SKKN Sử dụng định lí TaLet đảo để chứng minh hai đường thẳng song song

Chẳng hạn để chứng minh hai đường thẳng song song trong chương trình Hình học cấp 2 có nhiều phương pháp, riêng đối với Hình học lớp 8, định lý Talet đảo đã giúp chúng ta có thêm một phư

ĐỀ TÀI

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

§Ò tµi: SỬ DỤNG ĐỊNH LÝ TALET ĐẢO ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

NGƯỜI THỰC HIỆN: TRẦN VĂN THẮNG

CHỨC VỤ : GIÁO VIÊN

ĐƠN VỊ CÔNG TÁC :TRƯỜNG THCS TIÊN LỮ

TỔ KHTN

Tháng 3 năm 2015

PHẦN II : NỘI DUNG

A MỞ ĐẦU

a Đặt vấn đề:

*Thực trạng:

Môn toán là một trong những môn học cơ bản, không thể thiếu trong nhà trường phổ thông, nó còn là môn học trở thành công cụ cho một số môn học khác Bởi vậy Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kỷ thuật cũng như trong cuộc sống hàng ngày Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say mê và hứng thú học Toán.đặc biệt về phân môn Hình học lại có một cái khó mà nhiều học sinh thường không dám tiếp cận và đối mặt với việc giải các bài tập hình học Bởi cái khó của các em là không biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập như thế nào? Chưa hình dung được khi giải một bài tập hình là làm thế nào? Tư duy về hình học còn nhiều hạn chế Chính vì vậy mà số học sinh yêu thích học hình còn rất ít so với số học sinh thích học đại số

*Ý nghĩa và tac dụng:

Đứng trước thực trạng ấy đòi hỏi giáo viên dạy môn Toán cần biết giúp các em tháo gỡ khó khăn phần nào khi học hình học Tạo niềm hưng phấn cho học sinh khi làm bài toán Hình Muốn vậy giáo viên phải sớm hình thành phương pháp giải từng bài toán, cần giúp học sinh biết định hướng tìm lời giải theo phương pháp phân tích

đi lên, hoặc phương pháp phân tích đi xuống (Tuỳ từng bài toán) Tuy vậy với từng loại bài toán lại có thể có nhiều cách giải khác nhau Chẳng hạn để chứng minh hai đường thẳng song song trong chương trình Hình học cấp 2 có nhiều phương pháp, riêng đối với Hình học lớp 8, định lý Talet đảo đã giúp chúng ta có thêm một phương pháp để chứng minh hai đường thẳng song song Trong thực tế rất nhiều bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song cần phải nhờ vào định lý Talét đảo Trong bài viết này, tôi xin đưa ra cách hướng dẫn học sinh giải một số bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Ta lét đảo

b Phương pháp tiến hành:

1 Cơ sở lý luận:

Xuất phát từ nội dung định lý Ta lét đảo như sau:

Nội dung định lý: “Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tỷ lệ thì hai đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác”

Vì vậy khi đọc đến dạng toán có chứng minh hai đường thẳng song song trong hình học 8, tôi thường hướng cho học sinh nội dung định lý Talét đảo bằng cách phát hiện ra các đoạn thẳng tỉ lệ ở trong các tam giác

2 Cơ sở thực tiễn.

Trong thực tế giảng dạy tôi thấy đa số học sinh rất tuý luý khi làm bài toán hình, phải chăng các em không định hướng được phương pháp chứng minh bài toán

đó, các em chưa biết vận dụng lý thuyết vào giải toán Tức là đối với bài toán đó ta nên vận dụng định nghĩa hay tính chất hay định lý nào cụ thể vào bài tập đó Muốn cho các em định hướng đúng về bài toán chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Talét đảo trước hết các em phải nắm vững định lý Từ giả thiết của định lý, nghĩa là phải tìm được các đoạn thẳng tỉ lệ gắn vào tam giác nào từ đó mới kết luận hai đường thẳng song song Trong quá trình định hướng để tìm lời giải, giáo viên cần kết hợp thêm lược đồ phân tích, để qua đó học sinh hình dung được các bước giải và từ đó các em có thể trình bày được lời giải của bài toán

B – NỘI DUNG

Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ cụ thể mà tôi đã hướng dẫn học sinh giải bài tập về chứng minh hai đường thẳng song song nhờ vận dụng định lý Talét đảo như thế nào

Ví dụ 1 : Cho  ABC, trung tuyến AM, đường phân giác của góc AMB cắt cạnh

AB ở D Đường phân giác của góc AMC cắt cạnh AC ở E Chứng minh rằng: ED// BC

Cho  ABC

GT MB=MC,BMD = AMD, DAB

AME =CME, E AC

KL ED //BC

Hướng dẫn cách tìm lời giải:

Giả sử có DE// BC

Thì đoạn thẳng tỉ lệ có thể là:

AD

DB= AE

EC; AD

AB = AE

AC ; DB

AB=EC

AC Sơ đồ phân tích

- Các đoạn thẳng này có trong tam giác nào? 

- Hơn nữa giả thiết cho 2 đường phân giác Phải có: AD AE

DB EC

của 2 góc để làm gì?

- Trong  ABC có DAB; E  AC 

Và AD

DB= AE

EC Sẽ suy ra điều gì? Mà AD MA

DB MB (gt)

Từ đây các em dễ dàng trình bày lời giải và AE MA

EC MC (gt)

Và MB// MC (Gt)

M

B

C A

Trong  ABM có MD là phân giác của AMB

nên ta có: AD

DB=MA

MB (1) (Định lý) Trong AMC có ME là phân giác của AMC nên ta có:

AE

EC =MA

MC (2) (Định lý)

Vì MB= MC (giả thiết) Nên từ (1) và (2) suy ra : AD

DB= AE

EC

Trong ABC có DE định ra 2 cạnh AB, AC những đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC

Ví dụ 2 : Cho tứ giác ABCD, gọi K, L lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC

và tam giác BCD Chứng minh rằng KL // AD

Cho tứ giác ABCD (AB//CD)

GT K là trọng tâm của tam giác ABC

L là trọng tâm của tam giác BCD

KL KL//AD

Hướng dẫn cách tìm lời giải:

- Gọi M là trung điểm của BC Sơ đồ phân tích:

Cho K, L là trọng tâm của ABC, BCD cho ta Để chứng minh KL //AD nghĩ tới tính chất nào ? (T/ c trọng tâm của tam giác) 

- Muốn chứng minh KL// AD thì phải có điều gì ? Ta phải có: MK

MA= ML

MD

- Từ giả thiết suy ra MK

MA= ML

MD vì sao? 

- Từ kết luận trên rút ra điều gì? Tại sao? Mà : MK

MA = 1

3

- KL // AD theo định lý Talét đảo Và ML

MD=1

3 (Tính chất trọng tâm của tam giác)

M

K

L

Giải :

Gọi M là trung điểm của BC vì K là trọng tâm của ABC nên MK= 1

3MA ( Tính

chất trọng tâm của tam giác) , hay MK

MA=1

3 (1)

Và L là trọng tâm của BCD nên ML =1

3MD hay ML

MD =1

3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra MK ML

MA MD nên KL //AD ( Định lý Talét đảo)

Do trong AMD có KL định ra trên 2 cạnh MA, MD những đoạn thẳng tỷ lệ nên

KL // AD ( Định lý Talét đảo)

Ví dụ 3 : Cho Hình thang ABCD (AB //CD), M là trung điểm của CD Gọi I là giao

điểm của AM và BC và K là giao điểm của BM và AC CMR : IK //AB

GT Cho hình thang ABCD (AB //CD)

DM = MC

AM BD =  I

BM AC =  K

KL IK //AB

Hướng dẫn tìm lời giải:

Sơ đồ phân tích đi lên

IK nằm trong những tam giác nào? IK //AB

AMB, AMC,BMD, AIK, 

BIK ở những tam giác AIK, BIK IM KM

IA KB

các em không khai thác được gì?

- Xét các tam giác còn lại đó là 

AMC, BMD ; AMB tìm xem có IM MD

IA AB

những đoạn thẳng tỉ lệ nào ? và KM MC

KB AB

B

C M

K A

D

I

- Đối với 3 tam giác trên xét tam giác nào Mà MD = MC

cũng được nhưng để chứng minh IK //AB thì

nên xét AMB ( Vì IK, AB đều có trong AMB)

Đến đây học sinh dễ dàng thấy ngay lời giải

Giải:

Ta có: IM MD

IA AB ( Do AB // MD hay AIB  MID)

Và KM MC

KB AB ( Do AB // MC) Mà MD = MC ( Giả thiết)

Nên: IM KM

IA KB Suy ra IK // AB( Điều phải chứng minh)

Vì trong AMB có IK định ra trên 2 cạnh MA, MB những đoạn thẳng tỷ lệ nên

IK// AB ( định lý Talét đảo)

Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB< CD) Kẻ AK // BC , AKBD =

 E ; Kẻ BI //AD; BIAC =  F ( K, I  CD) Chứng minhn rằng EF// AB

Hình thang ABCD (AB//CD; AB< CD)

GT AK //BC, K  CD

BI //AD; ICD

AK BD = (E)

BI AC = (F)

KL EF //AB

Hướng dẫn tìm lời giải:

- Xét EF nằm trong những tam giác nào? (AKC BDI AEF B,  ,  ,  EF)

- Nếu gọi thêm O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

- Giả sử AK và BI cắt nhau ở H thì có thêm OEF, AHB có chứa EF

- Tuy vậy: OEF AEF BEF ABH,  ,  ,  ta không khai thác được gì?

B A

C

E

O

D

F

H

Ta xét các  còn lại AKC BDI,  muốn chứng minhEF // AB thì ta phải chứng minh

EF // KC ( Vì KC // AB)

Gỉa sử ta chứng minh EF // KC nghĩa là phải có được điều gì?

( Các đoạn thẳng tỉ lệ nào?)

- Phải chứng tỏ được AE

EK = AF

FC bằng cách nào ?

- Từ giả thiết của bài toán em rút ra được điều gì ?

- ( Vì I, K  CD suy ra AB// DK nên AE AB

EK DK

AB // CI => AE

EK 

AF

FC thì ta phải chứng minh được điều gì ?Vì sao?

DK CI Hay DK= CI

Mà DK= DI- IK

=> DK = CI Vì DI = CK = AB

CI = CK- IK

Sau khi phân tích hướng giải quyết bài toán giáo viên lập sơ đồ chứng minh như sau:

Để chứng minh EF // AB

Ta phải chứng minh AE AF

EK FC mà

EK DK , AF AB

FC CI ( Do AB // DK, AB //CI)

Vì DI = CK ( Cùng bằng AB)

Đến đây học sinh có thể trình bày lời giải dễ dàng

Vì DK // AB nên AE AB

EK DK

CI //AB nên AF AB

FC CI

Mà DK = CI (vì cùng bằng AB) nên AF

FC

AE

EK 

Trong AKC có EF định ra trên hai cạnh AK và AC những đoạn thẳng tỷ lệ nên

EF //CK suy ra EF // AB

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD Qua B vẽ Bx // CD cắt AC tại E Qua C vẽ Cy // BA

cắt BD tại F, chứng minh rằng EF // AD

Tứ giác ABCD

GT BE // CD , EAC

CF // AB, F BD

KL EF // AD

Hướng dẫn tìm lời giải:

Gọi giao điểm của AC và BD là O

Để chứng minh EF // AD ta cần phải chứng minh được các tỷ lệ thức nào?

OE OF

EA FD, OE OF

OA OD, AE DF

OAOD( Chỉ cần chứng minh một trong các tỉ lệ thức) Vậy hướng giải của bài toán đã có, bây giờ ta khai thác giả thiết như thế nào?

Từ BE // CD ta rút ra được điều gì?

OE

OC

OB

OD

 (1) Sơ đồ phân tích

Từ CF // AB rút ra được điều gì ? Để EF //AD

OC OF

OA OB(2) 

Từ (1) và (2) ta rút ra được điều gì ? Hoặc OF

FD

OE

EA 

OF

OB

OA OD Không có căn cứ

EF //AD vì sao? Hoặc OE OF

OA OD

Từ (3) ta có : OF

OD

OE

OA  suy ra EF //AD

A

B

D

C

F

O

̀

E



.OF

OB

OC OA OD



OC OD,OC OF

OA OB

 

BE //CD CF//AB (Gt)

Từ đó học sinh có thể trình bày lời giải một cách dễ dàng theo sơ đồ phân tích dưới lên

Kết luận: Trong tam giác AOD có EF định ra trên hai cạnh OA, OD những đoạn

thẳng tỷ lệ nên EF //AD (ĐPCM)

Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác của góc BAD cắt BD tại M,

đường phân giác của góc ADC cắt AC tại N Chứng minh MN //AD

ABCD (AB//CD, BC//AD), MBD, NAC

GT BAM =MAD

AND =CDN

KL MN//AD

Hướng dẫn học sinh tìm lời giải:

Ta nghĩ tới MN nằm trong BOC, hoặc M, N thuộc đường thẳng chứa cạnh của tam giác AOD, do đó các đoạn thẳng tỷ lệ có thể là

MB NC , OM ON

OB OC

Hoặc OM

OD = ON

OA= MN

AD Gỉa thiết của bài toán là gì ? Từ AM, DN là các đường phân giác của góc BAD và góc ADC cho ta tỉ lệ thức nào?

C B

D A

O

+ AM là phân giác của BAD => MD AD

MB AB

+ DN là phân giác của DAC nên NA AD

NC CD

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD do đó MD NA

MB NC

Tỷ lệ thức MD NA

MB NC ta suy ra được những điều gì ? Bằng cách nào ? Vận dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất 2 đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường ta sẽ có :

MB NC Suy ra : MD NC NA NC hay BD AC

 2OB 2OC

MB  NC ( Do BD = 2OB, AC = 2 OC)

Suy ra OB OC

MB NC suy ra: MN //BC( định lý Talét đảo)

Suy ra: MN //AD ( Vì BC // AD)

Trong BOC có MN định ra trên 2 cạnh OB và OC những đoạn thẳng tỷ lệ nên MN// BC mà BC // AD Vậy MN //AD

- Sau khi phân tích tìm hướng giải giáo viên có thể phân tích theo sơ đồ đi xuống

để học sinh thấy rõ hơn

Sơ đồ đi xuống:

Từ giả thiết ABCD là hình bình hành suy ra, và giả thiết AM, DN là các đường phân giác của góc BAD, ADC ta có :

AB CD

MB AB NC CD 



MD NA

MB NC



Áp dụng tỷ lệ thức MD MB NA NC hay BD AC

Suy ra:OB OC

MB NC

( Do BD= 2OB; AC= 2 OC,

ABCD là hình bình hành)

Nên MN // BC suy rs MN// AD (do BC//AD)

Từ cách hướng dẫn và sơ đồ phân tích các em có thể trình bày lời giải một cách dễ dàng

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD Vì ABCD là hình bình hành nên ta có: AB= CD, BC= AD; BC// AD

Vì AM là phân giác của góc BAD : MD AD

MB AB

DN là phân giác góc ADC nên : NA AD

NC CD

Mà AB= CD nên: MD NA

MB NC

 hay BD AC

MBNC

Do BD= 2 OB; AC= 2OC nên: OB OC

MB NC

 MN//BC

Mà BC// AD => MN// AD (Điều phải chứng minh)

Ví dụ 7: Cho ABC Lấy điểm M tuỳ ý trên cạnh BC Lây N tuỳ ý trên cạnh AM Đường thẳng DE//BC(DAB, E AC)

Gọi P là giao điểm của DM và BN và Q là giao điểm của CN và EM Chứng minh rằng PQ// BC

GT Tam giácABC, MBC

N AM, DE//BC

D AB, E AC

BNDM=  P

CNEM =  Q

KL PQ//BC

Hướng dẫn lời giải:

Xét xem đoạn PQ nằm trong những tam giác nào( DAE,NBC)

- Phân tích để học sinh lựa chọn để ý DME

- Muốn chứng minh PQ // BC thì ta cần có những tỷ lệ thức nào ?

PM QM Hoặc DP EQ

DM EM Hoặc PM QM

MD ME

- Các tỷ lệ trên đã có thể có ngay được chưa?

- Ta phải khai thác các giả thiết của bài toán như thế nào

- Từ DE// BC suy ra được điều gì ?

BM CM (1) ( Cùng bằng AI

AM )

BM CM (2) ( Cùng bằng NI

NM ) Lấy (1) cộng (2) theo vế sẽ có :DK HE

BM CM

Để ý BPM và QMC có DK//BM và HE//CM

Các em sẽ thu được kết quả gì ?

PM QM => PQ//DE => PQ//BC

Lập sơ đồ phân tích đi xuống

DE //BC(gt)



A

I

P

M

H D

N

E

K

Q

DK//BM; DI//BM IE //CM; KI// BM; IH//CM; HE//CM

   

BM AM

CM AM KI NI

BM MN IH NI

CM NM

 

DI IE

BM CM KI IH

BM CM



DI KI IE IH

BM  BM CM  CM



DK HE

BM CM



PM DP QM EQ



PQ //DE



PQ//BC (Điều phải chứng minh)

* Ở trên tôi đã đưa ra một số ví dụ về việc sử dụng định lí TaLet vào việc giải quyết các bài toán chứng minh 2 đường thẳng song song Sau đây tôi xin đưa ra một số bài tập áp dụng không chỉ sử dụng trong phạm vi chương trình hình học

8 mà còn cho cả lớp9 hay áp dụng cho chương trình ôn thi vào cấp III để các bạn tham khảo và tìm lời giải:

Bài 1:Cho tứ giác lồi ABCD Đường thẳng qua A với BC cắt BD ở E Đường thẳng

qua B song song với AD cắt AC ở G

a/ Chứng minh EG// DC

b/ Giả sử AB//CD Chứng minh rằng AB2=EG.DC

Bài 2: Cho hình thang ABCD(AB//CD).M là trung điểm của CD.Gọi I là giao

điểm của AM và BD, gọi K là giao điểm của BM và AC

a.Chứng minh IK // AB

b.Đường thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F.Chứng minh: EI = IK = KF

Bài 3: Cho một hình thang Chứng minh rằng giao điểm của các đường chéo

chia đôi đoạn thẳng nối liền hai cạnh bên đi qua giao điểm và song song với đáy của hình thang đó

Bài 4: Cho tam giác ABC , AD là đường trung tuyến của tam giác , dựng các

đường phân giác của các góc ADB và ADC cắt AB , AC tại E & F Chứng minh rằng : EF//BC

Bài 5: Từ một điểm P ngoài đường tròn dựng tiếp tuyến PA với đường tròn đó ,

từ trung điểm B của PA kẻ một cát tuyến BCD ; PC ; PD cắt đường tròn tại E và F Chứng minh rằng FE//PA

Bài 6: Cho tam giác ABC với AM là đường trung tuyến xuất phát từ A , I là

một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng AM( điểm I không trùng với hai điểm A và M ) , nối BI , CI kéo dài lần lượt cắt AC & AB tại E & F Chứng minh rằng : EF // BC

+) Qua thời gian tiếp tục nghiên cứu và áp dụng, bản thân tôi bản thân tôi xét

thấy đề tài này có tác dụng rất lớn trong quá trình giảng dạy môn hình học 8, tôi đã vận dụng từng phần sau mỗi tiết học lý thuyết và tiết luyện tập về việc sử dụng định

lí đảo của định lí Talet để học sinh được củng cố và khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho các em kỹ năng trình bày khi gặp các dạng này Trong thời gian ôn tập các em được hệ thống lại một cách hoàn chỉnh theo các dạng toán trên Vì thế việc

áp dụng định lí Talet đảo để chứng minh đường thẳng song song trong các bài kiểm tra không còn khó khăn nữa

Đậy là một đề tài đã có nhiều bạn đọc quan tâm, là một phần có nhiều ứng dụng hay Tuy nhiên tôi đã trình bày theo quan điểm của mình, theo kinh nghiệm giảng dạy lớp 8 nhiều năm và cho thấy có hiệu quả tốt Rất mong được sự góp ý chân thành từ các đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú hơn

+) Qua áp dụng vấn đề nêu trên vào giảng dạy ở khối lớp 8 , kết quả thu được là học

sinh đã hình thành , định hướng được cách giải loại toán này Bằng phương pháp gợi mở nêu vấn đề , các câu hỏi dẫn dắt , các em tự phát hiện ra hướng giải cho từng bài tập Giáo viên tạo hứng thú , phát triển trí thông minh sáng tạo cho học sinh

+) Kết quả thực nghiệm:

Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn luyện giải một số bài tập tôi nhận thấy:

- Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến định lí Talet đặc biệt là việc sử dụng định lí Talet đảo để chứng minh các đường thẳng song song

- Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh hoạt được kiến thức đã học để giải toán

- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ

- Kết quả kiểm tra trên 20 em học sinh ở lớp 8C

Trước khi áp dụng chuyên đề Sau khi áp dụng chuyên đề