Định lí choquet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET Ngành : Toán Chuyên ngành : Toán giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 LỜI CẢM ƠN  Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS TS Đậu Thế Cấp, TS.Lê Thị Thiên Hương tận tình hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn Em xin cám ơn quý thầy, cô giảng dạy em suốt trình học cao học quý thầy cô hội đồng khoa học đọc có ý kiến đóng góp quý báu Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy cô làm việc phòng KHCN – SĐH giúp đỡ em nhiều trình học tập thực luận văn Hà Hữu Nam MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN 0T T MỤC LỤC 0T T MỘT SỐ KÍ HIỆU 0T 0T MỞ ĐẦU 0T T CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0T T 1.1 Điểm biểu diễn độ đo – điểm cực biên 0T T 1.2 Hàm hoàn toàn đơn điệu 13 0T 0T 1.3 Một số kết sử dụng luận văn 17 0T T 1.3.1 Định lí (Hahn – Banach) 17 0T 0T 1.3.2 Định lí (Stone – Weierstrass) 17 0T 0T 1.3.3 Bổ đề (Zorn) 17 0T 0T 1.3.4 Định lí (Riesz) 17 0T 0T 1.3.5 Bổ đề (Fatou) 18 0T 0T Chương ĐỊNH LÍ CHOQUET 19 0T 0T 2.1 Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict 19 0T T 2.2 Định lí tồn Choquet – Bishop – De Leeuw 22 0T T Chương ỨNG DỤNG 29 0T 0T 3.1 Định lí Rainwater định lí Haydon 29 0T 0T 3.2 Biên Choquet 30 0T 0T 3.3 Áp dụng biên Choquet vào giải thức 36 0T 0T 3.4 Biên Choquet đại số 39 0T 0T KẾT LUẬN 46 0T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 48 0T 0T MỘT SỐ KÍ HIỆU exX tập hợp điểm cực biên X A tập hợp hàm affine liên tục, xác định X C tập hợp hàm lồi liên tục, xác định X C C(Y) không gian hàm nhận giá trị phức liên tục Y theo chuẩn sup R R K(M) không gian trạng thái tập hợp M B(M) biên Choquet tập hợp M MỞ ĐẦU Vào đầu kỷ XX, nhiều lĩnh vực toán học, có giải tích, phát triển mạnh mẽ Có nhiều khái niệm kết đời thời kì Một kết lý thuyết Choquet, giáo sư Gustave Choquet, người Pháp xây dựng nên Lý thuyết chủ yếu nghiên cứu hai lĩnh vực toán học giải tích hàm giải tích lồi Từ đời tới nay, lý thuyết Choquet nhiều nhà toán học nhiều nhà sư phạm quan tâm, nghiên cứu Từ đó, Lý thuyết Choquet ngày bổ sung hoàn chỉnh nội dung ứng dụng Trong lý thuyết Choquet, nhiều kết cho thấy mối liên hệ độ đo với tập hợp điểm cực biên tập lồi X Cùng với khái niệm “điểm biểu diễn độ đo”, Choquet đưa kết quan trọng, có nhiều ứng dụng toán học Trong luận văn xét định lí Choquet trường hợp khả metric nghiên cứu định lí tồn độ đo Choquet–Bishop–De Leeuw Ngoài luận văn đưa khái niệm biên Choquet số ứng dụng giải tích hàm (định lí Rainwater định lí Haydon), giải thức, đại số Cụ thể luận văn gồm chương sau Chương giới thiệu khái niệm độ đo biểu diễn điểm, độ đo tựa tập Borel số tính chất đơn giản liên quan đến điểm cực biên tập lồi Ngoài ra, chương nêu khái niệm hàm hoàn toàn đơn điệu định lí Bernstein hàm hoàn toàn đơn điệu Chương hai luận văn dành cho việc chứng minh định lí Choquet trường hợp khả metric định lí tồn độ đo Bishop-De-Leeuw Chương ba nêu ứng dụng định lí Choquet giải tích hàm qua hai định lí Rainwater Haydon Trong chương này, luận văn đưa khái niệm biên Choquet ứng dụng vào giải thức đại số CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Điểm biểu diễn độ đo – điểm cực biên Xét kết cổ điển sau Minkowski: “ Nếu X tập lồi compact không gian hữu hạn chiều E, x phần tử X, x tổ hợp lồi hữu hạn điểm cực biên X ” Tức đó, tồn điểm cực biên x1 ;x ; ;x k số dương µ1 ; µ ; ; µ k với i=k ∑µ i =1 i =1 cho x= i=k ∑µ x i =1 i i Bây ta trình bày lại biểu diễn x sau Với điểm y thuộc X, cho ε y “điểm lượng” y, nghĩa ε y độ đo tập Borel có chứa y X, ε y =0 tập Borel Borel, ε y = lại Kể từ ta viết tắt εi thay cho ε x i Cho µ= ∑µ ε i i Ngoài µ độ đo Borel quy X, µ ≥ µ ( X ) = ra, với hàm số f tuyến tính, liên tục E, ta có f (x) = ( ∑ µi f ( x i ) = ) ∫ fdµ X Khi ta nói độ đo µ biểu diễn điểm x Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X tập compact khác rỗng không gian lồi địa phương E µ độ đo xác suất X ( tức độ đo µ quy không âm X, ) Một điểm x E gọi biểu diễn độ đo µ f ( x= với µ ( X ) = ) ∫ fdµ với X hàm số f tuyến tính liên tục E Ta viết µ ( f ) thay cho ∫ fdµ Khi ta nói: “ x trọng tâm µ ” hay “ x X tích chập µ ” Sự hạn chế E không gian lồi địa phương nhằm đảm bảo tồn nhiều hàm E* tách điểm; điều bảo đảm có nhiều điểm biểu diễn P P độ đo µ , sau ý đến độ đo vành σ , cho có mặt độ đo Borel Một điểm x tùy ý X biểu diễn bình thường ε x ; ta quan tâm đến vấn đề làm rõ ví dụ trên, là: Với tập lồi compact X không gian hữu hạn chiều, với x thuộc X, ta biểu diễn độ đo xác suất, mà độ đo xác suất tựa điểm cực biên X Định nghĩa 1.1.2 Nếu f độ đo quy không âm không gian compact Hausdoff X S tập Borel X, ta nói µ tựa S µ ( X \ S) = Ta thấy nảy sinh vấn đề sau: “X tập lồi compact không gian lồi địa phương E x phần tử X Khi có tồn độ đo xác suất µ X, tựa điểm cực biên X biểu diễn x hay không ? Nếu µ tồn có hay không ? ” Choquet rằng, ta bổ sung giả thiết X khả mêtric tồn độ đo xác suất µ X cho µ tựa điểm cực biên X biểu diễn x Việc độ đo xác suất µ X có hay không tùy thuộc vào tính chất hình học X Cho Y không gian Hausdorff compact, C ( Y ) không gian Banach hàm thực liên tục Y (theo chuẩn sup) X tập hợp tất hàm L tuyến tính liên tục C ( Y ) thỏa mãn L (1)= 1= L Khi X tập lồi compact không gian lồi địa phương E = C ( Y ) (trong tôpô yếu nó) định lí Riesz khẳng định rằng, với * L ∈ X tương ứng với độ đo xác suất µ Y, cho L ( f= ) ∫ fdµ, ∀f ∈ C ( Y ) Y đồng phôi (theo phép nhúng tự nhiên) với tập điểm Y cực biên X Vậy ta xem µ độ đo xác suất tập Borel X, µ =0 tập mở X\Y Khi µ tựa điểm cực biên X Cần nhắc lại E* không gian hàm tuyến tính liên tục yếu C(Y)*, bao gồm hàm có P P P P dạng biến L thành L(f), với f∈ C(Y), để thấy dạng biểu diễn mà quan tâm Có hai điểm phần nên nhấn mạnh: Thứ nhất, điểm cực biên X tạo nên tập compact Thứ hai, biểu diễn Dễ thấy rằng, độ đo xác suất µ Y xác định hàm tuyến tính liên tục C(Y), mà thuộc X Việc hoàn toàn kết trình bày sau Trước tiên ta nhắc lại hàm φ từ không gian tuyến tính vào không gian tuyến tính khác hàm affine thỏa mãn φ ( λx + (1 − λ ) y ) = λφ ( x ) + (1 − λ ) φ ( y ) với x, y số thực λ Mệnh đề 1.1.3 Cho Y tập compact không gian lồi địa phương E, bao lồi đóng X Y tập compact Nếu µ độ đo xác suất Y tồn điểm x ∈ X biểu diễn µ hàm µ ánh xạ affine liên tục yếu từ C ( Y ) vào X * Chứng minh Ta chứng minh tập lồi compact X chứa điểm x thỏa mãn f ( x= ) ∫ fdµ, ∀f ∈ E * Y Với f ∈ E* , ta đặt H f = { y : f ( y ) = µ ( f )} ; H f siêu phẳng đóng, cần chứng minh ∩{H f : f ∈ E*} ∩ X ≠ ∅ n Vì X tập compact, nên với tập hữu hạn f1 ,…,fn E*, ∩ H f ∩ X khác i =1 R R R R P P i rỗng Xét ánh xạ T : E → R n thỏa mãn Ty = ( f1 ( y ) ,f ( y ) , ,f n ( y ) ) Khi T ánh xạ tuyến tính, liên tục Do TX tập lồi, compact, điều chứng tỏ p ∈ TX , với p= ( µ ( f1 ) , µ ( f ) , , µ ( f n ) ) Thật vậy, p ∉ TX tồn hàm tuyến tính Rn tách P P chặt p TX Biểu diễn hàm a = ( a1 ;a ; ;a n ) , ta có ( a;p ) > sup {( a;Ty ) : y ∈ X} Nếu kí hiệu g ∈ E* g = ∑ a i f i khẳng định cuối trở thành ∫ gdµ > supg ( X ) Y suy mẫu thuẫn Vậy phần thứ chứng minh Từ bao hàm Y ⊂ X µ ( Y ) = hoàn thành Tiếp theo, giả sử lưới µ α độ đo xác suất Y hội tụ yếu C(X)* độ P P đo xác suất µ , cho x α x tích chập tương ứng chúng Vì X tập compact nên ta cần chứng minh x α → x , điều đủ để chứng tỏ lưới hội tụ x β x α hội tụ x Nhưng ta chọn x β → y lưới tương ứng µβ hội tụ yếu µ f ( x β ) = µβ ( f ) → µ ( f ) = f ( x ) , ∀f ∈ E* , từ điều cuối tách điểm X, x = y Giả thiết X tập compact nằm không gian E, mà bao lồi đóng tập compact luôn tập compact Ví dụ như, không gian E đầy đủ E không gian lồi địa phương thu cách lấy không gian Banach tôpô yếu Một điều đơn giản hữu ích, đặc điểm bao lồi đóng tập compact cho số hạng độ đo trọng tâm Mệnh đề 1.1.4 Giả sử Y tập compact không gian lồi địa phương E Một điểm x E thuộc bao lồi đóng X Y tồn độ đo xác suất µ Y biểu diễn điểm x Chứng minh Nếu µ độ đo xác suất Y biểu diễn điểm X với f ∈ E* f (x) = µ ( f ) ≤ supf ( Y ) ≤ supf ( X ) Vì X tập lồi đóng nên dẫn đến x thuộc X Ngược lại, x thuộc X tồn lưới bao lồi Y hội tụ x, tương đương với việc tồn điểm y α có dạng y= α nα ∑λ i =1 α i x iα ( λ iα > 0, ∑ λ iα = 1, x iα thuộc vào Y, α thuộc vào vài tập định hướng) hội tụ x Ta biểu diễn điểm y α độ đo xác suất µ α = ∑λ α i x iα Theo định lí Riesz, tập hợp tất độ đo xác suất Y đồng với tập lồi, compact yếu C(Y)*, từ P P tồn lưới µβ µ α , hội tụ ( tôpô yếu C(Y)* ) độ đo xác suất P P µ Y Trong trường hợp đặc biệt, hàm f ∈ E* ( thu hẹp Y) thuộc vào C(Y), lim ∫ fdµβ= ∫ fdµ Vì y α hội tụ x, nên lưới yβ hội tụ x, f ( x= ) ∫ fdµ với Y f ∈ E* Vậy mệnh đề chứng minh Từ mệnh đề trên, dễ dàng trình bày lại định lí Krein – Milman Ta nhắc lại phát biểu sau: “ Nếu X tập lồi compact không gian lồi địa phương, X bao lồi đóng điểm cực biên nó”