Dựng ra phía ngoài tam giác đó các tam giác đều ABE, ACG và BCD.. b Chứng minh AD, BG, CE đồng quy.
Trang 1UBND TỈNH SƠN LA CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
––––––––– –––––––––––––––––––––––––
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn : Toán
Ngày thi : 10.04.2012
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (4 điểm)
Tính tổng
a) A= + + + + +2 4 6 8 2010 2012.+
b) B= +1 20121 +20122 +20123 + + 20122010+20122011
Câu 2: (4 điểm)
Chứng minh rằng:
a) a2012 −a2010M6 ∀ ∈a Z
b) n4 −4n3 −4n2 +16nM384 với n chẵn lớn hơn 4
Câu 3: (2 điểm)
Rút gọn biểu thức
2 1 1 2 3 2 2 3 2012 2011 2011 2012
Câu 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài tam giác đó các tam giác đều ABE,
ACG và BCD
a) Chứng minh AD = BG = CE
b) Chứng minh AD, BG, CE đồng quy
Câu 5: (6 điểm)
a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A= x−2010+ 2012−x
b) Giải phương trình:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2011 - 2012
Môn : Toán
1
4 đ
a)
2 đ
Số số hạng của tổng là: (2012 – 2): 2 + 1 =1006
Ta có (2 2012) (4 2010) (6 2008) (1006 1008)
2014 2014 2014 2014
= 2014.503 = 1013042 = 1006.1007
0.5 0.5 0.5 0.5
b)
2 đ
Ta xét
2012.B=20121+20122 +20123 + + 20122011+20122012
Mà B= +1 20121+20122 +20123 + + 20122010 +20122011
Nên
2012.B B− =20122012 −1
2012
2011
⇒ =
0.5 0.5 0.5 0.5
2
4 đ
a)
2 đ
b)
2 đ
Ta có a3 − =a a a( 2 − = −1) (a 1) (a a+1)
a Z
∀ ∈ thì (a−1) (a a+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
Trong 3 số nguyên liên tiếp có 1 số chia hết cho 3 và ít nhất 1 số chẵn
Mà 2 và 3 nguyên tố cùng nhau: (2,3) = 1
Do đó (a−1) (a a+1) 2.3M Vậy (a−1) (a a+1) 6M Suy ra
.( ) 6
Với n chẵn: n = 2k với k Z∈ thì
4 4 16 (2 ) 4(2 ) 4(2 ) 16.(2 )
16.( 2).( 1) .( 1)
Do n > 4 ⇒ >k 2 ; (k −2).(k −1) .(k k +1) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và chia hết cho 8; (3,8) = 1 do đó
(k −2).(k −1) .(k k +1)chia hết cho 3.8 = 24.
Vậy 16.(k −2).(k −1) .(k k +1) 16.24 384M = .
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 33
2 đ
∀ ∈n N*, ta có
( ) ( ( ) ) ( )
( )
( )
1
1
1
n n
=
=
+
+
Áp dụng tính
2 1 1 2 3 2 2 3 2012 2011 2011 2012
1 1
2012
= −
0.5 0.25
0.5
0.25
0.25
0.25
4
4đ
a)
2,0 đ
Ta có
0
60
(1) (2)
AB AE
AG AC
BG EC
=
=
⇒
=
Tương tự ∆ACD= ∆GCB⇒ AD BG= (3)
Từ (1) và (3) suy ra BG = EC = AD
0.25 0.25
0.25 0.25 0.25 0.25
0.5
G
C D
Trang 4
· · 600 1200 1800
Nên tứ giác AOBE là tứ giác nội tiếp Tương tự ·AOC=1200 Dễ dàng suy ra ·BOC=1200 nên tứ giác BOCD nội tiếp
Nối D với O thì ·DBC DOC=· =600, do đó
· +· = · =1800
DOC COA DOA
Vậy D, O, A thẳng hàng Nghĩa là EC, BG, AD đồng quy
0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
5
6 đ
a)
3đ
Với điều kiện 2010≤ ≤x 2012 thì A≥0 Bình phương 2 vế ta được:
2 2
2010 2012 2 ( 2010).(2012 )
2 2 ( 2010).(2012 )
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số không âm (x - 2010) và ( 2012 - x)
ta có:
2 (x−2010).(2012−x) (≤ −x 2010) (2012+ −x)
2 (x−2010).(2012−x) 2≤
Dấu “=” xảy ra khi x – 2010 = 2012 – x hay x = 2011 Như vậy A2 ≤4, do A2 ≥0 nên MaxA = 2 khi x = 2011
0.25 0.5 0.25 0.5
0.5 0.25 0.5 0.25
b)
3đ
Điều kiện x ≠ −2;x≠ −3;x≠ −4;x ≠ −5;x≠ −6 thì
0.5 0.5 0.5 0.25
0.25
Trang 5
2 2 2
2 10
x x
=
⇔ = −
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2; x = -10
0.25 0.25 0.25
0.25