Bài toán tiếp tuyến của đường tròn

Bài toán tiếp tuyến của đường tròn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

KHOA TOÁN TIN ỨNG DỤNG

- -

Đề tài: Bài toán tiếp tuyến đường tròn

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Hữu Điển Sinh viên thực hiện : Đỗ Phương Liên, Nguyễn Thị Cúc Lớp: toán 2-k51 ĐHBKHN

Hà Nội, tháng 11 năm 2009

========================================================== 2

PHẦN I: GIỚI THIỆU

1 Giới thiệu chung về Maple :

Maple là một gói phần mềm toán học thương mại phục vụ cho nhiều mục

đích Nó phát triển lần đầu tiên vào năm 1980 bởi Nhóm Tính toán Hình thức tại Đại học Waterloo ở Waterloo, Ontario, Canada

Từ năm 1988, nó đã được phát triển và thương mại hóa bởi Waterloo Maple Inc (còn được biết đến với tên gọi Maplesoft), một công ty Canada cũng có trụ sở tại Waterloo, Ontario Phiên bản hiện tại là Maple

13 được phát hành vào tháng 5 năm 2009 Đối thủ cạnh tranh chính của

nó là Mathematica

Chức năng cốt lõi

Người dùng có thể nhập biểu thức toán học theo các ký hiệu toán học truyền thống Có thể dễ dàng tạo ra những giao diện người dùng tùy chọn Maple hỗ trợ cho cả tính toán số và tính toán hình thức, cũng như hiển thị Nhiều phép tính số học được thực hiện dựa trên thư viện số học NAG; trong Maple, các chương trình con NAG đã được mở rộng để cho phép độ chính xác ngẫu nhiên lớn Các ví dụ về tính toán hình thức sẽ được trình bày trong phần sau

Maple cũng có một ngôn ngữ lập trình cấp cao đầy đủ Cũng có giao diện cho những ngôn ngữ khác (C, Fortran, Java, MatLap, Visual Basic) Cũng

có một giao diện dành cho Excel

Với phần mềm Maple, chúng ta có thể:

+ Thực hiện các tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ chính xác cao

+ Sử dụng các gói chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài toán cụ thể như: vẽ đồ thị ( gói plot), hình học giải tích ( gói geometry), đại số tuyến tính ( gói linalg),

+ Thiết kế các đối tượng 3 chiều

+ …

Kiến trúc

Phần lớn chức năng toán học của Maple được viết bằng ngôn ngữ Maple,

và được thông dịch bởi nhân Maple Nhân Maple được viết bằng C Maple chạy trên tất cả các hệ điều hành chính

Ngôn ngữ lập trình Maple là một ngôn ngữ kiến động Cũng giống như các hệ thống đại số máy tính, các biểu thức hình thức được lưu trữ trong

bộ nhớ theo đồ thị không chu trình có hướng (DAG) Ngôn ngữ cho phép

các biến có phạm vi nhất định (lexical scoping) Ngôn ngữ có hình thức

lập trình hàm, nhưng cũng có hỗ trợ đầy đủ cho lập trình truyền thống, theo kiểu mệnh lệnh

Một điều lạ đối với chương trình thương mại, đa số mã nguồn đều có thể xem tự do

Nguồn gốc tên gọi

Tên "Maple" không phải là tên viết tắt hoặc từ cấu tạo bằng chữ đầu, mà

chỉ đơn giản là để chỉ hình tượng Lá phong (tiếng Anh: maple) trên Quốc

kỳ Canada

2 Giới thiệu một số gói lệnh trong Maple:

2.1 Gói plots:

Gói plots chứa các lệnh cho phép vẽ hình trong không gian 2 và 3 chiều,

Gói plottools công cụ chứa các lệnh cho phép làm việc với các đối tượng hình ảnh:

a,b,c là cá đồ thị riêng biệt

L: dãy (list) các đồ thị(ví dụ L:=a,b,c;)

A: mảng một chiều hoặc hai chiều của các đồ thị

> restart ; ‘khởi động lại và xóa sạch bộ nhớ

> with(plots) ‘nạp gói plots

> with(plottools) ; ‘nạp gói plottools

Chú ý:Các lệnh vẽ trong gói PLOTTOOLS phải được biểu diễn

bằng cách dùng lệnh display trong gói PLOTS.Vì vậy phải nạp gói

PLOTS cùng với gói PLOTTOOLS

Phần mô tả:

● Gói plottools chứa các thường trình (một đoạn mã chương trình) có

thể tự động tạo ra một cách có trình tự các đối tượng giao diện đồ họa

dùng trong các cấu trúc vẽ hình Kết quả của tùy chọn plottools thường là

đối tượng vẽ hình- phải được biểu diễn bằng cách dùng lệnh

plots[display]

● Mỗi lệnh trong gói plottools thể được truy xuất bằng cách dùng long

form hoặc sort form của tên lệnh trong trình tự gọi lệnh

Danh sách các tùy chọn của gói plottools

● Các tùy chọn tạo ra các cấu trúc vẽ hình là: Maple có rất nhiều tùy

chọn : vẽ hình tròn,

arc arrow circle conecuboid curve cutin cutout cylinder disk dodecahedron ellipse ellipticArc hemisphere hexahedron hyperbola icosahedron line octahedron parallelepiped pieslice point polygon rectangle semitorus sphere tetrahedron torus

● Các tùy chọn sửa đổi các cấu trúc vẽ hình là:

homothety project reflect rotate scale

stellate transform translate

a.Lệnh plottools[stellate] chỉ có thể dùng với cấu trúc POLYGON(hình

plottools[translate](p,a,b); "dịch chuyển tịnh tiến trong 2D"

plottools[translate](q,a,b,c); "dịch chuyển tịnh tiến trong 3D"

Các tham số:

p,q: cấu trúc đồ thị cần dịch chuyển tịnh tiến

a,b,c là các số thực (chính là tọa mới)

Ví dụ:

Vẽ cung tròn: arc():

+Cấu trúc tổng quát : arc(c, r, a b, options)

Trong đó: c - tâm đường tròn

Tùy chọn arc tạo ra một cung tròn của một hình tròn với

tâm c và bán kính r Góc đầu và góc kết thúc của cung tròn theo lý thuyết

là một miền từ a b, theo đúng thứ tự

Đối tượng dữ liệu vẽ hình do lệnh arc thể được dùng trong một cấu trúc dữ liệu PLOT, hoặc dược biểu diễn bằng cách dùng tùy chọn plots[display]

options: các tùy chọn

Vẽ đường tròn: circle():

+Cấu trúc tổng quát: c1:=circle(c,r,option)

Trong đó : c -tâm đường tròn

r -(tùy chọn) bán kính đường tròn, mặc định=1.0

option –(tùy chọn) các tùy chọn

+Mô tả:

Tạo ra một đường tròn hai chiều với tâm c, bán kính r

.Có thể được dùng trong cấu trúc dữ liệu PLOT, hoặc dùng

gói plots[display] biểu diễn

3.Giới thiệu về đề tài hình học giải tích:

Ở cấp trung học, hình học giải tích đòi hỏi học sinh 1 trí tưởng tượng

và óc nhạy bén để “đoán ra” lời giải trước khi tìm cách chứng minh Điều này chỉ có thể làm được nếu đó là những bài toán đơn giản Trên đại học, hình học giải tích đưa ra tất cả các phương trình trước khi ly luận Việc này hệ thống hóa vấn đề đồng thời cho phép giải quyết những bài toán cực kỳ phức tạp mà không cần phải tưởng tượng như trước Ví dụ như bài toán quỹ tích Hình học giải tích giúp ta tìm ra tọa độ của điểm muốn tìm Một khi biết được tọa độ, xác định và vẽ quỹ tích rất đơn giản: Đường biểu diễn tham số

Maple là 1 công cụ hầu như ly tưởng để giải các vấn đề trên Mặt khác, nếu nắm vững các nguyên tắc tạo hình động, các bài toán quỹ tích sẽ đêm đến cho chúng ta rất nhiều ly thú qua khía cạnh sinh động của lời giải

Đầu vào: -x y I, I tọa độ tâm I

phương trình (d) có dạng:

-Ngược lại gọi (d) là đường thẳng cần tìm

+Gọi k là hệ số góc của (d) (d) đi qua A và có hệ số góc là k, suy ra

Giải phương trình (2) ta thu được nghiệm k

Trường hợp 1: x A−x I =r thì phương trình (2) có 1 nghiệm duy nhất là k1 Khi đó 2 tiếp tuyến cần tìm là:

print(" Duong tron C1 khong co tiep tuyen nao di qua A");

t2:=line([xA,yI-r], [xA,yI+r], color=red,

t2:=plot(k2*x-(k2*xA-yA),x=-a a,linestyle=[DASH], color=(red)):

printf("\ny = %a",f1);

printf("\ny = %a",f2);

fi;

plots[display](C1,A,I,t1,t2,g,scaling=constrained); fi;

end:

========================================================== 14

2.Bài toán tìm tiếp tuyến chung của hai đường tròn:

Cho đường tròn (C1) tâm A(0,0) bán kính a và đường tròn (C2) tâm B(e,0) bán kính b Tìm tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

-Đầu vào : a: bán kính đường tròn (C1) tâm A(0,0)

e: hoành độ tâm B của đường tròn (C2)

b: bán kính đường tròn C2 tâm B(e,0)

-Đầu ra: phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2), vẽ hình

-Hai đường tròn bất kỳ đều có chung tiếp tuyến ngoài trừ khi chúng chứa nhau ( không có tiếp tuyến chung)

Thuật toán:

a/ Bài toán tìm tiếp tuyến chéo:

- Nếu (C1) và (C2) nằm trong nhau, tức (a-b)>e hoặc (b-a)>e thì 2 đường tròn này không có tiếp tuyến chung Suy ra không có tiếp tuyến chéo

- Nếu (C1) và (C2) rời nhau hoàn toàn thì (C1) và (C2) có 2 tiếp tuyến chéo Giả sử X(x,0) là giao điểm của tiếp tuyến và trục Ox ta có :

x<e và x a

e x =b

− + Biến đổi x theo a,b,e được :

x ae

a b

= +

Đặt u a b e( , , ) x ae

a b

= =

++ Gọi (P) là tiếp tuyến chéo của (C1) và (C2) Phương trình (P) có dạng :

y = k.x-k.u(a,b,e)

+ Khoảng cách từ A(0,0) đến (P) là :

a k

ae a

b a

=

− +

+

+ Thay k vào phương trình (P) được 1 phương trình tiếp tuyến cần

L2:=plot(-k1*x+k1*u1,x=(-a) (e+b),linestyle=[DASH], color=(red)):

printf("y = %a, \ny = %a",t1,-t1);

L1:=plot(k1*x-k1*u1,x=(e-b) (a),linestyle=[DASH], color=(red)):

L2:=plot(-k1*x+k1*u1,x=(e-b) (a),linestyle=[DASH], color=(red)):

b/ Bài toán toán tìm tiếp tuyến ngoài:

- Nếu (C1) và (C2) chứa nhau, tức a b− > e thì 2 đường tròn này không

có tiếp tuyến chung Suy ra không có tiếp tuyến ngoài

- Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc trong, tức a b− = e thì (C1) và (C2) có 1 tiếp tuyến chung duy nhất là x = a (nếu e>0) hoặc x = -a (nếu e<0)

- Nếu (C1) và (C2) có cùng bán kính, tức a = b thì (C1) và (C2) có 2 tiếp tuyến song song với Ox là y = a và y = -a

- Trường hợp còn lại (C1) và (C2) có 2 tiếp tuyến ngoài cắt đồng quy với

Ox tại điểm X(x,0)

+ Ta có: x > e và

2 2

a k

ae a

a b

=

− + Gọi (P) là tiếp tuyến chéo của (C1) và (C2) Phương trình (P) có dạng :

+ + Giải phương trình trên với điều kiện k>0 được

2 2

a k

ae a

a b

=

− +

+ + Thay k vào phương trình (P) được 1 phương trình tiếp tuyến cần tìm + Tiếp tuyến thứ 2 đối xứng với (P) qua Ox và có phương trình là

if(abs(a-b)>abs(e)) then # truong hop chua nhau

print("2 duong tron khong co tiep tuyen chung");

else print("phuong trinh tiep tuyen chung la:");

if((a-b)=e) then # truong hop tiep xuc trong phia x>0 printf("x = %3.2f",a);

L1:=line([a,2], [a,-2], color=red, linestyle=5):

plots[display](C1,C2,L1,scaling=constrained);

elif((b-a)=e) then # truong hop tiep xuc trong phia x<0 printf("x = %3.2f",-a);

L1:=line([-a,2], [-a,-2], color=red, linestyle=5):

plots[display](C1,C2,L1,scaling=constrained);

elif(a=b) then

printf("y = %3.2f,\ny = %3.2f ", a,-a);

if (e>0) then

L1:=line([-a,a], [e+a,a], color=red, linestyle=5):

L2:=line([-a,-a], [e+a,-a], color=red, linestyle=5): else

L1:=line([e-a,a], [a,a], color=red, linestyle=5):

L2:=line([e-a,-a], [a,-a], color=red, linestyle=5):

else

L1:= plot(k1*x-k1*u1, x=(e-a) (b),linestyle=[DASH], color=(red)):

L2:=plot(-k1*x+k1*u1,x=(e-a) (b),linestyle=[DASH], color=(red)):

fi;

plots[display](C1,C2,L1,L2,scaling=constrained); elif(u1<0) then

f:=(k*u1/sqrt(1+k^2)=-a);

else

L1:=plot(k1*x-k1*u1,x=(e-a) (b),linestyle=[DASH], color=(red)):

L2:=plot(-k1*x+k1*u1,x=(e-a) (b), linestyle=[DASH], color=(red)):

========================================================== 26

PHẦN III: ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THU ĐƯỢC

Ưu điểm: Chương trình đã đáp ứng đủ yêu cầu của bài toán, có hình minh họa trực quan sinh động

Nhược điểm : -Đối với đầu vào là các số liệu lẻ và lớn thì chương trình chưa đưa ra được kết quả chính xác do việc làm tròn số trong quá trình tính toán

-Riêng trong bài toán tìm tiếp tuyến chung của hai đường tròn, mới chỉ áp dụng được cho trường hợp 1 đường tròn có tâm trùng gốc tọa độ, đường tròn thứ 2 có tâm thuộc trục hoành Muốn mở rộng bài toán cho hai đường tròn bất kỳ ta phải dùng thêm phép tịnh tiến và phép quay

PHẦN IV: KẾT LUÂN

Các chương trình trong báo cáo đã giải quyết được hầu như mọi yêu cầu của bài toán đặt ra, làm rõ được phần nào thế mạnh của Maple trong việc hỗ trợ tính toán, đặc biệt là ứng dụng trong môn toán học Từ hình vẽ

và việc tính toán theo thuật toán ta thấy kết quả của các chương trình có

độ chính xác ở mức chấp nhận được

Do trình độ và kinh nghiệm còn hạn chế nên bài luận của chúng em không thể tránh khỏi nhiều sai sót, chúng em rất mong nhận được y kiến đánh giá và đóng góp của thầy và các bạn để bài viết được hoàn thiện hơn

Em xin trân thành cảm ơn thầy

Hà Nội, ngày 24 tháng 11 năm 2009 Sinh viên: Đỗ Phương Liên

Nguyễn Thị Cúc

========================================================== 28

Tài liệu tham khảo

1.Bài giảng môn Maple ( PGS, TS Nguyễn Hữu Điển)

2.Sách Hình học giải tích 11 ( Bộ giáo dục và đào tạo)

3.Giáo trình Maple ( Nguyễn Ngọc Trung- Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh)

4.Sử dụng Maple để dạy, học toán trong môi trường tương tác ( Nguyễn Chánh Tú – Khoa Toán – ĐH Sư phạm Huế)

6.Một số tài liệu trên internet (không rõ tác giả)