Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 19 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
19
Dung lượng
1,18 MB
Nội dung
GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 TÀI LI U BÀI GI NG KHÓA PEN – M – 2016 GV: Nguy n Thanh Tùng D NG CHU I B T CHU I B T ( a b) I.1) a b2 NG TH C I ng ta có: a b 2ab I.2) 1 a b ab 2 a b a b2 nT hi D a b ie CHÚ Ý: uO Ch ng minh (Các b n xem cu i tài li u) ( a b) 2ab a , b ây đ u b t đ ng th c c b n quen thu c v i t n xu t có m t đ thi i H c – THPTQG cao Khi s d ng thi b n ph i ch ng minh (“nhúng” nh ng đo n ch ng minh gi ng c a th y vào bài) Trong tài li u đ không ph i ghi l i nhi u l n cách ch ng minh th y đ u b qua (ngh a b n ph i thêm đo n vào ) v n d ng m t cách “linh ho t” b t đ ng th c Các b n c n hi u rõ cách s d ng, c ng nh “ý ngh a” hay c a t ng b t đ ng th c Khi làm đ c u vi c làm ch chu i b t đ ng th c s khó kh n (th y s phân tích k gi ng) Các chu i b t đ ng th c có th đ c s d ng d i nhi u hình th c khác ta gán hai bi n a, b b i đ i l ng khác nhau, ví nh I.1) I.2) có th vi t d i d ng: s/ Ta iL B t đ ng th c a b2 /g om c a b w w w fa a b bo ok ce ro up D u “=” x y a b 01 Cho a , b, c s th c d NG TH C I H oc BÀI S a4a ab ; 1 4 a b ab a4b 2 a b a b 1 2 … 2 2 a b ab a b a b a b4 Các ví d minh h a Ví d Cho x, y, z s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : P 2 2( x y z xz) x y yz x y z Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Gi i Áp d ng b t đ ng a b2 ( a b) hay 2(a b2 ) a b chu i b t đ ng th c I.1, ta đ 2( x2 y2 z2 xz) ( x z)2 y2 x z y 2( x y z xz) 2 c: x y z3 Áp d ng b t đ ng th c a b ab hay ab a b chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 3 3 hay yz y.2 z y z 2( x y z) x y yz x y yz x y y z 8 v i t x y z x y z 2( x y z) x y z x y z 2( x y z) t 2t v i t 0 Xét hàm s f (t ) t 2t 3(t 1)(5t 3) 2 Ta có f '(t ) ; f '(t ) t (do t ) (t 3) 2t 2t (t 3)2 B ng bi n thiên: ro v i t /g T b ng bi n thiên suy P f (t ) f (1) up s/ Ta iL ie uO nT hi D H oc 01 Khi P bo ok c om x z y 2z 1 D u “=” x y x z ;y x y z t 1 V y P đ t giá tr l n nh t b ng , x z ; y 2 fa ce Ví d (A,A1 – 2014) Cho x, y, z s th c không âm th a mãn u ki n x2 y2 z2 w w Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P x2 y z yz x yz x x y z w Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: Áp d ng b t đ ng a b2 2ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2(1 yz) x y z yz x ( y z) x( y z) yz x( y z) 2 2 x2 x2 x Suy x yz x x x x( y z) x( x y z 1) x yz x x( x y z 1) x y z Khi P x y z yz 1 yz 1 x y z 1 x y z 1 9 Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 ( a b) chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: ( x y z)2 ( x y z)2 2(1 yz) x2 y2 z2 yz x2 ( y z)2 yz Cách 1: Áp d ng b t đ ng th c a b2 Suy P ( x y z) x y z yz 1 36 x y z 1 x y z 1 t t x y z 0 Ta có t ( x y z)2 3( x2 y2 z2 ) t Khi P t2 f (t ) Xét hàm s t 36 f (t ) t2 v i 0t t 36 t (t 2)(t 4t 9) ; f '(t ) t (t 1)2 18 18(t 1)2 B ng bi n thiên: Ta s/ T b ng bi n thiên suy P f (t ) f (2) iL ie uO nT hi D H oc 01 Ta có f '(t ) ro up 5 Khi x y z P V y giá tr l n nh t c a P 9 /g ( a b) hay a b 2(a b2 ) chu i b t đ ng th c I.1, ta đ om Cách 2: Áp d ng b t đ ng th c a b2 c: bo ok c x y z x2 ( y z)2 2(2 yz) yz t2 f (t ) t t yz , đó: P 2t ce 1 yz Suy P yz t2 v i t 2t 2t 2(t 1)(4t 8t 9) v i t 1, suy f (t ) ngh ch bi n v i t Ta có f '(t ) (2t 1)2 9(2t 1) Suy P f (t ) f (1) 5 Khi x y z P V y giá tr l n nh t c a P 9 fa f (t ) w w w Xét hàm s Ví d Cho hai s th c x, y thu c kho ng (0;1) th a mãn ( x3 y3 )( x y) xy( x 1)( y 1) Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c sau P 12 36 (1 x2 )(1 y2 ) 3xy x4 y4 xy Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Gi i Ta có ( x y )( x y) xy( x 1)( y 1) ( x3 y3 )( x y) xy( x 1)( y 1) (*) Áp d ng b t đ ng th c a b ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ ( x3 y3 )( x y) x3 y3 xy x2 y2 xy( x 1)( y 1) xy xy ( x y) 1 xy xy xy T (*) (2*) , suy ra: c: (2*) x2 y2 xy xy xy xy xy xy 3xy xy xy Ti p t c áp d ng b t đ ng th c a b ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ 1 xy c: H oc 2 2 12 x2 y2 (1 x )(1 y ) x y 36 xy xy P xy 2 4 xy 36 36 xy xy x y x y 2x y 01 hi D uO ie 10 2t v i t 1; t 2 t t iL Ta có f '(t ) 10 2 t v i t 1; t Ta f (t ) s/ Xét hàm s 10 10 2 hay t 1; xy Khi P t t nT t t xy , xy c om /g ro up 10 10 1 Suy f (t ) đ ng bi n v i t 1; D u “=” x y x y P f (t ) f 10 1 , x y V y P đ t giá tr l n nh t b ng 10 fa ce bo ok Ví d (B – 2013) Cho a , b, c s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : P a b2 c (a b) (a 2c)(b 2c) w w Phân tích h w Áp d ng b t đ ng th c xy ng gi i (Bài gi ng) Gi i x y 2xy x2 y2 chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: a b 4c a b2 2ab 4bc 4ca 2 2 2 2 a b a b 2(b c ) 2(c a ) 2(a b2 c ) 9 Suy P t t a b2 c , đó: P 2 t 2(t 4) a b2 c 2(a b c ) (a b) (a 2c)(b 2c) (a b) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Xét hàm s f (t ) v i t2 t 2(t 4) Ta có f '(t ) 9t (4 t )(4t 7t 4t 16) t (t 4)2 t (t 4)2 nT a b c uO V y P đ t giá tr nh nh t b ng D u “=” x y a b c hi D T b ng bi n thiên suy P f (t ) H oc 01 Mà 4t 7t 4t 16 4(t 4) t (7t 4) v i t , suy f '(t ) t B ng bi n thiên ie Ví d (B – 2014) Cho s th c a , b, c không âm th a mãn u ki n (a b)c Ta iL a b c bc a c 2(a b) s/ Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P c: om /g ro up Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: x y V i a , áp d ng b t đ ng th c x y xy hay xy chu i b t đ ng I.1, ta đ bo ok c a a a 2a (1) bc a (b c) a b c a b c a 2a (2) T (1) (2), suy bc a bc fa c: a 2a bc a bc b 2b a c a bc w ng t ta đ w T ce V i a ta có w Áp d ng b t đ ng th c x y xy chu i b t đ ng I.1, suy ra: P 2(a b) a b c 2(a b) c 2(a b) a b c 2 a b c 2(a b) a b c 2(a b) a b c 2(a b) 2 3 V y giá tr nh nh t c a P b ng 2 Chú ý: toán ta có th d n bi n đ dùng hàm s hàm s nh sau: c 2(a b) c c 0 P 2t f (t ) v i t a b a b c 2(a b) c 2(a b) t a b Khi a 0, b c P Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Ví d ( minh h a BGD – 2015) Xét s th c x Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau: 3(2 x2 x 1) 1 P x2 (3 3) x x2 (3 3) x Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i 1 2 chu i b t đ ng th c I.2) Khi đó: a b a b Áp d ng b t đ ng th c : x (3 3) x 2 x (3 3) x 2 4x 6x 01 3(2 x2 x 1) x2 x x2 x M t khác, ta có: hi D H oc x2 x 2 Suy P 4x 6x Cách trình bày 1: t 3 2 15 15 f (t ) t t x x 4 x , đó: P 4 4 t t 3 2 15 v i t t ie f (t ) iL Xét hàm s uO nT s/ Ta t t 2(t 3) (t 6)(t 6t 36) Ta có f '(t ) t 3 t t 6t t (t 3) 6t t (t 3) t t 2(t 3) fa ce bo ok c om /g ro up 15 f '(t ) t ; , t ta có b ng bi n thiên: 4 w w w T b ng bi n thiên ta có P f (t ) f (6) D u “=” x y x V y giá tr nh nh t c a P Cách trình bày 2: t2 2 15 15 f (t ) t t x2 x x , đó: P t 4 Xét hàm s t2 2 t 2 t 2(t 3) 15 f (t ) v i t Ta có f '(t ) ; t t t2 3t t 15 f '(t ) t 2(t 3) t 72(t 3) (t 6)(t 6t 36) t ; T ta có b ng bi n thiên: Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 T b ng bi n thiên ta có P f (t ) f ( 6) D u “=” x y x V y giá tr nh nh t c a P ng th a mãn: 1 x y z x2 y2 2z z x y Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i 1 2 xy x y xy ( x y) z , đó: x y z z z 01 Ví d Cho x, y, z ba s th c d hi D nT x2 y2 2z ( x y)2 xy 2z 2z 2z x y xy x y x y 2 z x y z x y z z x y z z x y ie uO P H oc Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P T iL 1 x y 1 2 chu i b t đ ng th c I.2), ta có: z x y x y z a b a b x y , P t t f (t ) v i t t t t z up s/ Ta Áp d ng b t đ ng th c c om /g ro 2t t (t 2)(2t 3t 6) 10 v i t Ta có f '(t ) 2t t t2 t2 Suy f (t ) đ ng bi n 2; , f (t ) f (2) hay P bo ok x y D u “=” x y x y z V y giá tr nh nh t c a P x y 2z w w w fa ce Ví d Cho a , b, c s th c d ng th a mãn a b c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: bc ca ab P 3a bc 3b ca 3c ab Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i T u ki n a b c 3a bc (a b c )a bc a (a b ) c (a b ) (a b )(a c ) Áp d ng b t đ ng th c 1 hay x y xy 11 1 chu i b t đ ng th c I.2), ta đ xy x y c: bc bc 1 bc 3a bc (a b)(a c) a b a c Ch ng minh t ng t ca ca 1 bc ba 3b ca ab ab 1 3c ab c a c b Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 bc 1 ca 1 ab 1 Khi P a b a c bc ba c a c b bc ca ab ca ab bc a b c 3 hay P 2 a b bc ca 2 3 V i a b c P V y giá tr l n nh t c a P 2 Ví d Cho x, y, z s th c d x yz y2 zx z2 xy y zx z xy x yz 01 Phân tích h ng gi i (xem gi ng) Gi i H oc P ng th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : hi D P x2 yz y2 zx z2 xy 3 y 3zx 3z 3xy 3x yz Ta có Áp d ng b t đ ng th c a b2 2ab hay 2ab a b2 chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2 ng t ta có: 3z 3xy x2 y2 z2 xy yz zx 3x yz x2 y2 z2 xy yz zx uO T nT y 3zx ( x y z) y zx zx ( x y z) y zx z x x y z xy yz zx ie P x2 yz y2 zx z2 xy P D u “=” x y x y z x2 y2 z2 xy yz zx V y P đ t giá tr nh nh t b ng , x y z up s/ Ta iL Khi ng th a mãn x2 y2 z2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: 1 32 P 2 2 x x y y x y (1 z)3 om /g ro Ví d 10 Cho x, y, z s th c d ce 1 chu i b t đ ng th c I.2, ta đ x y x y c: fa Áp d ng b t đ ng th c bo ok c Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Gi i: T u ki n ta có x, y, z (0;1) w w w 1 4 2 2 2 2 2 x x y y x y x x y y x y (x y ) (1 z2 )2 32 32 f ( z) Xét f ( z) Suy P v i z (0;1) 2 2 (1 z ) (1 z)3 (1 z ) (1 z) Ta có f '( z) 16 z 96 16(6 z3 17 z2 19 z 6) 16(2 z 1)(3z2 z 6) (1 z2 )3 (1 z)4 (1 z)3 (1 z) (1 z)3 (1 z) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Suy f '( z) z z (0;1) B ng bi n thiên: nT 448 , x y z 27 uO V y P đ t giá tr nh nh t b ng hi D H oc 01 x y x y 1 448 D u “=” x y z T b ng bi n thiên ta có P f ( z) f 27 z x2 y2 z2 s/ ng gi i (Bài gi ng) Gi i up Phân tích h Ta iL ie Ví d 11 Cho a , b, c đ dài ba c nh tam giác th a mãn u ki n abc b 2c Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P b c a a c b a b c c om /g ro T u ki n ta suy a c b 1 Áp d ng b t đ ng th c chu i b t đ ng th c I.2 x y xy chu i b t đ ng th c I.1, x y x y 4 3 1 3 a 2.2 a hay P a a 2c 2b 2a c b a fa 1 1 1 2 3 bc a a c b bc a a bc a cb a bc bo ok c: P ce ta đ w w D u “=” x y a b c w Ví d 12 Cho a , b, c s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: 3(b c) 4a 3c 12(b c) P 2a 3b 2a 3c Phân tích h ng gi i (Bài gi ng) Gi i 3(b c) 4a 3c 12(b c) 4a 3b 3c 4a 3b 3c 4(4a 3b 3c) Ta có P 11 2 1 8 2a 3b 2a 3c 2a 3b 2a 3c (4a 3b 3c) 2a 3b 2a 3c Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 Áp d ng b t đ ng th c chu i b t đ ng th c I.2, ta có: x y x y 1 1 16 2a 3b 2a 3b (4a 3b 3c) 16 16 2a 3b 2a 3c 4a 3b 3c 2a 3b 2a 3c 2a 3b 2a 3c 4a 3b 3c c: nT 1 chu i b t đ ng th c I.2, ta đ x y x y 1 4 x y y z x y y z x 2y z ie uO Áp d ng b t đ ng th c ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: hi D Phân tích h H oc Ví d 13 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x2 y2 z2 Ch ng minh r ng: 1 4 x y y z z x x y z 01 Hay P 11 16 P D u “=” x y 2a 3b 3c V y P đ t giá tr nh nh t b ng 2a 3b 3c c: Ta iL Áp d ng b t đ ng th c a b2 2ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ x 1 2x 2 2 2( y 1) 2.2 y y 2( x y z) x y z y x 2y z y z2 z 1 1 z x x y x 7 y z z x z 7 1 4 c: x y y z z x x y z ng t ta có om 1 T x y y z y c Suy /g ro up s/ bo ok C ng theo v ba b t đ ng th c ta đ fa ce D u “=” x y x y z w w w Ví d 14 (A – 2005) Cho x, y, z s th c d ng th a mãn 1 Ch ng minh r ng : x y z 1 1 2x y z x y z x y 2z Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: 11 1 1 chu i b t đ ng th c I.2, ta đ Áp d ng b t đ ng th c hay a b 4 a b a a a b c: 1 1 1 1 1 1 x y z ( x y) ( x z) x y x z x y x z 16 x y z Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 1 1 1 1 2 T ng t ta có: x y z 16 x y z x y z 16 x y z 1 1 1 1 x y z x y z x y z 16 x y z D u “=” x y x y z Ví d 15 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : P x y z2 x yz y zx z xy 01 Suy Phân tích h hi D ng t ta có: y zx ( x y)( x 1) nT T H oc ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: Ta có: z xy x y xy ( x 1)( y 1) x yz x y( x y 1) x y y( x y) ( x y)( y 1) uO x y z2 x2 y2 x y z2 Khi P ( x y)( y 1) ( x y)( x 1) ( x 1)( y 1) ( x y)( x 1)( y 1) ( x 1)( y 1) ie iL s/ ( x y)2 ( x y 1)2 ( x y 2)2 ( x 1)( y 1) 4 up x2 y2 ( a b) ( a b) ab chu i b t đ ng th c I.1, ta có: Ta Áp d ng b t đ ng th c a b2 w w w fa ce bo ok c om /g ro ( x y)2 x y 4( z2 2) 4( z2 2) z2 2 Suy P f ( z) v i z ( x y 2) ( x y 2) x y ( x y 2) z ( z 1) ( x y) 4 2 4( z 2) 8( z 2) 6( z 3) Xét hàm s f ( z) v i z Ta có f '( z) ; f '( z) z 2 z ( z 1) ( z 1) ( z 1)3 ( z 1)3 B ng bi n thiên T b ng bi n thiên, suy P f ( z) V y P đ t giá tr nh nh t b ng x y; z x y 13 D u “=” x y x y 1 z z 13 , x y z Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 Ví d 16 Cho x, y, z s th c d ng th a mãn u ki n x y z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2( y z x) xyz Phân tích h Áp d ng b t đ ng th c a b2 b t đ ng th c I.1, ta đ ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: a b2 ( a b) hay a b 2(a b2 ) a b2 2ab hay ab chu i 2 c: 2(1 x2 ) x x.(1 x2 ) 2(1 x2 ) x3 x f ( x) 2 Xét hàm s H oc 01 P 2( y z x) xyz y2 z2 2( y z ) x x 2 2 f ( x) 2(1 x2 ) x3 x v i x 2 2 x c om /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi D 27 x (27 x2 5) x2 x x2 2 x2 0 x 1 2 Khi f '( x) x (27 x 5) x 27 x2 x (3x2 1)(9 x2 1)(27 x2 25) B ng bi n thiên Ta có f '( x) fa ce bo ok 10 T b ng bi n thiên suy P f ( x) f 3 10 10 Khi x ; y z P V y giá tr l n nh t c a P 3 3 ng th a mãn x y z Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : w w w Ví d 17 Cho x, y, z s th c d P x y2 ( x y)2 2 ( y z) yz ( z x) zx Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: ( a b) chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: Áp d ng b t đ ng th c (a b)2 4ab hay ab y2 y2 x2 x2 x2 (1) T ng t ta có: (2) ( z x)2 zx 9( z x) ( y z) 9( y z) ( y z)2 yz ( y z) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 C ng (1) (2), k t h p b t đ ng th c a b2 ( a b) ( a b) ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2 x2 y2 x y x y ( y z) yz ( z x) zx y z z x y z z x 2 ( x y) (1 z) 2 z x y z z ( ) (1 ) 2 x y z( x y) 2 z 1 2 xy z( x y) z2 ( x y)2 (1 z) z 1 2 2 z( x y) z z(1 z) z z 1 Khi P (1 z) f ( z) (*) z 1 01 z 1 Xét f ( z) (1 z) v i c (0;1) z 1 H oc up s/ Ta iL ie uO nT hi D ( z 1) 43 (3z 31)3 16 z ( z 1) Ta có f '( z) ; f '( z) z (vì z (0;1) ) z ( z 1) 18( z 1) ro v i z (0;1) (2*) /g D a vào b ng bi n thiên : f ( z) om 1 D u “=” x y x y z V y giá tr nh nh t c a P bo ok c T (*) (2*) suy P ng th a mãn x2 y2 z2 26 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: z z(9 x y) P 32 xy xy 13 w w w fa ce Ví d 18 Cho x, y, z ba s th c d Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: 2 Áp d ng b t đ ng th c a b 2ab chu i b t đ ng th c I.1, ta đ c: 2( xy 13) xy x2 y2 z2 ( x y)2 z2 2( x y) z hay xy 13 ( x y) z Suy z xy 13 Ta s ch ng minh z2 z2 xy 13 ( x y) z z x y 9x y (xem cách phân tích gi ng đ bi t đ 32 xy 2( x y) c ta có đánh giá này) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Th t v y, b t đ ng th c t ng đ ng: (9 x y)( x y) 16 xy x2 xy y2 (3x y)2 (luôn đúng) Khi P Xét hàm s z z x y 2( x y) f (t ) t t t t2 z , suy P t f (t ) 0 x y t2 v i t Ta có f '(t ) t ; f '(t ) t nT 1 V y P có giá tr l n nh t b ng 2 uO Khi x 1; y 3; z P hi D T suy P f (t ) f (1) H oc 01 B ng bi n thiên: t2 1 (t 1)2 2 2 Ta iL ie Chú ý: Có th tìm giá tr l n nh t c a f (t ) b ng cách bi n đ i: f (t ) t ng x, y, z th a mãn x4 y2 1 z4 s/ Ví d 19 Cho s th c d x y z2 2 ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: c Phân tích h om /g ro up Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P y x z a b2 ( a b) a b2 chu i b t đ ng th c I.1, ta đ 2 bo ok Áp d ng b t đ ng th c ab c: ce y x z 1 a b) y2 x2 z2 2ab ) : P (suy t a b 2 2 x y z 1 x y z2 2 T gi i thi t ta có x4 y2 1 z4 x2 y2 z2 1 , suy x2 y2 z2 2 t t x y z 1 1 t 2 w w w fa 1 Xét hàm s f t t ; t Ta có f ' t v i t 1;5 t t 21 Suy f (t ) đ ng bi n 1;5 , P f (t ) f 5 5 21 x z ng th c x y V y max P y Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 Ví d 20 Cho x, y, z s th c th a mãn x y z xyz Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c P 2( x y z) xyz Phân tích h ng gi i: (Bài gi ng) Gi i: Không m t tính t ng quát, gi s x x; y; z , xyz x M t khác x2 y2 z2 x2 x 3;0 y2 z ( x z)2 hay y z 2( y2 z2 ) yz chu i b t đ ng I.1, ta 2 y2 z2 x2 x3 x đ c: P 2( x y z) xyz x 2( y2 z2 ) x x 2(9 x2 ) x 2(9 x2 ) 2 2 x 5x Xét hàm s f ( x) 2(9 x2 ) v i x 3;0 2 Áp d ng b t đ ng th c y2 z2 H oc hi D 3x2 2 x (3x2 5) x2 2 x 2 x2 x2 nT Ta có f '( x) 01 3x2 Khi f '( x) (3x 5) x 2 x 2 2 (3x 5) (9 x ) x 5 1 Ta 3x2 2 x 3x 9 x 111x 327 x 225 x x ie uO iL /g ro up s/ 25 x x 1 3;0 3 om Ta có f (3) 6 ; f (1) 10 f (0) f ( x) f (1) 10 ce bo ok c x 1; y z x 1 D u “=” x y 2 y z x y z V y P đ t giá tr nh nh t b ng 10 , x 1 ; y z w w fa Chú ý: toán có th không c n u ki n xyz Khi b n tham kh o nh ng b c gi i sau: Áp d ng b t đ ng th c Cauchy – Schwarz (s đ c tìm hi u k h c sau), ta có: w 2( x y z) xyz x(2 yz) ( y z).2 ( x2 ( y z) (2 yz) 4 (2 yz 9)( y2 z2 yz 8) t t yz , suy ra: P 2( x y z) xyz (2t 9)(t 4t 8) f (t ) Gi s x max x , y , z 3x2 x2 y2 z2 x2 y2 z2 yz Ta d dàng ch ng minh đ c y2 z2 hay t (2t 9)(t 4t 8) 10 v i t Khi ta suy đ c đáp s toán Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 BÀI LUY N THÊM Bài Cho s th c x, y th a mãn x y Ch ng minh r ng xy(4 x2 y2 ) Bài Cho s th c x, y Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M ng a , b, c, d Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: (a b)(a b c)(a b c d ) abcd Bài Cho a , b c Ch ng minh r ng: 01 M c(a c) c(b c) ab uO nT hi D Bài Cho hai s th c x, y th a mãn u ki n x4 16 y4 2(2 xy 5)2 41 Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a bi u th c P xy x y2 H oc Bài Cho s th c d x3 y3 ( x2 y2 ) ( x 1)( y 1) s/ Ta iL ie Bài Cho x, y, z s th c d ng Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : 4 P x2 y2 z2 ( x y) ( x z)( y z) ( y z) ( y x)( z x) 1 1 th a mãn: 2 a 1 b 1 c 1 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P 4a 4b 4c om /g ro up Bài Cho a , b, c s th c l n h n bo ok c Bài Cho x, y, z s th c d ng th a mãn x y z Ch ng minh r ng: 1 1 1 x y y 3z z 3x x y z w w fa ce Bài Cho a , b, c s th c không âm đôi m t phân bi t th a mãn ab bc ca 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P 2 (a b) (b c) (c a ) w Bài 10 Cho x, y, z s th c không âm th a mãn x2 y2 z2 xyz Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P xy yz zx xyz Bài 11 Cho s th c d ng a , b, c Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P a b2 c a 1 b 1 c 1 ng th a mãn a 2b c a b2 c2 ab bc ca a c2 a b 1 Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P a (b c) a b (a c)(a 2b c) Bài 12 Cho a , b, c s th c d Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CHU I B T Cho a , b, c s th c d I.1) a b2 ( a b) 2 NG TH C I ng ta có: a b 2ab I.2) 1 a b ab a b 2 a b a b2 D u “=” x y a b 01 Ch ng minh H oc ( a b) ch ng minh chu i b t đ ng th c I.1) ta ch c n ch ng minh b t đ ng th c a b ; 2 2ab ie a b s/ Ta ( a b) 2 1) Ch ng minh: a b2 iL Chu i b t đ ng th c I.1) ( a b) a b2 uO nT hi D a b a b ( a b) 2ab Song đ ti n cho vi c làm ví d t p, ta s ch ng 8 minh “đ y đ ” b t đ ng th c đ c t o t chu i b t đ ng th c I.1) t ng t ta c ng s ch ng minh 10 b t đ ng th c t chu i b t đ ng th c I.2) up ( a b) 2(a b2 ) (a b)2 (a b) a , b (đpcm) Ta có a b a b /g ( a b) 2) Ch ng minh: ro om 8 w w w Áp d ng AM – GM ta có: 4) Ch ng minh: a b 2 ( a b) a b 4 ( a b) a b (đpcm) ce a b a b 2ab fa 3) Ch ng minh: bo ok c V i a , b áp d ng 1) ta có a b a b ab a b a b 16ab a b T 1) 2) suy a b a b 8 2ab (đpcm) ( a b) 2ab 5) Ch ng minh: ( a b) 2ab (a b)2 4ab (a b)2 (đpcm) Ta có: 6) Ch ng minh: a b2 2ab Ta có: a b2 a 2b2 ab 2ab (ho c ch ng minh a b2 2ab a b2 2ab (a b)2 ) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Chu i b t đ ng th c I.2) a b 2 a b a b2 1 a b ab Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có : Áp d ng bđt AM – GM ta có: a b a b ab a b ab ab (đpcm) 01 a b a b H oc 1 (đpcm) a b ab a b a b a b (đpcm) a b uO Áp d ng bđt AM – GM ta có: a b ab 2(a b) hi D ab 2) Ch ng minh: 3) Ch ng minh: nT 1) Ch ng minh: 1 a b ab 2 a b a b2 2 16 Ta có 2(a b2 ) (a b)2 (a b) (đpcm) 2 2 a b ( a b ) a b a b 1 5) Ch ng minh: a b a b ro /g up s/ Ta iL ie 4) Ch ng minh: 1 a b ab a b c a b ab bo ok M t khác: om Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có : ab ab a b , suy 1 a b a b (đpcm) ab a b fa ce 6) Ch ng minh: (đpcm) ab a b w w Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có : a b ab w 7) Ch ng minh: a b 2 a b2 Ta có a b2 2ab 2(a b2 ) (a b) a b Áp d ng (*) ta có: a b T (*) (2*), suy a b2 a b 2 ( a b) a b ( a b) (*) a b (2*) a b 2 2 a b a b 2 a b2 (đpcm) Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 a b a b 1 Ta có: (a b)2 4ab (a b)2 (đpcm) a b a b 2 9) Ch ng minh: ab a b2 8) Ch ng minh: 2 a b2 2ab (a b)2 (đpcm) 2 ab a b ab a b 1 2 10) Ch ng minh: a b a b2 nT uO N CÁC B N Ã C TÀI LI U w w w fa ce bo ok c om /g ro up s/ Ta iL C M hi D 1 2 (đpcm) a b a b2 ie Suy 1 2 a b2 2ab a b ab a b ab ab a b2 H oc Áp d ng b t đ ng th c AM – GM ta có: 01 Ta có GV: Nguy n Thanh Tùng Tham gia khóa h c HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t m s cao kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 [...]... bđt AM – GM ta có: a b 2 ab 2(a b) hi D 2 ab 2) Ch ng minh: 3) Ch ng minh: 8 nT 1) Ch ng minh: 1 1 2 a b ab 4 2 2 a b a 2 b2 4 2 2 16 8 Ta có 2 2(a 2 b2 ) (a b)2 (a b) 2 0 luôn đúng (đpcm) 2 2 2 2 a b ( a b ) a b a b 1 1 8 5) Ch ng minh: 2 a b a b ro /g up s/ Ta iL ie 4) Ch ng minh: 1 1 2 a b ab a b 2 c a b 2 4 ab bo ok M t khác:... Ch ng minh: 2 ro 2 om 2 8 8 4 w w w Áp d ng AM – GM ta có: 4) Ch ng minh: a 2 b 2 2 2 ( a b) 2 a b 4 4 ( a b) 2 2 a b 8 4 (đpcm) ce a b a b 2ab fa 3) Ch ng minh: bo ok c V i a , b 0 áp d ng 1) ta có a b a b 2 4 ab a b 8 a b 4 16ab a b 4 T 1) và 2) suy ra a 2 b 2 a b 8 8 4 2ab (đpcm) 4 ( a b) 2 2ab 5) Ch ng minh: 2... GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 CHU I B T Cho a , b, c là các s th c d I.1) a 2 b2 ( a b) 2 2 NG TH C I ng ta có: a b 4 2ab 8 I.2) 1 1 2 a b ab 8 a b 2 4 2 2 a b a 2 b2 D u “=” x y ra khi a b 01 Ch ng minh ai H oc ( a b) 2 ch ng minh chu i b t đ ng th c I.1) ta ch c n ch ng minh 3 b t đ ng th... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 1 4 a b a b 1 1 4 Ta có: (a b)2 4ab (a b)2 0 luôn đúng (đpcm) a b a b 2 2 2 9) Ch ng minh: ab a 2 b2 8) Ch ng minh: 2 2 2 4 8 2 a 2 b2 2ab (a b)2 0 luôn đúng (đpcm) 2 2 2 ab a b ab a b 1 1 2 2 10) Ch ng minh: a b a 2 b2 nT uO N... b)2 4ab 0 (a b)2 0 (đpcm) Ta có: 2 6) Ch ng minh: a 2 b2 2ab Ta có: a 2 b2 2 a 2b2 2 ab 2ab (ho c ch ng minh a 2 b2 2ab a 2 b2 2ab 0 (a b)2 0 ) Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01... 4 4 2 4 2ab ie a b 8 s/ Ta ( a b) 2 2 1) Ch ng minh: a 2 b2 iL Chu i b t đ ng th c I.1) ( a b) 2 a 2 b2 2 uO nT hi D a b a b ( a b) 2 2ab Song đ ti n cho vi c làm trong các ví d và bài t p, ta s ch ng và 8 2 8 minh “đ y đ ” 6 b t đ ng th c đ c t o ra t chu i b t đ ng th c I.1) và t ng t ta c ng s đi ch ng minh 10 b t đ ng th c t chu i b t đ ng th c I.2) up ( a ... 3x2 x2 y2 z2 9 x2 3 y2 z2 6 yz Ta d dàng ch ng minh đ c y2 z2 3 hay t 3 2 (2t 9)(t 2 4t 8) 10 v i t 3 Khi đó ta suy ra đ c đáp s bài toán Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01... 13 ( x y) z Suy ra z xy 13 Ta s ch ng minh z2 z2 xy 13 ( x y) z z x y 9x y 1 (xem cách phân tích trong bài gi ng đ bi t đ 32 xy 2( x y) c vì sao ta có đánh giá này) Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01... www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 BÀI LUY N THÊM Bài 1 Cho các s th c x, y th a mãn 2 x y 2 Ch ng minh r ng xy(4 x2 y2 ) 1 Bài 2 Cho các s th c x, y 1 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c M ng a , b, c, d Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: (a b)(a b c)(a b c d ) 2 abcd Bài 4 Cho a , b c 0 Ch ng minh r ng: 01 M c(a c) c(b c) ab uO nT hi D Bài 5 Cho hai s th c x, y th a mãn đi... (t ) đ ng bi n trên 1;5 , khi đó P f (t ) f 5 4 5 5 21 x z 1 ng th c x y ra khi V y max P 5 y 2 Tham gia các khóa h c trên HOCMAI.VN s giúp b n t tin đ t đi m s cao trong kì thi THPTQG s p t i ! www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 GV: Nguy n Thanh Tùng HOCMAI.VN facebook.com/ThayTungToan www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 2 2 2 Ví d 20 Cho x, y,