Dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 theo quan điểm tích hợp

Một câu hỏi không dễ trả lời chút nào khi mà “Xu hướng hiện nay của dạy học toán ở Việt Nam thì lại là trình bày qua loa khái niệm, rồi công nhận các định lý công thức và dạy học sinh gi

TRẦN THANH HÀ

DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở LỚP 11

THEO QUAN ĐIỂM TÍCH HỢP

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU

CẦN THƠ, 2015

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu do tự bản thân thực hiện với sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, không sao chép các công trình nghiên cứu của người khác để làm sản phẩm của riêng mình

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm

về tính xác thực và nguyên bản của luận văn

Tác giả luận văn

Trần Thanh Hà

Lời đầu tiên, tôi xin bày lòng biết ơn chân thành sâu sắc nhất tới PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, cô là người đã bỏ nhiều thời gian, công sức, tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tiếp đến tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong Khoa Sư Phạm Toán Trường Đại học Cần Thơ đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là PGS.TS Lê Thị Hoài Châu và PGS.TS Nguyễn Phú Lộc đã truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức cơ bản và những công cụ hiệu quả để thực hiện việc nghiên cứu

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu cùng các thầy cô trong tổ toán Trường THPT chuyên Huỳnh Mẫn Đạt đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi tiến hành nghiên cứu thực nghiệm

Xin thân gửi đến các bạn cùng lớp lời cảm ơn vì những chia sẻ, đoàn kết trong suốt khóa học

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân yêu trong gia đình đã luôn là nguồn động viên lớn lao giúp tôi vượt qua những khó khăn trong suốt thời gian học tập

Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn

Trần Thanh Hà

MỞ ĐẦU………1

1 Lí do chọn đề tài……… 1

1.1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát……… 1

1.2 Tổng quan các công trình nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm….3 1.3 Hướng nghiên cứu đặt ra – Mục tiêu nghiên cứu……….7

2 Khung lí thuyết tham chiếu……….8

3 Câu hỏi nghiên cứu……….8

4 Phương pháp nghiên cứu……….8

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN……….11

1.1 Thuyết nhân học trong Didactic Toán………11

1.1.1 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân………11

1.1.2 Tổ chức toán học……… 12

1.2 Lí thuyết về dạy học tích hợp……….13

1.2.1 Dạy học tích hợp là gì……… 13

1.2.2 Vì sao phải tích hợp trong dạy học……… 13

1.2.3 Các phương thức tích hợp………15

1.2.4 Tích hợp trong dạy học toán………15

1.2.5 Mô hình hóa toán học……… 16

1.3 Lí thuyết tình huống – Biến dạy học……… 18

CHƯƠNG 2 TÌM HIỂU CÁC NGHĨA KHÁC NHAU CỦA KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM……… 19

2.1 Mục đích nghiên cứu của chương……… 19

2.2 Tổng hợp các nghiên cứu đã có về nguồn gốc hình thành, quá trình tiến triển và nghĩa của khái niệm đạo hàm………19

2.2.1 Nguồn gốc toán học của khái niệm đạo hàm……… 20

2.4 Kết luận chương 2……… 29

CHƯƠNG 3 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VẤN ĐỀ TÍCH HỢP TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11………30

3.1 Mục đích nghiên cứu của chương……… 30

3.2 Phân tích SGK Toán lớp 11 của Việt Nam………30

3.2.1 Quan điểm tích hợp trong cách xây dựng khái niệm đạo hàm của SGK Toán lớp 11……… 30

3.2.2 Các tổ chức toán học có mặt trong thể chế dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 và vấn đề tích hợp……… 38

3.3 Phân tích SGK phổ thông của Canada……… 51

3.3.1 Quan điểm tích hợp trong cách xây dựng khái niệm đạo hàm của SGK Canada……… 52

3.3.2 Các tổ chức toán học có mặt trong SGK Canada và vấn đề tích hợp 57

3.4 Kết luận chương 3……… 59

CHƯƠNG 4 NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM……… 61

4.1 Mục đích thực nghiệm………61

4.2 Đối tượng thực nghiệm……… 61

4.3 Xây dựng các vấn đề sử dụng trong thực nghiệm……… 62

4.4 Dàn dựng kịch bản Phân tích tiên nghiệm các hoạt động của thực nghiệm…….67

4.5 Phân tích hậu nghiệm……… 85

4.6 Kết luận chương 4……… 95

MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

1.1 Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát

Quan điểm được thừa nhận rộng rãi về mục tiêu của việc dạy học toán ở trường phổ thông là trang bị cho người học khả năng sử dụng kiến thức toán học vào thực tiễn cuộc sống và các môn khoa học khác Quan điểm này được thể hiện rõ qua chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) do tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế OECD (Organization for Economic Cooperation and Development) khởi xướng và chỉ đạo Đây là một chương trình được tổ chức định kì ba năm một lần, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng giáo dục của mỗi nước tham gia Ba lĩnh vực được đánh giá là năng lực đọc hiểu, toán học và khoa học của học sinh độ tuổi 15 Mục đích của chương trình là qua kết quả đánh giá mà rút ra chiến lược giáo dục cho bậc phổ thông Đối với lĩnh vực toán học, chương trình này quan tâm đến năng lực toán học phổ thông (Mathematical literacy)

“Năng lực toán học phổ thông là khả năng nhận biết ý nghĩa, vai trò của kiến thức toán học trong cuộc sống; vận dụng và phát triển tư duy toán học để giải quyết các vấn đề của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt” (Tài liệu tập huấn PISA 2015, tr.15)

Định nghĩa này của PISA cho thấy năng lực vận dụng kiến thức học được ở nhà trường vào thực tiễn cuộc sống được coi trọng như thế nào Điều đó cũng phù hợp với lịch sử toán học: nguyên nhân và động lực làm nảy sinh và phát triển các tri thức toán học là các vấn đề của thực tiễn và của các khoa học khác Do đó, dạy học toán theo kiểu tách biệt với thực tiễn, tách biệt với các môn khoa học khác sẽ khiến người học họ không hiểu lợi ích của việc học tri thức đó đối với cuộc sống của họ

Đó chính là lý do khiến mục tiêu dạy học toán được nói tới ở Việt Nam trong mấy năm gần đây là trang bị cho người học khả năng sử dụng kiến thức toán học vào

thực tiễn cuộc sống và các môn khoa học khác Quan điểm dạy học tích hợp mà chúng tôi đề cập đến cũng theo xu hướng dạy học này

Bàn về quan điểm tích hợp trong dạy học toán, tác giả Lê Thị Hoài Châu có đưa ra kết luận như sau:

“Dạy học tích hợp làm cho việc học tập trở nên ý nghĩa hơn đối với học sinh

so với việc thực hiện riêng rẽ các môn học, các mặt giáo dục khác nhau Nó cho phép con người nhận ra những điều then chốt và các mối liên hệ hữu cơ giữa các thành tố trong hệ thống và trong tiến trình hoạt động thuộc một lĩnh vực nào đó Nó giúp nâng cao năng lực của người học trong việc giải quyết vấn

đề của cuộc sống hiện tại Nó hoàn toàn phù hợp với những quan niệm tích cực

về quá trình học tập” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.12)

Tác giả cũng đưa ra nhận định của Dương Tiến Sĩ về quan điểm tích hợp:

“Thời gian học tập trong nhà trường không thể kéo dài thêm Học sinh có thể

sẽ học được nhiều hơn nếu được cung cấp đầy đủ các tư liệu học tập được biên soạn trong khuôn khổ một chương trình tích hợp các khoa học một cách hợp lý” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.14)

Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là phải tổ chức dạy học theo quan điểm tích hợp như thế nào để đáp ứng được xu hướng dạy học của toàn cầu nói chung và của nền Giáo dục Việt Nam nói riêng Một câu hỏi không dễ trả lời chút nào khi mà

“Xu hướng hiện nay của dạy học toán ở Việt Nam thì lại là trình bày qua loa khái niệm, rồi công nhận các định lý công thức và dạy học sinh giải toán theo mẫu… cách dạy này khiến học sinh khó nhận thấy lợi ích thực tiễn của các tri thức toán học, cho rằng học toán chỉ để giải toán và đi thi”

(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.14)

Chẳng hạn như khái niệm đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn cuộc sống

và các môn khoa học khác, đặc biệt là vật lý Thế nhưng với cách dạy học, cách kiểm tra, đánh giá hiện nay thì đạo hàm chỉ dùng để xét tính đơn điệu của hàm số, khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, chứng minh bất đẳng thức,

… Những hàm số này lại được cho sẵn, chẳng gắn với một vấn đề thực tiễn nào Nói chung là học sinh chỉ được yêu cầu giải những bài toán toán học thuần túy Điều này thể hiện rõ qua nội dung của các kì thi ở mọi cấp – trường, tỉnh, quốc gia Đành rằng những bài toán thuần túy toán học kiểu như vậy có thể được sử dụng để rèn luyện và phát triển tư duy cho người học, đồng thời giúp họ biết dùng kiến thức đã biết vào việc giải quyết những vấn đề cụ thể của toán học Nhưng chúng không đủ để người học nhận ra sự cần thiết của tri thức được học đối với cuộc sống

Từ những ghi nhận ban đầu về xu hướng và tầm quan trọng của quan điểm tích hợp trong dạy học, về mục tiêu của giáo dục hiện nay, về tiêu chuẩn đánh giá quốc tế PISA và về thực trạng với thực tiễn về dạy học khái niệm đạo hàm, hàng loạt câu hỏi đặt ra cho chúng tôi: khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào? Nó cho phép giải quyết những loại vấn đề nào của thực tiễn ? Làm thế nào để xây dựng những tình huống dạy học có tích hợp với các môn khoa học khác và gắn với thực tiễn nhằm nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh?

1.2 Tổng quan các công trình nghiên cứu về dạy học khái niệm đạo hàm

Bàn về dạy học khái niệm đạo hàm, đã có khá nhiều công trình nghiên cứu trong và ngoài nước Dưới đây, chúng tôi sẽ tóm lược những kết quả chính từ những tài liệu trong nước mà chúng tôi có được

1.2.1 Đạo hàm và mối quan hệ với tiếp tuyến

Đây là một vấn đề được nghiên cứu trong công trình của Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, một nghiên cứu khoa học luận và sư phạm, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học sư phạm TPHCM

Về phương diện khoa học luận, kết quả nghiên cứu của luận văn cho thấy trong lịch sử toán học, đạo hàm được hình thành và phát triển từ việc tìm lời giải cho hai bài toán, một là bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong và hai là bài toán tìm vận tốc tức thời của một chuyển động Tuy nhiên, tác giả chỉ quan tâm khai thác

và làm rõ nghĩa của đạo hàm ở khía cạnh đạo hàm là công cụ tìm lời giải cho bài toán

tiếp tuyến của một đường cong Tác giả đã kết luận rằng giữa đạo hàm và tiếp tuyến

có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Ngoài mối quan hệ giữa đạo hàm và tiếp tuyến còn

có mối quan hệ giữa đạo hàm và xấp xỉ affine, mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine

Về phương diện thể chế, tác giả đã kết luận thể chế dạy học toán ở Việt Nam (theo chương trình và sách giáo khoa Giải tích 11 năm 2000) đã ảnh hưởng trên mối quan hệ cá nhân của mỗi học sinh Cụ thể là

“Học sinh thiết lập được mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm, giữa đạo hàm và xấp xỉ affine, nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong mối quan hệ cá nhân của họ” (Bùi Thị Thu Hiền, 2007, tr.71)

Tuy nhiên thể chế dạy học toán mà tác giả nghiên cứu là bộ SGK chỉnh lý hợp nhất năm 2000 và bộ SGK thí điểm ban KHTN Các bộ SGK này, hiện nay đã không còn được sử dụng

1.2.2 Một số hợp đồng didactic được hình thành từ thể chế dạy học đạo hàm ở lớp 11

Lê Anh Tuấn (2009), trong Một nghiên cứu Didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Đại học sư phạm TP HCM, đã tìm hiểu mối quan hệ cá nhân của học sinh lớp 11 với khái niệm đạo hàm và thử giải thích quan hệ đó bằng khái niệm hợp đồng didactic

Về phương diện khoa học luận, tác giả đã giới thiệu định nghĩa và nghiên cứu vai trò công cụ giải toán của đạo hàm ở một số giáo trình đại học Tuy nhiên, tác giả chưa quan tâm làm rõ nghĩa của khái niệm này

Về phương diện thể chế, luận văn đã nghiên cứu thể chế dạy học khái niệm đạo hàm bậc Trung học phổ thông theo chương trình và sách giáo khoa hiện hành và ảnh hưởng của nó lên kiến thức và ứng xử của học sinh Cụ thể là

+ Định nghĩa đạo hàm có vai trò rất mờ nhạt đối với học sinh

+ Khi tính đạo hàm của hàm số y f x  tại xx0 bằng định nghĩa thì việc tính ' 

0

f x bằng    

0

0 0

 





Vấn đề là tại sao “định nghĩa đạo hàm có vai trò rất mờ nhạt đối với học sinh”, tại

sao định nghĩa đạo hàm mà SGK trình bày là      

0

0 '

mà lại trình bày như vậy thì chưa được tác giả giải thích hay làm rõ

Hai quy tắc hợp đồng mà tác giả chỉ ra là

- RE1: “Tính đạo hàm của một hàm số là sử dụng các công thức đạo hàm đã có”

- RE2: “Trong các bài toán tìm đạo hàm của một hàm số, học sinh không có trách nhiệm kiểm tra hàm số đã cho có đạo hàm hay không mà chỉ việc tính đạo hàm”

Những nghiên cứu về thể chế của luận văn đã cho chúng tôi thấy phần nào sự hiểu biết của học sinh về khái niệm đạo hàm

1.2.3 Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lý ở trường phổ thông

Đây là vấn đề mà tác giả Ngô Minh Đức (2013), quan tâm nghiên cứu trong luận văn thạc sỹ của mình

Về phương diện khoa học luận, tác giả đã làm rõ được động lực nảy sinh, tiến trình hình thành và phát triển của khái niệm đạo hàm trong lịch sử, từ đó tác giả đã nêu bật được nghĩa của khái niệm đạo hàm Về động lực nảy sinh khái niệm đạo hàm, tác giả đã kết luận khái niệm đạo hàm được hình thành và phát triển nhờ hai động lực chính, một từ việc tìm lời giải cho bài toán vật lý tìm vận tốc tức thời của một chuyển động, hai là bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong bất kỳ Về nghĩa của khái niệm đạo hàm, tác giả đã kết luận:

“Trong lịch sử toán học, đạo hàm của hàm số tại một điểm (nếu tồn tại) có thể mang nhiều ý nghĩa khác nhau vì gắn với những đặc trưng khác nhau: về mặt tính số, nó là xấp xỉ affine của hàm số đang xét tại điểm đang xét thông qua biểu diễn     ' 

f x h  f x  f x h hH ; về mặt hình học, nó là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đang xét; về mặt động học (theo nghĩa tổng quát của Newton), nó là độ biến thiên tức thời của hàm số đang xét tại điểm đang xét” (Ngô Minh Đức, 2013, tr.33)

Về phương diện thể chế, tác giả quan tâm làm rõ nghĩa của khái niệm đạo hàm trong hai thể chế, thể chế dạy học vật lí và thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Trong thể chế dạy học vật lí, tác giả kết luận đạo hàm xuất hiện ngầm ẩn ngay từ chương trình vật lí lớp 10 và 11, sau đó là xuất hiện tường minh trong chương trình vật lý lớp 12 với hai nghĩa “tốc độ biến thiên” và “xấp xỉ” Chính vì vậy tác giả đưa

ra nhận định

“Việc dạy học khái niệm đạo hàm thật sự cần thiết phải đặt trong mối quan hệ liên môn với Vật lí” (Ngô Minh Đức, 2013, tr.46)

Trong thể chế dạy học toán, tác giả kết luận:

+ Đặc trưng tốc độ biến thiên của khái niệm đạo hàm không được thể chế hóa một cách tường minh

+ Đặc trưng xấp xỉ đồ thị hàm số bởi đường tiếp tuyến và tương ứng là xấp xỉ một hàm bằng một hàm tuyến tính đơn giản hơn không được thể chế quan tâm làm

Ngoài ra tác giả còn kết luận hai thể chế dạy học vật lí và toán “không tạo ra sự khớp nối hợp lí” cho nghĩa của khái niệm đạo hàm

Về đồ án didactic, tác giả đã xây dựng một đồ án nhằm bổ sung và giúp học sinh hình thành hai nghĩa còn thiếu “tốc độ biến thiên” và “xấp xỉ” của khái niệm đạo hàm cho học sinh lớp 12, để từ đó “… tạo mối dây liên kết hợp lý cho việc ứng dụng hiệu quả khái niệm đạo hàm trong dạy học vật lí ở trường phổ thông” (Ngô Minh Đức, 2013, tr.70)

Đồ án dạy học của tác giả Ngô Minh Đức được xây dựng cho học sinh đầu lớp

12, khi các em đã được nghiêncứu khái niệm đạo hàm ở lớp 11 Chúng tôi tự hỏi : có thể xây dựng các tình huống dạy học cho học sinh lớp 11 tại thời điểm bắt đầu học khái niệm đạo hàm? Và nếu là các tình huống dạy học cho học sinh lớp 11 thì phải xây dựng như thế nào?

Luận văn đã cung cấp cho chúng tôi tổng quan về lịch sử hình thành khái niệm đạo hàm cùng với nghĩa của nó và sự cần thiết phải dạy học khái niệm đạo hàm trong mối quan hệ liên môn và đồng thời cũng cung cấp cho chúng tôi thực tiễn của việc vận dụng mối quan hệ liên môn trong dạy học khái niệm đạo hàm hiện nay Vậy việc dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 theo phương thức tích hợp, gắn toán học với thực tiễn và các khoa học khác thì sao, có được thể hiện trong sách giáo khoa toán lớp 11 không, nếu có thì thể hiện như thế nào và ở mức độ nào, có nâng cao được năng lực toán học phổ thông cho học sinh không Những câu hỏi này đã gợi cho chúng tôi đặt ra định hướng nghiên cứu tiếp theo cho khái niệm đạo hàm

1.3 Hướng nghiên cứu đặt ra – Mục tiêu nghiên cứu

Từ việc điểm qua các công trình nghiên cứu đã có cùng với những câu hỏi xuất phát mà chúng tôi trình bày ở trên, chúng tôi mong muốn làm rõ vấn đề tích hợp khái niệm đạo hàm với thực tiễn và các khoa học khác trong dạy học toán ở trường phổ thông Chính vì vậy mà chúng tôi xác định vấn đề cần nghiên cứu:

“Dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 theo quan điểm tích hợp”

2 KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU

Để đạt được mục tiêu, chúng tôi sẽ vận dụng các yếu tố công cụ của lý thuyết Didactic toán (thuyết nhân học), lý thuyết tình huống và lý thuyết về dạy học tích hợp làm cơ sở cho việc xác định phương pháp luận nghiên cứu để trả lời các câu hỏi đã nêu

3 CÂU HỎI NGHIÊN CỨU

Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu của mình như sau:

CH1 Khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào? Vai trò và chức năng của các

nghĩa đó như thế nào đối với thực tiễn cuộc sống và các khoa học khác

CH2 Trong thể chế dạy học toán ở trường phổ thông, khái niệm đạo hàm được

trình bày như thế nào? Những nghĩa nào được hình thành? Những tổ chức toán học gắn liền với các nghĩa này là gì? Vấn đề tích hợp được thể hiện ra sao?

CH3 Cần xây dựng các tình huống dạy học khái niệm đạo hàm theo quan

điểm tích hợp như thế nào nhằm bổ sung đầy đủ nghĩa của tri thức cho việc học tập

các môn khoa học khác đồng thời nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Để đạt được mục tiêu nghiên cứu hay nói khác đi là tìm được câu trả lời cho

các câu hỏi nghiên cứu đã đề ra trong phạm vi khung lý thuyết tham chiếu vừa nêu, chúng tôi xác định các nhiệm vụ, phương pháp và nội dung nghiên cứu của mình là:

+ Phân tích, tổng hợp những yếu tố lí thuyết chủ yếu về Thuyết nhân học của Didactic Toán; Lí thuyết tình huống; Lí thuyết về dạy học tích hợp nhằm hình thành

cơ sở lí luận cho luận văn Nội dung này được trình bày trong chương 1

+ Phân tích, tổng hợp một số công trình đã có về nghiên cứu tri thức luận của khái niệm đạo hàm, qua đó làm rõ nguồn gốc nảy sinh khái niệm, các nghĩa khác nhau của nó, ứng dụng của khái niệm trong thực tiễn và các khoa học khác, những

nghĩa được hình thành trong dạy học Những nội dung này được trình bày trong

chương 2 Kết quả nghiên cứu của chương cũng là câu trả lời cho câu hỏi CH1

+ Phân tích chương trình và sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 hiện hành của Việt Nam Trên quan điểm so sánh, chúng tôi phân tích thêm một sự lựa chọn của thể chế dạy học khái niệm đạo hàm của Canada, cuốn “Harcourt Mathematics 12, Advanced Function and Introductory Calculus (2002)”, tương đương với chương trình môn toán lớp 11 hiện hành của Việt Nam, nhằm làm nổi bật các yếu tố sau của thể chế dạy học khái niệm đạo hàm ở lớp 11 của Việt Nam:

 Những nghĩa nào được hình thành? Những nghĩa nào vắng mặt?

 Những tổ chức toán học nào được đưa vào? Những tổ chức toán học

nào vắng mặt?

 Vấn đề tích hợp với thực tiễn và các khoa học khác được thể hiện ra

sao?

Những nội dung này được trình bày trong chương 3 Kết quả nghiên cứu của

chương sẽ là câu trả lời cho CH2

+ Xây dựng một số tình huống dạy học khái niệm đạo hàm theo phương thức tích hợp với các khoa học khác, gắn toán học với thực tiễn, cho phép học sinh lớp 11 tiếp cận khái niệm đạo hàm theo định hướng tích cực, nhằm bổ sung đầy đủ các nghĩa của khái niệm đạo hàm và nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh Nội dung này được trình bày trong chương 4 Kết quả nghiên cứu của chương cũng là câu trả lời cho câu hỏi CH3

Có thể tóm tắt ngắn gọn phương pháp nghiên cứu của chúng tôi bằng sơ đồ sau

Cơ sở lí luận

Tổng hợp các nghiên cứu tri thức luận về khái niệm

đạo hàm

Làm rõ nghĩa

và ứng dụng của khái niệm đạo hàm trong thực tiễn và các khoa học khác

Nghiên cứu thể chế dạy học khái niệm đạo hàm trên quan điểm so sánh

khác

Xây dựng các tình huống dạy học

Thực nghiệm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong chương này, chúng tôi trình bày những yếu tố cơ bản nhất làm nền tảng công cụ lí thuyết cho những nghiên cứu của luận văn

1.1 Thuyết nhân học trong Didactic Toán

Thuyết nhân học là một công cụ lí thuyết đặc thù của Didactic Toán Nói một cách đầy đủ thì lý thuyết này được gọi là Thuyết nhân học trong Didactic Toán Trong phần dưới, chúng tôi sẽ gọi một cách ngắn gọn là Thuyết nhân học Các khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học là quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân, tổ chức toán học,…

1.1.1 Quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân

Bởi vì thuyết nhân học quan niệm mỗi một đối tượng tri thức toán học O là

“một sinh vật sống”, và vì vậy mà nó sẽ trải qua các giai đoạn nảy sinh, hình thành

và phát triển Nó nảy sinh như thế nào, hình thành ra sao và phát triển đến mức độ nào, tất cả đều phụ thuộc vào môi trường, xã hội mà nó tồn tại trong đó Môi trường hay xã hội mà chúng tôi nhắc đến, trong thuyết nhân học gọi là thể chế I

Trong một thể chế I luôn tồn tại những ràng buộc nhất định nào đó đối với cuộc sống của tri thức O Chẳng hạn, một trong những ràng buộc của thể chế I là những ràng buộc sinh ra từ chương trình, SGK, … Chính những ràng buộc này đã quyết định cuộc sống của O trong I, tạo ra một mối quan hệ giữa thể chế I và tri thức

O mà thuyết nhân học gọi đó là quan hệ thể chế R (I, O) Như vậy quan hệ thể chế R(I, O) chỉ rõ cách thức I quyết định O xuất hiện như thế nào, ở đâu, tồn tại ra sao và

có vai trò gì trong I

Trong mỗi thể chế dạy học I luôn có hai vị trí quan trọng mà một cá nhân X

có thể chiếm giữ: vị trí người dạy (giáo viên) và vị trí người học (học sinh) Quan hệ thể chế R(I, O) sẽ ảnh hưởng đến sự hiểu biết của chủ thể X về đối tượng tri thức O qua cách thức mà X hiểu về O, sử dụng O Những tác động và cách thức mà X tác

động lên O, hiểu về O, nghĩ về O, thao tác trên O, … được gọi là quan hệ cá nhân R(X, O)

Như vậy muốn biết được chủ thể X hiểu đối tượng tri thức O như thế nào, tức

là tìm hiểu quan hệ cá nhân R(X, O), chúng ta cần tìm hiểu thể chế I mà đối tượng tri thức O đang tồn tại trong đó, hay nói khác đi là tìm hiểu những ảnh hưởng của thể chế lên đối tượng tri thức O, nói theo thuyết nhân học là tìm hiểu quan hệ thể chế R(I, O) Câu hỏi đặt ra là quan hệ thể chế R(I,O) được thể hiện dưới hình thức nào, dựa vào đâu để có thể mô tả được mối quan hệ thể chế với một tri thức? Việc giải đáp cho câu hỏi này sẽ cung cấp cho chúng ta một phương pháp luận phân tích mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức được nghiên cứu Phương pháp này gắn liền với một khái niệm cơ bản trong Thuyết nhân học, khái niệm mà chúng tôi muốn nhắc đến là khái niệm “Tổ chức toán học” trong Didactic Toán

1.1.2 Tổ chức toán học

Trong quan hệ thể chế R(I, O) luôn có các hoạt động để đối tượng tri thức O tồn tại, các hoạt động đó vận hành như một tổ chức gồm 4 thành phần T, , ,  trong đó T là một kiểu nhiệm vụ,  là kỹ thuật giải quyết T,  là công nghệ giải thích kỹ thuật  ,  là lý thuyết giải thích cho công nghệ  Thuyết nhân học gọi các

tổ chức này là các praxéologie Trong trường hợp T là một kiểu nhiệm vụ toán học thì người ta nói rằng đó là một praxéologie toán học hay một tổ chức toán học (organisation mathématique) Các tổ chức toán học đó cho chúng ta biết đối tượng O

“sinh sống” như thế nào trong thể chế I Việc phân tích các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức O sẽ làm rõ mối quan hệ R(I, O), từ đó hiểu được mối quan hệ R(X, O)

Rõ ràng thuyết nhân học là một công cụ đặc thù giúp chúng tôi tìm kiếm câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu mà chúng tôi đã nêu

Khi đã làm rõ được những yếu tố khiếm khuyết trong mối quan hệ cá nhân của chủ thể về đối tượng tri thức mà chúng tôi quan tâm thì với mục đích nghiên cứu đã

xác định, chúng tôi phải tìm cách bổ sung những khiếm khuyết đó thông qua việc thiết kế và thực hiện các tình huống dạy học Tuy nhiên để có thể thiết kế được các tình huống dạy học nhằm nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh, chúng

tôi không thể không có nền tảng của Lý thuyết dạy học tích hợp

1.2 Lý thuyết về dạy học tích hợp

1.2.1 Dạy học tích hợp là gì?

Bàn về dạy học tích hợp, UNESCO cho rằng:

“Một cách trình bày các khái niệm và nguyên lí khoa học cho phép diễn đạt sự thống nhất cơ bản của tư tưởng khoa học, tránh nhấn quá mạnh hoặc quá sớm

sự sai khác giữa các lĩnh vực khoa học khác nhau”

(trích theo Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.11)

Theo trích dẫn trên thì dạy học tích hợp nghĩa là dạy học một khái niệm của một lĩnh vực khoa học cụ thể có sự gắn kết khái niệm đó với các lĩnh vực khoa học khác giúp người học hiểu được rằng giữa các môn khoa học có sự thống nhất với nhau, hỗ trợ nhau, giúp người học hình thành năng lực giải quyết tình huống của thực tiễn Tác giả Lê Thị Hoài Châu nhận định

“Định nghĩa này nhấn mạnh cách tiếp cận các khái niệm và nguyên lí khoa học chứ không phải là hợp nhất nội dung Việc giảng dạy các môn khoa học không thể chỉ xem là trang bị một số kiến thức mở đầu, chuẩn bị cho cấp học trên, mà còn là kết thúc, chuẩn bị cho đời sống trưởng thành.” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.11)

1.2.2 Vì sao phải tích hợp trong dạy học?

Mỗi một khoa học không thể tự nó hình thành và phát triển mà là một mối quan hệ phụ thuộc lẫn nhau, ràng buộc nhau, thúc đẩy nhau hình thành và phát triển Chẳng hạn Toán học là tiền đề, là cơ sở nghiên cứu các khoa học khác Ngược lại, các môn khoa học khác là nguồn gốc tạo ra động lực mạnh mẽ để Toán học nảy sinh, hình thành và phát triển

Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, mỗi một khoa học nghiên cứu sự vận động và phát triển các sự vật, hiện tượng trong tự nhiên theo những góc độ khác nhau Mặt khác, các sự vật, hiện tượng này đều tồn tại và phát triển trong một thể thống nhất gồm nhiều mối quan hệ Chính vì vậy, muốn hiểu về nó một cách đầy đủ thì không thể chỉ dùng một khoa học đơn lẻ nào đó mà phải phối hợp các khoa học khác nhau

để giải thích cho sự tồn tại và vận động của sự vật hiện tượng đó

Theo Xavier Roegiers, trong thời đại bùng nổ thông tin, sự gia tăng về số lượng

và khả năng dễ tiếp cận của các thông tin đã dẫn đến chức năng truyền thống của người giáo viên là truyền đạt kiến thức cho người học ngày càng mất ý nghĩa, vì các kiến thức và thông tin có thể được tiếp nhận một cách dễ dàng bằng nhiều phương tiện khác nhau Rõ ràng sự cần thiết phải thay đổi chức năng của người dạy trở thành phát triển năng lực huy động các kiến thức ở các lĩnh vực khác nhau để giải quyết các vấn đề của thực tiễn cho người học

Từ ba lí do trên cho thấy sự cần thiết phải tích hợp trong dạy học bởi vì các mục tiêu mà nó nhắm đến như sau:

“- Làm cho các quá trình học tập có ý nghĩa bằng cách gắn nó với cuộc sống hàng ngày, hòa nhập thế giới học đường với thế giới cuộc sống

- Hình thành năng lực cơ bản, cần thiết cho việc vận dụng vào xử lí các tình huống của cuộc sống và đặt cơ sở không thể thiếu cho quá trình học tập tiếp theo của học sinh

- Dạy sử dụng kiến thức trong những tình huống cụ thể Thay vì tham nhồi nhét cho học sinh nhiều kiến thức lí thuyết đủ loại, dạy học tích hợp chú trọng tập dượt cho học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng học được vào các tình huống thực tế, có ích cho cuộc sống sau này của một công dân có năng lực sống tự lập

- Xác lập mối liên hệ giữa các khái niệm đã học Trong quá trình học tập, học sinh có thể lần lượt học những môn học khác nhau, những phần khác nhau trong mỗi môn học Nhưng họ phải biết biểu đạt các khái niệm đã học trong

những mối quan hệ hệ thống thuộc phạm vi từng môn học cũng như giữa các môn học khác nhau”

(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.11-12)

1.2.3 Các phương thức tích hợp

Các nhà nghiên cứu đã đưa ra ít nhất là bốn phương thức khác nhau để thực hiện tích hợp trong dạy học: tích hợp trong nội bộ môn học, tích hợp đa môn, tích hợp liên môn và tích hợp xuyên môn

+ Tích hợp trong nội bộ môn học: Phương thức này vẫn cho phép tổ chức các phân môn của một môn học một cách riêng lẻ, tuy nhiên có thể loại bỏ những nội dung trùng lắp đồng thời huy động sự hỗ trợ lẫn nhau giữa các phân môn giúp người học hiểu rõ bản chất của tri thức

+ Tích hợp đa môn: Phương thức này cho phép tổ chức những tình huống mà

“việc giải quyết đòi hỏi phải huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng của những môn học khác nhau” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.15)

+Tích hợp liên môn: Phương thức này chỉ thực hiện trong khuôn khổ một môn học, cho phép người dạy thiết kế những tình huống học tập có thể tiếp cận trong mối quan hệ của nhiều môn học

+ Tích hợp xuyên môn: Phương thức này cho phép người dạy “tổ chức chương trình học tập xoay quanh các vấn đề và mối quan tâm của người học” hay nói khác đi

là tổ chức chương trình học tập đi vào thực tế cuộc sống Phương thức tổ chức này đòi hỏi người học phải vận dụng kĩ năng của tất cả các môn học đồng thời biết linh hoạt dựa vào đặc điểm tình hình của thực tiễn mà đưa ra cách giải quyết hợp lí

1.2.4 Tích hợp trong dạy học toán

Theo tác giả Lê Thị Hoài Châu, do kiến thức toán thuộc chương trình THPT

đã đạt đến một mức độ chuyên sâu nào đó (không chỉ là những kiến thức phổ thông, rất thông dụng như hai bậc học trước) nên việc dạy học toán lúc này nên được thực

hiện theo hai phương thức: tích hợp trong nội bộ môn toán, tích hợp liên môn và gắn toán học với thực tiễn Cả hai phương thức này đều nhắm đến mục tiêu nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh

Trong phạm vi nghiên cứu của đề tài, chúng tôi quan tâm đến phương thức tích hợp liên môn và gắn toán học với thực tiễn Phương thức này được bộc lộ rõ qua việc gắn dạy học toán với mô hình hóa Vì lẽ đó mà không thể không kể đến nền tảng

lí thuyết về “Mô hình hóa trong dạy học Toán” hay “Mô hình hóa toán học”

1.2.5 Mô hình hóa toán học

Khái niệm “Mô hình hóa toán học” thực chất là “Toán học hóa các tình huống của thực tế”, nghĩa là “xây dựng một mô hình toán học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình huống” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.25)

Quá trình mô hình hóa toán học được mô tả qua 4 bước

“Bước 1 Xây dựng mô hình trung gian của vấn đề, tức là xác định các yếu tố có ý nghĩa quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo

Bước 2 Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả lại dưới dạng ngôn ngữ toán học cho mô hình trung gian Lưu ý là ứng với vấn đề đang xem xét có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo chỗ các yếu tố nào của hệ thống

và mối liên hệ nào giữa chúng được xem là quan trọng

Bước 3 Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành

ở bước hai Căn cứ vào mô hình đã xây dựng cần phải chọn hoặc xây dựng phương pháp giải cho phù hợp

Bước 4 Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được trong bước ba Ở đây người

ta phải xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề thực tế hoặc áp dụng phương pháp phân tích chuyên gia.”

(Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.25)

Rõ ràng vận dụng mô hình hóa trong dạy học toán là một cách dạy học góp phần nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh Câu hỏi đặt ra là có những tiến trình dạy học nào để theo đó người dạy có thể thực hiện xây dựng mô hình toán học giải quyết một vấn đề nào đó do thực tiễn đặt ra?

Theo nghiên cứu của tác giả Lê Thị Hoài Châu, đối với giáo viên luôn tồn tại một mô hình toán học của một vấn đề nào đó trong thực tiễn, dẫn đến việc có thể tổ chức dạy học theo hai tiến trình sau đây:

+ Tiến trình thứ nhất: Giáo viên trình bày tri thức toán học, sau đó yêu cầu

học sinh vận dụng tri thức vừa học tìm lời giải cho một vấn đề nào đó của thực tiễn

Lẽ tự nhiên, học sinh sẽ dễ dàng xây dựng một mô hình toán học phù hợp với tri thức vừa được dạy để giải quyết vấn đề đặt ra Dạy học theo tiến trình này gọi là dạy học

mô hình hóa Tuy nhiên, tác giả Lê Thị Hoài Châu đặt câu hỏi rằng “Liệu vượt ra khỏi bối cảnh ấy, người học có thể xây dựng được mô hình toán học phù hợp với vấn

đề thực tiễn cần giải quyết hay không?” (Lê Thị Hoài Châu, 2014, tr.28)

+ Tiến trình thứ hai: Giáo viên xuất phát từ một vấn đề thực tiễn, xây dựng

mô hình toán học phù hợp để tìm câu trả lời cho bài toán thực tiễn đó, sau đó là sự thể chế hóa tri thức cần giảng dạy bằng cách nêu định nghĩa, định lý, công thức và cuối cùng là vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác mà tri thức đó cho phép xây dựng một mô hình toán học phù hợp Dạy học theo tiến trình này gọi là dạy học bằng mô hình hóa

Tóm lại, cả hai tiến trình dạy học này đều là các con đường nâng cao năng lực toán học phổ thông cho học sinh Muốn đạt được mục tiêu nghiên cứu đã đề ra, chúng tôi cần phải tính đến vấn đề mô hình hóa toán học hay nói khác đi là thực hiện tích hợp theo phương thức liên môn và gắn toán học với thực tiễn trong việc thiết kế các tình huống dạy học khái niệm đạo hàm trong nghiên cứu của mình

Chúng tôi muốn làm chủ, điều khiển các tình huống mà chúng tôi đưa ra nhằm đạt được mục tiêu dạy học Do vậy sự cần thiết phải có nền tảng lý thuyết về khái niệm biến của Lý thuyết tình huống

1.3 Lý thuyết tình huống – Biến dạy học

Biến dạy học có thể hiểu là những yếu tố cấu thành nên một tình huống mà việc thay đổi giá trị của biến có thể làm thay đổi đặc trưng của những chiến lược giải

GS TSKH Nguyễn Bá Kim đã nhận định và làm rõ được rằng:

“Học tập là một sự chỉnh lí kiến thức do bản thân người học thực hiện, còn người dạy chỉ phải gợi ra sự chỉnh lí đó bằng cách lựa chọn những giá trị của những biến dạy học” (trích theo Trần Anh Dũng, 2013, tr.35)

Vì vậy vận dụng khái niệm biến trong việc thiết kế các tình huống dạy học là cần thiết để đạt được mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi

CHƯƠNG 2 TÌM HIỂU CÁC NGHĨA KHÁC NHAU CỦA KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

2.1 Mục đích nghiên cứu của chương

Trong chương này chúng tôi tiến hành tổng hợp các công trình đã có về nguồn gốc hình thành, quá trình tiến triển của khái niệm đạo hàm đồng thời bổ sung thêm một số phân tích nhằm làm rõ các nghĩa khác nhau của khái niệm này Ngoài ra chúng tôi tìm hiểu thêm vai trò và chức năng của các nghĩa đó trong thực tiễn cuộc sống và các khoa học khác Kết quả nghiên cứu của chương sẽ giúp chúng tôi trả lời cho các câu hỏi CH1:

 Khái niệm đạo hàm có những nghĩa nào?

 Vai trò và chức năng của các nghĩa đó như thế nào đối với thực tiễn cuộc sống

và các khoa học khác

Trên cơ sở hiểu rõ về tri thức luận của khái niệm đạo hàm, chúng tôi sẽ có những cái nhìn tổng quát về quan điểm tích hợp khái niệm đạo hàm với thực tiễn và khoa học khác có thể được thực hiện như thế nào trong toán học, để từ đó có được sự phân tích đúng đắn trong việc thực hiện các chương kế tiếp

2.2 Tổng hợp các nghiên cứu đã có về nguồn gốc hình thành, quá trình tiến triển và nghĩa của khái niệm đạo hàm

Tác giả Ngô Minh Đức đã có những nghiên cứu sâu sắc về nguồn gốc hình thành, quá trình tiến triển và nghĩa của khái niệm đạo hàm trong nghiên cứu “Khái niệm đạo hàm trong dạy học toán và vật lí ở trường phổ thông” Công trình của Ngô Minh Đức (năm 2013) sẽ là tài liệu tham khảo chính của chúng tôi Ngoài ra, chúng tôi sẽ bổ sung cho phân tích của Ngô Minh Đức thông qua việc tham khảo các tài liệu sau:

- Arthur Rosenthal (1951), The History of calculus, The American

- Nguyễn Phú Lộc (2008), Lịch sử toán học, NXB Giáo dục

Tác giả Ngô Minh Đức đã kết luận rằng có hai lĩnh vực làm nảy sinh và hình thành khái niệm đạo hàm, một từ lĩnh vực toán học và hai từ lĩnh vực vật lí

2.2.1 Nguồn gốc toán học của khái niệm đạo hàm

Trong lĩnh vực toán học, phép tính vi phân bắt nguồn từ việc tìm lời giải cho các bài toán xác định tiếp tuyến của đường cong và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một hàm số Tuy nhiên nguồn gốc chủ yếu làm nảy sinh và hình thành tư tưởng về khái niệm đạo hàm vẫn là bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong bất kì trong lĩnh vực hình học

Tại sao lại phải giải quyết bài toán này? Sự ra đời của Hình học giải tích đã dẫn đến một hệ quả là lớp các đường cong được nghiên cứu trở nên đa dạng Quan niệm về tiếp tuyến là những đường thẳng có duy nhất một điểm chung và tiếp xúc với đường cong không còn phù hợp nữa Một nhu cầu đặt ra đối với hình học là tìm kiếm một phương pháp tổng quát xác định tiếp tuyến của một đường cong bất kì Theo nghiên cứu của Nguyễn Phú Lộc (2008):

Bài toán này thuộc về hình học nhưng có nhiều ứng dụng trong khoa học khác, cụ thể là quang học Để thiết kế thấu kính, người ta cần nghiên cứu đường đi của ánh sáng qua thấu kính Đường đi của ánh sáng qua thấu kính thì lại được xác định bằng cách áp dụng định luật khúc xạ, muốn áp dụng được định luật khúc xạ phải biết góc giữa tia tới đập vào thấu kính và pháp tuyến của đường cong, pháp tuyến của đường cong thì lại vuông góc với tiếp tuyến Nhu cầu đặt ra là xác định tiếp tuyến của

đường cong đó Một vấn đề nữa cũng liên quan đến tiếp tuyến là vấn đề nghiên cứu chuyển động Hướng chuyển động của vật thể ở điểm bất kì trên quỹ đạo chính là hướng của tiếp tuyến của quỹ đạo (Nguyễn Phú Lộc, 2008, tr.76)

Từ nhu cầu giải bài toán tiếp tuyến của lĩnh vực toán học mà khái niệm đạo hàm đã xuất hiện như là một công cụ, một lối tư duy, một phương pháp chưa có tên gọi để giải các bài toán đó của các nhà toán học trong nửa đầu thế kỉ XVII Người đặt nền móng tư tưởng đầu tiên về khái niệm đạo hàm là nhà toán học người Pháp Pierre

de Fermat, ông đã dùng “phương pháp đạo hàm” để giải bài toán tiếp tuyến, tìm giá trị lớn nhất và bé nhất của một hàm số, được trình bày trong tác phẩm “Phương pháp khảo sát các số lớn nhất và bé nhất”1 Ngoài Fermat còn có nhiều nhà toán học khác cũng đã dùng lối tư duy tương tự với Fermat, lối tư duy về khái niệm đạo hàm để giải bài toán tiếp tuyến, chẳng hạn như Barrow, Torricelli,…

Tiếp đến giai đoạn nửa sau thế kỉ XVII đến cuối thế kỉ XVIII, “các kiến thức

về vi tích phân đã được hiểu biết khá phong phú: nhiều tích phân đã được thực hiện, quá trình lấy vi phân đã có những phát triển lớn, dựng được tiếp tuyến cho nhiều đường, tư tưởng về giới hạn đã chín muồi, và định lí cơ bản2 đã được phát hiện.” (Nguyễn Phú Lộc, 2008, tr.97) Trên cơ sở kế thừa những thành tựu khoa học đó, cả hai nhà toán học Newton và Leibniz đã độc lập và gần như đồng thời xây dựng nên môn giải tích, cụ thể hơn là xây dựng khái niệm đạo hàm nhưng trên các quan điểm khác nhau Newton thì xây dựng khái niệm đạo hàm trên quan điểm động học3, còn Leibniz thì xây dựng khái niệm đạo hàm thông qua tỉ số của các vi phân Sau đó hai nhà toán học đã giải bài toán tiếp tuyến trên nền tảng lí thuyết mà họ đã xây dựng Đến thời điểm này, khái niệm đạo hàm là một công cụ tường minh để giải bài toán tiếp tuyến và các bài toán khác thuộc các lĩnh vực vật lí và toán học, đồng thời cũng

là công cụ để các nhà toán học nghiên cứu mở rộng được nhiều tính chất của đạo

hàm, mặc dù cơ sở lí thuyết của nó, lý thuyết “giới hạn” vẫn còn nhiều điểm mơ hồ

và chưa chặt chẽ

Giai đoạn thế kỉ XIX, Cauchy đã nắm bắt được những khủng hoảng của cơ sở giải tích và thừa hưởng những nghiên cứu đã có trước đó về lý thuyết giới hạn, về định nghĩa đạo hàm cùng các tính chất của nó để hoàn thiện cơ sở lý thuyết giới hạn Trên cơ sở lí thuyết giới hạn đã được xây dựng chặt chẽ chính xác, Cauchy đã định nghĩa lại khái niệm đạo hàm và sử dụng nó như là một công cụ tường minh để giải lại bài toán tiếp tuyến

Câu hỏi đặt ra là khái niệm đạo hàm được hiểu và sử dụng như thế nào để giải bài toán xác định tiếp tuyến?

Phương pháp tìm tiếp tuyến của Fermat

Phương pháp tìm tiếp tuyến của Fermat được chúng tôi tham khảo từ công trình của Arthur Rosenthal (1951), The History of calculus, The American

Mathematical Monthly, 58(2), pp.75-86

Arthur Rosenthal đã mô tả phương pháp tìm tiếp tuyến của Fermat như sau:

“Gọi PT là tiếp tuyến của đường cong  C tại P với

T nằm trên trục hoành Gọi P là một điểm của 1  C

trong lân cận của P Gọi Q, Q là hình chiếu vuông 1

góc củaP, P lên trục hoành 1 PQ cắt tiếp tuyến tại 1 1 T1

Fermat sử dụng tam giác TQP đồng dạng với tam giác

1 1

TQ T và thay T1 bởi xấp xỉ P Khi đó ông được một 1

xấp xỉ A PQ: E:PQ1 1PQ

Theo cách viết thông thường hiện nay, nếu đường cong

 C có phương trình y f x  thì đẳng thức trên sẽ trở

 Phân tích cách giải của Fermat

+ Từ tam giác TQP đồng dạng với tam giác TQ T1 1, đúng ra ta có hệ thức

, rồi gán cho E0 để xác định đượcA,

các bước này gần giống với cách lấy giới hạn    

Sự mâu thuẫn này xuất phát từ khó khăn trong việc hiểu “vô cùng bé” và “giới hạn”

Các nhà toán học khác như Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy,… cũng đã sử dụng khái niệm đạo hàm theo những cách khác nhau để giải bài toán tiếp tuyến Tuy nhiên tư tưởng chung của các phương pháp giải đó vẫn là tư tưởng xấp xỉ, xem “Tiếp tuyến là đường thẳng trùng với phần vô cùng nhỏ của đường cong tại tiếp điểm”,

“Tiếp tuyến là vị trí giới hạn của cát tuyến” và đều dẫn đến việc hiểu khái niệm đạo

hàm là “hệ số góc của tiếp tuyến” Thêm nữa, qua nghiên cứu của Ngô minh Đức,

chúng tôi được biết ý niệm về “xấp xỉ” đã được Lagrange hình thành qua cách biểu diễn f x h   f x  f' x h hH , trong đó H là một hàm số theo x và h, H sẽ tiến về 0 cùng với h

Tóm lại, cách sử dụng khái niệm đạo hàm để giải bài toán tiếp tuyến của các nhà toán học đã mang đến cho khái niệm đạo hàm hai nghĩa, “đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến” và “đạo hàm là công cụ để xấp xỉ”

2.2.2 Nguồn gốc vật lí của khái niệm đạo hàm

Nguồn gốc thứ hai của khái niệm đạo hàm đến từ lĩnh vực của vật lí Từ việc tìm lời giải cho bài toán xác định vận tốc hay gia tốc của một chuyển động tại từng thời điểm mà khái niệm đạo hàm đã nảy sinh và hình thành Tại sao phải giải quyết bài toán này? Theo nghiên cứu của tác giả Nguyễn Phú Lộc (2008), giai đoạn trước thế kỉ XVII, người ta chỉ biết cách tính vận tốc trung bình bằng cách lấy quãng đường

đi được chia cho thời gian Còn tại mỗi thời điểm thì không tính được, bởi lẽ quãng đường đi được và thời gian đều bằng 0, mà 0

0 thì không xác định được, thế nhưng thực tế cho thấy vận tốc đó tồn tại Một câu hỏi đặt ra là tìm vận tốc của một chuyển động tại mỗi thời điểm như thế nào khi mỗi một chuyển động của vật thể đều có thể diễn tả bằng một hàm số theo thời gian

Có thể nói Newton là người tiên phong trong việc tiếp cận khái niệm đạo hàm

trên quan điểm động học Chúng tôi tìm thấy sự mô tả của Johnson, Mowry về cách

mà Newton sử dụng khái niệm đạo hàm để giải bài toán tìm vận tốc tức thời của vật

lí như sau: [Xem thêm David B Johnson, Thomas A Mowry (2004), chương 13, tr 44-45]

Newton xét một vật rơi tự do có phương trình của khoảng cách là 2

16

d  t trong đó

d được đo bằng feet, còn t được đo bằng giây Ông bắt đầu từ việc tính tốc độ trung bình của vật từ thời điểm t đến thời điểm t t như sau

𝑡ố𝑐 độ 𝑡ℎ𝑎𝑦 đổ𝑖 𝑡ứ𝑐 𝑡ℎờ𝑖

= 𝑡ố𝑐 độ 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑏ì𝑛ℎ 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑘ℎ𝑜ả𝑛𝑔 𝑡ℎờ𝑖 𝑔𝑖𝑎𝑛 𝑟ấ𝑡 𝑛𝑔ắ𝑛 =

= 32𝑡 + 16∆𝑡 = 32𝑡 + 16. = 32𝑡

 Phân tích cách giải bài toán vận tốc của Newton

Trong cách giải bài toán tìm vận tốc tức thời của Newton đã ngầm ẩn xuất hiện

 từ chỗ có ý nghĩa là tốc độ biến thiên trung bình của quãng đường

đối với thời gian nếu f x  là hàm khoảng cách đối với biến thời gian x, đã trở thành

có ý nghĩa là tốc độ biến thiên trung bình của hàm f x  đối với biến x mà nó phụ

thuộc, để từ đó dẫn đến giới hạn    

 có ý nghĩa là tốc độ thay đổi

của quãng đường tại thời điểm x (tức là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm x) đã trở thành “tốc độ thay đổi tức thời” của hàm f x  tại biến x

Qua cách sử dụng khái niệm đạo hàm như là một công cụ để giải bài toán vật

lí “tìm vận tốc tức thời của chuyển động”, khái niệm đạo hàm đã hình thành nên nghĩa

“tốc độ biến thiên tức thời của hàm số đối với biến mà nó phụ thuộc”, một nghĩa có

uy lực áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau đặc biệt là lĩnh vực vật lí như tác giả Ngô Minh Đức đã kết luận

“Quan niệm này đã mở đường cho những ứng dụng ồ ạt, mạnh mẽ và vô cùng hiệu quả của đạo hàm nói riêng và giải tích nói chung trong việc giải quyết nhiều vấn đề vật lí khác nhau” (Ngô Minh Đức, 2013, tr.28)

Như vậy

“Trong lịch sử toán học, đạo hàm của hàm số tại một điểm (nếu tồn tại) có thể mang nhiều ý nghĩa khác nhau: về mặt tính số nó là xấp xỉ affine của hàm số đang xét tại điểm đang xét thông qua biểu diễn     ' 

f x h  f x  f x h hH Về mặt hình học, nó là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm đang xét; về mặt động học (theo nghĩa tổng quát của Newton), nó là tốc độ biến thiên tức thời của hàm số đang xét tại điểm đang xét.” (Ngô Minh Đức, 2013, tr33)

Câu hỏi đặt ra cho chúng tôi là khái niệm đạo hàm được định nghĩa như thế nào, với cách định nghĩa đó, những nghĩa nào được hình thành Tác giả Ngô Minh Đức trong nghiên cứu của mình đã rút ra rằng có hai cách định nghĩa khái niệm đạo hàm như sau:

+ Cách thứ nhất là định nghĩa đạo hàm như là giới hạn của tỉ số của hai số gia khi số gia đối số tiến về 0 như sau: ' 

 Với định nghĩa này, về mặt hình

học, có thể hình thành nên nghĩa “đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến” tại điểm đang xét và “tiếp tuyến là đường thẳng trùng với phần vô cùng nhỏ của đường cong trong lân cận tiếp điểm”, về mặt động học, có thể hình thành nên nghĩa tốc độ biến thiên tức thời của hàm số tại điểm đang xét cho khái niệm đạo hàm

+ Cách thứ hai là định nghĩa đạo hàm theo khả vi, đạo hàm là hệ số của số hạng bậc nhất trong biểu diễn     ' 

f x h  f x  f x h hH Cách này thuận tiện cho việc hình thành nghĩa xấp xỉ nhưng khó hình thành nghĩa tốc độ biến thiên

Chúng tôi quan tâm đến khả năng tích hợp các nghĩa này của khái niệm đạo hàm với thực tiễn cuộc sống và các khoa học khác trong toán học Chính sự quan tâm này đã dẫn dắt chúng tôi đến việc tìm hiểu vai trò và chức năng của khái niệm này đối với thực tiễn và các khoa học khác

2.3 Ứng dụng của khái niệm đạo hàm trong thực tiễn và các khoa học khác

Phân tích trên đã cho thấy những bài toán về nguồn gốc của khái niệm đạo hàm Trước khi được định nghĩa tường minh, đạo hàm đã tác động ngầm ẩn như một công cụ cho lời giải bài toán tìm tiếp tuyến và xác định vận tốc tức thời Điều mà chúng tôi muốn tìm hiểu tiếp là sau khi khái niệm đã được định nghĩa tường minh, các tính chất của nó đã được nghiên cứu, thì đạo hàm còn được dùng để làm gì nữa, đặc biệt là trong thực tiễn hay trong các khoa học khác Để trả lời câu hỏi này, chúng tôi nghiên cứu một giáo trình đại học của Mĩ, quyển Calculus early Transcendentals (seventh edition), James Stewart (2008), Brooks/Cole Cuốn sách này được chọn vì

nó trình bày khá đầy đủ những vấn đề mà chúng tôi quan tâm

Chúng tôi tìm thấy nghĩa “tốc độ biến thiên” được giáo trình làm rõ thông qua các đề mục chính “Tốc độ biến thiên trong tự nhiên và khoa học thực tiễn” (tr.224)

và “Những tốc độ liên quan” (tr.244) Trong các mục này, giáo trình đã khai thác nghĩa “tốc độ biến thiên” của khái niệm đạo hàm trong các tình huống khác nhau và

ở các lĩnh vực khoa học khác nhau, trong mỗi tình huống, nghĩa “tốc độ biến thiên”

sẽ có “tên gọi” khác nhau, chẳng hạn như trong vật lí, tốc độ biến thiên tức thời của quãng đường đối với thời gian được gọi là vận tốc tức thời, tốc độ biến thiên tức thời của vận tốc đối với thời gian được gọi là gia tốc tức thời, tốc độ biến thiên tức thời của khối lượng đối với độ dài được gọi là mật độ dài; trong hóa học, tốc độ biến thiên của nồng độ chất tạo thành của một phản ứng đối với thời gian được gọi là tốc độ phản ứng; trong sinh học, tốc độ thay đổi tức thời của số lượng cá thể trong một quần đối với thời gian được gọi là tốc độ sinh trưởng; trong kinh tế, tốc độ thay đổi chi phí đối với số lượng mặt hàng sản xuất được gọi là chi phí cận biên của các nhà kinh tế

Ở đâu có sự thay đổi của một đại lượng so với một đại lượng khác, thì ở đó có thể đo

được tốc độ của sự thay đổi và bắt đầu bằng cách tính tốc độ thay đổi trung bình của đại tượng đó đối với đại lượng phụ thuộc, sau đó cho sự thay đổi của đại lượng phụ thuộc tiến về 0 thì tốc độ thay đổi trung bình sẽ tiến về tốc độ thay đổi tức thời, tức chính là đạo hàm của đại lượng đó theo biến phụ thuộc Chẳng hạn chúng tôi xét một

ví dụ của giáo trình về lĩnh vực kinh tế:

Ví dụ 8, trang 231

Giả sử C x  là tổng chi phí mà một công ty phải chi trả khi sản xuất x đơn vị sản phẩm của một loại hàng hóa nhất định Hàm C được gọi là hàm chi phí Nếu số đơn vị sản phẩm tăng từ x1 đến x2, khi đó chi phí thêm vào là  C C x 2 C x 1

và tốc độ biến thiên trung bình của chi phí là

xã hội học thì có tốc độ lây lan tin đồn,…Giáo trình còn đưa ra những bài toán gắn với thực tiễn mà trong đó có sự hiện diện của vấn đề mô hình hóa, chẳng hạn như

“Tìm tốc độ tăng của bán kính khi biết đường kính và tốc độ tăng của thể tích của một quả bóng”, “Tìm tốc độ trượt của đỉnh một cái thang khi biết tốc độ trượt của chân thang và khoảng cách từ chân thang đến tường”, …một số bài toán vật lý ở phần bài tập

Nghĩa xấp xỉ cũng được giáo trình quan tâm đề cập một cách tường minh :

“dùng tiếp tuyến tại a f a;    xấp xỉ một đường cong y f x khi x gần a” (tr.250)

hay “Xấp xỉ tuyến tính thường được dùng cho vật lí” (tr.252) ví dụ như giải thích cho các xấp xỉ sin xxkhi x gần 0 trong vật lý, …

Rõ ràng, hai nghĩa “tốc độ biến thiên” và “xấp xỉ” có vai trò phổ biến trong thực tiễn và các khoa học khác Nó mang đến cho khái niệm đạo hàm những giá trị thực tiễn và rất gần gũi với cuộc sống của chúng ta

2.4 Kết luận chương 2

+ Xuất phát từ các nguồn gốc toán học và vật lí, khái niệm đạo hàm đã hình thành nên ba nghĩa: “đạo hàm là hệ số góc của tiếp tuyến”, “đạo hàm là thước đo tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số đối với biến mà nó phụ thuộc”, “đạo hàm là công

cụ để xấp xỉ” (có thể xấp xỉ một hàm bằng hàm tiếp tuyến của nó trong lân cận tiếp điểm)

+ Có hai cách định nghĩa khái niệm đạo hàm Một là định nghĩa theo giới hạn của

tỉ số các số gia, hai là định nghĩa theo khả vi Định nghĩa theo giới hạn của tỉ số các

số gia thể hiện được phương pháp giải chung của các bài toán tiếp tuyến và vận tốc trong lịch sử, đồng thời cách định nghĩa này dễ hình thành được đầy đủ các nghĩa cho khái niệm đạo hàm

+ Về vai trò của các nghĩa của khái niệm đạo hàm, nghĩa “tốc độ biến thiên” và

“xấp xỉ” có vai trò phong phú và đa dạng trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và xã hội Vì vậy nếu có thể thực hiện tích hợp hai nghĩa này với thực tiễn và các khoa học khác trong dạy học thì điều đó đồng nghĩa với việc nâng cao năng lực toán học phổ thông cho người học

Câu hỏi nghiên cứu đặt ra: Việc dạy học khái niệm đạo hàm ở bậc Trung học phổ thông được thực hiện như thế nào? Liên quan đến khái niệm đạo hàm, vấn đề dạy học tích hợp được thể chế tính đến ra sao?

CHƯƠNG 3 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ VẤN ĐỀ TÍCH HỢP TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN LỚP 11

3.1 Mục đích nghiên cứu của chương

Trong chương này, chúng tôi sẽ phân tích khái niệm đạo hàm trong các SGK Toán hiện hành của Việt Nam, trên quan điểm so sánh với sự lựa chọn của một thể chế khác Với tư liệu tìm được, chúng tôi chọn cuốn “Harcourt Mathematics 12, Advanced Function and Introductory Calculus (2002)” của Canada để xem xét Mục đích là làm rõ quan hệ của mỗi thể chế với khái niệm đạo hàm, qua đó làm nổi bật đặc trưng của thể chế dạy học toán lớp 11 của Việt Nam: Những nghĩa nào được hình thành, những nghĩa nào vắng mặt? Vấn đề tích hợp được thực hiện ra sao?

Những kết quả đạt được của hai chương 1 và 2, cùng với quan điểm so sánh

sẽ là cơ sở tham chiếu cho chúng tôi trong nghiên cứu của chương này

3.2 Phân tích SGK Toán lớp 11 của Việt Nam

Khái niệm đạo hàm được bắt đầu trình bày sau chương Giới hạn, ở cả hai bộ sách Toán lớp 11, SGK theo chương trình cơ bản và SGK theo chương trình nâng cao

Để tiện cho việc trình bày, chúng tôi qui ước cách gọi sách giáo viên, sách bài tập theo chương trình cơ bản lần lượt là SGVCB, SBTCB; sách giáo viên, sách bài tập theo chương trình nâng cao là SGVNC, SBTNC

Với mỗi vấn đề, chúng tôi sẽ phân tích một lúc hai SGK – SGKCB và SGKNC

để tiện cho việc so sánh, đối chiếu

3.2.1 Quan điểm tích hợp trong cách xây dựng khái niệm đạo hàm của SGK Toán lớp 11

Mở đầu chương Đạo hàm, SGKCB đã giải thích việc đưa lý thuyết về phần đạo hàm vào nội dung chương trình Đại số và Giải tích 11 là “để phục vụ kịp thời

cho việc học các bộ môn khoa học khác như Vật lí, Hóa học, …” (SGKCB, tr.145) Khác với SGKCB, SGKNC thì lại thiên về giới thiệu tầm quan trọng của đạo hàm trong lĩnh vực toán học “… nó là một công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số và giúp hoàn thiện việc vẽ đồ thị hàm số” (SGKNC, tr 183) Tuy nhiên SGVNC cũng trình bày lí do của việc đưa khái niệm đạo hàm vào giảng dạy ở lớp 11

là “Cung cấp kịp thời những kiến thức toán học cần thiết phục vụ một số môn học khác như Vật lí, Sinh học, Hóa học, …” (SGVNC, tr.223) Những lời giới thiệu và giải thích này cho thấy thể chế dạy học toán của Việt nam đã chuẩn bị cho người học một tâm thế về tầm quan trọng và vai trò công cụ của đạo hàm đối với việc học tập các môn khoa học khác

Để dẫn đến khái niệm đạo hàm, cả hai bộ SGKCB và SGKNC đều bắt đầu từ các bài toán vật lí Chẳng hạn SGKCB đã đưa ra hoạt động đầu tiên trong bài “Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm”

Một đoàn tàu chuyển động thẳng khởi hành từ một nhà ga Quãng đường s (mét)

đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời gian t (phút) Ở những phút đầu tiên, hàm số đó là 2

st Hãy tính vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng  t t; 0 với t0  3 và t 2;

2 2

0

0 0

SGKCB đưa ra hoạt động đầu tiên này nhằm định hướng lời giải hai bài toán tiếp sau đó:

+ Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 mà quãng đường s

của chuyển động là một hàm số của thời gian t, ss t 

+ Tìm cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t0 mà điện lượng Q

truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, QQ t 

Để giải hai bài toán này, SGKCB đã bắt đầu từ việc đưa ra các biểu thức tính + Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian t t 0 là

 được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động

tại thời điểm t0

 càng biểu thị chính xác hơn cường độ dòng

điện tại thời điểm t0

…

Giới hạn hữu hạn (nếu có)    

0

0 0

 được gọi là cường độ tức thời của dòng điện

tại thời điểm t0

(SGKCB, tr.148)

Những bài toán mở đầu này là nguồn gốc, là nền tảng, là cơ sở nảy sinh khái niệm đạo hàm, điều này được minh chứng qua phần nhận xét và định nghĩa mà SGKCB đưa ra ngay sau đó

Nhận xét

Nhiều bài toán trong Vật lí, Hóa học,… đưa đến việc tìm giới hạn dạng    

0

0 0

Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x  xác định trên  a b và ; x0 a b; Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)

0

0 0

Như vậy, SGK toán 11 hiện hành đã trình bày khái niệm đạo hàm bằng cách xuất phát từ các bài toán của vật lí, một cách xây dựng khái niệm có tích hợp theo hướng liên môn, thể hiện được một trong những động lực làm nảy sinh khái niệm đạo

hàm trong lịch sử toán học và để làm xuất hiện giới hạn dạng    

0

0 0

Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

… vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là đạo hàm của hàm số ss t tại 0

t :   ' 

v t s t

…

Nếu điện lượng Qtruyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian: QQ t 

(QQ t  là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm 0

t là đạo hàm của hàm số QQ t  tại t0:   ' 

I t Q t (SGKCB, tr.153)

Hay tiếp đến là “Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai” trong SGKCB

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

 ”, cả hai bộ sách đều yêu cầu học sinh tính

đạo hàm bằng định nghĩa theo x và y

gì? Theo chúng tôi việc làm này có dụng ý sau:

+ Giới thiệu khái niệm số gia biến số x và số gia hàm số ynhằm phục vụ cho việc giới thiệu khái niệm vi phân sau này