định lí choquet

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH HÀ HỮU NAM ĐỊNH LÍ CHOQUET Ngành : Toán. Chuyên ngành : Toán giải tích. Mã số : 60 46 01. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS ĐẬU THẾ CẤP THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 LỜI CẢM ƠN  Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đậu Thế Cấp, TS.Lê Thị Thiên Hương đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp em hoàn thành luận văn này. Em xin cám ơn các quý thầy, cô đã giảng dạy em trong suốt quá trình học cao học và các quý thầy cô trong hội đồng khoa học đã đọc và có những ý kiến đóng góp quý báu. Sau cùng, em xin chân thành cảm ơn các thầy cô làm việc tại phòng KHCN – SĐH đã giúp đỡ em rất nhiều trong quá trình học tập và khi thực hiện luận văn này. Hà Hữu Nam MỤC LỤC 0TLỜI CẢM ƠN0T 3 0TMỤC LỤC0T 4 0TMỘT SỐ KÍ HIỆU0T 5 0TMỞ ĐẦU0T 6 0TCHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ0T 7 0T1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên0T 7 0T1.2. Hàm hoàn toàn đơn điệu.0T 13 0T1.3. Một số kết quả đã sử dụng trong luận văn.0T 17 0T1.3.1. Định lí (Hahn – Banach)0T 17 0T1.3.2. Định lí (Stone – Weierstrass)0T 17 0T1.3.3. Bổ đề (Zorn)0T 17 0T1.3.4. Định lí (Riesz)0T 17 0T1.3.5. Bổ đề (Fatou)0T 18 0TChương 2. ĐỊNH LÍ CHOQUET0T 19 0T2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict0T 19 0T2.2. Định lí tồn tại Choquet – Bishop – De Leeuw0T 22 0TChương 3. ỨNG DỤNG0T 29 0T3.1. Định lí Rainwater và định lí Haydon0T 29 0T3.2. Biên Choquet0T 30 0T3.3. Áp dụng biên Choquet vào giải thức0T 36 0T3.4. Biên Choquet của các đại số đều0T 39 0TKẾT LUẬN0T 46 0TTÀI LIỆU THAM KHẢO0T 48 MỘT SỐ KÍ HIỆU exX là tập hợp các điểm cực biên của X. A là tập hợp các hàm affine liên tục, xác định trên X. C là tập hợp các hàm lồi liên tục, xác định trên X. C R C R(Y) là không gian các hàm nhận giá trị phức và liên tục trên Y theo chuẩn sup. K(M) là không gian trạng thái của tập hợp M. B(M) là biên Choquet của tập hợp M MỞ ĐẦU Vào đầu thế kỷ XX, nhiều lĩnh vực toán học, trong đó có giải tích, đã phát triển mạnh mẽ. Có rất nhiều khái niệm và kết quả mới đã ra đời trong thời kì này. Một trong những kết quả đó là lý thuyết Choquet, do giáo sư Gustave Choquet, người Pháp xây dựng nên. Lý thuyết này chủ yếu nghiên cứu hai lĩnh vực của toán học là giải tích hàm và giải tích lồi. Từ khi ra đời tới nay, lý thuyết Choquet đã được nhiều nhà toán học và nhiều nhà sư phạm quan tâm, nghiên cứu. Từ đó, Lý thuyết Choquet ngày càng được bổ sung hoàn chỉnh hơn cả về nội dung và ứng dụng của nó. Trong lý thuyết Choquet, nhiều kết quả cho thấy mối liên hệ giữa độ đo với tập hợp các điểm cực biên của một tập lồi X. Cùng với khái niệm “điểm biểu diễn bởi một độ đo”, Choquet đưa ra những kết quả quan trọng, có nhiều ứng dụng trong toán học. Trong luận văn này chúng tôi xét định lí Choquet trong trường hợp khả metric và nghiên cứu định lí tồn tại độ đo của Choquet–Bishop–De Leeuw. Ngoài ra luận văn còn đưa ra khái niệm biên Choquet cùng một số ứng dụng của nó trong giải tích hàm (định lí Rainwater và định lí Haydon), trong giải thức, đại số đều . Cụ thể luận văn gồm những chương sau. Chương một giới thiệu khái niệm độ đo biểu diễn điểm, độ đo tựa trên một tập con Borel và một số tính chất đơn giản liên quan đến điểm cực biên của một tập lồi. Ngoài ra, chương một cũng nêu khái niệm hàm hoàn toàn đơn điệu và định lí Bernstein về hàm hoàn toàn đơn điệu. Chương hai của luận văn dành cho việc chứng minh định lí Choquet trong trường hợp khả metric và định lí tồn tại độ đo của Bishop-De-Leeuw. Chương ba nêu các ứng dụng của định lí Choquet trong giải tích hàm qua hai định lí Rainwater và Haydon. Trong chương này, luận văn còn đưa ra khái niệm biên Choquet và ứng dụng của nó vào giải thức và đại số đều. CHƯƠNG 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Điểm biểu diễn bởi một độ đo – điểm cực biên Xét kết quả cổ điển sau đây của Minkowski: “ Nếu X là một tập con lồi compact của một không gian hữu hạn chiều E, và x là một phần tử của X, thì x là một tổ hợp lồi của hữu hạn những điểm cực biên trong X ”. Tức là khi đó, tồn tại những điểm cực biên 12 k x ;x ; ;x và các số dương 12 k ; ; ;µµ µ với ik i i1 1 = = µ= ∑ sao cho ik ii i1 xx = = = µ ∑ . Bây giờ ta trình bày lại sự biểu diễn này của x như sau. Với điểm y bất kì thuộc X, cho y ε là “điểm lượng” tại y, nghĩa là y ε là một độ đo Borel, y 1ε= tại bất kì các tập con Borel có chứa y của X, và y 0ε= tại các tập con Borel còn lại. Kể từ đây ta viết tắt i ε thay cho i x ε . Cho ii µ= µε ∑ thì µ là một độ đo Borel chính quy trên X, 0µ≥ và ( ) X1µ= . Ngoài ra, với mọi hàm số f là tuyến tính, liên tục trên E, ta có ( ) ( ) ( ) ii X fx fx fd=µ=µ ∑ ∫ . Khi đó ta nói rằng độ đo µ biểu diễn điểm x. Định nghĩa 1.1.1. Giả sử X là một tập compact khác rỗng của một không gian lồi địa phương E và µ là một độ đo xác suất trên X ( tức là độ đo µ chính quy và không âm trên X, với ( ) X1µ= ). Một điểm x trong E được gọi là biểu diễn bởi độ đo µ nếu ( ) X f x fd= µ ∫ với mọi hàm số f tuyến tính liên tục trên E . Ta còn viết ( ) fµ thay cho X fdµ ∫ . Khi đó ta nói: “ x là trọng tâm của µ ” hay “ x là tích chập của µ ”. Sự hạn chế E là một không gian lồi địa phương nhằm đảm bảo sự tồn tại của nhiều hàm trong E P * P tách những điểm; điều này bảo đảm rằng có nhiều nhất một điểm biểu diễn bởi độ đo µ , và sau nữa là chúng ta chú ý đến những độ đo trên vành σ , sao cho có mặt các độ đo Borel. Một điểm x tùy ý trong X được biểu diễn bình thường bởi x ε ; ở đây ta quan tâm đến vấn đề đã làm rõ bằng ví dụ trên, đó là: Với một tập con lồi compact X của một không gian hữu hạn chiều, với mọi x thuộc X, ta có thể biểu diễn nó bởi một độ đo xác suất, mà độ đo xác suất này được tựa trên các điểm cực biên của X. Định nghĩa 1.1.2. Nếu f là một độ đo chính quy không âm trên không gian compact Hausdoff X và S là một tập con Borel của X, ta nói rằng µ được tựa trên S nếu ( ) X\S 0µ= . Ta thấy nảy sinh vấn đề sau: “X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương E và x một phần tử của X. Khi đó có tồn tại một độ đo xác suất µ trên X, được tựa trên các điểm cực biên của X và biểu diễn x hay không ? Nếu µ tồn tại thì nó có duy nhất hay không ? ” Choquet đã chỉ ra rằng, nếu ta bổ sung giả thiết X khả mêtric thì khi đó sẽ tồn tại một độ đo xác suất µ trên X sao cho µ được tựa trên các điểm cực biên của X và biểu diễn x. Việc độ đo xác suất µ trên X có duy nhất hay không tùy thuộc vào tính chất hình học của X. Cho Y là một không gian Hausdorff compact, ( ) CY là một không gian Banach các hàm thực liên tục trên Y (theo chuẩn sup) và X là tập hợp tất cả các hàm L tuyến tính liên tục trên C ( ) Y thỏa mãn ( ) L1 1 L= = . Khi đó X là một tập con lồi compact của không gian lồi địa phương ( ) * E CY= (trong tôpô yếu của nó) và định lí Riesz khẳng định rằng, với mỗi LX∈ sẽ tương ứng với duy nhất một độ đo xác suất µ trên Y, sao cho ( ) ( ) Y L f fd , f C Y= µ∀ ∈ ∫ và Y là một đồng phôi (theo phép nhúng tự nhiên) với tập các điểm cực biên của X. Vậy ta có thể xem µ là một độ đo xác suất trên các tập con Borel của X, 0µ= trên tập mở X\Y. Khi đó µ được tựa bởi các điểm cực biên của X. Cần nhắc lại rằng E P * P là không gian của các hàm tuyến tính và liên tục yếu trên C(Y)P * P, bao gồm những hàm có dạng biến L thành L(f), với f ∈ C(Y), để thấy rằng đây là một dạng biểu diễn mà chúng ta đang quan tâm. Có hai điểm ở phần trên nên nhấn mạnh: Thứ nhất, các điểm cực biên của X tạo nên một tập con compact. Thứ hai, sự biểu diễn trên là duy nhất. Dễ thấy rằng, một độ đo xác suất bất kì µ trên Y xác định một hàm tuyến tính liên tục trên C(Y), mà nó thuộc X. Việc này là hoàn toàn đúng như kết quả sẽ trình bày sau đây. Trước tiên ta nhắc lại rằng một hàm φ từ một không gian tuyến tính vào một không gian tuyến tính khác là hàm affine nếu nó thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x1 y x 1 yφ λ + −λ =λφ + −λ φ với mọi x, y và mọi số thực λ . Mệnh đề 1.1.3. Cho Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E, và bao lồi đóng X của Y là một tập compact. Nếu µ là một độ đo xác suất trên Y thì tồn tại duy nhất một điểm xX∈ được biểu diễn bởi µ và hàm µ là một ánh xạ affine liên tục yếu từ ( ) * CY vào trong X. Chứng minh. Ta sẽ chứng minh rằng tập lồi compact X chứa điểm x thỏa mãn ( ) * Y f x fd , f E= µ∀ ∈ ∫ . Với mỗi * fE∈ , ta đặt ( ) ( ) { } f H y:f y f= = µ ; thì f H là những siêu phẳng đóng, và chúng ta cần chứng minh { } * f H :f E X∩ ∈ ∩ ≠∅ Vì X là tập compact, nên với mọi tập hữu hạn f R 1 R,…,fR n R trong EP * P, i n f i1 HX = ∩∩ là khác rỗng. Xét ánh xạ n T:E R→ thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) 12 n Ty f y ,f y , ,f y= Khi đó T là ánh xạ tuyến tính, liên tục Do đó TX là tập lồi, compact, điều đó chứng tỏ rằng p TX∈ , với ( ) ( ) ( ) ( ) 12 n p f , f , , f=µµ µ . Thật vậy, nếu p TX∉ thì tồn tại một hàm tuyến tính trên RP n P tách chặt p và TX. Biểu diễn hàm này là ( ) 12 n a a ;a ; ;a= , ta có ( ) ( ) { } a;p sup a;Ty :y X>∈ . Nếu kí hiệu * gE∈ là ii g af= ∑ thì khẳng định cuối trở thành ( ) Y gd supg Xµ> ∫ . Từ bao hàm YX⊂ và ( ) Y1µ= suy ra mẫu thuẫn. Vậy phần thứ nhất của chứng minh được hoàn thành. Tiếp theo, giả sử lưới α µ của độ đo xác suất trên Y hội tụ yếu trong C(X)P * P về một độ đo xác suất µ , cho x α và x là tích chập tương ứng của chúng. Vì X là tập compact nên ta cần chứng minh rằng xx α → , điều đó đủ để chứng tỏ rằng mọi lưới con hội tụ x β của x α hội tụ về x. Nhưng nếu ta chọn xy β → thì lưới con tương ứng β µ hội tụ yếu về µ và do đó ( ) ( ) ( ) ( ) * fx f f fx, f E ββ =µ →µ = ∀ ∈ , từ điều cuối cùng tách các điểm của X, và x = y. Giả thiết rằng X là tập compact có thể nằm trong không gian E, mà trong đó bao lồi đóng của một tập compact luôn luôn là tập compact. Ví dụ như, nếu không gian E là đầy đủ hoặc E là một không gian lồi địa phương thu được bằng cách lấy một không gian Banach trong tôpô yếu của nó. Một điều đơn giản nhưng hữu ích, là đặc điểm của bao lồi đóng của một tập compact có thể được cho bằng những số hạng của những độ đo và các trọng tâm của nó. Mệnh đề 1.1.4. Giả sử Y là một tập con compact của một không gian lồi địa phương E. Một điểm x của E thuộc bao lồi đóng X của Y nếu và chỉ nếu tồn tại một độ đo xác suất µ trên Y biểu diễn điểm x. Chứng minh Nếu µ là một độ đo xác suất trên Y biểu diễn điểm X thì với mỗi * fE∈ ( ) ( ) ( ) ( ) f x f supf Y supf X=µ≤ ≤ . Vì X là tập lồi và đóng nên dẫn đến x thuộc X. Ngược lại, nếu x thuộc X thì sẽ tồn tại một lưới trong bao lồi của Y hội tụ về x, tương đương với việc tồn tại điểm y α có dạng n ii i1 yx α αα α = = λ ∑ ( i ii 0, 1, x α αα λ> λ= ∑ thuộc vào Y, α thuộc vào một vài tập định hướng) hội tụ về x. Ta có thể biểu diễn điểm y α bởi độ đo xác suất ii x αα α µ= λ ∑ . Theo định lí Riesz, tập hợp tất cả các độ đo xác suất trên Y có thể đồng nhất với một tập con lồi, compact yếu của C(Y) P * P, từ đó tồn tại một lưới con β µ của α µ , hội tụ ( trong tôpô yếu của C(Y)P * P ) về một độ đo xác suất µ trên Y. Trong trường hợp đặc biệt, mỗi hàm * fE∈ ( khi thu hẹp trên Y) thuộc vào C(Y), vì vậy lim fd fd β µ= µ ∫∫ . Vì y α hội tụ về x, nên lưới con y β cũng hội tụ về x, và do đó ( ) Y f x fd= µ ∫ với mỗi * fE∈ . Vậy mệnh đề đã được chứng minh. Từ mệnh đề trên, chúng ta dễ dàng trình bày lại định lí Krein – Milman. Ta nhắc lại phát biểu sau: “ Nếu X là một tập con lồi compact của một không gian lồi địa phương, khi đó X là một bao lồi đóng của các điểm cực biên của nó”. [...]... dµ ≤ liminf ∫ f n dµ A A Chương 2 ĐỊNH LÍ CHOQUET 2.1 Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict Trong phần này ta sẽ chứng minh định lí Choquet trong trường hợp X là khả mêtrict Đây là trường hợp đặc biệt của định lí Choquet- Bishop-De Leeuw tổng quát, nhưng việc chứng minh nó cho chúng ta những điều cần thiết trong kết quả chính Giả sử rằng h là một hàm số thực xác định trên một tập lồi C Hàm số h... độ đo cực đại được tựa trên mỗi tập đóng, chứa tập hợp các điểm cực biên của X thì ta thấy định lí Choquet- Bishop- De Leeuw là trường hợp tổng quát của định lí Krein-Milman Tiếp theo chúng ta sẽ diễn tả một cách rõ ràng hơn về định lí Choquet- Bishop- De Leeuw, sao cho việc vận dụng nó được dễ dàng hơn Định lí 2.2.7: (Bishop – De Leeuw) Giả sử X là một tập con lồi compact của không gian lồi địa phương... trong K 3.2 Biên Choquet Ở trong phần mở đầu ta đã biết định lí biểu diễn Riesz đã được trình bày lại theo kiểu định lí biểu diễn của Choquet Mặc dù, kết luận của định lí Riesz là đầy đủ và chính xác, nhưng những giả thiết của nó đã hạn chế việc áp dụng nó vào một lớp các tập lồi compact Do đó, tiếp theo chúng ta sẽ mô tả một họ các tập hợp có vẻ rộng hơn các tập hợp liên quan trong định lí Riesz, nhưng... khác rỗng và rời nhau Theo định lí tách, tồn tại một hàm tuyến tính L liên tục trên E × R và một số thực λ sao cho sup L ( J1 ) < λ < infL ( J 2 ) Nếu chúng ta xác định một hàm f trên E, bởi công thức L ( x;f ( x ) ) = λ , thì f là một hàm affine liên tục và g ( x ) < f ( x ) < g ( x ) + ε với x ∈ X , vậy mệnh đề được chứng minh Chương 3 ỨNG DỤNG 3.1 Định lí Rainwater và định lí Haydon Trong phần này... nếu L ∈ K ( M ) thì theo định lí Hahn-Banach (dạng số phức) nó có thể mở rộng thành một phần tử của K( CC ( Y ) ) Theo định lí Riesz, tồn tại một độ đo phức µ trên Y sao cho L ( f ) = ∫ fdµ,f ∈ M , và do đó µ Y là một độ đo xác suất Định nghĩa 3.2.2 Cho Y là một không gian Hausdoff và compact Nếu y là một phần tử f ( y) trong Y, ta định nghĩa φy là một phần tử của K(M) xác định bởi công thức ( φy )(... được suy ra từ định nghĩa như sau: + Khẳng định a) được suy ra từ việc những hàm không đổi là hàm affine + Khẳng định b) được chứng minh như sau: Nếu f là hàm lõm và nửa liên tục trên, thì trong không gian lồi địa phương E × R= tập hợp K {( x;r ) : f ( x ) ≥ r} ( tức là những điểm nằm dưới đồ thị của f) là đóng và lồi Nếu f ( x1 ) < f ( x1 ) tại một số điểm x1 , thì định lí tách R R khẳng định sự tồn... n= )( g ) ∫ Qx dµ n và ( Qx )( g ) = ∫ Qxdµ Ngoài ra, {Qx n } hội tụ về Qx trên U hầu khắp nơi theo độ đo µ Vậy theo định lí hội tụ bị chặn Lebesgue thì chứng minh )dµ ∫ ( Qx = ∫ Qxdµ , định lí đã được n + Ứng dụng thứ hai (Được giải quyết trong không gian Banach tùy ý) U U Định lí 3.1.2 (Haydon) Cho E là một không gian Banach thực và K là một tập con lồi compact yếu* của E*, thì exK tách được theo... yêu cầu phải chứa các điểm cực biên, thì khi đó định lí biểu diễn độ đo sẽ thực hiện được.( Những tập Baire là những phần tử của vành σ được tạo ra bởi những tập compact G σ ) Ngoài ra, kết quả này dẫn đến một định lí tương đương, trong đó định nghĩa về “độ đo tựa trên các điểm” về mặt hình thức thì như trên, nhưng độ đo được xét ở đây rộng hơn độ đo Borel Định nghĩa 2.2.1 Giả sử λ và µ là các độ đo Borel... và cả những hàm tuyến tính trên C ([ 0;+∞ ]) , µ và ν bằng nhau trên A Từ việc A tách những điểm của đoạn [ 0;+∞ ] nên từ định lí Stone-Weierstrass suy ra A trù mật trong C ([ 0;+∞ ]) , vậy µ = ν Định lí được chứng minh 1.3 Một số kết quả đã sử dụng trong luận văn 1.3.1 Định lí (Hahn – Banach) Cho M là một không gian véctơ con của một không gian véctơ tôpô lồi địa phương ( E;τ ) và f là một ánh xạ... L(f ) = Y Choquet của M Chứng minh Áp dụng định lí Hahn – Banach và định lí Riesz, ta thu được một độ đo λ = λ1 − λ 2 + i ( λ 3 − λ 4 ) trên Y sao cho L ( f ) = λ ( f ) với mỗi f ∈ M Với mỗi i ta có thể tìm thấy một độ đo cực đại µi trên K(M) với µi > λ i Ta đã biết rằng µi bị triệt tiêu trên các tập Baire, mà các tập này không giao nhau với λi ( B(M) và µi ( f ) =f ) với f ∈ M Nếu ta định nghĩa . CHOQUET0 T 19 0T2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict0T 19 0T2.2. Định lí tồn tại Choquet – Bishop – De Leeuw0T 22 0TChương 3. ỨNG DỤNG0T 29 0T3.1. Định lí Rainwater và định lí Haydon0T 29. 0T1.3.1. Định lí (Hahn – Banach)0T 17 0T1.3.2. Định lí (Stone – Weierstrass)0T 17 0T1.3.3. Bổ đề (Zorn)0T 17 0T1.3.4. Định lí (Riesz)0T 17 0T1.3.5. Bổ đề (Fatou)0T 18 0TChương 2. ĐỊNH LÍ CHOQUET0 T. CHOQUET 2.1. Định lí Choquet cho trường hợp khả mêtrict Trong phần này ta sẽ chứng minh định lí Choquet trong trường hợp X là khả mêtrict. Đây là trường hợp đặc biệt của định lí Choquet- Bishop-De