CHỨNH MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG NHỜ SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ THALES ĐÀO TAM ( GV khoa Toán, ĐH Vinh) Các cách vận dụng định lí Thales để chứng minh ba điểm thẳng hàng Cách 1: Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta làm theo bước sau: - Vẽ đường thẳng a qua A, cho B C thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng a Vẽ đường thẳng BM CN song song với cho M, N thuộc a BM AM = (1) CN AN Có thể kiểm tra tính đắn chứng minh cách sau: - Chứng minh: A M B N C C1 Vẽ đường thẳng AB cắt tia CN C1 Khi BM //C1NB nên theo định lí Thales tam giác AC1N ta có BM AM = ( 2) C1 N AN Từ hệ thức (1) (2) suy ra: BM BM Từ CN = C1N suy hai = CN C1 N điểm C C1 trùng Tức A, B, C thẳng hàng Cách 2: Chứng minh A, B, C thẳng hàng theo bước sau: - Vẽ đường thẳng a qua điểm B cho A C thuộc hai nửa mặt phẳng khác với bờ a - Vẽ AM , AN song song với cho điểm M, N thuộc a - Chứng minh AM BM = CN BN A M B N C Bạn đọc kiểm tra tính đắn cách cách sử dụng định lí Thales Một vài ví dụ áp dụng Bài 1: Cho tam giác ABC Đường thẳng MN song song với cạnh BC; M, N thuộc cạnh AB AC Gọi I J tương ứng trung điểm đoạn MN BC Chứng minh A, I, J thẳng hàng Lời giải: A M B N I J C Do I, J nằmg phía đường thẳng AB MI // BJ nên hai bước đầu của cách thỏa mãn Vậy để chứng minh ba điểm A, I, J thẳng hàng cần MI AM Thật vậy, MN // BC nên theo định lí Thales áp dụng = MJ AB cho tam giác ABC ta có: chứng minh MN AM MN MI = = = AB BC BC BJ (đccm) Chú ý: Có thể diễn đạt toán bổ đề hình thang: Với hình thang MBCN, cạnh bên cắt A; Các điểm I, J trung điểm cùa hai cạnh đáy A, I, J thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC Gọi O giao điểm đường phân giác tam giác đó; O1 giao điểm AO với phân giác góc B Giả sử điểm H K hình chiếu O1 O lên BC Điểm I điểm đối xứng K Qua tâm O Chứng minh A, I, H thẳng hàng Lời giải: A I O B K H C S O1 Do điểm I, H nằm vể phía đường AO OI // O1H nên theo cách để lập luận A, I, H thẳng hàng cần chứng tỏ OI AO Thật vậy, gọi = O1H AO1 điểm M N hình chiếu O O1 lên đường thẳng AB Khi đó: AO AM OM OK OI ( Áp dụng định lí Thales cho tam giác AO1N = = = = AO1 AN O1 N O1H O1H tính chất đường phân giác Một vài toán làm thêm Bài : Chứng minh tam giác trực tâm, trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thẳng hàng ( Đường thẳng qua ba điểm gọi đường thẳng Euler) Bài 4: Tứ giác ABCD vừa nội tiếp đường tròn (O) vừa ngoại tiếp đường tròn (I) có đường chéo cắt P Chứng minh điểm P, O, I thẳng hàng Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB M điểm thuộc nửa đường tròn Tiếp tuyến (O) A M cắt P Gọi H hình chiếu M AB Chứng minh P, B trung điểm N MH thẳng hàng Bài 6: Cho hình vuông ABCD Vẽ tia Cx tia đối tia CD Vẽ tia Cy phân giác góc BCx Trên tia Cy lấy điểm O ( O khác C), vẽ đường tròn bán kính OC (OC > OB) cắt tia Cx, Cy, CB H, M K Gọi Q giao điểm CB DM Chứng minh A, Q, H thẳng hàng