NĂNG lực mô HÌNH hóa TOÁN học của học SINH lớp 10 TRONG học THEO bối CẢNH

việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huốngthực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần chođến khi có được một kết

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HUỲNH HỮU HIỀN

NĂNG LỰC MÔ HÌNH HOÁ TOÁN HỌC

CỦA HỌC SINH LỚP 10 TRONG HỌC THEO BỐI CẢNH

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN

Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS TRẦN VUI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình và kết quả nghiên cứu của riêng tôi, các

số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, chưa từng được công

bố trong bất kỳ một công trình nào khác cho đến hiện tại

Thừa Thiên Huế, tháng 6 năm 2016

Huỳnh Hữu Hiền

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến:

PGS.TS Trần Vui đã tận tình hướng dẫn, động viên và giúp đỡ tôi trong quátrình học tập, nghiên cứu và thực hiện đề tài

Ban giám hiệu, quý thầy cô trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Huế

đã tận tình giảng dạy những kiến thức chuyên môn hết sức quý báu

TS.Trần Kiêm Minh, TS Nguyễn Thị Duyến, TS Nguyễn Phương Thảo, TS.Nguyễn Đăng Minh Phúc đã có những lời khuyên và những bài giảng và tài liệu hếtsức quý báu liên quan đến đề tài; và giúp ý chúng tôi thực hiện đề tài này

Ban giám hiệu, các thầy cô bộ môn Toán và các em học sinh trường THPTLong Xuyên, tỉnh An Giang đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình tiếnhành viết luận văn và thực nghiệm sư phạm

Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè vàđồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện đề tài

Thừa Thiên Huế, tháng 6 năm 2016

Huỳnh Hữu Hiền

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

Danh mục các chữ viết tắt 4

Danh mục các hình và sơ đồ 5

Danh mục các bảng 5

Chương 1 MỞ ĐẦU 6

1.1 Giới thiệu 6

1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu 6

1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu 7

1.2 Mục tiêu nghiên cứu 9

1.3 Câu hỏi nghiên cứu 9

1.4 Các định nghĩa và thuật ngữ 9

1.5 Ý nghĩa của nghiên cứu 10

1.6 Cấu trúc luận văn 10

Chương 2: TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 12

1 Khái niệm mô hình hóa toán học 12

2 Một số quy trình mô hình hóa toán học: 13

2.1 Sơ đồ Pollak (1979) 13

2.2 Sơ đồ của Blum (2005) 13

2.3 Sơ đồ của Stillman (2007) 14

2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA (2006) 14

2.5 Các bước của quy trình mô hình hoá 15

2.6 Các giai đoạn của quy trình mô hình hoá toán học 15

3 Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh 16

3.1 Năng lực (Competence) 16

3.2 Năng lực mô hình hoá 16

Từ nghiên cứu của 19

3.3 8 Kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học 19

4 Bối cảnh và học theo bối cảnh: 21

4.1 Bối cảnh (Context) 21

4.2 Học theo bối cảnh 22

5 Chiến lược REACT 23

5.1 Liên hệ (Relating) 24

5.2 Trải nghiệm (Experiencing) 25

5.3 Ứng dụng (Applying) 26

5.4 Hợp tác (Cooperating) 26

5.5 Chuyển đổi (Transferring) 26

6 Các nguyên tắc của việc học theo bối cảnh 28

Kết luận chương 2 29

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 30

3.1 Thiết kế nghiên cứu 30

3.1.1 Phương pháp nghiên cứu 30

3.1.2 Mẫu nghiên cứu 30

3.2 Đối tượng tham gia 31

3.3 Công cụ nghiên cứu 31

3.3.1 Phiếu bài tập số 1 (gồm 3 bài dành cho 24 nhóm) 31

3.3.2 Phiếu bài tập số 2 39

3.3.3 Thiết kế đánh giá năng lực mô hình hoá của học sinh (theo 6 mức) 42

3.3.4 Bảng hỏi dành cho học sinh và giáo viên 45

3.4 Quy trình thu thập và phân tích dữ liệu 45

3.4.1 Thu thập dữ liệu 45

3.4.2 Phân tích dữ liệu 46

3.5 Các hạn chế 47

Kết luận chương 3 47

Chương 4 CÁC KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 48

4.1 Kết quả thăm dò phiếu bài tập 48

4.2 Kết quả từ bài tập nhóm cho học sinh về nhà làm (bài toán 4) 59

4.3 Kết quả thăm dò từ bảng hỏi học sinh 64

4.4 Kết quả thăm dò từ bảng hỏi giáo viên 66

Kết luận chương 4 67

5.1 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 68

5.1.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 68

5.1.2 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ nhất 69

5.2 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai 71

5.2.1 Kết luận cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 71

5.2.2 Lý giải cho câu hỏi nghiên cứu thứ hai 73

5.3 Một số kiến nghị nâng cao về việc nâng cao chất lượng của dạy và học theo mô hình hóa 73

5.4 Vận dụng 75

KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CORD The leading educational change agency, and accomplishes its

purpose by marketing and disseminating programs developed byCORD and others

NCTM Hội đồng Quốc gia Giáo viên Toán Hoa Kì

OECD Organization for Economic Co-operation and Development

Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tếPISA Programme for International Student Assessment

Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tếTHPT Trung học phổ thông

Tech Prep The Cornerstone of Tech Prep: một xu hướng cải cách giáo dục hàng

đầu ở Hoa Kỳ học theo bối cảnh

DANH MỤC CÁC HÌNH VÀ SƠ ĐỒ

Hình 2.1 Sơ đồ Pollak 13

Hình 2.2 Sơ đồ của Blum (2005) 13

Hình 2.3 Sơ đồ của Stillman 14

Hình 2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA 14

Hình 2 5 Sơ đồ mối quan hệ 8 kĩ năng mô hình hoá và các mức năng lực mô hình hoá 21

Hình 2.6 Các yếu tố chủ yếu của các chiến lược REACT 24

DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Bảng các mức trong đánh giá khả năng mô hình hoá đối với học sinh 20

Bảng 2.2 Tóm tắt chiến lược REACT 27

Bảng 3.1 Mức năng lực bài toán 1 42

Bảng 3.2 Mức năng lực câu hỏi 2.1 42

Bảng 3.3 Mức năng lực câu hỏi 2.2 43

Bảng 3.4 Mức năng lực câu hỏi 3.1 43

Bảng 3.5 Mức năng lực câu hỏi 3.2 44

Bảng 3.6 Mức năng lực bài toán 4 44

Bảng 4.1 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 1 48

Bảng 4.2 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 2 – Câu hỏi 2.1 51

Bảng 4.3 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 2 – Câu hỏi 2.2 53

Bảng 4.4 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 3 – Câu hỏi 3.1 56

Bảng 4.5 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 3 – Câu hỏi 3.2 58

Bảng 4.6 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 4 59

Bảng 5.1 Đánh giá về mức mô hình hoá (phiếu số 1) 71

Bảng 5.2 Đánh giá về mức mô hình hoá bài toán 4 72

Chương 1 MỞ ĐẦU1.1 Giới thiệu

1.1.1 Nhu cầu nghiên cứu

Giáo dục Toán học được đánh dấu một bước phát triển mới bằng một hộinghị quốc tế gồm các nhà giáo dục toán tổ chức tại Bologna năm 1908 Đến 1968,

tại Hội nghị quốc tế về Giáo dục toán học (ICME), khái niệm mô hình hóa toán học

được đưa ra và thảo luận Năm 1970, Aristides Camargo Barreto (người Brazil) báocáo tại Hội nghị quốc tế ICME III và IV về việc sử dụng mô hình toán học trong

âm nhạc ở các lớp học của mình tại PUC- RJ, Rio de Janeiro, Brazil Cho đến nay,việc thực hiện mô hình hóa toán học trong nhà trường ngày càng được thúc đẩynhằm đáp ứng mục tiêu tăng cường giáo dục toán theo hướng xuất phát từ bối cảnhthực tế, được đặt ra bởi nhiều nhà giáo dục từ giữa thế kỉ 20 đến nay như Galbraith(1995), Blum (1996) Trong đó, mô hình hóa toán học là quá trình tạo ra các môhình toán học để giải quyết các vấn đề thực tế, nó được xây dựng bằng cách chuyểncác vấn đề từ thực tiễn với ngôn ngữ viết sang ngôn ngữ biểu tượng, kí hiệu (sau

này tôi xin được gọi là mô hình hoá) Nói cách khác, “mô hình hóa là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một

mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý” (Trần Vui, 2014,

[7]) Mô hình hóa toán học được đặc trưng bởi môi trường mà trong đó học sinhđược yêu cầu khám phá tri thức thông qua môn toán hoặc các tình huống thực tế cótính chất liên môn khác Vì vậy, tích hợp các tình huống thực tế vào các hoạt độngdạy học trên lớp học đóng vai trò rất quan trọng nhằm giúp cho học sinh thấy đượctính ứng dụng thực tiễn của toán học

Thông qua mô hình, chúng ta có thể thao tác và khám phá các thuộc tính củađối tượng mà không cần đến vật thật Mô hình ở đây còn có thể hiểu là các hình vẽ,

các mô hình ảo trên máy vi tính (Van Den Heuvel-Panhuizen, 2003; Van de Walle,2004) Mô hình hoá toán học giúp học sinh nhận biết được ý nghĩa, vai trò của kiếnthức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phân tích, suy luận, lập luận vàgiải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, bối cảnh khác nhau; phát triển

tư duy phê phán và khả năng liên hệ kiến thức toán học vào thực tế cuộc sống và vớicác môn học khác, hoặc có thể vận dụng một phần vào liên môn

Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khámphá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ toán học với sự hỗ trợ của đồdùng dạy học, công nghệ thông tin Quá trình này đòi hỏi các kĩ năng và thao tác tưduy toán học như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Môhình hóa cũng cho thấy mối quan hệ giữa thực tiễn với các vấn đề trong sách giáokhoa dưới góc nhìn của toán học Các nghiên cứu của Niss (1989) và Mason &Davis (1991) cho rằng, ở trường phổ thông, cách tiếp cận này giúp việc học toáncủa học sinh trở nên có ý nghĩa hơn, tạo động cơ tích cực và niềm say mê học toán

Học theo bối cảnh là một trong số các con đường để phát triển khả năng kết

nối toán học với thực tế nhằm phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho họcsinh Trong đó có thể nói đến Tech Prep, Tech Prep giúp học sinh nâng cao thànhtích học tập khi các em có thể liên hệ các khái niệm mới với thế giới thực thông quakinh nghiệm của bản thân, bạn bè hoặc của giáo viên cung cấp Tech Prep đã tạo ra

sự thay đổi cơ bản trong chương trình giảng dạy Ở đó, giáo viên thực hiện từ 9 đến

14 tiết dạy những kiến thức nền và kĩ năng cơ bản, sau đó sử dụng thực hành dạy vàhọc theo bối cảnh là chủ yếu Từ 1985-1995, các kết quả thu được đã chỉ ra rằngnhững học sinh trước đây yếu kém trong toán học và khoa học trừu tượng có thể đạtđược mức độ cao trong các lĩnh vực trên nếu các em được giảng dạy trong một bốicảnh có tính vận dụng và thực hành (CORD, 1999, [22])

1.1.2 Phát biểu vấn đề nghiên cứu

Mô hình hóa toán học là chủ đề đang thu hút sự quan tâm nghiên cứu củanhiều nhà giáo dục trên thế giới (Michael L Crawford, Jacinta Johnny, Wanty

Nga, Trần Dũng, Nguyễn Danh Nam ) Mô hình hoá toán học từ lâu đã được xem

là chiếc cầu nối để gắn kết việc học toán của học sinh với thế giới thực Tuy nhiên,

ở Việt Nam vận dụng mô hình hóa toán học vào khung cảnh trường học chưa đượcquan tâm đúng mức Một số nghiên cứu ở Việt Nam (Nguyễn Danh Nam, 2015,[5])

đã chỉ ra rằng chương trình sách giáo khoa môn Toán của Việt Nam (ban cơ bản vànâng cao) có rất ít bài toán mang bối cảnh thực tế, hầu hết các bài toán chỉ là vậndụng kiến thức và các công thức vừa học để giải toán hoặc các bài toán mangyếu tố “áp dụng toán” Ngay cả sách hướng dẫn giáo viên cũng chưa đặt mô hìnhhóa toán học đúng với vị trí của nó vì thế giáo viên thiếu các kinh nghiệm cần thiếtkhi thực hành dạy học theo xu hướng gắn kết với thực tiễn, nhiều giáo viên sử dụngcác tình huống, ví dụ có sẵn trong sách giáo khoa; không biết xây dựng tình huốngdạy học cũng như các vấn đề toán học xuất phát từ thực tiễn Học sinh vì thế màthiếu cơ hội làm việc thường xuyên với các tình huống mô hình hóa toán học Do đócác em không phát huy được năng lực gắn kết toán học với thực tế Hầu hết các emđều không giải quyết trọn vẹn tình huống mô hình hóa toán học Trong lúc đó, dạyhọc theo bối cảnh cho phép học sinh sử dụng sự hiểu biết và khả năng học tập củamình trong một loạt các bối cảnh trong và ngoài nhà trường để giải quyết vấn đềđược mô phỏng hoặc từ thế giới thực tế (bởi bản thân hay với những bạn học khác),Pate (2003, [19]) Điều này cho thấy học theo bối cảnh có thể là chất xúc tác để pháttriển khả năng kết nối toán học với thế giới thực nói chung và năng lực mô hình hóatoán học nói riêng Từ đó, chúng tôi muốn tìm hiểu nhiều hơn cơ hội phát triển nănglực mô hình hóa toán học của học sinh trong môi trường dạy học theo bối cảnh Do

đó, chúng tôi quyết định chọn “NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦAHỌC SINH LỚP 10 TRONG HỌC THEO BỐI CẢNH” là đề tài để nghiên cứu choluận văn này Kết quả của đề tài sẽ là một đóng góp nhỏ nhằm có sự hiểu biết nhấtđịnh về các mức năng lực mô hình hoá của học sinh trong học theo bối cảnh cũngnhư những thuận lợi và khó khăn của học sinh trong quá trình mô hình hoá các bàitoán theo bối cảnh

1.2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chung của luận văn là tìm hiểu, đánh giá năng lực mô hình hóa toánhọc của học sinh lớp 10 THPT trong học theo bối cảnh và những thuận lợi và khókhăn của HS khi tiến hành hoạt động mô hình hóa toán học trong học theo bối cảnh

Mục tiêu cụ thể trong nghiên cứu này là:

+ Tìm hiểu quy trình mô hình hoá toán học

+ Tìm hiểu năng lực mô hình hoá của học sinh

+ Xem xét năng lực mô hình hoá toán học của nhóm học sinh lớp 10 khi họctheo bối cảnh

+ Tìm hiểu một số thuận lợi và khó khăn của học sinh khi học theo bối cảnh.+ Xem xét thái độ của học sinh trong khi tiến hành hoạt động mô hình hóatoán học trong môi trường học theo bối cảnh

1.3 Câu hỏi nghiên cứu

Với mục tiêu nghiên cứu đã được đề cập ở trên, nghiên cứu này nhằm tìmcách trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu sau:

1 Những thuận lợi và khó khăn của học sinh lớp 10 khi tiến hành hoạt động

mô hình hóa toán học trong học theo bối cảnh là gì?

2 Năng lực mô hình hóa của học sinh lớp 10 trong học theo bối cảnh thểhiện như thế nào?

1.4 Các định nghĩa và thuật ngữ

Toán học hóa là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực sang vấn đề toán bằng

cách thiết lập một mô hình toán học Để làm được điều này, học sinh đòi hỏi phảihiểu vấn đề, nghiên cứu thông tin được cho, loại bỏ các thông tin không cần thiết,đưa ra các giả thuyết phù hợp và đơn giản hóa vấn đề để có thể giải quyết Học sinhcần nhận ra các khái niệm toán học, các biến và biểu diễn vấn đề dưới dạng toánhọc, đưa ra một mô hình toán như hình vẽ, đồ thị, hàm số hoặc hệ các phươngtrình (Nguyễn Thị Tân An, 2014, 2)

Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi từ các vấn đề thực tế

sang các vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từbước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm

việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huốngthực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần chođến khi có được một kết quả hợp lý.

Một các tổng quát “mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi một vấn đềthực tế sang một vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toánhọc, thể hiện và đánh giá lời giải trong bối cảnh thực tế, cải tiến mô hình nếu cáchgiải quyết không thể chấp nhận”, Edwards và Hamson (2001)

Năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá

trình mô hình hóa (toán học hoá, giải bài toán, thông hiểu, đối chiếu) nhằm giảiquyết vấn đề được đặt ra (Nguyễn Danh Nam, 2015, 5)

Theo PISA, bối cảnh là một phần thế giới của học sinh trong các nhiệm vụ

được đưa ra

Tình huống của một câu hỏi là sự thể hiện cụ thể trong một bối cảnh Nó

bao gồm tất cả những yếu tố chi tiết được sử dụng để thiết lập vấn đề

Học theo bối cảnh: việc học chỉ xảy ra khi học sinh xử lí những thông tin

mới hoặc kiến thức mới theo cách phù hợp với suy nghĩ và kinh nghiệm của các em.Điều này có thể hiểu là từ thế giới nội tâm của học sinh (thế giới nội tâm của họcsinh về bộ nhớ, kinh nghiệm và phản ứng) Tâm trí tự nhiên tìm kiếm ý nghĩa trongbối cảnh bằng cách tìm kiếm các mối quan hệ có ý nghĩa và vẻ hữu ích [23], [26]

1.5 Ý nghĩa của nghiên cứu

Thăm dò, đánh giá năng lực mô hình hoá của học sinh lớp 10 trong học theobối cảnh Phản ánh được các mức năng lực của học sinh, những khó khăn mà họcsinh gặp phải trong quá trình vận dụng kiến thức, kĩ năng đã biết để mô hình hoánhằm giải quyết bài toán theo bối cảnh trong của mẫu thực nghiệm

1.6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mục lục, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bàytrong 5 chương:

Lời giới thiệu

Chương 1: Mở đầu

Chương 2: Tổng quan các kiến thức liên quan

Chương 3: Phương pháp nghiên cứu

Chương 4: Kết quả nghiên cứu

Chương 5: Kết luận, lý giải và vận dụng.

Kết luận chương 1

Trong chương này chúng tôi đã trình bày mục tiêu và ý nghĩa của đề tài:

“Năng lực mô hình hoá toán học của học sinh lớp 10 trong học theo bối cảnh”.

Đồng thời, chúng tôi cũng phát biểu hai câu hỏi nghiên cứu Chúng tôi sẽ trình bàynền tảng lý thuyết làm cơ sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương tiếp theo

Chương 2: TỔNG QUAN CÁC KIẾN THỨC LIÊN

QUAN

1 Khái niệm mô hình hóa toán học

Mô hình hóa toán học là quá trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng cáccông cụ toán học (Trần Vui, 2014, 7) Mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trìnhchuyển đổi từ các vấn đề thực tế sang các vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứliên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tế, quyết định một

mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường toán, giải thích đánh giá kết quảliên quan đến tình huống thực tế và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lạiquá trình nhiều lần cho đến khi có được một kết quả hợp lý

Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khámphá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học nhưhình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, công thức, .(Micheal, 2001, [ 17]) Do đó, mô hình hóa giúp học sinh nhận biết được ýnghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; phát triển khả năng phântích, suy luận, lập luận và giải quyết vấn đề toán học trong những tình huống, hoàncảnh khác nhau; phát triển tư duy phê phán và khả năng liên hệ kiến thức toán họcvới các môn học khác

Đây là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi qua lại hai chiềugiữa toán học và thực tế, vì vậy đòi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác nhautrong các lĩnh vực kiến thức có liên quan Do đó, bên cạnh việc cung cấp cho họcsinh những kiến thức và kĩ năng liên quan đến toán học như là khái niệm, định lý,công thức, quy tắc… việc dạy toán đòi hỏi giúp học sinh phát triển khả năng kết nốicác kiến thức, cũng như kĩ năng toán học cụ thể để giải quyết những vấn đề thực tế.Khi sử dụng toán để giải quyết các vấn đề trong lĩnh vực ngoài toán thì áp dụng môhình toán học và quá trình mô hình hóa toán học là cần thiết Khi đó mô hình hóatoán học cần thiết đối với học sinh vì các lý do chính sau đây (Trần Vui, 2014, 7):

- Cho phép học sinh hiểu được mối liên hệ giữa toán học với cuộc sống, môitrường xung quanh và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên có ýnghĩa hơn

- Trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học như một công cụ để giảiquyết vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngoài toán, từ đó giúp các em thấyđược tính hữu ích của toán học trong thực tế Đánh giá cao khả năng sử dụng toánvào các tình huống ngoài toán

- Góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, toàn diện và phong phú của toánhọc, giúp học sinh thấy được đó không chỉ là một ngành khoa học mà còn là mộtphần của lịch sử và văn hóa loài người

- Giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thái độ tích cựccủa các em đối với toán, tạo động cơ, thúc đẩy việc học toán

- Phát triển các năng lực suy luận, khám phá, sáng tạo, giải quyết vấn đề thực

tế của học sinh

2 Một số quy trình mô hình hóa toán học:

Có nhiều quy trình mô hình hóa toán học đã được các nhà toán học, giáo dụchọc nghiên cứu, công bố và sử dụng nhiều trong những thập niên vừa qua Tiêu biểu

TG thực

Hình 2.2 Sơ đồ của Blum (2005)

1: Hiểu tình huống được cho, xây dựng một mô hình cho tình huống đó;2: Đơn giản hóa và đưa vào các biến phù hợp để được mô hình thực;3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán;

4: Giải toán để đạt được kết quả toán;

5: Thể hiện kết quả toán trong ngữ cảnh thực tế;

6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hay thực hiện quá trình lần 2;7: Trình bày cách giải quyết

2.3 Sơ đồ của Stillman (2007)

Hình 2.3 Sơ đồ của Stillman

1 Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống

2 Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán

3 Giải toán

4 Giải thích kết quả toán

5 So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lý

6 Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình thỏa đáng)

7 Lặp lại quá trình (nếu mô hình không thỏa đáng)

TG thực

T.huống

thực tế

MH tình huống

Mô hình toán

Kquả thực

Kết quả toán

Mô hình thực

TG Toán học

2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA (2006)

Hình 2.4 Sơ đồ theo OECD/PISA

4: Giải quyết bài toán;

5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xácđịnh những hạn chế của lời giải

2.5 Các bước của quy trình mô hình hoá

Qua tham khảo từ một số các quy trình mô hình hóa toán học khác nữa(Kaiser và Blum, 2011; Frank Swetz và J S Hartler, 1991), chúng tôichọn quy trình mô hình hoá của OECD/PISA (2006) để nghiên cứu và cóthể tạm phân chia quá trình mô hình hoá theo 5 bước chính

Bước 1: Là một quy trình được bắt đầu bởi một tình huống thực tế, tình huống này

thường được cấu trúc lại (đơn hóa, lý tưởng hóa bằng cách cắt tỉa – thu gọn) đểđược một mô hình phỏng thực tiễn;

Bước 2: Mô hình phỏng thực tiễn được phát biểu lại bằng ngôn ngữ toán học;

Bước 3: Được giải quyết trong môi trường toán học để được một kết quả toán học; Bước 4: Kết quả này được phiên dịch lại để có câu trả lời trong tình huống thực tế

ban đầu;

Bước 5: Sự phù hợp của kết quả phải được kiểm tra, trong trường hợp mà lời giải

Lời giải thực tế 5 Lời giải toán học

2.6 Các giai đoạn của quy trình mô hình hoá toán học

Theo nghiên cứu của Swetz & Hartzler (1991), quy trình mô hình hóa toánhọc gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây [5]:

+ Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả

thuyết để đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngônngữ toán học

+ Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phương pháp toán

học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã được toán học hóa

+ Giai đoạn 3 (Thông hiểu): Hiểu ý nghĩa lời giải của bài toán đối với tình

huống trong thực tiễn (bài toán ban đầu)

+ Giai đoạn 4 (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế

của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phươngpháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng

3 Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh

3.1 Năng lực (Competence)

Năng lực là tổ hợp các kĩ năng của cá nhân đảm bảo thực hiện được một

dạng hoạt động nào đó

Năng lực toán (Mathematical competence) là tổ hợp các kĩ năng của một cá

nhân đảm bảo thực hiện các hoạt động toán học Các kĩ năng của cá nhân vừa là sảnphẩm của sinh lý (có sẵn) vừa là sản phẩm của tâm lý (do rèn luyện mà có) Cáchoạt động toán học đó là các thao tác đặc trưng (phân tích, suy luận, lập luận, chứngminh,…) với các đối tượng, nội dung toán học

Niss (2004) cho rằng năng lực toán học có nghĩa là khả năng hiểu toán, phánđoán, làm và sử dụng toán học trong một loạt các bối cảnh và tình huống trong vàngoài môn toán trong đó kiến thức toán học đóng một vai trò quan trọng Kết quảnghiên cứu của Tanner và Jones (1995) đã chỉ ra rằng không phải lúc nào hiểu biếthiện thời học sinh cũng có thể cho phép các em tiến hành hoạt động mô hình hóatoán học thành công Lúc đó, các em phải lựa chọn kiến thức cần thiết và theo dõiquá trình mô hình hóa mà bản thân đang được thực hiện

3.2 Năng lực mô hình hoá

Có nhiều định nghĩa khác nhau của các nhà nghiên cứu về năng lực mô hìnhhoá và nó gồm nhiều kĩ năng thành phần Blomhoj và Jensen (2007, [9]) định nghĩanăng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình môhình hóa trong một tình huống cho trước Maab (2006, [16]) định nghĩa năng lực

mô hình hóa bao gồm các kĩ năng và khả năng thực hiện quá trình mô hình hóanhằm đạt được mục tiêu xác định

Theo Kaiser (2007, [14]), một trong những mục tiêu hàng đầu của giáo dụctoán là hình thành và phát triển năng lực sử dụng toán để giải quyết các vấn đề nảysinh trong cuộc sống hiện tại và tương lai cho người học Để đáp ứng được mục tiêu

đó, việc dạy học toán trong nhà trường phải mang đến cơ hội để học sinh thấy được

sự cần thiết của toán trong cuộc sống và trong các ngành khoa học khác đồng thờiphải hình thành ở các em năng lực giải quyết các vấn đề thực tế bằng công cụ toánhọc Năng lực sử dụng toán để giải quyết các vấn đề trong thế giới thực được cácnhà giáo dục toán gọi với thuật ngữ là năng lực mô hình hoá toán học (Kaiser, 2014,[15]) Theo Kaiser (2014) năng lực mô hình hoá toán học đặc trưng cho khả năngthực hiện toàn bộ quá trình mô hình hoá toán học và phản ánh về quá trình đó Nănglực mô hình hoá toán học được đặc trưng bởi một số thành tố sau:

- Khả năng giải quyết một phần vấn đề thực tế thông qua việc sử dụng công cụtoán học (mô hình hóa);

- Khả năng phản ánh về quá trình mô hình hoá toán học bằng cách kích hoạt cáckiến thức tổng hợp về các quá trình mô hình hoá toán học;

- Thấu hiểu được sự kết nối giữa toán học và thực tế;

- Nhận thức được toán học là một quá trình chứ không chỉ là một sản phẩm;

- Nhìn thấy tính chủ quan của cá nhân trong hoạt động mô hình hoá toán học, sựphụ thuộc của quá trình mô hình hoá toán học vào mục đích và năng lực của cá nhân;

- Khả năng làm việc hợp tác và giao tiếp các ý tưởng toán học khi tiến hànhquá trình mô hình hoá toán học

Tiếp cận năng lực mô hình hoá toán học theo tiến trình thực hiện hoạt độngnày, Henning và Keune (2007) cho rằng năng lực mô hình hoá toán học là tổ hợpnhững thuộc tính của cá nhân người học như kiến thức, kĩ năng, thái độ và sự sẵn

sàng tham gia vào hoạt động mô hình hoá toán học nhằm đảm bảo cho hoạt động đóđạt hiệu quả Dựa trên nghiên cứu của Blum và các cộng sự (2002), Henning vàKeune (2007) xác định năng lực mô hình hoá toán học bao gồm khả năng xây dựng

mô hình, thông dịch giữa thế thực và thế giới toán học, làm việc với mô hình toánnhư chính xác hóa và đánh giá các mô hình toán, phản ánh về kết quả của những môhình đó để điều chỉnh quá trình mô hình hoá toán học nếu cần thiết

Henning và Keune (2007) đã phân loại năng lực mô hình hoá toán học thành

ba mức là nhận biết và hiểu về hoạt động mô hình hoá toán học, độc lập tiến hànhhoạt động mô hình hoá toán học, phản ánh toàn diện về hoạt động mô hình hoá toánhọc Bảng sau sẽ mô tả chi tiết những đặc trưng của từng cấp độ trong năng lực môhình hoá toán học:

- Nhận ra quá trình mô hình hoá toán học;

- Mô tả quá trình mô hình hoá toán học;

- Xác định và phân biệt các bước cụ thể trong quá trình mô hìnhhoá toán học

- Phân tích, tổ chức các vấn đề và trừu tượng hóa các đại lượng;

- Thích ứng với các tiếp cận khác nhau về tình huống thực tếban đầu;

- Thiết lập các mô hình toán học;

- Làm việc với các mô hình toán học;

- Thông dịch kết quả toán học với tình huống thực tế ban đầu;

- Chính xác hóa kết quả với tình huống thực tế và quá trình môhình hoá toán học

- Mô tả các tiêu chuẩn để đánh giá các mô hình;

- Phản ánh bản chất của hoạt động mô hình hoá toán học;

- Phản ánh về việc sử dụng toán học trong quá trình mô hình hoátoán học

Theo Henning và Keune (2007), năng lực MHHTH của học sinh đạt đượcmức (2) nếu các em có khả năng độc lập giải quyết vấn đề Bất cứ khi nào bối cảnh

và phạm vi của vấn đề thay đổi thì học sinh có khả năng điều chỉnh mô hình hoặcphát triển một chiến lược mới để thích ứng với tình huống mới mà các em đang gặp

phải Năng lực mô hình hoá toán học của học sinh đạt ở mức (3) nếu các em hiểumột cách thấu đáo các bước trong quá trình mô hình hoá toán học và có thể tiếnhành quá trình mô hình hoá toán học một cách thành thạo Hơn nữa các em có khảnăng phán đoán một cách phê phán và nhận ra mối quan hệ quan trọng đã được pháttriển khi tiến hành quá trình mô hình hoá toán học.

Việc phân loại các mức trong năng lực mô hình hoá toán học của học sinhnhằm giúp giáo viên đưa ra các nhiệm vụ học tập phù hợp để đánh giá năng lực môhình hoá toán học của học sinh (Henning & Keune, 2007)

Từ nghiên cứu của Henning và Keune (2004, [11]), Kaiser (2014) và Nguyễn

Danh Nam (2015, 5), chúng tôi cho rằng năng lực mô hình hóa là khả năng thực

hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa (toán học hoá, giải bài toán,thông hiểu, đối chiếu) nhằm giải quyết vấn đề được đặt ra; và chúng tôi dựa trên 8

kỹ năng (mục 3.3) sẽ tạm phân ra 6 mức năng lực mô hình hoá bài toán theo bốicảnh (trình bày ở mục 3.4 chương này)

3.3 8 Kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học

Nhiều nhà nghiên cứu đã thiết kế hệ thống các tình huống theo bối cảnh vàbài tập mô hình hóa để xác định những kĩ năng mà học sinh cần đạt được để giảiquyết tình huống thực tiễn dựa theo quy trình mô hình hoá Từ đó các nghiên cứu đãchỉ ra các kĩ năng thành phần của năng lực mô hình hóa toán học 5 đó là:

(1) Đơn giản giả thiết;

(2) Làm rõ mục tiêu (xác định được yêu cầu của đề bài);

(3) Thiết lập vấn đề toán học;

(4) Xác định biến, tham số, hằng số (kèm theo điều kiện);

(5) Thiết lập mệnh đề toán học;

(6) Lựa chọn mô hình;

(7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị;

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

3.4 Các cấp độ trong năng lực mô hình hoá của học sinh

Các bài toán thực nghiệm của chúng tôi dự kiến sẽ được đánh giá theocác mức mô hình hóa đối với học sinh (theo 8 kĩ năng thành phần của năng lực môhình hoá toán học) dựa theo đề xuất Ludwig và Xu (2010), Nguyễn Danh Nam (2015,

5) Học sinh đạt:

+ Mức 0: khi đọc không hiểu tình huống/ bối cảnh và không thể viết, vẽ, phác

thảo những gì liên quan đến vấn đề; ngộ nhận bởi các tình huống gây nhiễu

+ Mức 1: khi chỉ đơn giản giả thiết (tình huống); chỉ hiểu tình huống thực

tiễn theo bối cảnh nhưng không cấu trúc; hoặc chưa tìm được các mối liên hệ giữacác giả thiết, không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào

+ Mức 2: sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh biết tìm mô hình thật

qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng chưa biết chuyển đổi thành một vấn đề toánhọc

 Ở mức 2, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên

+ Mức 3: có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nó thành

vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giớitoán học

 Ở mức 3, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa từ 1 đến 4.

+ Mức 4: có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn/ bối cảnh,

làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể

 Ở mức 4, học sinh cần đạt được các kĩ năng mô hình hóa từ 1 đến 7

+ Mức 5: có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán học và kiểm nghiệm

lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho

 Ở mức 5, học sinh cần đạt được đầy đủ 8 kĩ năng mô hình hóa ở trên

0 Đọc không hiểu tình huống và không thể viết,

vẽ, phác thảo những gì liên quan đến vấn đề

1 Chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu

trúc và đơn giản tình huống hoặc không tìm

được các mối liên hệ giữa các giả thiết, không

thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào

2 Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, học sinh tìm

mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa,

nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề

toán học

Học sinh cần đạt đượchai kĩ năng mô hìnhhóa đầu tiên

3 Có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn

phiên dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng

không thể làm việc với nó một cách rõ ràng

Học sinh cần đạt đượccác kĩ năng mô hìnhhóa từ 1 đến 4

4 Có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống

thực tiễn, làm việc với bài toán với kiến thức

toán học và có kết quả cụ thể

Học sinh cần đạt đượccác kĩ năng mô hìnhhóa từ 1 đến 7

5 Có thể trải nghiệm quá trình mô hình hóa toán

học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối

quan hệ với tình huống đã cho

Học sinh cần đạt đượcđầy đủ 8 kĩ năng môhình hóa ở trên

Bảng 2.1 Bảng các mức trong đánh giá khả năng mô hình hoá

đối với học sinh

Hình 2 5 Sơ đồ mối quan hệ 8 kĩ năng mô hình hoá và các mức năng lực mô hình

(4) Xác định biến, tham số, hằng số (kèm

theo điều kiện) (5) Thiết lập mệnh đề toán học

(6) Lựa chọn mô hình

(7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị

(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

a) Bối cảnh cá nhân (Personal): là những bối cảnh có liên quan đến một cá nhân

như các vấn đề và các hoạt động của bản thân, gia đình họ hoặc một nhóm đồngniên với một cá nhân nào đó

Các loại bối cảnh cá nhân như là: chuẩn bị bữa ăn, mua sắm, trò chơi, sứckhỏe, di chuyển từ nơi này đến nơi khác, thể thao, du lịch, lập kế hoạch, thu nhập -tài chính cá nhân

b) Bối cảnh nghề nghiệp (Occupational): là những bối cảnh có liên quan đến nghề

nghiệp, thế giới công việc làm

Các loại bối cảnh nghề nghiệp như là:

+ Nhóm ngành giáo dục: tính toán số chỉ tiêu tuyển sinh dựa trên cơ sở vậtchất và nhu cầu xã hội, số lượng học sinh từ lớp dưới đưa lên; lập kế hoạch và tínhtoán chi phí tổ chức cho học sinh tham gia du khảo – tìm hiểu thực tế

+ Nhóm ngành xây dựng: đo lường, tính chi phí và đặt hàng vật liệu, kiểmsoát chất lượng, thiết kế, kiến trúc

+ Nhóm ngành tài chính – kế toán: tính lương, bảo hiểm xã hội, lập danh mục,kiểm kê

Bối cảnh nghề nghiệp còn liên quan tới lực lượng lao động, từ công việc laođộng phổ thông đến chuyên môn cao

c) Bối cảnh xã hội (Societal): là những bối cảnh có liên quan đến các vấn đề của

cộng đồng nơi cá nhân sống – làm việc (nói rộng ra có thể là địa phương, quốc gia,toàn cầu) Lưu ý rằng nội dung trọng tâm của các loại bối cảnh xã hội sẽ dựa trênquan điểm của cộng đồng do mọi người đều có liên quan tới tất cả các vấn đề củacộng đồng theo cách nhìn nhận vấn đề của mỗi cá nhân

Các loại bối cảnh xã hội như là hệ thống bầu cử, giao thông công cộng, chínhphủ, chính sách công, nhân khẩu học, quảng cáo, thống kê quốc gia và nền kinh tế

d) Bối cảnh khoa học (Scientific): là những bối cảnh có liên quan tới ứng dụng toán

học vào thế giới tự nhiên, các vấn đề và chủ đề liên quan đến khoa học và công nghệ

Các bối cảnh khoa học như quy luật tiến hoá, dòng đời sinh vật, xác suất độtbiến trong quần thể, tỉ lệ bệnh liên quan đến nhiễm sắc thể, hiệu ứng nhà kính, Các bối cảnh có sự tích hợp với các môn Lý, Hoá, Sinh, Tin học,

4.2 Học theo bối cảnh

Theo lý thuyết học theo cảnh, việc học chỉ xảy ra khi học sinh xử lí những thông tin

và kiến thức mới theo cách phù hợp với suy nghĩ và kinh nghiệm của các em(CORD, 1999, [22]) Phương pháp học tập và giảng dạy theo hướng tiếp cận giảđịnh rằng trí tuệ của người học sẽ “tự động” đi tìm ý nghĩa trong bối cảnh, trongmối quan hệ đến môi trường xung quanh (của người học) và từ đó trí tuệ tiến hànhtìm kiếm các mối quan hệ từ đó liên kết các đối tượng có liên quan, sau đó thu gọn

và loại bỏ các đối tượng không cần thiết làm nảy sinh điều có ý nghĩa và hữu ích.Ủng hộ giả định này, lý thuyết học theo bối cảnh tập trung vào nhiều khía cạnh củabất kỳ một môi trường học tập nào (đó có thể là một lớp học, phòng thí nghiệm, mộtmáy tính, phòng thí nghiệm, một nơi làm việc, hoặc một cánh đồng trồng lúa, vườnrau) Nó khuyến khích các nhà giáo dục lựa chọn và thiết kế các môi trường học tập,

đó là kết hợp càng nhiều kinh nghiệm khác nhau (về xã hội, văn hoá, thể chất, tâmlý) càng tốt trong việc hướng tới kết quả học tập mong muốn

Trong một môi trường như vậy, học sinh khám phá ý nghĩa về mối quan hệ giữacác ý tưởng trừu tượng và ứng dụng thực tế trong bối cảnh của thế giới thực; khái

niệm được thông qua quá trình phát hiện, củng cố, và có liên quan với nhau Ví dụ: Vận dụng việc làm một thùng chứa nước từ 1 miếng thiếc có sẵn (có diện tích cho trước) để làm thành 1 thùng chứa nước (có dạng hình trụ, hình hộp hay 1 hình khối nào khác) sao cho chứa được nhiều nước nhất.

5 Chiến lược REACT

Hầu hết học sinh học tốt nhất khi họ có thể kết nối các khái niệm mới với thếgiới thực thông qua kinh nghiệm của chính họ hoặc kinh nghiệm giáo viên có thểcung cấp cho học sinh Theo quan điểm hiện đại thì việc học của con người (nhữngkiến thức mới và sự hiểu biết mới) được hình thành một cách tự nhiên dựa trênnhững gì mà con người hiểu biết tin tưởng (theo National Academy Press, 1999)

Do đó các nhà giáo dục đã chỉ ra rằng bản thân học sinh tự xây dựng kiến thức chobản thân mình thay vì nhận được nó từ người khác (cha mẹ, giáo viên, bạn bè) Từ

đó việc đề xuất, thiết kế các chiến lược giảng dạy dựa trên tiêu chí học sinh học tốtnhất khi họ đạt được kiến thức mới thông qua thăm dò, khám phá và học chủ động

tích cực trên nền tảng khuyến khích học sinh tự suy nghĩ và giải thích thay vì chỉđơn thuần là học thuộc lòng và vận dụng một cách máy móc những khái niệm, định

lí, công thức (CORD,2008, [24]) Nhưng theo một nghiên cứu được thực hiện bởiCORD (1999, [22]) thì phần lớn các học sinh trong các trường học không thể liên

hệ được giữa những gì họ đang học tập với việc sử dụng kiến thức đó trong thực tếnhư thế nào Để giải quyết vấn đề này đòi hỏi người giáo viên cần thiết kế và đưavào sử dụng các mô hình học tập theo bối cảnh vào bài dạy của mình

Theo lý thuyết học theo bối cảnh: việc học chỉ xảy ra khi học sinh xử línhững thông tin và kiến thức mới theo cách phù hợp với suy nghĩ và kinh nghiệmcủa các em Điều này có thể hiểu là từ thế giới nội tâm của học sinh (trí nhớ, kinhnghiệm và phản ứng) tự tìm kiếm ý nghĩa trong bối cảnh, trong các mối quan hệhiện tại của người đó với môi trường [23], [26]

Xây dựng dựa trên sự hiểu biết này, lý thuyết học tập theo ngữ cảnh tập trungvào nhiều khía cạnh của môi trường học tập, nơi đó có thể là một lớp học, mộtphòng thí nghiệm, một phòng máy tính, hoặc một nơi làm việc Nó khuyến khíchcác nhà giáo dục để lựa chọn và (hoặc) thiết kế các môi trường kết hợp nhiều hìnhthức khác nhau của kinh nghiệm (về xã hội, văn hoá, thể chất và tâm lý) trong việchướng tới kết quả học tập mong muốn Trong một môi trường như vậy, học sinhkhám phá các mối quan hệ có ý nghĩa giữa các ý tưởng trừu tượng và ứng dụng thực

tế trong bối cảnh thế giới thực; khái niệm này được quốc tế hóa qua quá trình pháthiện, củng cố, và liên hệ (CORD, 2007 , [23])

Hình 2.6 Các yếu tố chủ yếu của các chiến lược REACT

Các chương trình giáo dục và dạy học dựa vào lý thuyết học theo bối cảnhphải được cấu trúc theo chiến lược REACT của việc học tập, bao gồm năm yếu tốchủ yếu: liên hệ (R), trải nghiệm (E), ứng dụng (A), hợp tác (C) và chuyển đổi (T).

5.1 Liên hệ (Relating)

Liên hệ là hoạt động tiên quyết mà học sinh sẽ tiến hành khi các em trảinghiệm chiến lược học theo bối cảnh Khi tiếp nhận một thông tin mới từ một tìnhhuống thực tế, người học cần liên hệ với kinh nghiệm trước đây của bản thân để tìmkiếm câu trả lời phù hợp Điều này càng phát huy hiệu quả hơn đối với người học

có trải nghiệm cuộc sống phong phú hay có kiến thức nền tảng vững chắc

Một hoạt động dạy học có sử dụng bối cảnh của kinh nghiệm cuộc sống phải

có được sự chú ý của học sinh vào các sự kiện hàng ngày, phải liên quan đến nhữngthông tin mới hay một vấn đề cần được giải quyết, và học sinh có thể liên hệ nhữngđiều đã biết với những điều khác tương tự hoặc mở rộng hơn

Ví dụ: gieo 1 đồng xu có 2 mặt Sấp – Ngửa từ đó liên hệ với phép nhân Gieo 1 đồng xu có 2 mặt Sấp(S) – Ngửa (N) Liên hệ với phong thuỷ: âm – dương

 2 đồng xu có 4 tường hợp: SS, SN, NS, NN

 3 đồng xu có 8 trường hợp: SSS, SSN,

* Vai trò của giáo viên là khuyến khích học sinh liên hệ những gì họ đanghọc tập để trải nghiệm cuộc sống thực tế Để đạt được điều này, giáo viên cần phải

sử dụng các nguồn tài nguyên học tập khác nhau, chẳng hạn như: văn bản, video,bài phát biểu và thậm chí cả các hoạt động trong lớp học

5.2 Trải nghiệm (Experiencing)

Trải nghiệm là giai đoạn trọng tâm của việc học theo bối cảnh Trong giaiđoạn này, học sinh học thông qua tìm tòi, khám phá và phát minh Theo CORD(1999, [22]), việc học diễn ra khi học sinh trải nghiệm các hoạt động thực hành, lúc

đó các en sẽ chuyển các sự kiện và học tập ra khỏi lĩnh vực của tư duy trừu tượng

và đưa vào lĩnh vực thăm dò thực tế, khám phá và sáng tạo

Ví dụ, học sinh khám phá gia tốc bằng cách thử nghiệm các sự dịch chuyển của một chiếc xe đồ chơi trên một bề mặt nghiêng Trong hoạt động này, chiếc xe

đồ chơi được gắn vào một băng đánh dấu, học sinh ghi lại các dấu chấm in trên băng đánh dấu như một phương tiện di chuyển Vào cuối của thí nghiệm, học sinh phân tích các dữ liệu thu thập và mở chủ đề thảo luận.

5.3 Ứng dụng (Applying)

Việc học tập sẽ được nâng cao khi khái niệm được thể hiện trong bối cảnh

mà học sinh ứng dụng (CORD, 1999, [22]) Học sinh sẽ được thúc đẩy và khuyếnkhích học toán nếu giáo viên đặt ra nhiệm vụ cho họ là các vấn đề thực tế trongcuộc sống Những vấn đề này cho phép học sinh nhận ra sự cần thiết của toán học

và hiểu được sự liên quan của toán học trong cuộc sống tương lai của học sinh

Theo CORD (2008, [24]), " Trong các khóa học theo bối cảnh, các ứngdụng thường được dựa trên các hoạt động nghề nghiệp" Điều này là rất quan trọngtrong quá trình học tập và giảng dạy để học sinh có được một hình ảnh thực tế vềmối liên hệ giữa việc học và thực tế nghề nghiệp trong tương lai Vì vậy, ứng dụnggiúp học sinh tự tin hơn trong việc giải quyết vấn đề tương tự bên ngoài lớp học.Việc ứng dụng được đáp ứng tốt nhất khi thoả mãn hai tiêu chí:

+ Có thật (không phải nhân tạo hoặc giả tạo);

+ Quan trọng (trong một số lĩnh vực của cuộc sống hiện tại hoặc tương laicủa một học sinh)

5.4 Hợp tác (Cooperating)

Hợp tác là học trong môi trường của sự chia sẻ, phản hồi và giao tiếp vớinhững người học khác, là một hoạt động cơ bản trong học theo bối cảnh Hợp táctrong học tập có vai trò rất quan trọng trong việc tăng cường mối quan hệ giữa các

cá nhân và kĩ năng giao tiếp của người học

Trong những tình huống thực tế ngoài cuộc sống, kĩ năng hợp tác là rất quantrọng Ví dụ những nhân viên có thể làm việc một cách thoải mái như một độithường được đánh giá cao Do đó, hoạt động cặp hoặc nhóm là một chiến lược hiệuquả khi giáo viên đặt các nhiệm vụ toán học cho học sinh Việc hoàn thành một

nhiệm vụ có thể có hiệu quả khi nhóm đó có đại diện, có sự quan sát, đề xuất vàthảo luận (CORD, 1999, [22])

5.5 Chuyển đổi (Transferring)

Trong một lớp học truyền thống, vai trò chính của giáo viên là để truyền đạtkiến thức (sự kiện, khái niệm và công thức…) Vai trò của học sinh là để ghi nhớcác sự kiện và thực hành các công thức, từ đó học sinh chỉ cần nhớ lại và lặp lại các

sự kiện và công thức thích hợp sẽ đạt điểm cao ở các kì kiểm tra và thi học kì.Ngược lại, trong một lớp học kiến tạo hoặc theo bối cảnh, vai trò của giáo viên được

mở rộng để tạo ra một loạt các hoạt động trải nghiệm cho học sinh, tập trung vào sựhiểu biết hơn là ghi nhớ và dựa trên kịnh nghiệm của bản thân các em Giáo viên dạytheo bối cảnh sử dụng các chiến lược được thảo luận ở trên (liên hệ, trải nghiệm, ứngdụng và hợp tác), và đưa ra một loạt các nhiệm vụ tạo điều kiện cho học sinh phát triểnhiểu biết của bản thân Giáo viên hướng dẫn học sinh dựa trên kinh nghiệm, thực hànhcác hoạt động và các vấn đề thực tế, qua đó học sinh có được sự hiểu biết ban đầu vàlàm sâu sắc thêm sự hiểu biết của học sinh về khái niệm

Chuyển đổi là một chiến lược mà giáo viên sử dụng định nghĩa kiến thứctrong một bối cảnh mới hay một câu chuyện mới chưa được giới thiệu trong lớptrước đó để từ đó học sinh với sự hiểu biết, kinh nghiệm của mình (hay từ kinhnghiệm học hỏi từ giáo viên và các bạn học) chuyển thành kiến thức của riêng mình(CORD, 2008, 24)

Học sinh cũng có tính tò mò tự nhiên về những tình huống quen thuộc Giáoviên có thể tận dụng sự tò mò của học sinh với các bài tập giải quyết vấn đề

Ví dụ: Đăng kí biển số xe mô tô của TP Long Xuyên hiện nay đến đầu số 67B1 - 789.xx (vào ngày hôm nay 18/4/2016) Thầy chuẩn bị mua xe và hy vọng lấy được biển số 67B1 - 999.9x; các em hãy tư vấn cho thầy nên đưa xe đi đăng kí biển

số vào ngày nào? (biết rằng mỗi ngày Công An thành phố Long Xuyên mỗi ngày nhận đăng kí khoảng 50 xe và nghỉ thứ bảy, chủ nhật).

R

Liên hệ Liên kết các khái niệm đến những điều mà học sinh đã biết

E Thực hiện các hoạt động và giáo viên giải thích cho phép học sinh

khám phá kiến thức mới

Chuyển đổi

Học sinh mang những điều đã học được và áp dụng vào các tình huống và các bối cảnh mới

Bảng 2.2 Tóm tắt chiến lược REACT

6 Các nguyên tắc của việc học theo bối cảnh

Từ các nghiên cứu về năng lực mô hình hoá của học sinh trong học theo bốicảnh kết hợp với chiến lược REACT, chúng tôi đồng ý với Pate (2003, [19]) về cácnguyên tắc của việc học theo bối cảnh như sau:

1) Học sinh tích cực tham gia

2) Học sinh học các vấn đề có liên quan

3) Học sinh học hỏi lẫn nhau thông qua hợp tác, đàm luận, làm việc theo nhóm, và

6) Học sinh được khuyến khích tham gia tích cực trong việc cải thiện xã hội

7) Học sinh được đánh giá theo nhiều cách

8) Các quan điểm và ý kiến của học sinh được đánh giá cao và tôn trọng

9) Giáo viên đóng vai trò là người hỗ trợ học tập của học sinh

10) Giáo viên sử dụng một loạt các kĩ thuật giảng dạy phù hợp

11) Môi trường học tập năng động và thú vị

12) Nhấn mạnh tư duy bậc cao và giải quyết vấn đề

13) Học sinh và giáo viên được khuyến khích thử nghiệm với các cách tiếp cận mớisáng tạo

14) Quá trình học tập là quan trọng như bối cảnh được học

15) Bối cảnh cuộc sống đa dạng và những kinh nghiệm có được từ trước của họcsinh là nền tảng được đánh giá cho việc học tập.

16) Học trong nhiều bối cảnh

17) Kiến thức liên ngành và mở rộng vượt ra ngoài ranh giới của lớp học thôngthường

18) Giáo viên đóng vai trò cũng như một người học

19) Học trong nhiều bối cảnh cho phép các học sinh để xác định và giải quyết cácvấn đề trong bối cảnh mới

Trong đó chúng tôi sẽ thiết kế các bài toán theo bối cảnh và cho học sinh củamình hoạt động theo nhóm, nhằm quan sát các nguyên tắc 3, 4, 8, 9, 16, 19

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU3.1 Thiết kế nghiên cứu

Nghiên cứu này được thiết kế nhằm mục đích tìm hiểu - đánh giá năng lực

mô hình hoá các bài toán theo bối cảnh của học sinh lớp 10, tìm hiểu khó khăn củacác em trong quá trình mô hình hoá

3.1.1 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi thực hiện nghiên cứu này với các phương pháp sau đây:

Phương pháp nghiên cứu lý luận để chỉ ra sự cần thiết khi tiến hành nghiên

cứu này Chúng tôi đã tiến hành tìm hiểu, nghiên cứu nhiều tài liệu có liên quan đến

mô hình hoá, năng lực mô hình hoá, dạy và học theo bối cảnh, chiến lược REACT

để có được nhận thức tổng quan về vấn đề nghiên cứu và đề ra khung lý thuyếttham chiếu cho nghiên cứu này

Phương pháp điều tra – quan sát được sử dụng để thu thập số liệu về hoạt

động mô hình hoá toán học theo bối cảnh của học sinh lớp 10 Chúng tôi sử dụngphương pháp này để tiến hành điều tra, thăm dò 119 học sinh và 10 giáo viên vềnhững khó khăn, năng lực mô hình hoá toán học theo bối cảnh của học sinh qua cácbài toán cụ thể, cũng như thái độ của các em về các bài toán theo bối cảnh

Phương pháp thực nghiệm giáo dục được thực hiện nhằm thu thập dữ liệu

liên quan đến việc thể hiện năng lực mô hình hoá của học sinh, từ đó kiểm nghiệmtrên thực tiễn về ý nghĩa của đề tài, cũng như có thể chỉ ra những khó khăn cụ thểcủa học sinh gặp phải khi tiếp cận bài toán theo bối cảnh và đề xuất hướng hạn chếcác khó khăn và phát huy năng lực mô hình hoá của học sinh

3.1.2 Mẫu nghiên cứu

Khảo sát được tiến hành trên mẫu gồm 119 học sinh lớp 10 ở trường THPTLong Xuyên - tỉnh An Giang qua hai công cụ điều tra chính là phiếu học tập (có cácbài tập nhóm) và bảng hỏi Ở đây, tôi sử dụng nghiên cứu khảo sát theo nhát cắtngang với dữ liệu được thu thập ở chỉ một thời điểm là vào tháng 5 năm học 2015 –

2016, vì vào thời điểm này thì các học sinh đang theo học lớp 10 ở Việt Nam có độtuổi trong khoảng từ 15 năm 3 tháng đến 16 năm 2 tháng, phù hợp với thành phần

học sinh tham gia PISA của các nước Bên cạnh đó tôi cũng thiết kế 1 bảng hỏi đểkhảo sát một số giáo viên để phục vụ cho quá trình nghiên cứu.

3.2 Đối tượng tham gia

Đối tượng tham gia nghiên cứu này gồm 119 học sinh đang theo học lớp 10(năm học 2015 – 2016) và 10 giáo viên dạy toán (chỉ tham gia bằng cách trả lờiphiếu hỏi) của trường THPT Long Xuyên - tỉnh An Giang, cụ thể là:

Lớp Số học sinh tham gia Số nhóm Giáo viên giảng dạy toán

3.3 Công cụ nghiên cứu

Các công cụ được sử dụng trong nghiên cứu này là phiếu bài tập (phụ lục 1,2) và bảng hỏi dành cho học sinh (phụ lục 3), bảng hỏi dành cho giáo viên (phụ lục4) (phỏng theo hai công cụ điều tra chính của PISA); bảng mức năng lực mô hìnhhoá tương ứng với các bài toán

3.3.1 Phiếu bài tập số 1 (gồm 3 bài dành cho 24 nhóm)

Phiếu bài tập số 1 (phụ lục 1) gồm 3 bài toán (trong đó mỗi bài toán 2 và 3được thiết kế gồm 2 bài toán nhỏ được đặt trong bối cảnh tương đồng) đặt trong bốicảnh cá nhân, cộng đồng, nghề nghiệp được lựa chọn và thiết kế cẩn thận nhằm thỏamãn một số tiêu chí do chúng tôi đề ra như sau:

- Tất cả các bài toán đưa ra đều có liên quan mật thiết đến cuộc sống thựctiễn và gợi cho học sinh nhu cầu giải quyết;

- Cung cấp cơ hội để học sinh thực hiện mô hình hoá bài toán trong đó họcsinh có thể sử dụng nhiều dạng biểu diễn khác nhau, chẳng hạn các biểu diễn bằngngôn ngữ, biểu diễn bằng hình ảnh, biểu diễn bằng các ký hiệu, hay biểu diễn bằng

đồ thị;

- Mỗi bài toán có từ một đến ba câu hỏi được liên kết với cùng một tìnhhuống và tăng dần độ phức tạp Một vài câu hỏi đầu là các câu hỏi điền khuyết,trong khi các câu hỏi về sau sẽ là các câu hỏi tìm trả lời mở và yêu cầu học sinhtrình bày lập luận của mình Định dạng này là phù hợp để đánh giá các mức độ thể

hiện năng lực toán của học sinh (từ tái tạo, đến liên kết và cuối cùng là phản ánh),cho phép các nhiệm vụ thực tế được kế thừa lại và tính phức tạp của các bối cảnhthực tế được phản ánh, đồng thời cắt giảm thời gian để một học sinh thâm nhập vàotình huống thực tế;

- Đặc biệt, với mỗi bài toán đều có câu hỏi tập trung cho hoạt động mô hìnhhoá bài toán trong bối cảnh thực tế, được tuân thủ theo một cấu trúc chung với trình

tự sau: (1) Đơn giản giả thuyết; (2) Làm rõ mục tiêu; (3) Thiết lập vấn đề; (4) Xácđịnh biến, tham số, hằng số; (5) Thiết lập mệnh đề toán học; (6) Lựa chọn mô hình;(7) Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ, đồ thị; (8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn

- Thang mức đánh giá dựa vào Bảng 2.1 gồm 6 mức.

- Kèm theo là thang điểm cho từng câu hỏi được thiết kế mô phỏng theothang điểm đánh giá của PISA (dành để tham khảo), vì đây là công cụ đánh giá cógiá trị đã được công nhận trên thế giới

Một điểm đáng lưu ý là mặc dù học sinh đã được trang bị một nền tảng kiếnthức đầy đủ để giải quyết những bài toán đặt ra nhưng nhìn chung các em chưa cóđiều kiện tiếp cận các kĩ năng và phương án giải quyết kiểu nhiệm vụ này Học sinhgặp khó khăn trong việc liên hệ kiến thức với thực tế Hơn nữa, học sinh cũngkhông tìm thấy các bài toán tương tự như thế trong sách giáo khoa nên có thể nóiđây là các vấn đề không quen thuộc đối với các em

Bộ 3 bài toán (gồm 5 bài nhỏ) làm trên lớp với đối tượng tham gia là 119 họcsinh được chia làm 24 nhóm (23 nhóm có 5 học sinh và 1 nhóm có 4 học sinh), thờigian làm là 45 phút

Việc cho học sinh thực hiện không nhằm mục đích so sánh điểm số của họcsinh ở các lớp mà mong muốn có một cuộc khảo sát và đánh giá khách quan về việcnhóm học sinh có thể hợp tác cùng nhau trong việc mô hình hoá bài toán theo bốicảnh thực tế Các bài toán kèm theo thang điểm, thang mức phân loại mức năng lực

mô hình hoá toán học và lời giải dự kiến

Bài toán 1: ĐỘI VĂN NGHỆ

Trong một lớp học, điều kiện để tham gia đội văn nghệ là học sinh phải biếtmúa, hát hoặc đàn Giáo viên chủ nhiệm đã hỏi học sinh (bằng cách giơ tay) thì thuđược kết quả sau:

+) Số học sinh biết múa là 12

+) Số học sinh biết hát là 10

+) Số học sinh biết đàn là 8

+) Số học sinh biết múa và hát là 5

+) Số học sinh biết múa và đàn là 4

hỏi 1 2: Hỏi sẽ có bao nhiêu học sinh đủ điều kiện tham gia đội văn nghệ? Câu

hỏi 1 3: Hãy trình bày cơ sở lí luận toán học của em về cách tìm số học sinh đủđiều kiện tham gia đội văn nghệ

LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂMCâu

hỏi 1 1:

+ Điểm tối đa (2 điểm): Tất cả các số điền vào đều đúng.

+ Điểm từng phần (1 điểm): Dành cho một lỗi sai hay bỏ trống trong bảng.

+ Điểm từng phần (1 điểm): khi trả lời đúng 19 học sinh

+ Không có điểm (0 điểm): Các trả lời khác;

Bỏ trống

hỏi 1 3:

Gọi những học sinh biết múa là A, những học sinh biết hát là B, những học sinh biết đàn là C.

Theo giả thiết ta có: n(A) = 12, n(B) = 10, n(C) = 8, n(A B) = 5,

n(A C)= 4, n(B C) = 3, n(A B C) = 1 Để tìm số học sinh đủ điều kiện đưa vào nhóm văn nghệ ta sử dụng biểu đồ Venn Ta cần tính n(A

Ghi chú: Để giải quyết hai bài toán này học sinh cần hiểu và nắm vững các

kiến thức về tập hợp, đặc biệt là các phép toán về tập hợp và suy luận toán học,

mang tính chất tổng hợp của Chương Tập hợp Mệnh đề Đại số 10 THPT Vì vậy

hai bài toán này có thể dùng khi ôn tập chương hoặc ôn tập cuối năm

Bài toán 2: THUÊ TAXI

Một người muốn dẫn nhóm bạn 5

người đi từ Long Xuyên tham quan Thoại Sơn

và quay về bằng xe du lịch 7 chỗ Người đó

tham khảo giá hãng taxi Sao Đỏ thì được biết

cước phí đối với xe loại 7 chỗ ngồi là: 20 km

đầu giá 14.500 VNĐ/1km, sau 20 km đầu giá

giảm còn 12.000 VNĐ/1km Trong khi đó giá thuê xe 07 chỗ (Innova G 2012) thuêtrong ngày có giá là 1.000.000 VNĐ, tiền xăng người thuê tự trả thêm Biết rằng xeInnova G 2012, chạy đoạn đường đó tốn khoảng 10 lít trên 100 km và giá xăng hiệnnay là 14.700 VNĐ/1 lít Em hãy tư vấn cho người đó

Câu hỏi 2.1: Nếu gọi xe taxi thì để đi và về Long Xuyên – Núi Sập tốn bao nhiêu tiền?(biết rằng quãng đường từ TP.Long Xuyên đến Núi Sập - Thoại Sơn là 29 Km)

Câu hỏi 2.2: Đi bao xa thì giá thuê xe và đi taxi ngang nhau? Em hãy cho biết cáchnhìn nhận của em

Ghi chú: đây là câu hỏi trong bối cảnh rất quen thuộc có thể học sinh Các

em có thể đã hoặc sẽ gặp tình huống tương tự trong cuộc sống khi đi tham quan gần

và đối mặt với 2 tình huống thuê xe 7 chỗ hay đi xe taxi từ nơi này đến nơi khác vớiquãng đường tương đối dài (hơn 20 km) đề bài đã sử dụng các thông số thực (cậpnhật trước khi các em thực nghiệm 1 ngày) tạo được sự gần gủi và tính tò mò khámphá từ học sinh

LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂMCâu

hỏi 2 1:

Quãng đường đi và về là 29 2 = 58 km

Do đi trên cùng 1 chiếc taxi cho lượt đi và về (Núi Sập không có taxi) nên

số tiền được tính như sau:

20 Km đầu: 20 14500 = 290000 VNĐ

38 Km sau: 38 12000 = 456000 VNĐVậy tổng tiền là 746000 VNĐ

Gọi S là quãng đường đi (Km) và S > 20

+ Trường hợp đi Taxi: khi đó ta có hàm số tính tiền theo quãng đường là f(S) = 14500 20 + (S – 20) 12000

+ Trường hợp thuê xe: Xe đ 100 km tốn 10 lít xăng tức là 147000 VNĐ nên

xe đi 1Km sẽ tốn 1470 VNĐ Khi đó ta có hàm số tính tiền theo quãng đường là

Điểm tối đa (2 điểm) + Trả lời đúng đáp số (chấp nhận kết quả gần bằng).

+ Hoặc vẽ được biểu đồ và cho đáp số đúng

+ Hoặc cách khác, hợp lí có chỉ ra được các mối quan

hệ nhưng sai kết quả

Không có điểm

(0 điểm)

+ Các trả lời sai;

+ Hoặc bỏ trống

Bài toán 3: CÁI HỘP KHÔNG NẮP

Với một tấm kim loại hình chữ nhật có chiều dài 10 dm, chiểu rộng 8 dm.Một người thợ rèn muốn tạo ra một cái máng chứa đồ không nắp đậy (sao cho tiếtkiệm vật liệu nhất)

Câu hỏi 3.1: Nếu tạo thành hình hộp chữ nhật (xem

hình) Em hãy cho biết diện tích đáy hộp và thể tích hộp

khi chiều rộng đáy là bao nhiêu?

Chiều rộng đáy Diện tích đáy Thể tích

4 dm

6 dm

Câu hỏi 3.2: Với thiết diện là một hình thang cân (xem hình) Em hãy cho biết

chiều rộng của mặt bên và góc giữa nó và đáy là bao nhiêu để thiết diện của máng

là lớn nhất Nêu cách hiểu của em

LỜI GIẢI VÀ THANG ĐIỂMCâu

hỏi 3 1:

+ Điểm tối đa (2 điểm): Tất cả các số điền vào đều đúng

+ Điểm từng phần (1 điểm): Dành cho một lỗi sai hay bỏ trống trongbảng