ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 TỈNH SƠN LA 20112012

UBND TỈNH SƠN LA SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ––––––––– CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ––––––––––––––––––––––––– ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn : Toán Ngày thi : 10.04.2012 (Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Tính tổng a) A = + + + + + 2010 + 2012 b) B = + 20121 + 2012 + 20123 + + 2012 2010 + 20122011 Câu 2: (4 điểm) Chứng minh rằng: 2012 2010 ∀a ∈ Z a) a − a M6 b) n − 4n − 4n + 16n M384 với n chẵn lớn Câu 3: (2 điểm) Rút gọn biểu thức 1 N= + + + +1 + 2012 2011 + 2011 2012 Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác tam giác ABE, ACG BCD a) Chứng minh AD = BG = CE b) Chứng minh AD, BG, CE đồng quy Câu 5: (6 điểm) a) Tìm giá trị lớn biểu thức A = x − 2010 + 2012 − x b) Giải phương trình: 1 1 + + + = x + x + x + x + 12 x + x + 20 x + 11x + 30 UBND TỈNH SƠN LA CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM SỞGIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ––––––––– Độc lập - Tự - Hạnh phúc ––––––––––––––––––––––––– ĐỀ CHÍNH THỨC HDC THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2011 - 2012 Môn : Toán Câu Phần a) 2đ 4đ b) 2đ a) 2đ Đáp án Số số hạng tổng là: (2012 – 2): + =1006 Ta có A = (2 + 2012) + (4 + 2010) + (6 + 2008) + + (1006 + 1008) = 2014 + 2014 + 2014 + + 2014 (có 503 số) = 2014.503 = 1013042 = 1006.1007 Ta xét 2012.B = 20121 + 2012 + 20123 + + 2012 2011 + 20122012 Mà B = + 20121 + 2012 + 20123 + + 2012 2010 + 20122011 Nên 2012.B − B = 20122012 − 20122012 − ⇒B= 2011 Ta có a − a = a (a − 1) = (a − 1).a (a + 1) ∀a ∈ Z (a − 1).a (a + 1) tích số nguyên liên tiếp Trong số nguyên liên tiếp có số chia hết cho số chẵn Mà nguyên tố nhau: (2,3) = Do (a − 1).a (a + 1) M2.3 Vậy (a − 1).a (a + 1) M Suy a 2012 − a 2010 = a 2009 a − a 2009 a1 =a 2009 (a − a ) M6 Với n chẵn: n = 2k với k ∈ Z n − 4n3 − 4n + 16n = (2k ) − 4(2k )3 − 4(2k ) + 16.(2k ) 4đ b) 2đ = 16k ( k − 2k − k + 2) = 16.(k − 2).(k − 1).k ( k + 1) Do n > ⇒ k > ; (k − 2).(k − 1).k (k + 1) tích số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho chia hết cho 8; (3,8) = (k − 2).(k − 1).k (k + 1) chia hết cho 3.8 = 24 Vậy 16.(k − 2).(k − 1).k ( k + 1) M16.24 = 384 Điểm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 ∀n ∈ N * , ta có ( n + 1) 0.25 ( n + 1) n − n n + = n + n n + ( n + 1) n − n ( n + 1) = = 0.5 ( n + 1) n − n n +1 n ( n + 1) 0.25 1 − n n +1 0.5 Áp dụng tính 1 N= + + + +1 + 2012 2011 + 2011 2012 2đ 0.25 1 1 1 1 − + − + − + + − 2 3 2011 2012 =1− 2012 Ta có  AB = AE · · · ⇒ ∆ABG = ∆EAC  BAG = EAC = 60 + BAC  AG = AC   BG = EC (1) ⇒  ·AEC = ·ABG (2) Tương tự ∆ACD = ∆GCB ⇒ AD = BG (3) Từ (1) (3) suy BG = EC = AD = a) 2,0 đ E 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 A G 4đ B 0.5 O C D b) Gọi giao điểm EC BG O Nối O với A · · Ta có ·AEC = ·ABG (Theo (2)) Suy EOA = EBA = 600 · · BOE = EAB = 600 ⇒ ·AOB = 120 ⇒ ·AOB + ·AEB = 600 + 120 = 1800 Nên tứ giác AOBE tứ giác nội tiếp 0.25 · Tương tự ·AOC = 1200 Dễ dàng suy BOC = 1200 nên tứ giác BOCD nội tiếp 0.25 · · Nối D với O DBC = DOC = 600 , · · · DOC + COA = DOA = 1800 0.25 2đ Vậy D, O, A thẳng hàng 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Nghĩa EC, BG, AD đồng quy a) 3đ 6đ Với điều kiện 2010 ≤ x ≤ 2012 A ≥ Bình phương vế ta được: A2 = x − 2010 + 2012 − x + ( x − 2010).(2012 − x) 0.25 A2 = + ( x − 2010).(2012 − x) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số không âm (x - 2010) ( 2012 - x) ta có: ( x − 2010).(2012 − x) ≤ ( x − 2010) + (2012 − x) 0.25 ( x − 2010).(2012 − x) ≤ Dấu “=” xảy x – 2010 = 2012 – x hay x = 2011 Như A2 ≤ , A2 ≥ nên MaxA = x = 2011 b) 3đ Điều kiện x ≠ −2; x ≠ −3; x ≠ −4; x ≠ −5; x ≠ −6 1 1 + + + = x + x + x + x + 12 x + x + 20 x + 11x + 30 1 1 ⇔ + + + = ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) 1 1 1 1 ⇔ − + − + − + − = x+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x+5 x+5 x+6 1 ⇔ − = x+2 x+6 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 = x + x + 12 ⇔ x + x + 12 = 32 ⇔ ⇔ x + x − 20 = x = ⇔  x = −10 Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2; x = -10 0.25 0.25 0.25 0.25