Vẽ đường tròn O đường kính AB và đường tròn O’ đường kính AC.. Đường thẳng AB cắt đường tròn O’ tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là E.. 1 Chứng min
Trang 1UBND TỈNH SƠN LA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 - THCS
NĂM HỌC 2012 -2013
Môn: Toán
Ngày thi:16/3/ 2013.
(Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề)
Câu I (5 điểm)
1 Giải phương trình: (2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1) = 9x2
2 Giải hệ phương trình:
2 2
2013 2013 2012 2012
1
+ =
x y
Câu II (4 điểm).
Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.Chứng minh rằng: z.(x−z) + z.(y−z) ≤ xy
Câu III (3 điểm)
Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần dư của phép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3)
Câu IV (3 điểm)
Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta đều có:
5 (5n n + − 1) 6 (3n n + 2 )n chia hết cho 91
Câu V (5 điểm).
Cho tam giác ABC có Â > 900 Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính AC Đường thẳng AB cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai là D, đường thẳng AC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E
1) Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn
2) Gọi F là giao điểm của hai đường tròn (O) và (O’) (F khác A) Chứng minh ba điểm B, F, C thẳng hàng và FA là phân giác của góc EFD
3) Gọi H là giao điểm của AB và EF Chứng minh BH.AD = AH.BD
–––––––––––––––––––––––––
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND TỈNH SƠN LA
SỞ GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập- Tự do- Hạnh phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9- THCS
NĂM HỌC 2012 -2013
Môn: Toán
m
I
1 Giải phương trình: (2x 2 - 3x +1).(2x 2 + 5x + 1)=9x 2 (1)
(1)⇔ 4x4 + 4x3 − 20x2 + 2x+ 1 = 0 (x≠0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :
⇔4x2 + 4x -20 + 2 12
x
x+ = 0.⇔ 2 1 2 2. 2 1−24=0
+
x
x x
Đặt y =
x
x 1
2 + .(2)
Ta có: y2 + 2y -24 = 0.⇔ =−y y =46
*) Với y=4 thay vào (2) ta được :
1 2
2
2 2
4 2 2 4 1 0
2 2 2
x
x
x
=
=
*) Với y= -6 thay vào (2) ta được :
3 2
2
3 7
6 2 2 6 1 0
3 7 2
x
x
x
=
=
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm
0.5 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5
2 2
2013 2013 2012 2012
1(1)
x y
Giải:
Điều kiện: x,y ≥ 0
Từ phương trình (2) ta thấy:
- Nếu x > y thì: VT > 0, VP < 0 suy ra: VT > VP Do đó (2) vô
nghiệm vậy hệ đã cho vô nghiệm
- Nếu y > x thì: VT <0, VP >0 suy ra: VT < VP Do đó (2) vô
0.5 0.5
Trang 3nghiệm vậy hệ đã cho vô nghiệm.
- Nếu x = y khi đó: VT =VP =0
Kết hợp với (1) ta được:
x y
x y x y
1
=
= y
Vậy nghiệm của hệ là : 1 ; 1
2 2
0.5
0.5
II
Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.(x−z) + z.(y−z) ≤ xy (1).
Giải :
Đặt:
+
=
+
=
n z y
m z x
(m,n,z > 0)
Khi đó (1) trở thành:
zm + zn ≤ (z+m).(z+ n)
(n z)
z
m n
+
≤ +
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
2
2
1 ( )
1 ( )
m
z
Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm)
0.5 0.5 0.5
1.0
1.0 0.5
III
Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần
dư của phép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3).
Giải:
Gọi đa thức đã cho là F(x)
Khi chia đa thức F(x) cho (x-2).(x-3) là đa thức bậc 2 nên phần dư của
phép chia phải là đa thức có bậc nhỏ hơn 2.Vậy theo bài ra ta giả sử đa
thức dư cần tìm là ax+b
Do đó đa thức F(x) có dạng:
F(x) = (x-2).(x-3).A(x) + ax + b (trong đó A(x) là đa thức thương
trong phép chia)
Theo giả thiết F(x) chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7,ta có:
Vậy đa thức dư là 2x+1
0.5 0.5 0.5
1.0 0.5
Trang 4CMR: 5 (5n n + − 1) 6 (3n n + 2 ) 91n M
Giải:
*) Ta có: A = 5 (5n n + − 1) 6 (3n n + 2 )n
25 5 18 12
Mặt khác:
1 1
1 1
M M
Do đó : A M 7
*) Tương tự :
A = 5 (5n n + − 1) 6 (3n n + 2 )n
25 5 18 12
Mà:
1 1
1 1
M M
Do đó : A M 13
Ta có: (7;13) =1⇒ A M (7.13) ⇒ A M 91
0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
V
1 Ta có :
· 0
tiếp chắn nửa đường tròn (O) )
ADC 90· = 0 ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O’) )
Tức là D và E luôn nhìn BC dưới một góc vuông.Vậy bốn điểm B, C,
D, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính BC
0.5
0.5 0.5
x
H
D
E
A
F
Trang 52 Ta có AFB AFC 90· = · = 0 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ) suy ra
· · 0
AFB AFC 180 + =
Suy ra ba điểm B, F, C thẳng hàng
+) AFE ABE· = · ( góc nội tiếp cùng chắn »AE)
và AFD ACD· = · (góc nội tiếp cùng chắn »AD)
Mà ECD EBD· = · (cùng chắn »DE của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
BCDE)
Suy ra: AFE AFD· = · => FA là phân giác của góc ·DFE
3 Chứng minh được EA là phân giác của tam giác DHE
Thật vậy: AB là đường kính của đường tròn(O), EF là dây cung của
(O) => AB là phân giác của góc ·EBF ⇒EBA FBA· = · (1)
· ·
AEF ABF = (2) ( góc nội tiếp cùng chắn »AF)
· ·
AED EBA = (3) ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp
cùng chắn »AE)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AEF AED· = · Vậy EA là phân giác của góc ·DEH
trong tam giác DHE Suy ra AH EH
AD = ED (4)
*) Ta có: BE=BF ⇒ BEF BFE· =· (*)
Mặt khác: ·xEB BFE= · (**) ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng
góc nội tiếp cùng chắn »BE)
Từ (*) và(**) suy ra EB là phân giác ngoài của tam giác DHE và suy
ra BH EH
BD = ED (5)
Từ (4) và (5) ta có: AH BH AH.BD BH.AD
AD = BD ⇔ =
0.5 0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5