Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 01 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc hai véc tơ AB = u Giả sử ta có → u; v = AB; AC = BAC , với 0o ≤ BAC ≤ 180o AC = v 2) Tích vô hướng hai véc tơ AB = u Giả sử ta có → u.v = AB AC = AB AC cos AB AC AC = v Nhận xét: u = +) Khi → u.v = v = ( ) ( ) ( ( ) +) Khi u ↑↓ v → ( u; v ) = 180 ) +) Khi u ↑↑ v → u ; v = 00 +) Khi u ⊥ v ←→ u.v = Ví dụ Cho tứ diện ABCD cạnh a ( ) a) Tính góc hai véc tơ AB; BC ( ) b) Gọi I trung điểm AB Tính góc hai véc tơ CI ; AC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức tính góc hai véc tơ ta AB BC AB BC AB BC cos AB; BC = = = , (1) AB.BC a2 AB BC ( ) ( ) Xét AB BC = AB BA + AC = AB.BA + AB AC ( ) AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a Mà ( ) AB AC = AB AC.cos AB AC = a.a.cos 600 = a2 a2 a2 =− 2 a − → AB; BC = 1200 (1) ⇔ cos AB; BC = 22 = − a o Vậy AB; BC = 120 → AB BC = −a + ( ( ) ) ( ( ) b) Ta có cos CI ; AC = CI AC CI AC = ) CI AC CI AC Tứ diện ABCD cạnh a, CI trung tuyến tam giác ABC nên CI = ( ) ( ) a CI AC → cos CI ; AC = , ( 2) a Ta có CI AC = CI AI + IC = CI AI + CI IC Do ∆ABC nên CI ⊥ AI ⇔ CI AI = Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng ( Facebook: LyHung95 ) a a 3a 3a 3a cos1800 = − → CI AC = − =− 2 4 3a − → CI ; AC = 1500 Thay vào (2) ta ( ) ⇔ cos CI ; AC = = − a Vậy CI ; AC = 150 Đồng thời, CI IC = CI IC cos CI ; IC = ( ( ) ( ) ) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi vuông góc SA = SB = SC = a Gọi M trung điểm AB a) Biểu diễn véc tơ SM BC theo véc tơ SA; SB; SC ( ) b) Tính góc SM ; BC Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến quy tắc trừ hai véc tơ ta SA + SB = 2SM SM = SA + SB ← → BC = SC − SB BC = BS + SC ( ( ) b) cos SM ; BC = SM BC SM BC = ) SM BC , (1) SM BC SA.SB = Mà SA, SB, SC đôi vuông góc nên SA.SC = SB.SC = Tam giác SAB SBC vuông S nên theo định lý Pitago ta BC = a AB = BC = a → a SM = AB = 2 1 a2 Theo câu a, SM BC = SA + SB SC − SB = SA.SC − SA.SB + SB.SC − SB.SB = − SB = − 2 2 0 a2 − SM BC Thay vào (1) ta cos SM ; BC = = = − → SM ; BC = 1200 SM BC a 2 a 2 ( )( ( ) ) ( ) II GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái niệm véc tơ phương đường thẳng Một véc tơ u ≠ mà có phương song song trùng với d gọi véc tơ phương đường thẳng d 2) Góc hai đường thẳng Khái niệm: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a′; b′ song song với a; b Kí hiệu ( a;b ) a// a ′ Từ định nghĩa ta có sơ đồ → ( a;b ) = ( a ′;b′ ) b// b′ Nhận xét: ( ) + Giả sử a, b có véc tơ phương tương ứng u; v u; v = φ Khi đó, ( a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o ( a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o + Nếu a // b a ≡ b ( a; b ) = 0o Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Các xác định góc hai đường thẳng: Phương án (sử dụng định nghĩa) a ′// a Tạo đường → ( a, b ) = ( a ′, b′ ) b′// b Phương án - Lấy điểm O thuộc a - Qua O, dựng đường ∆ // b → ( a, b ) = ( a, ∆ ) Chú ý: Các phương pháp tính toán góc hai đường thẳng: Nếu góc thuộc tam giác vuông dùng công thức tính toán tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot Nếu góc thuộc tam giác thường sử dụng định lý hàm số cosin tam giác ABC: a = b + c − 2bc cos A → cos A = b2 + c − a 2bc Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAB, SAD, SAC tam giác vuông A Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a Tính góc đường thẳng sau: a) SD BC b) SB CD c) SC BD Hướng dẫn giải: a) Tính góc SD BC Để xác định góc hai đường thẳng SD BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với hai đường thẳng SD, BC song song với đường lại Ta dễ nhận thấy AD // BC SDA Khi ( SD; BC ) = ( SD; AD ) = o 180 − SDA Xét ∆SAD: tan SDA = SA = → SDA = 30o AD Vậy ( SD; BC ) = 30o b) Tính góc SB CD SBA Tương tự, CD//AB → ( SB;CD ) = ( SB;AB ) = 180o − SBA SA Xét ∆SAB: tanSBA = = → SDA = 60o AB Vậy ( SB;CD ) = 60o c) Tính góc SC BD Gọi O tâm hình chữ nhật ABCD, I trung điểm SA IOB Trong ∆SAC có OI // SC → ( SC; BD ) = ( OI; BD ) = o 180 − IOB a 3 a Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB = + a = 2 ABCD hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD = a + 9a = a 10 → OB = a 10 = OA 2 a a 10 a 13 Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO = + = 2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 13a 10a 7a + − OI + OB − IB 4 = Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB = = 2.OI.OB a 13 a 10 130 2 → IOB = arccos = ( SC;BD ) 130 2 Vậy ( SC;BD ) = arccos 130 Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi M, N trung điểm BC, AD Biết AB = CD = 2a , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Hướng dẫn giải: Do AB CD cạnh tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc hai đường thẳng AB CD ta tạo đường thẳng tương ứng song song với AB, CD chúng cắt Gọi P trung điểm AC, MP // AB, NP // CD MPN → ( AB,CD ) = ( MP, NP ) = 180o − MPN Do MP, NP đường trung bình nên ta có MP = NP = a Áp dụng định lý hàm số cosin ∆MPN ta MP + NP − MN 2a − 3a cos MPN = = =− 2MP.NP 2.a.a → MPN = 120o ⇔ ( MP, NP ) = 60o Vậy ( AB,CD ) = 60o Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P ta lấy điểm P trung điểm BD, cách giải tương tự Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A D, AD = DC = a, AB = 2a SA vuông góc với 3a AB AD, SA = Tính góc đường thẳng a) DC SB b) SD BC Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 a) Do DC // AB → ( DC,SB ) = ( AB,SB ) = α 2a SA = = → α = 30o Tam giác SAB vuông A nên α góc nhọn, tan α = AB 2a Vậy góc hai đường thẳng DC SB 30o b) Gọi I trung điểm AB, AI = a Tứ giác ADCI hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên hình thoi Lại có góc A, D vuông nên ADCI hình vuông cạnh a → DI = a mặt khác, tứ giác BIDC hình bình hành (do cặp cạnh DC BI song song nhau) nên BC // DI Khi đó, ( SD, BC ) = ( SD, DI ) = β 2a 7a 2 Tam giác SAI vuông A nên SI = SA + AI = + a = 2 2 2a 7a 2 Tam giác SAD vuông A nên SD = SA + AD = + a = 2 Áp dụng định lý hàm số cosin tam giác SDI ta cosSDI = SD + DI − SI2 = 2SD.DI 2a = a 21 42 .a Do cosSDI > nên góc SDI góc nhọn → β = SDI = arccos 42 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Cho tứ diện ABCD cạnh a, gọi I trung điểm cạnh AD Tính góc hai đường thẳng AB CI 3 Đ/s: ( AB; CI ) = arccos Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm BC, AD AC Biết AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD ( ) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC = a Tính góc SC , AB , từ suy góc SC AB III HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Hai đường thẳng a, b gọi vuông góc với ( a; b ) = 90o ← → a ⊥ b Chú ý: Các phương pháp chứng minh a ⊥ b: Chứng minh ( a; b ) = 90o Chứng minh hai véc tơ phương hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v = Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, Ví dụ Cho tứ diện ABCD AB = AC = AD = a, BAC = 60o , BAD = 60o , CAD = 90o Gọi I J trung điểm AB CD a) Chứng minh IJ vuông góc với hai đường AB CD b) Tính độ dài IJ Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vuông cân A Từ BC = BD = a,CD = a →∆BCD vuông cân B Chứng minh IJ vuông góc với AB Do ∆ACD, ∆BCD vuông cân A, B nên AJ = CD → AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB BJ = CD Chứng minh IJ vuông góc với CD Do ∆ACD, ∆BCD nên CI = DI → IJ ⊥CD b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông I ta a a2 a IJ = AJ − AI = = − Vậy IJ = a/2 2 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Hướng dẫn giải: Chứng minh: SA ⊥ BC Xét SA.BC = SA SC − SB = SA.SC − SA.SB ( ) ( ) SA.SB = SA.SB.cos( SA;SB ) → SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC − SA.SB = ← → SA.BC = ⇔ SA ⊥ BC SA.SC = SA.SC.cos SA;SC Mà SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh tương tự ta SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví dụ Cho tứ diện ABCD, cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD a) Chứng minh AO vuông góc với CD b) Gọi M trung điểm CD Tính góc BC AM AC BM Hướng dẫn giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng Gọi M trung điểm CD Ta có ( ) AO.CD = AM + MO CD = AM.CD + MO.CD Do ABCD tứ diện nên AM ⊥ CD O tâm đáy (hay O giao điểm ba đường cao) Khi AM ⊥ CD AM.CD = ⇔ → AO.CD = ⇔ AO ⊥ CD MO ⊥ CD MO.CD = b) Xác định góc BC AM; AC BM Xác định góc BC AM: Gọi I trung điểm BD → MI // BC AMI Từ ( BC;AM ) = ( MI; AM ) = 180 − AMI Áp dụng định lý hàm số cosin ∆AMI ta AM + MI − AI2 cos AMI = , (1) 2.AM.MI Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM = Facebook: LyHung95 a MI đường trung bình nên MI = a/2 2 a 3a 3a + − 4 = Từ (1) ⇔ cos AMI = → AMI = arccos ⇔ ( BC; AM ) = arccos a a 3 2 3 2 3 2 Xác định góc BC AM: Gọi J trung điểm AD → MJ // AC BMJ Khi ( AC;BM ) = ( MJ; BM ) = 180 − BMJ a Các tam giác ABD, BCD tam giác cạnh a, nên trung tuyến tương ứng BJ = BM = → AMI = BMJ = arccos Do đó, ∆AIM = ∆BJM 2 3 Vậy ( AC;BM ) = arccos 2 3 Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c a) Tính góc đường thẳng: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ) b) Gọi O tâm hình vuông ABCD I điểm cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ + + OC + OC′ + OD + OD′ Tính khoảng cách từ O đến I theo a c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c Từ đó, chứng tỏ AC′′ BD vuông góc với d) Trên cạnh DC BB′′ lấy hai điểm tương ứng M, N cho DM = BN = x (với < x < a) Chứng minh AC′′ vuông góc với MN Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để làm tốt toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ số tính chất hình lập phương: Tất đường chéo mặt hình lập phương a (nếu hình lập phương cạnh a) Các đoạn thẳng tạo kích thước hình lập phương vuông góc với (dài, rộng, cao) a) Tính góc giữa: ( AB,B′C′ ); ( AC,B′C′ ); ( A′C′,B′C ) Tính ( AB, B′C′ ) : Do B′C′//BC → ( AB, B′C′ ) = ( AB, BC ) = 90o Tính ( AC, B′C′ ) : ACB Do B′C′//BC → ( AC, B′C′ ) = ( AC,BC ) = 180o − ACB ABCD hình vuông nên ∆ABC tam giác vuông cân B → ACB = 45o ⇔ ( AC, B′C′ ) = 45o Tính ( A′C′, B′C ) : ACB′ Do A′C′//AC → ( A′C′, B′C ) = ( AC, B′C ) = 180o − ACB′ Xét tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đường chéo mặt hình vuông hình lập phương) Do ∆ACB′ → ACB′ = 60o ⇔ ( A′C′, B′C ) = 60o Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 b) Tính độ dài OI theo a OA + OC = Với O tâm hình vuông ABCD → OA + OC + OB + OD = OB + OD = Khi OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′ OA′ + OC′ = 2OO′ Gọi O′ tâm đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có → OI = 4OO′ OB′ + OD′ = 2OO′ Khoảng cách từ O đến I độ dài véc tơ OI, từ ta OI = 4OO′ = 4a c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c a.b = Theo tính chất hình lập phương ta dễ dàng có a.c = b.c = AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c Phân tích: BD = BA + AD = b − a Chứng minh AC′ vuông góc với BD ( )( ) 2 2 Xét AC′.BD = a + b + c b − a = a.b + b + c.b − a − a.b − c.a = b − a = AD2 − AB2 = ⇔ AC′.BD ⇔ AC′ ⊥ BD 0 0 d) Chứng minh AC′ vuông góc với MN MN = MC + CB + BN Ta có phân tích: AC′ = AB + BC + CC′ → MN.AC′ = MC + CB + BN AB + BC + CC′ = MC.AB + MC.BC + MC.CC′ + CB.AB + CB.BC + CB.CC′ + 0 + BN.AB + BN.BC + BN.CC′ = MC.AB + CB.BC + BN.CC′ ( )( ) MC.AB = MC.AB.cos0o = ( a − x ) a Mà CB.BC = CB.BC.cos180o = −a → MN.AC′ = ( a − x ) a − a + ax = ⇔ MN ⊥ AC′ BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật với AB = a; AD = a , SA = 2a vuông góc với đáy Tính góc đường thẳng sau: a) SB CD b) SD BC c) SB AC d) SC BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc S xuống mặt đáy trung điểm H AB, biết SH = a Gọi I trung điểm SD Tính góc đường thẳng: a) SC AB b) SD BC c) CI AB d) BD CI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a Hình chiếu vuông góc S xuống mặt phẳng (ABCD) H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a Tính góc a) SB CD b) SB AC Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015! Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc đỉnh S xuống (ABCD) điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB Biết AB = 2a; AD = a 3; SH = a Tính góc a) (SD; BC) b) (SB; CD) c) (SA; HC) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán Moon.vn để đạt kết cao kỳ TSĐH 2015!