Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ĐỀ THI ĐẶC BIỆT – TẶNG HỌC SINH THẦY HÙNG 1/6 Môn Toán – Thời gian làm : 180 phút Thầy Đặng Việt Hùng – MOON.VN Câu (1 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 − x + x − Câu (1 điểm) Xác định tọa độ giao điểm đồ thị hàm số y = 2x −1 với đường thẳng y = x + viết x +1 phương trình tiếp tuyến (C ) giao điểm Câu (1 điểm) a) Giải phương trình − cos x(2 cos x + 1) − sin x = 1 − cos x b) Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: (1 + 2i ) z + (2 − 3i ) z = −2 − 2i Tính mô đun z Câu (1 điểm) a) Giải phương trình: x + log (9 − x ) = b) Gieo đồng thời ba xúc sắc đồng chất, cân đối Tính xác suất để tổng số chấm xuất ba 10 Câu (1 điểm) Tính tích phân I = ∫ (1 − x ) ( + e x ) dx Câu (1 điểm) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;1) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x − y + z − = để ∆MAB tam giác Câu (1 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân đỉnh C; đường thẳng BC’ tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 600 AB = AA’ = a Gọi M, N, P trung điểm BB’, CC’, BC a Q điểm cạnh AB cho BQ = Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chứng minh ( MAC ) ⊥ ( NPQ) Câu (1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác vuông ABC , A = 900 , AC > AB Gọi H chân đường cao hạ từ A lên BC Trên tia BC lấy điểm D cho HA = HD Kẻ đường thẳng qua D vuông 3 góc với BC cắt AC E Biết H (2;1) , trung điểm BE M ; , trung điểm AB 2 3 N ; 2 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC x + y −1 − y = y − x + Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) 2 x + y + + x + y + 11 = x + y + 16 Câu 10 (1 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x( y + z) − yz + y ( z + x) − zx + z ( x + y) − xy ≥ xyz Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG CÂU (1,0 điểm) Facebook: LyHung95 ĐÁP ÁN - Tập xác định: D = ℝ 0,25 - Chiều biến thiên: Ta có: y ' = x − 12 x + ; y ' = ⇔ x = x = Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 3;+∞ ) , nghịch biến khoảng (1;3) 0,25 - Cực trị: Hàm đạt cực đại x = , yCD = Hàm đạt cực tiểu x = , yCT = −1 - Giới hạn: lim y = −∞ , lim y = +∞ x →−∞ x →+∞ - Bảng biến thiên: x y' −∞ + − 0,25 +∞ y −∞ + +∞ −1 - Đồ thị: Đồ thị (C) hàm số qua điểm A ( 4;3) cắt trục tung điểm B ( 0; −1) 0,25 CÂU (1,0 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm : x = −2 ⇒ y = ⇔ Các giao điểm A ( −2;5 ) , B ( −4;3) x = − ⇒ y = y ' ( −2 ) = ⇒ tiếp tuyến A y = x + 11 y ' ( −4 ) = CÂU (1,0 điểm) 2x −1 = x + ⇔ x + x + = 0, x ≠ −1 x +1 1 13 ⇒ tiếp tuyến B y = x + 3 a) (0,5 điểm) Điều kiện: cos x ≠ ⇔ x ≠ k 2π , k ∈ ℤ Với điều kiện phương trình cho tương đương: − cos x(2 cos x + 1) − s inx = − cos x ⇔ sin x − sin x − = π 5π ⇔ x = − + k 2π , k ∈ ℤ; x = + k 2π , k ∈ ℤ (thỏa điều kiện) 4 b) (0,5 điểm) Gọi z=x+yi ( x, y ∈ R ) Phương trình cho trở thành: sin x = − 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (1 + 2i )( x + yi ) + ( − 3i )( x − yi ) = −2 − 2i ⇔ ( x − y ) + ( x + y ) i + ( x − y ) + ( −3x − y ) i = −2 − 2i 0,25 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ⇔ ( 3x − y ) + ( − x − y ) i = −2 − 2i 3 x − y = −2 x =1 ⇔ ⇔ − x − y = −2 y =1 0,25 Do z = + = 2 CÂU (1,0 điểm) a) (0,5 điểm) Điều kiện: − > Phương trình cho tương đương: log2 (9 − 2x ) = − x ⇔ − 2x = 23−x x 2x = x = 2x x ⇔ − = x ⇔ − 9.2 + = ⇔ x ⇔ (thỏa điều kiện) 2 = x = x 0,25 0,25 b) (0,5 điểm) Gọi Ω tập hợp tất khả xảy ra.Ta có n( Ω ) = 6.6.6=216 Gọi A biến cố:” tổng số chấm xuất ba 10” 0,25 Các khả thuận lợi A tổ hợp có tổng 10 là: (1;3;6), (1;4;5), (2;2;6), (2;3;5), (3;3;4), (2;4;4) hoán vị tổ hợp Ta có n(A) = 6+6+3+6+3+3 = 27 ( (2;2;6), (3;3;4), (2;4;4) có hoán vị) CÂU (1,0 điểm) I = ∫ (1 − x ) ( + e 2x 0,25 n( A) 27 = = n(Ω) 216 Vậy xác suất P(A) = ) dx =∫ (1 − x ) dx + ∫ (1 − x ) e 0 dx 0,25 = 0,25 ∫ ∫ ( − x ) dx = ( x − x ) 0 Tính I1 = (1 − x ) dx = 2x du = − dx u = − x Tính I = ∫ (1 − x ) e dx Đặt ⇒ e2 x 2x = dv e dx = v 2x ⇒ I2 = (1 − x ) e 2x 1 e2 x 1 e dx = − + 2 +∫ Vậy I = I1 + I = + CÂU (1,0 điểm) 2x 1 e2 e2 − =− + − = 4 e − e +1 = 4 0,25 0,25 Gọi (Q) mặt phẳng trung trực đoạn AB ⇒ (Q): x + y − z − = 0,25 x = Gọi d giao tuyến (P) (Q) ⇒ d: y = t + z = t 0,25 M ∈ d ⇒ M (2; t + 1; t ) ⇒ AM = 2t − 8t + 11 , AB = 12 ∆ MAB MA = MB = AB ± 18 ± 18 ± 18 ⇔ 2t − 8t − = ⇔ t = ⇒ M 2; ; 2 0,25 0,25 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG CÂU (1,0 điểm) Facebook: LyHung95 A' C' I B' N M 0,25 C A K P Q B Gọi I trung điểm A’B’ C ' I ⊥ A ' B ' ⇒ C ' I ⊥ ( ABA ' B ') , suy góc BC’ C ' I ⊥ AA ' mp(ABB’A’) góc C ' BI Suy C ' BI = 600 a 15 C ' I = BI tan C ' BI = a 15 VABC A ' B 'C ' = AA '.S A ' B 'C ' = AA ' CI A ' B ' = NP / / BC ' Ta có ⇒ ( NPQ) / /(C ' BI ) (1) PQ / / C ' I 0,25 0,25 △ ABM =△ BB ' I (c − g − c) suy AMB = BIB ' suy AMB + B ' BI = 900 ⇒ AM ⊥ BI Mặt khác theo chứng minh C’I ⊥ AM nên AM ⊥ (C ' BI ) Suy (AMC) ⊥ (C ' BI ) (2) Từ (1) (2) suy (MAC) ⊥ (NPQ) CÂU (1,0 điểm) 0,25 B H N M D 0,25 C A E 1 AE ; MD = AE ⇒ MA = MD 2 Từ suy ra: ∆AHM = ∆DHAM ⇒ AHM = DHM = 450 Ta có AM = Véc tơ pháp tuyến đường thẳng HM n1 (1; −1) Gọi n ( a; b ) véc tơ pháp tuyến Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 đường thẳng AH với a + b ≠ ( ) Ta có cos n, n1 = n.n1 = n n1 a = a −b 2 ⇔ = ⇔ 2 a2 + b2 b = 0,25 + Nếu a = ⇒ n (0;1) ⇒ AH : y −1 = ⇒ BC : x − = ⇒ B (2; b) Vì N trung điểm AB nên A(1; − b) Do A ∈ AH ⇒ − b = ⇒ b = ⇒ A(1;1) , B (2;3) 1 Do M trung điểm BE ⇒ E (3;0) ⇒ AE : x + y − = ⇒ C = AE ∩ BC = 2; Vì AB < AC nên trường hợp không thỏa mãn 0,25 + Nếu b = ⇒ n (1;0) ⇒ AH : x − = ⇒ BC : y −1 = ⇒ B (b;1) Vì N trung điểm AB nên A(3 − b;3) Do A ∈ AH ⇒ − b = ⇒ b = ⇒ A(2;3) , B (1;1) Do M trung điểm BE ⇒ E (4; 2) ⇒ AE : x + y − = ⇒ C = AE ∩ BC = (6;1) 0,25 Ta thấy AB > AC nên trường hợp thỏa mãn Vậy A(2;3) , B (1;1) , C (6;1) CÂU (1,0 điểm) x + y −1 − y = y − x + (1) Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) 2 x + y + + x + y + 11 = x + y + 16 (2) x + y + ≥ Điều kiện: 3 x + y + ≥ Ta có (1) ⇔ x + y − + x + y − = y + y 0,25 Xét hàm số: f (u ) = u + u , hàm số f (u ) đồng biến ℝ Và f ( ) x + y −1 = f ( ) y ⇔ x + y −1 = y ⇔ y = x −1 Thay y = x −1 vào phương trình (2), ta được: x + + x + = x + x + 13 ⇔ (2 x + − 2( x + 2)) + (3 x + − 3( x + 3)) = x + x −2 x ( x + 1) −3 x ( x + 1) ⇔ + = x ( x + 1) x + + ( x + 2) x + + ( x + 3) ⇔ x( x + 1) + + 1 = ⇔ x = x = −1 x + + ( x + 3) 3x + + ( x + 2) (Vì + +1 > 1) x + + ( x + 2) x + + ( x + 3) Với x = y = -1 Với x = -1 y = -3 Thử lại ta thấy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) ∈ {(0; −1);(−1; −3)} CÂU 10 (1,0 điểm) Với x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x ( y + z ) y ( z + x) z ( x + y) + + ≥ xyz (1) − yz − zx − xy y+z z+x x+ y (1) ⇔ + + ≥2 (2) yz (4 − yz ) zx (4 − zx ) xy (4 − xy ) yz y+z Ta có : ≥ = yz (4 − yz ) yz (4 − yz ) yz (4 − yz ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Khóa học LUYỆN ĐỀ TOÁN 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 −t + Ta có : ≥ ⇔ ≥ −4t + t + 16t − 4t 3 4t − t 3 ⇔ (t − 1) (t − 2t − 9) ≤ ∀t ∈ 0; 2 −2 yz + y+z ≥ ≥ Suy : yz (4 − yz ) yz (4 − yz ) Chứng minh tương tự ta có : −2 xy + z+x −2 zx + x+ y ≥ ; ≥ zx(4 − zx) xy (4 − xy ) Đặt t = yz , < t < Từ suy : VT (2) ≥ −2( xy + yz + zx ) + 24 −2( x + y + z ) + 24 ≥ = (đpcm) 9 0,25 0,25 0,25