MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở LỚP 11

Lê Anh Tuấn MỘT NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở LỚP 11 PHỔ THÔNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN ÁI QUỐC DANH MỤC VIẾT TẮT SGKC11 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hành SGKNC11 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hành SGKC12 : Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 12 hành SGKNC12 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 hành SGKCL12 : Sách giáo khoa chỉnh lý 12 năm 2000 : Sách tập chương trình chuẩn lớp 11 hành SBTNC11 : Sách tập chương trình nâng cao lớp 11 hành SBTC12 : Sách tập chương trình chuẩn lớp 12 hành SBTNC12 : Sách tập chương trình nâng cao lớp 12 hành SBTCL12 : Sách tập chỉnh lý 12 năm 2000 SGK : Sách giáo khoa SBT : Sách tập SGV : Sách giáo viên ĐH : đạo hàm GV : giáo viên HS : học sinh KNV : kiểu nhiệm vụ VIE TM ATH S.N ET SBTC11 MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Như biết, đạo hàm khái niệm quan trọng giải tích Nó khái niệm để nghiên cứu nhiều tính chất hàm số: tính đơn điệu, cực trị, khoảng lồi lõm, điểm uốn, giá trị lớn giá trị nhỏ nhất,…giúp ích nhiều cho việc khảo sát vẽ đồ thị hàm số Đạo hàm phương tiện hữu hiệu để giải số toán lĩnh vực khoa học như: Cơ học, điện học, hóa học, sinh học,… ET Từ năm học 2006-2007, chương trình môn Toán bậc THPT biên soạn lại theo chương trình giáo dục phổ thông Những thay đổi quan điểm dạy học Toán phổ thông dẫn đến thay đổi chương trình mà đạo hàm ngoại lệ Chính vậy, việc tìm hiểu ATH S.N thay đổi việc quan trọng cần thiết Những ghi nhận dẫn tới việc đặt câu hỏi xuất phát sau: - Khái niệm đạo hàm lớp 11 hành xây dựng nào? Việc xây dựng có ảnh hưởng đến việc giảng dạy GV việc lĩnh hội, hình thành khái niệm đạo hàm HS ? - Có nối khớp chương đạo hàm với phần khác có liên quan với chương trình hay không? Phạm vi lí thuyết tham chiếu TM Chúng sử dụng khái niệm Lý thuyết nhân chủng học (như: tổ chức toán học, quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm) khái niệm hợp đồng didactic để phục vụ cho nghiên cứu Trong phạm vi lí thuyết từ câu hỏi khởi đầu nêu trên, trình bày lại hệ VIE thống câu hỏi nghiên cứu luận văn sau : Q1: Khái niệm đạo hàm xây dựng bậc đại học? Q2: Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hình thành chương trình phổ thông hành? Có ràng buộc thể chế lên khái niệm này? Q3: Mối quan hệ thể chế nêu ảnh hưởng đến trình dạy học giáo viên liên quan đến khái niệm ? Q4: Mối quan hệ cá nhân HS đối tượng đạo hàm ảnh hưởng đến việc hình thành khái niệm HS ? Q5: Giữa đạo hàm với phần khác liên quan với chương trình có mối quan hệ nào? Các đối tượng có liên quan có vai trò chức mối quan hệ đó? Mục đích phương pháp nghiên cứu Mục đích nghiên cứu tìm câu trả lời cho câu hỏi đặt mục Để đạt mục đích đề , xác định phương pháp nghiên cứu sau: - Tìm hiểu việc xây dựng khái niệm đạo hàm số giáo trình bậc đại học - Phân tích chương trình sách giáo khoa Toán phổ thông Việt Nam để làm rõ mối quan hệ thể chế dạy học Việt Nam khái niệm qua thời kì: lớp 12 chỉnh lí hợp 2000 lớp 11, 12 hành Từ thấy ràng buộc thể chế dạy học Việt Nam khái niệm đạo hàm - Xây dựng tiến hành thực nghiệm HS để làm rõ mối quan hệ cá nhân ET học sinh khái niệm đạo hàm Tổ chức luận văn ATH S.N Luận văn gồm phần: Phần mở đầu, chương phần kết luận chung Trong phần mở đầu, trình bày ghi nhận ban đầu, lợi ích đề tài; lý thuyết tham chiếu; mục đích phương pháp nghiên cứu; tổ chức luận văn Chương 1, dành cho việc tổng hợp cách xây dựng khái niệm đạo hàm số giáo trình đại học đưa kết luận Chương 2, phân tích CT SGK hành để làm rõ mối quan hệ thể chế với khái niệm TM đạo hàm Sau nêu kết luận số hợp đồng didactic Chương 3, Nghiên cứu thực nghiệm HS nhằm kiểm chứng số kết luận hợp đồng didactic chương VIE Trong phần kết luận chung, tóm tắt kết đạt chương 1, 2, nêu số hướng nghiên cứu mở từ luận văn Chương KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM TRONG MỘT SỐ GIÁO TRÌNH ĐẠI HỌC 1.1 Đạo hàm phương diện đối tượng 1.1.1 Trong gíao trình Toán học cao cấp, tập tác giả : Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh ( Nhà xuất giáo dục năm 2008- tái lần thứ 12) Chúng kí hiệu : [4] Trước xây dựng khái niệm Đạo hàm có khái niệm  Giới hạn hàm số : “ Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b), nói f(x) có giới hạn cho  x  x0   f ( x)  L   ”  Giới hạn phía ET L ( hữu hạn), x dần đến x0 ( x0   a; b  ) với   cho trước tìm   ATH S.N “ Xét limf(x) x dần đến x0 ( hữu hạn) x thỏa x < x0 x > x0; tồn limf(x) ta nói giới hạn phía : giới hạn trái ( x  x0 , x  x0 ) giới hạn phải ( x  x0 , x  x0 ) f(x) ”  Vô bé vô lớn “ Hàm số f(x) gọi vô bé x dần đến x0 lim f ( x)  ” x  x0 “ Hàm số f(x) gọi vô lớn x dần đến x0 lim g ( x)   ” x  x0  Sự liên tục hàm số TM “ Cho f(x) hàm số xác định khoảng (a;b) ; nói f(x) lien tục điểm x0  (a; b) lim f ( x)  f ( x0 ) ” x  x0  Sự liên tục VIE “ Hàm số f(x) xác định khoảng (a;b) gọi liên tục (a ;b) với   cho trước tìm   cho với u, v  (a; b) thỏa u  v   f (u )  f (v)   ” Định nghĩa Đạo hàm ( hàm số biến) “ Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a;b); nói hàm số f(x) khả vi điểm c  (a; b) tồn giới hạn lim x c f ( x)  f (c)  A, xc xc Số A; giới hạn tỉ số f ( x )  f (c ) , x  c x  c gọi đạo hàm hàm số f(x) lấy xc điểm x = c ; kí hiệu f / (c) Đặt x  c  x biểu thức định nghĩa trở thành lim  x 0 f ( c  x )  f ( c )  f / (c) ” x Sau giáo trình đưa định nghĩa khả vi dạng f (c  x)  f (c)  f / (c)x  o(x) , o(x) vô bé bậc cao x x  Tiếp theo xây dựng phép toán ĐH, ĐH hàm số hợp, ĐH theo tham số, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH phía( xây dựng từ giới hạn bên lim xc f ( x )  f (c ) có đưa kí hiệu), ĐH xc vô cùng, ĐH vi phân cấp cao Trong [4] mở rộng đạo hàm riêng, vi phân riêng hàm số nhiều biến, ĐH hàm ẩn, ĐH ET vectơ, phương trình vi phân Nhận xét : ATH S.N - Khái niệm giới hạn hàm số xây dựng theo ngôn ngữ  ,  -Đưa vào kí hiệu x, y định nghĩa ĐH có định nghĩa khả vi theo vô bé - Định nghĩa ĐH có mối quan hệ mật thiết với khái niệm hàm số liên tục, khái niệm vô bé - Khái niệm đạo hàm mở rộng cho hàm nhiều biến 1.1.2 Giáo trình Toán Giải Tích PGS TS Dương Minh Đức ( Nhà xuất thống kê năm 2006) Kí hiệu: [5] Trước xây dựng khái niệm ĐH giáo trình xây dựng khái niệm tương tự giáo trình [4] TM Về định nghĩa Đạo hàm ( hàm số biến) “ Cho f hàm số thực khoảng mở (a;b) x  (a; b) Chọn số thực dương r cho ( x  r ; x  r )  (a; b) f ( x  h)  f ( x ) với h  (r , r ) \{0} h VIE Đặt u (h )  Ta nói f hàm số khả vi x giới hạn sau có số thực lim h0 f ( x  h)  f ( x ) h ( = lim u (h) ) h 0 Lúc ta kí hiệu giới hạn f / ( x) gọi đạo hàm f x Nếu f khả vi x  (a; b) ta nói f khả vi (a;b) Giáo trình không đưa kí hiệu đạo hàm bên mà giới thiệu thông qua giới hạn bên lim h0 f ( x  h)  f ( x ) h Tiếp theo xây dựng phép toán ĐH, ĐH hàm số hợp, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH cấp cao, mở rộng đạo hàm hàm số nhiều biến số 1.1.3 Giáo trình Principles of Mathematical Analysis Walter Rudin ( MacGraw – Hill Book Company, Third Edition, 1976) Kí hiệu: [1] Trước xây dựng khái niệm ĐH giáo trình xây dựng khái niệm tương tự giáo trình [4] Về định nghĩa Đạo hàm “ Cho hàm số thực f xác định đoạn [ a;b] Với x thuộc [a;b], lập tỉ số  (t )  f (t )  f ( x) tx ( a  t  b, t  x ) Nếu lim  (t ) tồn kí hiệu f / ( x)  lim  (t ) đạo hàm hàm số f x tx tx Đạo hàm bên phải( hay bên trái) x giới hạn bên phải ( hay bên trái) lim  (t ) ” ( chương 5, ET tx trang 89) Ngoài [1] mở rộng có khái niệm : ĐH hàm số phức ATH S.N “ Cho hàm phức f xác định [a; b] Đặt f (t )  f1 (t )  if (t ) với f1 ; f hàm thực a  t  b Khi hai hàm số f1 ; f có đạo hàm x ta nói hàm số f có đạo hàm x kí hiệu f / ( x) Ngoài f / ( x)  f1/ ( x)  if 2/ ( x) ” ( trang 96) Tiếp theo xây dựng phép toán ĐH, ĐH hàm số hợp, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH bên, ĐH cấp cao, mở rộng đạo hàm hàm số nhiều biến số Nhận xét : TM - Theo giáo trình kí hiệu x, y không đưa vào định nghĩa đạo hàm - ĐH bên trái bên phải định nghĩa qua giới hạn bên không đưa kí hiệu - Có mở rộng khái niệm : ĐH hàm số phức 1.1.4 Giáo trình A FIRST COURSE IN CALCULUS Serge Lang (Springer, 5th Edition, 1998) VIE Kí hiệu [2] Về định nghĩa Đạo hàm hàm số biến “ Giới hạn lim h 0 f ( x  h)  f ( x ) , có, gọi đạo hàm hàm số f x kí hiệu h f / ( x) Vậy f / ( x)  lim h0 f ( x  h )  f ( x) ” (chương III, Trang 40) h Nhận xét : - Giáo trình đưa kí hiệu df  f / ( x) dx - Không đưa vào kí hiệu x, y định nghĩa đạo hàm - Khái niệm đạo hàm bên không đưa kí hiệu mà xét dựa vào giới hạn bên lim h0 f ( x  h)  f ( x ) h Chẳng hạn Ví dụ , trang 42 Tìm đạo hàm bên phải bên trái hàm số f(x) = /x/ x = Trong lời giải tác giả trình bày sau : h0 h f (0  h)  f (0) h Tương tự có đạo hàm bên trái giới hạn lim ATH S.N h0 h0 f (0  h)  f (0) h ET Đạo hàm bên phải x = giới hạn lim 1.1.5 Giáo trình Mathematical Analysis A.F Bermant, I.G Aramanovich ( Mir Publishers Moscow, second Edition, 1979) Kí hiệu là: [3] Về định nghĩa Đạo hàm hàm số biến: Giáo trình đưa toán tìm vận tốc tức thời chất điểm Đưa vào khái niệm kí hiệu số gia biến số số gia hàm số định nghĩa đạo hàm hàm số y = f(x) giới hạn lim x 0 Như f / ( x)  lim f ( x  x )  f ( x ) x TM x 0 f ( x  x)  f ( x) kí hiệu f / ( x) x Sau xây dựng chứng minh qui tắc tính ĐH, Hàm số đạo hàm, ĐH hàm số hợp hàm nghịch đảo, ĐH hàm số sơ cấp bản, ĐH hàm lượng giác ngược(tr.136), ĐH hàm trang 150) VIE ẩn(tr.141), ĐH theo tham số( tr 147), Phương trình tiếp tuyến( có ví dụ lập PT tiếp tuyến Elip Khái niệm vi phân : thiết lập công thức dy  f / ( x)dx Khái niệm ĐH bên : [3] xây dựng sau : “ giới hạn trái giới hạn phải tỉ số f ( x0  x)  f ( x0 ) x0 gọi đạo hàm bên trái hay bên phải hàm số x y = f(x) Tức x  x0 , x  x0 có ĐH bên phải x  x0 , x  x0 có ĐH bên trái ” (tr.163) Xây dựng công thức gần f ( x0  dx)  f ( x0 )  f / ( x0 )dx (tr 163) Tiếp theo khái niệm ĐH vi phân cấp cao 1.2 Đạo hàm phương diện công cụ 1.2.1 Giáo trình [4]  Hàm số biến số Ứng dụng Các định lý giá trị trung bình Trước hết [4] có đưa chứng minh định lý giá trị trung bình Định lý Fermat: “ Nếu hàm số f : (a; b)   đạt cực trị c  (a; b) f khả vi c f / (c)  ” Định lý Rolle : “ Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục khoảng đóng [a;b] khả vi khoảng mở (a;b); giả sử f (a)  f (b) tồn c  (a; b) cho f / (c)  ” Định lý Lagrange: “ Cho hàm số f ( x ) xác định, liên tục khoảng đóng [a;b] khả vi f (b )  f (a )  f / (c) ” ba ET khoảng mở (a;b), tồn c  (a; b) cho Công thức Taylor : “ Nếu hàm số f ( x ) xác định có đạo hàm đến cấp n liên tục khoảng đóng [a;b], có đạo hàm cấp (n+1) lần khoảng mở (a;b) với c  (a; b) có Với c số nằm x c ” ATH S.N f / (c) f / / (c ) ( x  c)  ( x  c)2   1! 2! (n) ( n 1) f (c ) f ( c)  ( x  c) n  ( x  c)n 1 n! (n  1)! f ( x )  f (c )  Khai triển Mac Laurin : cho c = công thức Taylor ta có Từ nêu ứng dụng với    TM f / (0) f / / (0) x x   1! 2! f ( n ) (0) n f ( n 1) ( x) n 1  x  x ( n  1)! n! f ( x)  f (0)   Khử dạng vô định cách dùng qui tắc De L’Hospital VIE “ Giả sử hàm số f ( x), g ( x) xác định, khả vi lân cận x = a( a   ), trừ x = a Nếu lim f ( x)  lim g ( x)  , g / ( x)  lân cận x = a xa x a Và lim x a f / ( x) f ( x) A ”  A lim / x  a g ( x) g ( x)  Khảo sát biến thiên hàm số dựa vào định lý “Cho hàm số f xác định, liên tục khoảng đóng hữu hạn [a;b] khả vi khoảng mở (a;b), đó: điều kiện có đủ để f(x) tăng ( giảm) [a;b] f / ( x)  ( f / ( x)  ) với x  (a; b) ” Cụ thể ứng dụng để : chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị hàm số  Xấp xỉ hàm số thực đa thức  Xây dựng khái niệm hàm số lồi, hàm số lõm, bất đẳng thức lồi bất đẳng thức Jensen, Holder, Minkowski  Khảo sát hàm số vẽ đồ thị hàm số  Khảo sát đường cong cho dạng tham số  Khảo sát đường cong hệ tọa độ cực  Giải phương trình f(x) = theo phương pháp Newton( phương pháp tiếp tuyến) Mô tả phương pháp Newton Nếu hàm số f xác định, liên tục [a;b] khả vi (a;b) f (a) f (b)  trình f(x) = ET f / ( x) không đổi dấu khoảng (a;b), tồn nghiệm x   phương Thủ tục lặp cho cách tìm nghiệm xấp xỉ nghiệm x   xn  xn1  f ( xn1 ) f / ( xn 1 ) ATH S.N Chọn x0  (a; b) , tính x1 , x2 , , xn , theo công thức Nếu f / ( x), f // ( x) liên tục, không đổi dấu ( a;b)  xn  hội tụ  chọn x0 cho f ( x0 ) dấu với f // ( x) : f / ( x) f // ( x)  ( > 0)  xn  đơn điệu tăng ( giảm)  Hàm số nhiều biến số  Tìm cực trị hàm nhiều biến  Tìm giá trị lớn nhất, bé hàm số nhiều biến TM  Tìm công thức liên hệ đại lượng biến thiên phụ thuộc  Tìm sai số tính gần  Xây dựng hình học vi phân VIE  Giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân  Xây dựng tích phân kép, tích phân bội, tích phân đường, tích phân mặt  Xây dựng lý thuyết trường ( thường gặp vật lý kĩ thuật): trường vô hướng, trường vectơ 1.2.2 Giáo trình [5] Trong [5] phần định lý giá trị trung bình có Định lý Lagrange , Công thức Taylor công thức Khai triển Mac Laurin Các ứng dụng đưa giống [4] có bổ sung thêm  Chứng minh phương trình có nghiệm 1.2.3 Giáo trình [1] Các ứng dụng b) y  g ( x) x0 = y ET O ATH S.N x -1 -1 Trả lời x0 = TM c) y  h( x) y -2 -1 O VIE x Trả lời d) y  u( x) x0 = y x -2 O -1 -1 -2 ET -3 -4 -5 ATH S.N -6 Trả lời e) y  v( x) x0 = y TM VIE x -2 -1 O -1 -2 -3 -4 Trả lời ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE LT32 ET ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE LT63 ET ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE ET NQ5 ATH S.N TM VIE ET ATH S.N TM VIE ET ... với khái niệm TM đạo hàm Sau nêu kết luận số hợp đồng didactic Chương 3, Nghiên cứu thực nghiệm HS nhằm kiểm chứng số kết luận hợp đồng didactic chương VIE Trong phần kết luận chung, tóm tắt... hệ cá nhân tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm) khái niệm hợp đồng didactic để phục vụ cho nghiên cứu Trong phạm vi lí thuyết từ câu hỏi khởi đầu nêu trên, trình bày... chương phần kết luận chung Trong phần mở đầu, trình bày ghi nhận ban đầu, lợi ích đề tài; lý thuyết tham chiếu; mục đích phương pháp nghiên cứu; tổ chức luận văn Chương 1, dành cho việc tổng hợp cách