Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học toán phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Hải CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CHÚNG TRONG DẠY HỌC TOÁN PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS.LÊ THÁI BẢO THIÊN TRUNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2009 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin chân thành biết ơn TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho kiến thức Didactic toán, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent đóng góp ý kiến định hướng cho đề tài Xin cảm ơn anh chị khóa quan tâm, giúp đỡ Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đặc biệt vợ tôi, người động viên trình thực luận văn Tác giả Đặng Minh Hải DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT HS : Học sinh GV : Giáo viên GKNC10 : Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao hành GKNC11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 nâng cao hành GKNC12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao hành GKCB10 : Sách giáo khoa Đại số 10 hành GKCB11 : Sách giáo khoa Đại số Giải tích 11 hành GKCB12 : Sách giáo khoa Giải tích 12 hành GVNC10 : Sách giáo viên Đại số 10 nâng cao hành GVNC11 : Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 nâng cao hành GVNC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao hành GVCB10 : Sách giáo viên Đại số 10 hành GVCB11 : Sách giáo viên Đại số Giải tích 11 hành GVCB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 hành SGK : Sách giáo khoa SGV : Sách giáo viên MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Trong chương trình toán trường phổ thông, tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi hàm số huy động để giải kiểu nhiệm vụ quan trọng: khảo sát hàm số (lớp 12) Liên quan đến kiểu nhiệm vụ này, chương trình chủ yếu nghiên cứu loại hàm số sau: hàm bậc y=ax+b, hàm bậc hai y=ax2+bx+c, hàm đa thức bậc y=ax3+bx2+cx+d, hàm đa thức bậc bốn trùng phương y=ax4+bx2+c, hàm phân thức y  ax  bx  c ax  b (c≠0, ad-bc≠0), hàm phân thức y  (a≠0, a' x  b' cx  d a’≠0)1 Có thể thấy rõ đặc trưng chung hàm số đồng thời liên tục khả vi khoảng đơn điệu Với tư cách đối tượng2, khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi nghiên cứu lớp 10, 11 Điều khiến tự hỏi rằng: mối liên hệ ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, đạo hàm thể nào? Có chênh lệch so với mối liên hệ chúng cấp độ tri thức khoa học? Khi học giải tích bậc đại học, giảng viên nhấn mạnh mối liên hệ liên tụckhả vi, đặc biệt tính chất “một hàm số liên tục điểm không khả vi điểm đó” Các minh họa đồ thị theo sau chứng minh chặt chẽ phản ví dụ giúp hiểu rõ vấn đề, đặc biệt nhờ trực giác hình học, dễ dàng xây dựng phản ví dụ kiểu Như vậy, đồ thị công cụ hữu hiệu việc minh họa trực quan mối liên hệ liên tục-khả vi Ở phổ thông, điều có tính đến không ? Rộng hơn, đồ thị có tính đến công cụ cho phép làm rõ mối liên hệ ba đối tượng: đơn điệu, liên tục, khả vi hàm số không ? Từ vấn đề trên, thấy việc nghiên cứu “Các tính chất hàm số mối liên hệ chúng dạy học Toán phổ thông” cần thiết Phạm vi lý thuyết tham chiếu Nhằm tìm kiếm câu trả lời cho câu hỏi trên, đặt nghiên cứu phạm vi lý thuyết didactic toán, cụ thể lý thuyết nhân chủng học với khái niệm : Chuyển đổi didactic, tổ chức toán học, mối quan hệ thể chế mối quan hệ cá nhân với đối tượng tri thức Đây công cụ hữu hiệu làm rõ mối quan hệ thể chế với mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số Bên cạnh đó, lý thuyết tình với khái niệm: tình dạy học, biến didactic, môi trường sử dụng nhằm xây dựng tình thực nghiệm Ngoài ra, khái niệm hợp đồng didactic sử dụng nhằm mặt làm rõ mối quan hệ thể chế, mặt khác khái Chỉ đề cập SGK nâng cao Theo Lê Văn Tiến (2005): “Trong phạm vi toán học trường phổ thông, ta hiểu khái niệm hoạt động dạng Đối tượng đối tượng nghiên cứu (được nghiên cứu, khai thác tính chất,…)” [19, tr.56] niệm giúp giải thích ứng xử học sinh liên quan đến mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số Trong phạm vi lý thuyết lựa chọn, từ câu hỏi ban đầu, phát biểu câu hỏi nghiên cứu sau: Q1: Ở cấp độ tri thức khoa học, có mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số? Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số hình thành sao? Có đặc trưng ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ đặt ra? Mối liên hệ không đặt ra? Vì sao? Sự biểu diễn hàm số hệ thống biểu đạt đồ thị có tính đến môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số không? Q3: Những ràng buộc thể chế ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh? Mục đích phương pháp nghiên cứu Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ, bám sát câu hỏi đặt ra, giới hạn vấn đề nghiên cứu mối liên hệ ba tính chất đơn điệu, liên tục, khả vi hàm số Mục đích luận văn tìm số yếu tố cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 đặt Trên sở đó, tiến hành nghiên cứu sau: -Nghiên cứu tri thức cấp độ tri thức khoa học mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số cách phân tích số giáo trình đại học tiêu biểu Nghiên cứu trả lời câu hỏi Q1 dùng làm tham chiếu phân tích mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số phổ thông -Nghiên cứu mối quan hệ thể chế mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 Để thực nghiên cứu này, tiến hành phân tích chương trình SGK hành sở tham chiếu kết đạt từ nghiên cứu tri thức cấp độ tri thức toán học Kết thúc phần này, đề xuất giả thuyết nghiên cứu liên quan đến quan niệm học sinh ảnh hưởng mối quan hệ thể chế đặt câu hỏi nghiên cứu -Nghiên cứu thực nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân HS Nghiên cứu nhằm trả lời phần câu hỏi Q3 câu hỏi đặt liên quan đến đồ thị 4 Tổ chức luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, chương kết luận chung Trong phần mở đầu, trình bày câu hỏi ban đầu, khung lý thuyết tham chiếu, mục đích phương pháp nghiên cứu, tổ chức luận văn Chương phần trình bày nghiên cứu tri thức cấp độ tri thức khoa học từ việc phân tích số giáo trình đại học Trong chương 2, trình bày phần nghiên cứu mối quan hệ thể chế với mối liên hệ ba đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số Trên sở đó, đề xuất giả thuyết nghiên cứu đặt câu hỏi Chương phần nghiên cứu thực nghiệm Thực nghiệm thứ nhằm kiểm chứng tính thỏa đáng giả thuyết nêu tìm kiếm yếu tố trả lời cho câu hỏi đặt cuối chương Thực nghiệm thứ hai nhằm tìm hiểu tác động đồ thị lên mối quan hệ cá nhân học sinh Phần kết luận, tóm tắt kết nghiên cứu đề xuất hướng nghiên cứu mở từ luận văn Chương MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC KHOA HỌC Mục tiêu chương tìm câu trả lời cho câu hỏi sau : Ở cấp độ tri thức khoa học, có mối liên hệ tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số? Để đạt mục tiêu này, chọn nghiên cứu giáo trình :  [21]-Nguyễn Đình Trí (2008)-Toán học cao cấp tập 2-Phép tính giải tích biến số-Nhà Xuất Bản Giáo Dục  [22]-Jean-Marie Monier (2002)-Giáo trình toán tập 1-Giải tích 1-Nhà xuất Giáo dục [21] giáo trình toán dùng phổ biến trường đại học Việt Nam [22] sách xuất khuôn khổ chương trình đào tạo kĩ sư chất lượng cao Việt Nam, với trợ giúp phận Văn hóa Hợp tác Đại Sứ quán Pháp nước Cộng hòa Xã hội chủ nghĩa Việt Nam Đây hai tài liệu tham khảo Ngoài ra, số nội dung, để làm rõ vấn đề tham khảo thêm :  [6]-Fichtengon (1977) – Cơ sở Giải tích toán học - NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp  [23]-Richard F Bass (2009), Real Analysis, (www.math.uconn.edu/~bass/meas.pdf)  [24]-Israel Kleiner (1989), Evolution of the Function Concept: A Brief Survey, The College Mathematics Journal, Vol 20, No (Sep), tr.282-300 Mathematical Association of America  [25]-Discontinuous and monotone Functions (www.mathcs.org/analysis/reals/cont/disconti.html) Như vậy, giới hạn nghiên cứu mối liên hệ có đối tượng tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số giáo trình chọn Trước hết, điểm qua khái niệm tính đơn điệu, tính liên tục khả vi hàm số nhằm tìm hiểu xem mối liên hệ chúng có thể định nghĩa không ? Sau đó, xem xét mối liên hệ thể định lí, tính chất liên quan đến ba đối tượng 1.1 Các khái niệm đơn điệu, liên tục, khả vi 1.1.1 Khái niệm hàm số đơn điệu [21] đưa vào định nghĩa sau: “ NếuJ  I  R3, hàm số f:I→R gọi tăng J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Tăng nghiêm ngặt J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Giảm J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Giảm nghiêm ngặt J x1 , x2  J , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số tăng hay giảm J gọi đơn điệu J.” [21, tr.46] Định nghĩa hàm đơn điệu [22]: “ Cho X   ( R ) f  R X 1)Ta nói f tăng : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 2) Ta nói f giảm : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 3) Ta nói f tăng nghiêm ngặt : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 4) Ta nói f giảm nghiêm ngặt : ( x1 , x2 )  X , ( x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) ) 5)Ta nói f đơn điệu f tăng f giảm 6)Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt f tăng nghiêm ngặt f giảm nghiêm ngặt ” [22, tr.103] Nhận xét : Theo cách trình bày [21] [22], khái niệm hàm số đơn điệu xét tập khác rỗng R Cả [21] [22] phân biệt “tăng (giảm)” với “tăng (giảm) nghiêm ngặt” [21] dùng thuật ngữ đơn điệu để hàm tăng hay giảm trường hợp hàm “tăng (giảm) nghiêm ngặt” thuật ngữ chung [22] nêu rõ “Ta nói f đơn điệu f tăng Trong [21] kí hiệu A  B nghĩa phần tử A thuộc B hay A tập B, A  B nghĩa phần tử A thuôc B, B có phần tử không thuôc A hay A tập thực B P(R) tập tập R, RX tập hàm số từ X vào R f hàm số từ X vào R f giảm.” “Ta nói f đơn điệu nghiêm ngặt f tăng nghiêm ngặt f giảm nghiêm ngặt.” Từ sau, luận văn này, nói hàm đơn điệu ta hiểu hàm tăng hay giảm, nói hàm đơn điệu ngặt ta hiểu hàm tăng hay giảm nghiêm ngặt 1.1.2 Khái niệm hàm số liên tục  Liên tục điểm “ Cho f(x) hàm số xác định (a,b); nói f(x) liên tục xo  (a, b ) lim f ( x)  f ( xo ) ” [21, tr.89] x  xo “Cho f: I →K, a  I Ta nói f liên tục a khi:   0,   0, x  I , ( x  a    f ( x)  f ( a )   ) ” [22, tr.120] Nhận xét: [21] [22] định nghĩa khái niệm liên tục điểm theo hai cách khác [21] thông qua khái niệm giới hạn (tránh ngôn ngữ  ,  ), [22] định nghĩa trực tiếp ngôn ngữ  ,  (định nghĩa Weierstrass) Ngay sau định nghĩa trên, [22] đưa định lý: “Cho f : I  K , a  I Để f liên tục a điều kiện cần đủ f có giới hạn f(a) điểm a.”[22, tr.120], khẳng định tương đương hai định nghĩa Tiếp theo định nghĩa liên tục hàm điểm, [21] [22] đưa định nghĩa điểm gián đoạn phân loại chúng: “Hàm số f(x) không liên tục điểm xo gọi gián đoạn điểm Giả sử hàm f xác định đoạn [a,b], xo  [ a, b] điểm gián đoạn f Ta nói xo điểm gián đoạn bỏ qua f ( xo  0)  f ( xo  0) 7; xo điểm gián đoạn loại f ( xo  0)  R, f ( xo  0)  R f ( xo  0)  f ( xo  0) , hiệu f ( xo  0)  f ( xo  0) gọi bước nhảy f xo ; xo gọi điểm gián đoạn loại hai không thuộc hai loại trên.” [21, tr.90] “Ta nói f gián đoạn a f không liên tục a […] Gián đoạn loại Ta nói f có điểm gián đoạn loại a khi: f không liên tục a, f có giới hạn trái a (nếu f xác định bên trái a), f có giới hạn phải a (nếu f xác định bên phải a) I chín loại khoảng R: [a,b], [a,b), (a,b], (a,b), (-∞;a), (-∞;a], (b,+∞), [b,+∞), (-∞;+∞) K  R Trong luận văn này, ta hiểu K R f ( xo  0)  lim f ( x) , f ( xo  0)  lim f ( x) x  xo x  xo Nếu f không liên tục a điểm gián đoạn loại a, ta nói f có điểm gián đoạn loại a” [22, tr.120-121] Nhận xét: Cách định nghĩa điểm gián đoạn [21] [22] giống Về cách phân loại, điểm gián đoạn bỏ qua điểm gián đoạn loại [21] tương đương với điểm gián đoạn loại [22]  Liên tục khoảng “Nói hàm số f(x) liên tục khoảng (a,b) f(x) liên tục x  (a, b) ” [21, tr.91] “Cho f : I  K Ta nói f liên tục I f liên tục điểm I.” [22, tr.121] 1.1.3 Khái niệm hàm số khả vi “ Cho a  I , f  K I Ta nói f khả vi a lim h0 f ( a  h)  f ( a ) tồn hữu h hạn; giới hạn kí hiệu f’(a) gọi đạo hàm f a.” [22, tr.139] “Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a,b) nói hàm số f(x) khả vi điểm c  (a, b) tồn giới hạn lim xc Số A; giới hạn tỉ số f ( x )  f (c )  A, x  c xc f ( x )  f (c ) , x  c , x  c gọi đạo hàm hàm số f(x) xc lấy điểm x=c; kí hiệu f’(c).” [21, tr.119] Nhận xét: Hai cách định nghĩa hình thức khác nhau, thực chất [21] nêu rõ điều qua nhận xét sau: “Nếu đặt x  c  x biểu thức định nghĩa trở thành lim  x 0 f (c  x )  f ( c ) : f '( c) ” [21, tr.119] x Sau trình bày định nghĩa đạo hàm điểm, [21] [22] phân tích rõ ý nghĩa hình học đạo hàm “Đạo hàm điểm hệ số góc tiếp tuyến đồ thị f(x) số điểm đó; hàm số khả vi điểm x=c có nghĩa điểm x=c, đồ thị f(x) có tiếp tuyến không vuông góc với trục Ox.” [21, tr.120] “[…] tính khả vi f diễn giải hình học tồn tiếp tuyến không song song với (yy’) điểm A có tọa độ (a,f(a)) đường cong Cf biểu diễn f Tiếp tuyến có hệ số góc f’(a)” Như vậy, mặt hình học, hàm số không khả vi điểm đồ thị tiếp tuyến điểm 1.1.4 Kết luận Xét định nghĩa khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi định nghĩa cách độc lập Các mối liên hệ ba đối tượng định nghĩa chúng 1.2 Mối liên hệ ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục hàm số khả vi 1.2.1 Đơn điệu-Liên tục Chúng bắt đầu định lý 3.10 [21] “ Điều kiện có đủ để hàm số xác định, liên tục khoảng (a,b) đơn ánh hàm số đơn điệu ngặt khoảng đó.” [21, tr.103] Nhận xét : Mặc dù định lý phát biểu cho khoảng (a,b), xem xét cách chứng minh [21], thấy rằng, cho khoảng I Do đó, ta phát biểu lại định lý sau : “ cho hàm số f liên tục khoảng I Khi đó, f đơn điệu ngặt I đơn ánh khoảng ” Định lý đề cập đến mối liên hệ tính đơn điệu ngặt đơn ánh hàm liên tục khoảng I Dễ dàng nhận thấy, hàm đơn điệu ngặt I đơn ánh I, đơn ánh I chưa đơn điệu khoảng Điều nêu rõ [22] : “ Mọi ánh xạ đơn điệu nghiêm ngặt đơn ánh ; điều ngược lại không ví dụ sau : RR  x , x  1 x   x  1 , x  1  1 , x   [22, tr.103] Định lý 3.10 cho thấy, chiều ngược lại có thêm điều kiện hàm liên tục I Nhìn theo góc độ khác, nói hàm liên tục khoảng I phải thỏa mãn thêm điều kiện đơn ánh khoảng đơn điệu ngặt I Các tài liệu [21], [22] không đề cập đến tính liên tục hàm đơn điệu Tuy nhiên, ta biết có hàm đơn điệu khoảng I không liên tục I, xét ví dụ sau: Ví dụ : y f :[0, 2]  R  x , x  [0,1) x 2 x , x  [1, 2] Rõ ràng, f đơn điệu tăng [0,2] bị gián đoạn x=1 nên không liên tục [0,2] Ta thấy đồ thị đường lên từ trái sang phải O không liên nét [0 ;2] x Như vậy, hàm đơn điệu I bị gián đoạn I Nhưng tập điểm gián đoạn loại điểm gián đoạn hàm đơn điệu khoảng I lại “ đặc biệt ”:  Một hàm đơn điệu I điểm gián đoạn có điểm gián đoạn loại  Một hàm đơn điệu I tập điểm gián đoạn nhiều đếm ” (tham khảo [25]) Từ ta thấy rằng, hàm đơn điệu I không liên tục khoảng đó, điểm gián đoạn có có điểm gián đoạn loại tập điểm gián đoạn đếm Ta đặt câu hỏi: hàm số đơn điệu I cần thỏa mãn thêm điều kiện để liên tục I ? Xét định lí sau: “Nếu tập giá trị mà hàm đơn điệu tăng (giảm) f(x) lấy x biến thiên khoảng I thuộc khoảng J lấp đầy khoảng hàm f(x) liên tục khoảng I.”(*) [6, tr.94] Nhận xét: Như vậy, hàm đơn điệu khoảng I liên tục I ảnh I qua khoảng R Theo hệ [6]: “ hàm f xác định liên tục khoảng X (đóng hay không, hữu hạn hay vô hạn) giá trị mà hàm nhận lấp đầy khoảng đó”([6, tr.104]), ta thấy hàm liên tục khoảng I ảnh khoảng I qua x khoảng, nhiên “ f ( x)  sin ( x  0), f (0)  ” điều ngược lại không đúng, xét ví dụ sau: [6, tr.105] Hàm cho biến [-2,2] thành [-1,1] rõ ràng không liên tục [-2,2] bị gián đoạn x=0 Định lý (*) rằng, điều ngược lại hàm thỏa mãn thêm điều kiện “đơn điệu khoảng I” Đến ta trả lời câu hỏi “một hàm đơn điệu I thỏa mãn thêm điều kiện liên tục I ?” Phần giới thiệu ứng dụng quan trọng định lí Chúng ta biết rằng, hàm sơ cấp liên tục miền xác định chúng Từ liên tục hàm hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh liên tục hàm đa thức, phân thức tập xác định chúng cách dùng định lí tổng, hiệu, tích, thương hàm liên tục Nhưng việc chứng minh liên tục hàm sơ cấp khác: hàm mũ y = ax (a>1), hàm lôgarit y=logax (a>0, a≠1), hàm lũy thừa y = xµ(µ>0 hay µ1) đơn điệu tăng x biến thiên khoảng X=(-∞;+∞) Giá trị dương lấp đầy toàn khoảng Y=(0;+∞), điều rõ ràng lôgarit x = logay tồn y>0 Thành thử hàm mũ liên tục với giá trị x bất kì.” [6, tr.95] Độc giả quan tâm tham khảo thêm [6, tr.95-96] Kết luận Ta có số tính chất sau thể mối liên hệ tính đơn điệu liên tục hàm số:  Hàm đơn điệu I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) không liên tục I Hàm đơn điệu I có điểm gián đoạn loại tập điểm gián đoạn I nhiều đếm  Hàm liên tục đơn ánh I đơn điệu ngặt I  Hàm đơn điệu khoảng I, biến I thành khoảng R liên tục I 1.2.2 Liên tục-Khả vi Sau định nghĩa hàm khả vi điểm, [22] đưa mệnh đề sau: “Cho a  I , f  K I Nếu f khả vi a f liên tục a” [22, tr.141] Nhận xét: Mệnh đề cho thấy, hàm khả vi điểm liên tục điểm Chiều ngược lại sao? Ngay sau mệnh đề trên, [22] đưa nhận xét: “Khẳng định đảo mệnh đề sai Một ánh xạ liên tục a không khả vi a ví dụ sau: i) :RR x x Liên tục không khả vi ii) : R  R x x Liên tục không khả vi 0, h  0, h      h h h 0 iii) f :R R   x sin , x  x x 0 , x0 Liên tục (vì f ( x)  x   ) x không khả vi f ( h)  f (0)  sin h h giới hạn h→0 [22, tr.142] Vấn đề nêu rõ [21], ví dụ minh họa rõ ràng đồ thị [22] Liên quan đến việc xem xét tính khả vi hàm liên tục khoảng, có giai đoạn lịch sử (những năm nửa sau kỉ 19), người ta nghĩ hàm số liên tục khả vi trừ số hữu hạn điểm: “đến khoảng năm 1870, nhiều viết giải tích chứng minh hàm số liên tục khả vi trừ số hữu hạn điểm, Cauchy8 tin vậy” ([24 , tr.293]) Năm 1872, Weierstrass làm sửng sốt cộng đồng toán học đưa ví dụ tiếng hàm liên tục tập số thực không khả vi điểm cả:   f ( x)   b n cos a n x  n 0 a số nguyên lẻ, b số thực khoảng (0,1) ab   3 (Bolzano đưa ví dụ vào năm 1834 không ý) (tham khảo [24, tr.293]) Như vậy, có giai đoạn lịch sử người ta tin rằng, hàm liên tục có hữu hạn điểm hàm không khả vi, ví dụ Weierstrass có hàm liên tục R không đâu khả vi Từ đó, ta thấy hàm liên tục chưa thể kết luận khả vi nó, hàm liên tục điểm không khả vi điểm đó, hàm liên tục Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857): nhà toán học tiếng người Pháp khoảng có hữu hạn hay vô hạn điểm hàm không khả vi hay không đâu khả vi khoảng Phân tích rằng, lịch sử phát triển toán học, tồn “chướng ngại” liên quan đến cực “liên tục → khả vi”, là: hàm số liên tục khoảng khả vi khoảng trừ số hữu hạn điểm Sau đây, giới thiệu định lí “giới hạn đạo hàm” nêu số điều kiện để hàm liên tục điểm khả vi điểm đó: “Hệ (“định lý giới hạn đạo hàm”) o Cho xo  R , I khoảng R cho xo  I , f : I→R ánh xạ Nếu f liên tục xo , f khả vi I-{xo}, f’ có giới hạn hữu hạn l xo f khả vi xo f’(xo)=l, f’ liên tục xo ” [22, tr.161] Định lí hàm số f : I→R liên tục xo khả vi điểm I khác xo f’ có giới hạn hữu hạn l xo khả vi xo f’(xo)=l Kết luận Với cực liên tục – khả vi, ta có kết luận sau:  Hàm khả vi điểm liên tục điểm  Hàm liên tục điểm không khả vi điểm  Tồn chướng ngại khoa học luận: Hàm số liên tục khoảng khả vi khoảng đó, trừ số hữu hạn điểm 1.2.3 Đơn điệu-Khả vi Chúng bắt đầu định lí sau: “Định lý 5.7 Cho f hàm số xác định, liên tục khoảng đóng hữu hạn [a,b] khả vi khoảng mở (a,b), đó: (1) Điều kiện có đủ để f(x) tăng (giảm) [a,b] f’(x)  (f’(x)  0) với x  (a, b) (2) Nếu f’(x)  (f’(x)  0) với x  (a, b) f’(x)>0 (f’(x)f(b) ( f(a)[...]... nào liên quan? Chương 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA BA ĐỐI TƯỢNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU, TÍNH LIÊN TỤC VÀ SỰ KHẢ VI CỦA HÀM SỐ Ở CẤP ĐỘ TRI THỨC CẦN GIẢNG DẠY Mục tiêu chính của chương là làm rõ mối quan hệ thể chế với các mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số Cụ thể, đối với từng mối liên hệ chúng tôi sẽ tập trung tìm câu trả lời cho các câu hỏi được đặt ra ở cuối chương 1 Thể chế mà chúng. .. hình học, một hàm số không khả vi tại một điểm nào đó nếu đồ thị của nó không có tiếp tuyến tại điểm đó 1.1.4 Kết luận Xét trên định nghĩa thì các khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục, hàm số khả vi được định nghĩa một cách độc lập nhau Các mối liên hệ giữa ba đối tượng này không được thể hiện trong các định nghĩa của chúng 1.2 Mối liên hệ giữa ba khái niệm hàm số đơn điệu, hàm số liên tục và hàm. .. tôi tiến hành nghiên cứu mối quan hệ thể chế ở chương 2, nghiên cứu này nhằm tìm câu trả lời cho câu hỏi Q2 : Q2: Trong thể chế dạy học toán phổ thông Việt Nam, mối quan hệ thể chế với mối liên hệ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số được hình thành ra sao? Có những đặc trưng và ràng buộc nào? So với tri thức khoa học, mối liên hệ nào được đặt ra? Mối liên hệ nào không được đặt ra?... định lí này Chúng ta đều biết rằng, các hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của chúng Từ sự liên tục của hàm hằng và hàm số y = x, ta dễ dàng chứng minh được sự liên tục của hàm đa thức, phân thức trên tập xác định của chúng bằng cách dùng các định lí về tổng, hiệu, tích, thương của các hàm liên tục Nhưng việc chứng minh sự liên tục của các hàm sơ cấp cơ bản khác: hàm mũ y = ax (a>1), hàm lôgarit... biểu diễn hàm số bằng hệ thống biểu đạt đồ thị có được tính đến như một môi trường cho phép làm rõ mối liên hệ giữa các đối tượng: tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi của hàm số không? Cụ thể hơn, đối với từng cực chúng tôi đặc biệt quan tâm đến việc tìm câu trả lời cho các câu hỏi sau: Đơn điệu -Liên tục Những tính chất liên quan đến mối liên hệ đơn điệu -liên tục được thể hiện như thế nào trong SGK... thể thấy rõ giữa tính đơn điệu, tính liên tục và sự khả vi có nhiều mối liên hệ qua lại với nhau, chúng tôi thể hiện bằng sơ đồ sau: Đơn điệu Khả vi Liên tục Để thấy rõ ý nghĩa của các mối liên hệ giữa 3 đối tượng này, chúng tôi tổng kết dưới dạng các câu hỏi và câu trả lời đối với từng cực: Cực Đơn điệu -Liên tục Hàm số đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có liên tục trên I không?  Hàm đơn điệu... một số tính chất sau thể hiện mối liên hệ giữa tính đơn điệu và liên tục của hàm số:  Hàm đơn điệu trên I (khoảng, nửa khoảng, đoạn) có thể không liên tục trên I Hàm đơn điệu trên I thì chỉ có thể có điểm gián đoạn loại 1 và tập các điểm gián đoạn của nó trên I nhiều nhất là đếm được  Hàm liên tục và đơn ánh trên I thì đơn điệu ngặt trên I  Hàm đơn điệu trên khoảng I, biến I thành một khoảng của. .. Cực Liên tục-Khả vi Mối liên hệ liên tục-khả vi là mối liên hệ một chiều:  Hàm khả vi tại một điểm thì liên tục tại điểm đó  Hàm liên tục tại một điểm có thể không khả vi tại điểm đó Có chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến mối liên hệ này?  Hàm số liên tục trên một khoảng thì khả vi trên khoảng đó, trừ ra một số hữu hạn điểm Những kết quả đạt được trong chương này sẽ là cơ sở tham chiếu để chúng. .. vào giảng dạy trong chương Giới hạn Trong chương kế tiếp, chương Đạo hàm, khái niệm đạo hàm xuất hiện, ngay trong chương này mối quan hệ liên tục-khả vi được thể hiện rõ Đến đầu năm lớp 12, trong chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, mối liên hệ đơn điệu-khả vi mới được đề cập Như vậy, để trả lời các câu hỏi đã đặt ra, chúng tôi sẽ tiến hành phân tích SGK ở cả 3 cấp lớp 10 (Đại số) ,... thể chế dạy học toán Trung học phổ thông Việt Nam Khái niệm hàm số đơn điệu (đồng biến hay nghịch biến) được đưa vào ở lớp 9 nhưng chưa tổng quát (định nghĩa trên R) HS được làm quen với tính đồng biến nghịch biến của hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai Đến đầu lớp 10, một định nghĩa tổng quát hơn được đưa vào, cho đến lúc này, khái niệm liên tục chỉ hoạt động ngầm ẩn Đến cuối lớp 11, khái niệm liên tục