t 3) Tâm I(5;6) tiếp xúc với đường thẳng d  4) Tiếp xúc với d: x-y-2=0 M(1;-1) có bán kính R=3 5) Tiếp xúc với d: 3x-4y-31=0 M(1;-7) có bán kính R=5 ' 6) Tiếp xúc với đường thẳng d: x-y-2=0 M(3;1) tâm I thuộc d : 2x-y-2=0 ' Tiếp xúc với đường thẳng d: x-y-1=0 A(2;1) tâm I thuộc d : x-2y-6=0 7) Qua A(-1;3);B(1;-5) tâm I thuộc trục tung 8) Qua A(3;1);B(-1;3) tâm I thuộc d: 3x-y-2=0 9) Qua A(1;0) tiếp xúc với d1 : x + y − = 0; d : x + y + = 10) Qua A(1;1);B(3;3) tiếp xúc với d: y=5 11) Qua A(1;2);B(3;4) tiếp xúc với d: y=3(1-x) 12) Tiếp xúc với d1 : x − y + = M(0;1), tiếp xúc với d : x + y + = Tiếp xúc với d1 : x − y − = A(1;2), tiếp xúc với d : x + y + 13 = 13) Tiếp xúc với d1 : 3x + y − 35 = 0; d : x − y − 35 = 0; d : x − = 14) Tâm I thuộc d: 3x-5y-8=0; tiếp xúc với Ox,oy Tâm I thuộc d: 2x-y-4=0; tiếp xúc với Ox,oy Tâm I thuộc d: 4x-5y-3=0; tiếp xúc với d1 : x − y − 10 = 0; d : x − y + = Tâm I thuộc d: x-6y-10=0; tiếp xúc với d1 : 3x + y + = 0; d : x − y − = 15) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox B(-1;0) Qua A(3;3) tiếp xúc với d: 2x+y-3=0 B(1;1) 16) Bán kính R=1, tiếp xúc với Ox, tâm I thuộc d: x+y-3=0 67 | P a g e 67 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 17) Tiếp xúc với d1 : 3x − y + = 0; d : x − y + = tâm I thuộc d3 : x = 18) Cho A(2;0); B(6;4) Viết phương trình đường tròn C tiếp xúc với Ox A, khoảng cách từ tâm I đến B 19) Qua điểm A(5;0);B(1;4) tâm I thuộc ∆ : x + y − = Qua điểm A(1;0);B(0;1) tâm I thuộc ∆ : x + y + = Qua điểm A(-1;2);B(3;0) tâm I thuộc ∆ : x + y − = Qua điểm A(0;1);B(2;5) tâm I thuộc ∆ : Ox Qua điểm A(1;2);B(4;1) tâm I thuộc ∆ : x − y − = 20) Qua A(2;-1) tiếp xúc với Ox,Oy Qua A(4;2) tiếp xúc với Ox,Oy 21) Tâm I thuộc đường tròn (C): d1 : x − y = 0; d : x − y = 22) Tâm I thuộc đường d1 : x + y − = 0; d : x − y + = ( x − 2) + y = thẳng tiếp xúc với hai đường thẳng d: x-y-1=0; tiếp xúc với 23) Tâm I thuộc d: 3x+5y-8=0; tiếp xúc với Ox;Oy 24) Tâm I thuộc Ox; tiếp xúc với d1 : x + y + = 0; d : x + y − = 25) Tâm I thuộc d: 2x+y=0 tiếp xúc với d: x-7y+10=0 A(4;2) 26) Qua A(3;2) tiếp xúc với Ox B(-1;0) 2 27) Cho d: 2x-2y+1=0; (C): x + y − x = ; CMR d cắt (C) điểm phân biệt Lập ' phương trình đường tròn (C ) qua giao điểm tiếp xúc với x+y=0 28) Qua A(1;1) tiếp xúc với d1 : x + y − = 0; d : x + y − = Bài 2: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp 1) Qua điểm a) A(-2;0); B( 0;4); C(0;0) b) A(-1;2); B(2;3); C(2;-1) c) A(1;2); B(5;2); C(1;-3) d) A(1;4); B(-4;0); C(-2;-2) d) A(1;1); B(3;-2); C(4;3) d) A(4;1); B(4;-7); C(-5;2) x y = − ; y = x + 2; y = − x 5 2) Ngoại tiếp tam giác ABC có cạnh: 3) A(1;0); B(0;2) Tìm điểm M đối xứng với O qua AB,Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM 4) Tam giác ABC nhọn, A(5;4); B(2;7), AE, BF đường cao Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABEF 5) Đường tròn qua A(3;5) cắt Oy B(0;4); C(0;-2) Bài 3: Đường tròn nội tiếp 1) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác ABC: a) A(0;0); B(8;0); C(0;6) b)A(-1;7); B(4;-3); C(-4;1) 68 | P a g e 68 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 2) d1 : x − y − 12 = 0; d : x + y − 12 = Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác có cạnh thuộc Oy; d1 ; d2 Bài 4: Trục đẳng phương Qua điểm giao điểm đường tròn 2 1) Qua M(-1;-2) giao điểm d: x+7y+10=0 (C): x + y + x − 20 = 2 2) Qua M(1;-2) giao điểm d: x-7y+10=0 (C): x + y − x + y − 20 = 2 2 ' 3) Qua giao điểm (C): x + y − 10 x = (C ): x + y + x − y − 20 = tâm I thuộc d: x+6y-6=0 2 2 ' 4) Qua giao điểm (C): ( x − 3) + ( y − 2) = (C ): ( x − 4) + y = tâm I thuộc d: y=x+2 2 2 ' 5) Cho đường tròn (C): x + y − x + y − = (C ): x + y + x − y − 14 = ' a) Xác định giao điểm (C) (C ) ' b) Viết phương trình đường tròn qua A(0;1) giao điểm (C) (C ) ' c) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với d: x+5=0 giao điểm (C) (C ) 2 6) Qua A(1;1); B(0;2) tiếp xúc với (C): x + y − 10 x − 10 y + 34 = 2 2 ' 7) (C): x + y − x − y + 12 = (C ): x + y − x − y + 12 = Viết phươn trình ' đường tròn qua giao điểm (C) (C ) có bán kính R= 13 2.3 Tiếp tuyến đường tròn 2.3.1 Tiếp tuyến điểm 2 Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x − y − = A(0;-1) 2 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x + y − = A(2;3) 2 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − 25 = A(3;-2) 2 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = giao điểm (C) d: 3x+4y-3=0 2 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 2) + ( y − 1) = điểm có hoành độ 2 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến (C): ( x − 1) + ( y − 1) = điểm có tung độ 2 Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y = giao điểm (C) Ox; Oy 2.3.2 Tiếp tuyến biết hệ số góc 2 Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y + = biết tiếp tuyến // d: 5x+12y-6=0 69 | P a g e 69 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C): y=0 ( x − 1) + ( y − 2) = biết tiếp tuyến // d: 2x- 2 Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − = biết tiếp tuyến // d: 3x4y+1=0 2 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x + y = biết tiếp tuyến ⊥ d: 3x- y+6=0 2 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y + x − y − 20 = biết tiếp tuyến ⊥ d: x+y=0 2 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y = tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 2 Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y + = biết tiếp tuyến tạo với d: x+y+3=0 góc 45 2.3.3 Tiếp tuyến qua điểm Bài 1: 2 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − 12 = biết tiếp tuyến qua A(-2;1) 2 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = biết tiếp tuyến qua O(0;0) 2 c) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y = biết tiếp tuyến qua A(3;-2) 2 d) Viết phương trình tiếp tuyến (C): x + y − x − y − = biết tiếp tuyến qua A(-4;- 6) 2 Bài 2: A(2;-1);(C): ( x + 1) + ( y − 2) = CMR vẽ tiếp tuyến đến (C) Viết phương trình tiếp tuyến 2 Bài 3: A(3;5);(C): x + y + x − y − = tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) tiếp điểm M, N Viết phương trình đường thẳng qua MN 2 Bài 4: M(-3;1); );(C): x + y − x − y + = Viết phương trình qua tiếp điểm tiếp tuyến qua M 2 Bài 5: A(2;5); );(C): x + y + x − y − = a) Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) b) Gọi tiếp điểm I, J Tính độ dài đoạn IJ x2 + y − x + y + = Bài 6: A(2;1) ; );(C): Gọi tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ A đến (C) I, J Viết phương trình qua I, J Bài 7: Yêu cầu giống Ví dụ với 2 a) A(0;-1) ; (C): x + y + x − y − = 2 b) A(0;0) ; (C): x + y + 12 x − y + 44 = 70 | P a g e 70 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Bài 8: A(8;-1);(C): x + y − x − y + = Tính IJ, S AIJ với I, J tiếp điểm tiếp tuyến qua A đến (C) Bài 9: Yêu cầu giống Ví dụ với 2 a)A(4;0);(C): x + y − x − y − = 2 2 b)A(-2;2);(C): x + y − x − y − = 2 c)A(1;0);(C): x + y − x − y + = 2 Bài 10: A(5;4);(C): x + y + 2my = Tìm m để độ dài tiếp điểm 2 Bài 11: (C): x + y − x − y + = ; d: x-y-1=0 Tìm m thuộc d kẻ tiếp tuyến, CMR pt qua tiếp điểm I, J qua điểm cố định 2 Bài 12: (C): ( x + 2) + ( y − 1) = Tìm quỹ tích điểm qua kẻ tiếp tuyến vuông góc Bài 13: I(-2;1); d: 3x-4y=0 a) Viết phương trình đường tròn (C) tâm I tiếp xúc với d b) Tìm quỹ tích điểm mà vẽ tiếp tuyến vuông góc tới (C) 2 Bài 14: Cho d: x-y+1=0; (C): x + y + x − y = Xác định M thuộc d để từ kẻ tiếp tuyến đến (C) tiếp tuyến tạo với góc 60 2 Bài 15: Cho (C): x + y − x + = Tìm M thuộc Oy cho tiếp tuyến từ M tới C tạo với góc 60 ĐS: M(0; ± ) 2 Bài 16: (C): x + y − x − y − = ; d: x+y+1=0 Tìm M thuộc d cho từ M kẻ tiếp tuyến vuông góc tới (C) 2 Bài 17: (C): x + y = ; d: y=m; Tìm m để d có điểm kẻ tiếp tuyến tạo góc 45 2 Bài 18: Cho đường tròn (C): ( x − 1) + ( y + 2) = d: 3x-4y+m=0 a) Tìm quỹ tích điểm P cho tam giác PAB tron PA, PB tiếp tuyến b) Tìm m để tồn P thuộc d kẻ tiếp tuyến PA, PB cho tam giác PAB 2.3.4 Phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn 2 2 ' Bài 1: (C): x + y − x − y − = (C ): x + y − x + y + 11 = 2 2 ' Bài 2: (C): x + y = (C ): x + y − y − = 2 2 ' Bài 3: (C): x + y + x + = (C ): x + y − x + 12 = 2 2 ' Bài 4: (C): x + y − x = (C ): x + y − x + 12 = 2 2 ' Bài 5: (C): x + y − x + y − = (C ): x + y − x − y + = 71 | P a g e 71 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 2 ' Bài 6: (C): x + y − x + = (C ): x + y − 12 x − y + 44 = 2 2 ' Bài 7: (C): x + y − x + y − = (C ): x + y + x − y − 56 = 2 2.4 Dạng 4: Vị trí tương đối hai đường Bài 1: Xét vị trí tương đối đường tròn: 2 2 ' a) (C): x + y − x − y = (C ): x + y − 32 x − 24 y + 300 = 2 2 ' b) (C): x + y = 16 (C ): x + ( y − 3) = 2 2 ' c) (C): x + y = (C ): ( x − 1) + ( y − 2) = 2 Bài 2: (C): x + y − x − y + = ; d: x-y+3=0 Tìm M thuộc d để đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi đường tròn (C) tiếp xúc với (C) 2.5 Dạng 5: Cát tuyến, độ dài dây cung 2 Bài 1: (C): x + y − x − y + = ; M(2;4) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (C) A, B cho M trung điểm AB 2 Bài 2:Lập phương trình đường thẳng qua O(0;0) cắt (C): ( x − 1) + ( y − 3) = 25 thành dây cung có độ dài 2 Bài 3: (C ) : x + y + x − y = Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với ∆ : 3x − y + 10 = cắt (C ) điểm A, B thỏa mãn AB=6 2 Bài 4: (C ) : x + y + x − y = Viết phương trình đường thẳng d // ∆ : x − y + 10 = cắt (C ) điểm A, B thỏa mãn AB=2 2 Bài 5: K(0;2); (C ) : x + y − x − y − = đường thẳng d qua K cắt (C ) M, N Viết phương trình đường thẳng d trường hợp MN ngắn 2 Bài 6: A(1;2); (C ) : x + y = Lập phương trình đường thẳng qua A cắt (C ) theo dây cung ngắn 2 Bài 7: (C ) : x + y − x − y + 11 = a) Tìm M thuộc (C ) để khoảng cách từ M đến A đạt GTNN, GTLN với *) A(3;2) *) A(0;1) b) Tìm M thuộc (C ) để khoảng cách từ M đến d đạt GTNN, GTLN với *) d: x-y-2=0 *) d: x+y-7=0 *) d : y-1=0 2 Bài : (C ) : ( x − 3) + ( y − 2) = Tìm E thuộc (C ) để tam giác OEF vuông E với O gốc tọa độ, F(4 ;-2) 2 Bài : d : x+y-2=0 ; (C ) : x + y − x − y + = a) Tìm tọa độ giao điểm d (C ) b) Tìm C thuộc (C ) để 72 | P a g e 72 *) S ABC = ∆ABC vuông Ñeà cöông toaùn THPT 2016 *) S ABC đạt GTLN *) ∆ABC cân *) ∆ABC có chu vi lớn *) Bài 10 : d1 : x + y − = 0; d : x − y − = Viết phương trình đường tròn (C ) qua M(1 ;-1), tâm I thuộc d1 cắt d điểm A, B cho AB= 2 Bài 11 : (C ) : x + y − x − y = Viết phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C ) M cắt trục tọa độ A, B cho M trung điểm AB 2 Bài 12 : (C ) : x + y = ; d : x+y+m=0 Tìm m để d cắt (C ) điểm A, B cho SOAB đạt GTLN ĐS : m= ±1 BÀI ĐỌC THÊM Sủ dụng phép biến hình toán tọa độ hình học phẳng 3.1 Kiến thức liên quan Tr 3.1.1 Phép tịnh tiến v r Tvr v = ( a; b ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo Vectơ biến điểm M(x;y) thành điểm M’(x+a;y+b) 3.1.2 Phép đối xứng tâm Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng tâm I(a;b) biến điểm M(x;y) thành điểm M’(2a-x;2b-y) 3.1.3 Phép đối xứng trục Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép đối xứng trục ∆ biến điểm M(x;y) thành điểm M’sao cho ∆ đường trung trực MM’ +) Nếu ∆ trục Ox M’(x;-y) +) Nếu ∆ trục Oy M’(-x;y) +) Nếu ∆ đường phân giác góc phần tư thứ I thứ III M’(y;x) +) Nếu ∆ đường phân giác góc phần tư thứ II thứ IV M’(-y;-x) M x ;y +) Nếu ∆ đường thẳng ax+by+c=0, đặt c0 =ax + by0 với ( 0 ) tọa độ  2a ( c + c0 )  xM ' = x0 − a + b2   y = y − 2b ( c + c0 )  M a2 + b2 M’ là:  3.1.4 Phép quay Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép quay tâm I(a;b) góc quay ϕ biến điểm M thành điểm M’(x’;y’) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay 90 M’(-y;x) +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay - 90 M’(y;-x) 73 | P a g e 73 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 +) Nếu tâm quay gốc tọa độ góc quay ϕ tọa độ M’ thỏa mãn:  x ' = x cos ϕ − y sin ϕ   y ' = x sin ϕ + y cos ϕ 3.1.5 Phép vị tự Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép vị tự tâm I(a;b), tỉ số k biến điểm M(x;y) thành uuuu r uuur M’(x’;y’) thỏa mãn: IM ' = k IM  x ' = a + k ( x − a )   y' = b + k ( y − a ) Tọa độ M’ thỏa mãn 3.2 Các ví dụ minh họa x − 1) + ( y + 3) = Ví dụ 1: Cho đường tròn (T): ( hai điểm A(-1;1); B(2;-2) Tìm tọa độ điểm C; D đường tròn (T) cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải Cách 1: Đường tròn (T) có tâm I(1;-3) bán kính R=3 uuu r r AB = ( 3; −3) = ( 1; −1) ⇒ n = ( 1;1) Phương trình CD có VTCP VTPT ⇒ CD : x + y + m = 2 Tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ AB = CD = ⇒ d ( I ; CD ) = IH = R − Mà d ( I ; CD ) = 1− + m CD 18 = 9− = 4 = m−2 = m = ⇔  m = −1 +)m=5 ⇒ CD : x + y + =  x + y + =  2 x − 1) + ( y + 3) = (   Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình:  x = ⇒ y = −6 2 ⇒ y = − x − ⇒ ( x − 1) + ( − x − ) = ⇔ x + x − = ⇔   x = −2 ⇒ y = −3 C(1;-6); D(-2;-3) +)m=-1 ⇒ CD : x + y − =  x + y − =  2 x − 1) + ( y + 3) = (   Tọa độ C, D thỏa mãn hệ phương trình: x = 1⇒ y = 2 ⇒ y = − x ⇒ ( x − 1) + ( − x ) = ⇔ x − 10 x + = ⇔   x = ⇒ y = −3 C(1;0); D(4;-3) Cách 2: Sử dụng tịnh tiến: 74 | P a g e 74 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 uuu r Tuuur : D → C Ta có AB = (3; −3) Phép AB (I) → (I')  xI ' = + = ⇒ ⇒ I '(4; −6); R' = R =  yI ' = −3 − = −6 Phương trình đường tròn (T’): ( x − 4) + ( y + 6) = 2 ( x − ) + ( y + ) = ( x − ) + ( y + ) C = (T) ∩ (T') ⇒  ⇔ 2 x − + y + = ( ) ( )  x = y +  2 Tọa độ  x =  =   y = −3 ⇒  x =    y = −6 uuu r uuur ⇒ AB = DC ⇒ D ( 1;0 ) +) C(4;-3) uuu r uuur ⇒ AB = DC ⇒ D ( −2; −3) +) C(1;-6) Vậy cặp điểm C(4;-3); D(1;0) C(1;-6); D(-2;-3) Ví dụ 2: Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết tâm I(1;1), điểm J(-2;2) thuộc đường thẳng AB điểm K(2;-2) thuộc đường thẳng CD Lời giải Vì I(1;1) tâm đối xứng hình vuông Đ I : J → J ' ⇒ J'(2.1 + 2;2.1 − 2) ⇒ J'(4;0) ∈ CD ⇒ CD : qua K(2;-2) có VTCP uuuur −1 − J ' K = ( −2; −2 ) = −2 ( 1;1) ⇒ CD : x − y − = ⇒ d ( I ; CD ) = =2 2 ⇒ IC = 2 = uur 2 ⊕ Mà C(t;t-4) ⇒ IC = ( t − 1; t − ) ⇒ ( t − 1) + ( t − ) = 16 ⇔ 2t − 12t + 10 = t = ⇔ t = t = ⇒ C ( 1; −3) ⇒ A ( 1;5 ) a = D ∈ CD ⇒ D ( a; a − ) ⇒  a = Do ⇒ Vai trò A, B  A ( 1;5 ) ⇒ B ( −3;1)  ⊕ với C ( 1; −3) ⇒ D ( 5;1) ngược lại Ví dụ 3: (Trích đề thi khối A năm 2009) Cho hình chữ nhật ABCD có điểm I(6;2) giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm M(1;5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E cạnh CD thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Viết phương trình đường thẳng AB 75 | P a g e 75 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Lời giải Do điểm I(6;2) tâm đối xứng hình chữ nhật Xét phép đối xứng: Đ I : M → M ' ⇒ M '(2.6 − 1;2.2 − 5) ⇒ M '(11; −1) ∈ CD uur uuuur E ∈ ∆ ⇒ E ( t ;5 − t ) ⇒ IE = ( t − 6;3 − t ) ; M 'E = ( t − 11;6 − t ) Mà uur uuuuur M ' E ⊥ IE ⇒ IE.M ' E = Vì t = ⇒ ( t − ) ( t − 11) + ( − t ) ( − t ) = ⇔ ( t − ) ( 2t − 17 ) = ⇔  17 t =  1  I  ;2÷ Ví dụ 4: Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành ABCD biết tâm   điểm M(1;2); N(5;2); P(1;1); Q(4;-2) nằm đường thẳng AB, BC, CD, DA Lời giải Vì tứ giác ABCD hình bình hành, I tâm đối xứng nên Đ I : M → M ' ⇒ M '(2; 2) ∈ CD Do CD ≡ M ' P ⇒ CD : x − y = Vì AB//CD ⇒ AB : x − y + = Xét Đ I : N → N ' ⇒ N '(−4; 2) ∈ A D ⇒ AD ≡ QN' : x + y = Mặt khác: BC//AD ⇒ BC : x + y − = Từ phương trình cạnh hình bình hành ABCD ta xác định tọa độ đỉnh A(1;4); B(3;3); C(0;0); D(-2;1)  1 M  0; ÷   thuộc đường thẳng Ví dụ 5: Cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) AC=2BD Điểm B, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ điểm B, biết hoành độ điểm B dương Lời giải Vì I tâm đối xứng hình thoi Đ I : N → N ' ⇒ N '(4 − 0; − 7) ⇒ N' ( 4; −5 ) ∈ AB ⇒ AB ≡ M N' : x + y− = 4.2 + 3.1 − = = IH Theo đề AC=2BD ⇒ IA = IB ⇒ d ( I ; AB ) = 1 1 1 = 2+ ⇔ = + ⇔ IB = 2 IA IB 4 IB IB Mà tam giác vuông ABI có IH 2  − 4b   4b +  B ∈ AB ⇒ B  b; ÷, b > ⇒ IB = ( b − ) +  ÷ = ⇒ b = ⇒ B ( 1; −1) 3     Do 76 | P a g e 76 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Nhận xét: Các hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông giả thiết cho biết tọa độ giao điểm hai đường chéo biết tọa độ tâm đối xứng nên ta sử dụng phép đối xứng tâm Ví dụ 6: (Trích đề thi khối B năm 2008) Xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H(-1;-1), đường phân giác góc A có phương trình: x-y+2=0 đường cao qua B là: 4x+3y-1=0 Lời giải Xét phép đối xứng trục AD: Đ AD : H → H ' Kẻ HK vuông góc với đường phân giác góc A cắt phân giác góc A I, K thuộc BC ⇒ ∆AKH cân A HK có phương trình: x + y + m = ⇒ −1 − + m = ⇔ m = x + y + =  x = −2 I : ⇔ ⇒ I ( −2;0 ) ⇒ K ( −3;1) x− y+2=0 y=0   Toạ độ Gọi BE ⊥ AC ; E ∈ AC ; AK ⊥ BE ⇒ phương trình AK có dạng: x − y + n = ⇒ −3.3 − 4.1 + n = ⇒ n = 13 ⇒ AK : x − y + 13 = ⇒ toạ độ đỉnh A là: uuur 3 x + y + 13 = x = ⇔ ⇒ A ( 5;7 ) ⇒ AH = ( −6; −8 ) = −2 ( 3; )  x − y + = y = −3t − 13   −3t − 17   3t + 13  uuur  C ∈ AK ⇒ C  t ; − 1÷ =  −1 − t ; ÷ ⇒ CH =  −1 − t ; ÷  4      uuur uuur 10  10  AH CH ⇔ ( + t ) + 3t + 17 = ⇔ t = − ⇒ C  − ; ÷  4 A 2;2 ) Ví dụ 7: (Trích đề thi khối B năm 2007) Cho ( đường thẳng ∆1 : x + y − = 0; ∆ : x + y − = Tìm toạ độ B C thuộc ∆1; ∆ cho ∆ABC vuông cân A Lời giải: B ∈ ∆1 ⇒ B ( b; − b ) Cách 1: C ∈ ∆ ⇒ C ( c;8 − c ) uuu r uuur ⇒ AB = ( b − 2; −b ) ; AC = ( c − 2;6 − c ) uuu r uuur  AB AC = ( b − ) ( c − ) + ( − c ) ( −b ) = ⇔ ⇔  2 ( ) 2 AB = AC b − + b = c − + − c ) ( ) ( )  ( ∆ABC vuông cân A Giải hệ phương trình khó! học sinh uuu r AB = ( b − 2; −b ) Cách 2: Ta có Điều kiện cần đủ để ∆ABC vuông cân A 77 | P a g e 77 Ñeà cöông toaùn THPT 2016  uuur  AC = ( b; b − )  uuur  AC = ( −b;2 − b ) uuur  xC − = b  xC = b + AC = ( b; b − ) ⇒  ⇔ ⇒ C ( b + 2; b ) ∈ ∆  yC − = b −  yC = b ⇒ b + + b − = ⇒ b = ⇒ B ( 3; −1) ; C ( 5;3) uuur  xC = − b AC = ( −b;2 − b ) ⇒  ⇒ C ( − b; − b ) ∈ ∆ yC = − b   ⇒ − b + − b − = ⇒ b = −1 ⇒ B ( −1;3) ; C ( 3;5 ) uuu r r Lưu ý Với phép quay ta có kết quan trọng sau: Cho ∆ABC với AB ≠ uuur AC = ( y0 ; − x0 ) ∆ ABC b) Điều kiện cần đủ để vuông cân A uuur AC = ( − y0 ; x0 )  uuur  x0 3x0 y0  y0 ; + ÷  AC =  − 2 2÷     uuur  AC =  x0 + y ; − x0 + y0   ÷  2 2÷    ∆ ABC c) Điều kiện cần đủ để Chứng minh: Suy trực tiếp từ công thức:  x′ = x cos α − y sin α   y′ = x sin α + y cos α A 2; ) Ví dụ Cho ( Tìm điểm B thuộc đường thẳng d : y = điểm C thuộc trục 0x cho ∆ABC Lời giải: uuu r B ∈ y = ⇒ B ( b;3) ⇒ AB = ( b − 1;2 ) Cách 1: Do uuur uuur C ∈ x ⇒ C ( c;0 ) ⇒ AC = ( c − 1; −1) ; BC = ( c − b; −3) 2  AB = AC ( b − 1) + = ( c − 1) + ⇔ ⇔  2 AB = BC   ( b − 1) + = ( c − b ) + ∆ABC Giải hệ phương trình khó! học sinh 78 | P a g e 78 ( 1) uuu rÑeà cöông toaùn THPT 2016 B b;3) AB = ( b − 1;2 ) Cách 2: Gọi ( Ta có Mà ∆ABC ⇔  uuur  b −  ( b − 1) − 3; + 1÷  AC =   ÷      ( b − 1)  uuur  b − AC = + 3; − +  ÷   ÷     b +1   b +1  ( b − 1) ( b − 1) ⇒ C − 3; + 2÷ C + 3; − + 2÷  ÷  ÷ 2      b +1  ( b − 1) ( b − 1) −4 C − 3; + ÷∈ x ⇒ +2=0⇔b= +1  ÷ 2   Với    −4   ⇒ B + 1;3 ÷; C 1 − ;0 ÷      b +1  ( b − 1) ( b − 1) C + 3; − + ÷∈ x ⇒ − +2=0⇔b= +1  ÷ 2   Với      ⇒ B + 1;3 ÷; C 1 + ;0 ÷     C : x2 + y − 2x + y − = Ví dụ 9: (Trích đề thi khối D năm 2011) Cho đường tròn ( ) điểm A ( 1;0 ) C Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt ( ) điểm M ; N cho ∆AMN vuông cân A Lời giải: Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo C I 1; −2 ) Đường tròn ( ) có tâm ( , bán kính 10 Ta có: IM = IN AM = AN ⇒ AI ⊥ MN ⇒ phương trình ∆ có dạng: y = m Hoành độ M ; N nghiệm phương trình: x − x + m + 4m − = ( 1) ( 1) x ; x ⇔ m + m − < ( *) có nghiệm Khi ta M ( x1; m ) ; N ( x2 ; m ) uuuu r uuur AM ⊥ AN ⇔ AM AN = ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) + m = ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + m + = m = ⇒ 2m + 4m − = ⇔  ( t / m *) 1) ( m = −  áp dụng định lí viét 79 | P a g e 79 có: Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Vậy phương trình ∆ y = y = −3 AM;AN ) = 900 Cách 2: Do vai trò M; N nên ta giả sử góc lượng giác: ( M x ; y ∈ C ⇒ x 02 + y 02 − 2x + 4y − = ( 1) Gọi ( 0 ) ( ) uuuu r uuur AM = ( x − 1; y0 ) ⇒ AN = ( − y0 ; x − 1) ⇒ N ( − y ; x − 1) Ta có: N ∈ ( C ) ⇒ ( − y ) + ( x − 1) − ( − y ) + ( x − 1) − = ⇔ x 02 + y 02 + 2x − = mà x =    y0 = ⇔   x = −2  x 02 + y 02 − 2x + 4y − =  x − y0 − =  ⇔  2   y = −3 x + y + 2x − =  x + y0 + 2x − = Ta có hệ phương trình:  2 x = ⇒ M ( 2;1) ; N ( 0;1) ⇒ ∆ : y =  y0 =   Nếu  Nếu  x = −2 ⇒ M ( −2; −3 ) ; N ( 4; −3 ) ⇒ ∆ : y = −3   y = −3  KL: ∆ : y = y = −3 C : x − 1) Ví dụ 10: (Trích đề thi khối D năm 2009) Cho ( ) ( · M ∈ ( C) độ điểm cho IM0 = 30 + y2 = Gọi I tâm, xác định toạ Lời giải: Cách 1: Đáp án giáo dục đào tạo M ( a;b ) ∈ ( C ) ⇒ ( a − 1) + b = 1; ∈ ( C ) ⇒ I0 = IM = Gọi · ∆IM0 có 0IM = 1200 ⇒ 0M = I02 + IM − 2I0.IM.cos1200 ⇔ a + b = 3  a= ( a − 1) + b =  ⇔  3 3 b = ± M =  ;± a + b = ÷ 2     M Toạ độ nghiệm hệ: Vậy C I 1;0 Cách 2: Đường tròn ( ) có tâm ( ) , bán kính R = 0 · · ∈ ( C ) ∆ 0MI Dễ thấy cân I nên IM = 30 ⇔ MI0 = 120 80 | P a g e 80 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 uuu r 1 3 3 3 IM = ( − cos1200 ; − sin1200 ) =  ; − ÷⇒ M  ; − ÷ 2  2    Do nên uuu r 1 3 3 3 IM = − cos ( −1200 ) ; − sin ( −1200 ) =  ; ÷⇒ M  ; ÷ 2  2    Hoặc 3 3 3 3 M ;− M ; ÷ ÷ 2  2     KL: Ví dụ 11: (Trích đề thi khối A năm 2005) Cho hai đường thẳng d1 : x − y = 0; d : 2x + y − = uu r I0 = ( −1;0 ) ( ) Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD , biết A;C thuộc d1;d B;D thuộc Ox Lời giải: Cách 1: Đáp án Bộ giáo dục đào tạo A ∈ d1 ⇒ A ( t; t ) Vì B; D ∈ 0x ⇒ C ( t; − t ) Vì A C đối xứng qua BD C ∈ d ⇒ 2t − t − = ⇒ t = ⇒ A ( 1;1) ;C ( 1; −1) Vì IB = IA =  I ( 1;0 ) AC I Trung điểm Vì tâm hình vuông nên ID = IA =  b − = b = 0;b =  B ( b;0 )  B ∈ 0x ⇔ ⇒ ⇔ ⇒ B ( 0;0 ) ;D ( 2;0 )    d = 0;d = D d;0 d − = ( ) B 2;0 ) ; D ( 0;0 )  D ∈ 0x    ( Vậy bốn đỉnh hình vuông A ( 1;1) ; B ( 0;0 ) ;C ( 1; −1) ; D ( 2;0 ) A 1;1 ; B 2;0 ) ;C ( 1; −1) ; D ( 0;0 ) ( ) ( uuur  AD = ( a;b − a ) uuur A ( a;a ) ; B ( b;0 ) ⇒ AB = ( b − a; −a ) ⇒  uuur  AD = ( −a; −b + a ) Cách 2: uuur AD = ( a;b − a ) ⇒ D ( 2a;b ) ∈ 0x ⇒ b = 0; D ( 2a;0 ) +) ⇒ B ( 0;0 ) ;D ( 2a;0 ) ⇒ I ( a;0 ) ⇒ C ( a; −a ) ∈ d ⇒ 2a − a − = ⇔ a = ⇒ A ( 1;1) ; D ( 2;0 ) ;C ( 1; −1) 81 | P a g e 81 [...]... ⇔ 5( A2 + B 2 ) = 2( A + 2 B)2 ⇔ 3 A2 − 8 AB − 3B 2 = 0 ⇔ ( A − 3B ) (3 A + B ) = 0  A = 3B ⇔ 3 A = − B *) A=3B: chọn A =3 ⇒ B=1 ⇒ ∆ : 3( x − 0) + 1( y − 1) = 0 ⇔ 3 x + y − 1 = 0 *) 3A=-B: chọn A=1 ⇒ B= -3 ⇒ ∆ :1( x − 0) − 3( y − 1) = 0 ⇔ x − 3 y + 3 = 0 3 x + y − 1 = 0 x − 3y + 3 = 0 Vậy có 2 đường thẳng:  Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng d1 : 2 x − y + 5 = 0 ; d 2 : 3 x + 6 y − 1 = 0 Lập phương trình... thêm khối đa diện Ví dụ 2 Xem lại đề bài ở Ví dụ 9 ở phần 2.1.b Lời giải Gọi I = AA '∩ DM dễ dàng chứng minh được A’ là trung điểm của AI nên 1 1 a 2 3 a3 VI ABD = IA.S ABD = 3a = 3 3 4 4 (đvtt) 1 VA A ' MN = VI A ' MN = AA '.S A ' MN 3 1 a 3 1 1 3a 2 a 3 = = 3 2 2 4 4 32 (đvtt) VA.BDMN = VI ABD − VA A ' MN − VI A ' MN = 3a 3 16 (đvtt) Ví dụ 3. (Đề TSĐH khối D năm 2009) Cho hình lăng trụ đứng... ) với A + B ≠ 0 34 | P a g e 34 0 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Cos450 = 7 A − B A2 + B 2 49 + 1 ⇔ 1 = 2 7A − B A2 + B 2 50 ⇔ ( 7 A − B ) = 25 ( A2 + B 2 ) ⇔ 12 A2 − 7 AB − 12 B 2 = 0 2 ⇔ ( 3 A − 4 B ) ( 4 A + 3B ) = 0 3 A = 4 B ⇔  4 A = −3B *) 3A=4B, chọn A=4 thì B =3 ⇒ ∆ : 4( x + 4) + 3 ( y − 5 ) = 0 ⇔ 4 x + 3 y + 1 = 0 *) 4A=-3B, chọn A =3 thì B=-4 Chọn AB: 4 x + 3 y + 1 = 0 ⇒ ∆ : 3 ( x + 4 ) − 4...Ñeà cöông toaùn THPT 2016 AH 2 = AM 2 + AN 2 = x 2 + 2 x 4x2 = 3 3 4x2 7 x2 3 AA ' = AH + A ' H ⇒ a = x + = ⇒x=a 3 3 7 mà 2 2 2 2 2 VABCD A ' B ' C ' D = S ABCD A ' H = a 3. a 7.a Vậy Ví dụ 7 3 = 3a 3 7 (đvtt) CK = 2 a 3 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng a, K ∈ CC ′ sao cho Mặt phẳng (α) qua A,K và song song với BD chia khối lập phương trình hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần đó Lời... cho AA ' = 3 A ' M , BC = 3BN , CD = 3DP mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai phần tính thể tích từng phần 2 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 2.1 Các bài toán về chứng minh tính vuông góc 2.1.1 Kiến thức cơ bản cần biết a Tiêu chuẩn vuông góc + Đường thẳng (d) vuông góc mặt phẳng (P) khi (d) vuông góc với hai đường thẳng giao nhau của (P) d a b P + Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với... VS ABCD = 2 3 a 3 Đáp số: Bài 2 (Đề thi TN THPT 2009) Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh 0 a, cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và góc A của tam giác ABC bằng 120 Tính thể tích của khối chóp S ABC theo a Đáp số: VS ABC = 2 3 a 36 Bài 3 (Trích đề thi ĐH khối D – 2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt... Biết o · B = 2a 3 và SBC = 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC 3 Đáp số: V = 2 3a Bài 4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B AB = SD = 3a, AD = SB = 4a, a > 0 Đường chéo AC ⊥ (SBD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD Đáp số: 13 | P a g e V= 13 15 3 a 2 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Bài 5 (Trích đề thi tuyển sinh ĐH khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và... ⇔ 3 x − 4 y + 32 = 0 AD: 3 x − 4 y + 32 = 0 B = AB ∩ BD ⇒ B ( −1;1) 1 9 − ; D = AD ∩ BD ⇒ D ( 0;8 ) ⇒ 2 2) Tâm I(   1 x = 2 C  − ÷− ( −4 ) = 3   2 ⇒ C ( 3; 4 )   y = 2 9 − 5 = 4  C 2 I là trung điểm của AC nên:  qua C (3; 4) qua C (3; 4) r ⇒ CD :   / / AB VTPT n = (4 ;3)    CD: 4 x − 3) + 3 ( y − 4 ) = 0 ⇔ 4 x + 3 y − 24 = 0 CD: ( BC: 3x-4y+7=0 Vậy phương trình các cạnh: 4x+3y+1=0 3x-4y +32 =0... = AA '.S A ' MN = sin 60 = 3 3 2 2 4 32 (đvtt) A ' C ' ⊥ ( BDD ' B ') ⇒ MH ⊥ ( BDD ' B ') Gọi O ' = A ' C '∩ B ' D ' , kẻ MH / / A ' C ' Dễ thấy 3a 3 1 1 1 a 3 a 3 a3 ⇒ VA BDMN = VM BDD ' B ' = MH S BDD ' B ' = a = 3 3 2 2 2 8 (đvtt) 16 (đvtt) Bài tập tự luyện Bài 1 (Đề TN -THPT PB 2007 Lần 2) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC Tính... BDE = d ( C , ( SAB ) ) S BDE 3 3 3 2 1 2 = d ( C , ( SAB ) ) S SBD 3 3 3 2 1 2 1 4 = d ( C , ( SAB ) ) S SAB = VSABC 3 3 3 3 27 2 2 1 2 1 2 4 VABDF = VF ABD = VC ABD = d ( C , ( SAB ) ) S ABD = d ( C , ( SAB ) ) S SAB = VSABC 3 3 3 3 3 3 9 20 ⇒ VABDEFG = VA.DFG + VB DEF + VABDF = VSABC 27 20 Do đó, tỉ số thể tích của hai phần là: 7 b Sử dụng tỉ số thể tích Cho hình chóp S.ABC có A ' ∈ SA, ... M ∈ BM ⇔ − + = ⇔ 3c + − 60 + 18 = ⇔ 3c = 33 ⇔ c = 11 2 C(11;6);B (3. 5 -3 -1 1 ;3. 6-9 -6 ) ⇒ B(1 ;3) 45 | P a g e 45 Ñeà cöông toaùn THPT 2016 Ví dụ Cho tam giác A(4 ;3) , đường cao BH:3x-y+11=0, đường trung... A (-1 ;2); B(5;7); C(4 ; -3 ) y= x (C) Chứng minh trực tâm 2) Cho tam giác ABC có đỉnh thuộc đồ thị hàm số H thuộc (C) 3) Cho tam giác ABC phương trình cạnh AB: x+y -3 = 0; BC: 3x-y -3 = 0; CA: 3x-2y-6=0... ABC nên C (3. 6-1 -3 ; 3. (-1 )-4 -5 ) ⇒ C(14 ;-1 2) AC: 16 x + 13 y − 68 = ; BC: 17 x + 11y − 106 = Ví dụ Cho tam giác ABC, trọng tâm G, đỉnh A (3; 9), hai đường trung tuyến BM:3x4y+9=0; CN: y-6=0 Viết phương