Đề tài Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Xuất phát từ nhu cầu thực tế của việc dạy và học nội dung bất đẳng thức ở bậc phổ thông và trong khuôn khổ một luận văn đề tài được lựa chọn là: “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT”. 1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU a. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và khai thác khả năng vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT. b. Nhiệm vụ nghiên cứu •Tìm hiểu mối liên hệ giữa toán cao cấp và môn toán ở trường phổ thông nói chung, giữa toán cao cấp và nội dung bất đẳng thức trong chương trình môn toán phổ thông nói riêng •Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu •Đề xuất một số giải pháp vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức trong chương trình môn toán ở các chuyên toán THPT. 1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu bằng việc vận dụng các kiến thức của toán cao cấp GV dạy môn Toán ở các trường THPT có thể: •Đưa ra một hệ thống các bài toán về bất đẳng thức. •Giải một số dạng toán về bất đẳng thức. •Đánh giá nhanh lời giải của HS trong các bài toán về bất đẳng thức. Thì việc dạy nội dung bất đẳng thức của GV môn Toán ở các trường THPT nói chung và ở các lớp chuyên toán THPT nói riêng sẽ đạt được hiệu quả hơn. Hơn nữa, GV còn có thể xây dựng được các chuyên đề về bất đẳng thức dùng làm tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi. 1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu nằm trong khuôn khổ một đề tài được nhiều GV dạy toán quan tâm đó là: “Vận dụng toán cao cấp vào việc dạy môn toán ở trường phổ thông”. Việc nghiên cứu đề tài này còn là mong muốn của tác giả góp phần hưởng ứng cuộc vận động đổi mới PPDH của Bộ Giáo dục và Đào tạo đang diễn ra trong tất cả các ngành, bậc học. 1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU a. Quy trình nghiên cứu Bước 1: Tìm hiểu cơ sở lí luận và thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Bước 2: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan và các kết quả đã đạt được về vấn đề vận dụng toán cao cấp vào dạy học bất đẳng thức trong môn toán ở trường phổ thông Bước 3: Đề xuất giải pháp thực tế khả thi thực hiện việc áp dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT Bước 4: Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi của giải pháp Bước 5: Viết luận văn, báo để bảo vệ và công bố kết quả b. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: •Nghiên cứu về nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học. •Nghiên cứu lí luận về năng lực và năng lực giải toán của học sinh. •Nghiên cứu các nội dung của Toán cao cấp có liên quan trực tiếp đến môn Toán ở trường phổ thông nói chung và có liên quan trực tiếp đến nội dung bất đẳng thức nói riêng. •Nghiên cứu chương trình, nội dung và các chuyên đề bồi dưỡng ở các lớp chuyên toán THPT. Điều tra, quan sát: •Điều tra thực trạng việc vận dụng Toán cao cấp vào việc dạy môn toán ở trường phổ thông nói chung và ở các lớp chuyên toán của THPT nói riêng. •Điều tra thực trạng vấn đề bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh các lớp chuyên toán THPT. Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết các kết quả nghiên cứu về lí luận và những vấn đề điều tra quan sát được dùng làm căn cứ cho việc viết luận văn. Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các đề xuất nêu trong luận văn 1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm có 4 chương (không kể tới các phần mở đầu, danh mục chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, phụ lục): Chương 1: Giới thiệu chung về đề tài Chương 2: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu Chương 3: Một số giải pháp thực hiện việc vận dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức ở các lớp chuyên toán THPT Chương 4: Thực nghiệm sư phạm TÓM TẮT CHƯƠNG 1 Trong chương này, luận văn đã trình bày một cách khái quát về đề tài nghiên cứu “Vận dụng toán cao cấp trong dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT” đó là: Nội dung nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, ý nghĩa của việc nghiên cứu, quy trình và phương pháp nghiên cứu.
Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT MỤC LỤC Chƣơng I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1.1 VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 1.2 NHU CẦU NGHIÊN CỨU 1.3 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU 1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU 1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN TÓM TẮT CHƢƠNG Chƣơng 2: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 10 2.1 NHU CẦU, ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI PPDH MƠN TỐN 10 2.2 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 11 2.2.1 Lí luận lực lực giải toán học sinh 11 2.2.2 Vấn đề bồi dƣỡng lực giải tốn cho học sinh THPT 18 2.2.3 Tình hình vận dụng tốn cao cấp vào việc dạy học mơn tốn lớp chun THPT 26 2.3 MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐÃ ĐƢỢC NGHIÊN CỨU CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI 28 2.4 VẤN ĐỀ ĐẶT RA CHO LUẬN VĂN 28 TÓM TẮT CHƢƠNG 29 3.1.1 Xây dựng bất đẳng thức từ tính chất đạo hàm 30 3.1.2 Xây dựng bất đẳng thức từ tính chất hàm lồi 43 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT 3.1.3 Xây dựng bất đẳng thức từ bất đẳng thức vectơ 50 3.2 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA VỀ VIỆC VẬN DỤNG TỐN CAO CẤP ĐỂ TÌM LỜI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC Ở THPT 53 3.2.1 Một số ví dụ vận dụng tính chất hàm lồi để tìm lời giải số toán bất đẳng thức THPT 53 3.2.2 Một số ví dụ việc vận dụng bất đẳng thức véctơ để tìm lời giải số toán bất đẳng thức THPT 74 3.2.3 Một số ví dụ việc vận dụng bất đẳng thức Schwarz để tìm lời giải số tốn bất đẳng thức THPT 84 3.2.4 Một số ví dụ minh họa việc vận dụng bất đẳng thức hoán vị để giải số toán bất đẳng thức 91 3.3 VẬN DỤNG TOÁN CAO CẤP ĐỂ KIỂM TRA, ĐÁNH GIÁ NHANH LỜI GIẢI CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC BẤT ĐẲNG THỨC 96 3.3.1 Bất đẳng thức Cauchy - Giá trị lớn bé biểu thức 96 3.3.2 Vận dụng kĩ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy để kiểm tra đánh giá nhanh lời giải học sinh 98 3.3.3 Vận dụng bất đẳng thức vectơ để kiểm tra, đánh giá nhanh lời giải học sinh dạy học bất đẳng thức 103 3.3.4 Vận dụng bất đẳng thức Jensen để kiểm tra, đánh giá nhanh lời giải học sinh dạy học bất đẳng thức 105 TÓM TẮT CHƢƠNG 108 Chƣơng 4: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 109 4.1 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ THỰC NGHIỆM 109 4.1.1 Mục đích thực nghiệm 109 4.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 109 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT 4.2 NỘI DUNG THỰC NGHIỆM 109 4.3 TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM 109 4.4 GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM 110 4.5 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 118 4.5.1 Đề kiểm tra thực nghiệm 118 4.5.2 Về phƣơng pháp khả lĩnh hội học sinh 119 4.5.3 Về kết kiểm tra thực nghiệm sƣ phạm 119 TÓM TẮT CHƢƠNG 117 KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 PHỤ LỤC 124 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Chƣơng I: GIỚI THIỆU CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1.1 VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Đất nƣớc ta thời kì cơng nghiệp hóa, đại hóa chuyển từ kinh tế tập trung sang chế thị trƣờng định hƣớng xã hội chủ nghĩa đòi hỏi phải có lực lƣợng lao động khoa học, kĩ thuật chất lƣợng cao Hơn lúc hết, việc phát bồi dƣỡng nhân tài cho đất nƣớc đƣợc coi quốc sách Vấn đề đƣợc thể qua nghị số 14/NQTƢ (11/1979) đặc biệt Hiến pháp nƣớc cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam (1992, Điều 66, Điều 72) trực tiếp đề cập đến việc phát triển trƣờng đào tạo tài đặc biệt trƣờng chuyên Đào tạo nhân tài mục tiêu quan trọng ngành giáo dục mà trƣờng chuyên mũi nhọn tiên phong trình đào tạo nhân tài cho đất nƣớc Trong bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh cần thiết để đào tạo nhân tài Vì vậy, Hội nghị lần IV BCHTƢ Đảng khóa (1/1993) nghị “tiếp tục đổi nghiệp giáo dục đào tạo”, nêu rõ bốn quan điểm đạo Đảng, có quan điểm thứ hai trực tiếp đề cập đến việc “nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dƣỡng nhân tài” Luật Giáo dục nƣớc Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam quy định “Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh ” (Luật Giáo dục 1998, chƣơng I, điều 24) Quy định trở thành định hƣớng cho việc đổi phƣơng pháp dạy học nƣớc ta nay, gọi tắt định hƣớng hoạt động mà tinh thần là: Phƣơng pháp dạy học cần tạo hội cho ngƣời học học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo Trong xu đổi phƣơng pháp dạy học việc vận dụng tốn cao cấp vào dạy học bất đẳng thức THPT việc làm cần thiết góp phần Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT nâng cao chất lƣợng giáo dục nƣớc nhà Hơn nữa, góp phần vào việc hình thành phát triển nhân cách cho học sinh THPT Toán cao cấp toán THPT có mối liên hệ chặt chẽ Nhƣng khơng sinh viên khoa Toán trƣờng sƣ phạm hiểu hai lĩnh vực riêng độc lập mơn Tốn Trên thực tế chúng có liên hệ với : nhiều khái niệm tốn cao cấp có nguồn gốc từ mơn Tốn THPT nhƣng mối liên hệ bị che phủ, bị lu mờ Điều làm hạn chế việc vận dụng toán cao cấp vào dạy tốn THPT Do cần tìm giải pháp thích hợp để vận dụng toán cao cấp vào dạy nội dung mơn tốn THPT Việc vận dụng tốn cao cấp vào dạy mơn tốn trƣờng phổ thơng đề tài đƣợc nhiều giáo viên tốn THPT quan tâm; song cịn hạn chế cịn gặp nhiều khó khăn việc triển khai thực đề tài trƣờng phổ thông Hệ thống lớp chuyên chọn đƣợc tổ chức cách có hệ thống bậc học xong tài liệu giảng dạy dành cho lớp chun chƣa đƣợc hồn thiện Nếu tài liệu đƣợc liên tục bổ sung tốt cho việc bồi dƣỡng lực giải toán học sinh chun tốn THPT Từ vấn đề đặt tìm hiểu khả vận dụng tốn cao cấp vào việc dạy học mơn tốn trƣờng phổ thơng Tuy nhiên khuôn khổ luận văn tác giả nghiên cứu, tìm hiểu khả vận dụng tốn cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức chƣơng trình mơn tốn lớp chun tốn THPT 1.2 NHU CẦU NGHIÊN CỨU Bất đẳng thức nội dung khó chƣơng trình bậc phổ thơng Chúng ta khơng có chiến lƣợc giải chung, quy tắc tựa thuật giải chung cho tất toán bất đẳng thức chí cho lớp tốn bất đẳng thức Để tìm lời giải cho tốn bất đẳng thức phải dựa đặc điểm riêng có tính chất đặc thù tốn Có Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT nhiều toán bất đẳng thức mà lời giải mang tính “thủ thuật”, đơi lời giải có đƣợc khơng dựa phƣơng pháp tƣ thƣờng dùng Vì việc dạy học nội dung bất đẳng thức gặp nhiều khó khăn cho học sinh giáo viên Trong nội dung bất đẳng thức giữ phần quan trọng chƣơng trình mơn tốn bậc phổ thông Hơn nữa, dạy học nội dung bất đẳng thức cịn tạo mơi trƣờng thuận lợi để giáo viên cung cấp tri thức phƣơng pháp phát triển tƣ cho học sinh Vì việc nghiên cứu để nâng cao hiệu dạy học nội dung bất đẳng thức bậc phổ thông nhu cầu thực tiễn 1.3 ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU Xuất phát từ nhu cầu thực tế việc dạy học nội dung bất đẳng thức bậc phổ thông khuôn khổ luận văn đề tài đƣợc lựa chọn là: “Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT” 1.4 MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU a Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu khai thác khả vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức lớp chuyên toán THPT b Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu mối liên hệ tốn cao cấp mơn tốn trƣờng phổ thơng nói chung, tốn cao cấp nội dung bất đẳng thức chƣơng trình mơn tốn phổ thơng nói riêng Tìm hiểu sở lí luận thực tiễn vấn đề nghiên cứu Đề xuất số giải pháp vận dụng toán cao cấp vào việc dạy nội dung bất đẳng thức chƣơng trình mơn tốn chun tốn THPT Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT 1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu việc vận dụng kiến thức tốn cao cấp GV dạy mơn Tốn trƣờng THPT có thể: Đƣa hệ thống toán bất đẳng thức Giải số dạng toán bất đẳng thức Đánh giá nhanh lời giải HS toán bất đẳng thức Thì việc dạy nội dung bất đẳng thức GV mơn Tốn trƣờng THPT nói chung lớp chun tốn THPT nói riêng đạt đƣợc hiệu Hơn nữa, GV xây dựng đƣợc chuyên đề bất đẳng thức dùng làm tài liệu bồi dƣỡng học sinh giỏi 1.6 Ý NGHĨA CỦA VIỆC NGHIÊN CỨU Đề tài nghiên cứu nằm khuôn khổ đề tài đƣợc nhiều GV dạy tốn quan tâm là: “Vận dụng tốn cao cấp vào việc dạy mơn tốn trƣờng phổ thơng” Việc nghiên cứu đề tài cịn mong muốn tác giả góp phần hƣởng ứng vận động đổi PPDH Bộ Giáo dục Đào tạo diễn tất ngành, bậc học 1.7 QUY TRÌNH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU a Quy trình nghiên cứu Bước 1: Tìm hiểu sở lí luận thực tiễn vấn đề nghiên cứu Bước 2: Nghiên cứu tài liệu có liên quan kết đạt đƣợc vấn đề vận dụng toán cao cấp vào dạy học bất đẳng thức mơn tốn trƣờng phổ thơng Bước 3: Đề xuất giải pháp thực tế khả thi thực việc áp dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức lớp chuyên toán THPT Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Bước 4: Thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi giải pháp Bước 5: Viết luận văn, báo để bảo vệ công bố kết b Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu nhu cầu định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học Nghiên cứu lí luận lực lực giải toán học sinh Nghiên cứu nội dung Toán cao cấp có liên quan trực tiếp đến mơn Tốn trƣờng phổ thơng nói chung có liên quan trực tiếp đến nội dung bất đẳng thức nói riêng Nghiên cứu chƣơng trình, nội dung chuyên đề bồi dƣỡng lớp chuyên toán THPT Điều tra, quan sát: Điều tra thực trạng việc vận dụng Toán cao cấp vào việc dạy mơn tốn trƣờng phổ thơng nói chung lớp chun tốn THPT nói riêng Điều tra thực trạng vấn đề bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh lớp chuyên toán THPT Tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kết nghiên cứu lí luận vấn đề điều tra quan sát đƣợc dùng làm cho việc viết luận văn Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sƣ phạm nhằm đánh giá tính khả thi hiệu đề xuất nêu luận văn Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT 1.8 CẤU TRÚC LUẬN VĂN Luận văn gồm có chƣơng (khơng kể tới phần mở đầu, danh mục chữ viết tắt, tài liệu tham khảo, phụ lục): Chƣơng 1: Giới thiệu chung đề tài Chƣơng 2: Tổng quan vấn đề nghiên cứu Chƣơng 3: Một số giải pháp thực việc vận dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức lớp chuyên toán THPT Chƣơng 4: Thực nghiệm sƣ phạm TÓM TẮT CHƢƠNG Trong chƣơng này, luận văn trình bày cách khái quát đề tài nghiên cứu “Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT” là: Nội dung nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, ý nghĩa việc nghiên cứu, quy trình phƣơng pháp nghiên cứu Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Chƣơng 2: TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 2.1 NHU CẦU, ĐỊNH HƢỚNG ĐỔI MỚI PPDH MƠN TỐN Trong văn kiện Đảng Nhà nƣớc đề cập tới vấn đề đổi PPDH: “Phƣơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tƣ sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập học sinh ” (Luật Giáo dục 2005) Trong công hội nhập đổi điều hội nhập tri thức Trong công hội nhập tri thức ấy, lĩnh vực phải hội nhập trƣớc liệt lĩnh vực giáo dục Trƣớc yêu cầu nhu cầu phát triển xã hội, kinh tế đòi hỏi phải nâng cao chất lƣợng giáo dục Nền giáo dục quốc dân phải tạo hệ cơng dân có lực lao động cách tự chủ, tích cực sáng tạo Điều đặt yêu cầu hệ thống giáo dục, địi hỏi có thay đổi, điều chỉnh nội dung dạy học, phƣơng pháp dạy học đƣơng nhiên mục tiêu dạy học cách phù hợp Mơn Tốn có vai trị quan trọng việc thực mục tiêu giáo dục phổ thơng Mơn Tốn góp phần hình thành phát triển nhân cách Song song với việc tiếp thu tri thức rèn luyện kĩ tốn học, mơn Tốn cịn góp phần phát triển lực trí tuệ chung, rèn luyện số đức tính phẩm chất cần thiết cho ngƣời lao động nhƣ: tính xác, khoa học, kỷ luật, sáng tạo…Ngồi ra, mơn Tốn cịn công cụ giúp học sinh học tập môn học khác nhà trƣờng phổ thông, tạo sở để học sinh học tiếp đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp, học nghề vào sống lao động Mục tiêu dạy học không kết cụ thể trình học tập, tri thức kĩ môn mà điều quan trọng thân việc học, cách học, khả đảm nhiệm, tổ chức thực quy 10 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT C A+B+C + A+B 12 cos + cos A+B+C 2cos 12 cos π 6+ = 12 Suy cos A B C A+B+C + cos + cos 3cos 4 12 Suy cos A B C π 3( + 2) + cos + cos 3cos = 4 12 Dấu “=” xảy chi ΔABC Bài 3: Chứng minh với Bài ΔABC ta có 3A 3B 8 3(A + B) 3(A - B) 3(A + B) = 2sin cos 2sin 16 16 16 sin sin 3A 3B 3C + + sin + sin 8 Làm tƣơng tự nhƣ + sin Và +GV gọi HS lên bảng làm 3C A+B+C tập sin + sin 8 3C A + B + C 3C A + B + C + 8 = 2sin cos 2 3C A + B + C + 8 2sin 113 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chun tốn THPT Từ suy 3A 3B 3C A+B+C + sin + sin + sin 8 8 3C A + B + C + 3(A + B) 8 2(sin + sin ) 16 A+B+C A + B - 2C = 4sin cos 16 A+B+C 4sin sin Suy sin 3A 3B 3C A+B+C π + sin + sin 3sin = 3sin 8 8 Suy sin 3A 3B 3C + sin + sin 8 3sin π 3( - ) = Dấu “=” xảy chi ΔABC Bài 4: Chứng minh với Bài 4: ΔABC ta có: 3A 3B 8 3(A + B) 3(A - B) 3(A + B) = 2cos cos 2cos 16 16 16 cos cos 3A 3B 3C - + cos + cos 8 Làm tƣơng tự nhƣ + cos Và 3C A+B+C +GV gọi HS lên bảng làm cos + cos tập 3C A + B + C = 2cos + 3C A + B + C + 2cos 114 3C A + B + C 8 cos Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên tốn THPT Từ suy 3A 3B 3C A+B+C + cos + cos + cos 8 8 3C A + B + C + 3(A + B) 8 2(cos + cos ) 16 A+B+C A + B - 2C = 4cos cos 16 A+B+C 4cos cos Suy 3A 3B 3C A+B+C + cos + cos 3cos 8 8 3A 3B 3C π cos + cos + cos 3cos 8 8 cos Suy cos 3A 3B 3C + cos + cos 8 3cos π 3( + ) = Phân tích giáo án: Ở thực chất vận dụng tính chất hàm lõm cụ thể f(x) = sinx, x (0, π) hàm lõm Nhƣng phƣơng tiện tiện tốn THPT cơng thức lƣợng giác biến tổng thành tích: sinx + siny = 2sin x+y x-y mà GV dẫn dắt học sinh đến đánh giá cos 2 cần thiết để tìm cách chứng minh tốn bất đẳng thức lƣợng giác tam giác 115 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Ở thực chất vận dụng tính chất hàm lõm cụ thể π f(x) = cosx, x (0, ) hàm lõm Nhƣng phƣơng tiện tiện tốn THPT cơng thức lƣợng giác biến tổng thành tích: cosx + cosy = 2cos x+y x-y cos 2 mà GV dẫn dắt học sinh đến đánh giá cần thiết để tìm cách chứng minh tốn bất đẳng thức lƣợng giác tam giác Trong giáo án GV cho HS làm quen với tập nhằm củng cố công thức lƣợng giác biến tổng thành tích GIÁO ÁN SỐ I Mục tiêu dạy Kiến thức Giúp học sinh nắm chắ công thức Bunhiacopski Kĩ Vận dụng công thức Bunhiacopski để chứng minh bất đẳng thức Tư Rèn luyện tƣ lơgic phát triển lực trí tuệ chung Thái độ Cẩn thận, tỉ mỉ, hứng thú học tập II Chuẩn bị - GV: giáo án, câu hỏi vấn đáp gợi mở, sách giáo khoa - HS: sách giáo khoa kiến thức cũ liên quan III Phƣơng pháp - Vấn đáp gợi mở 116 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT IV Tiến trình dạy học Hoạt động thầy Hoạt động trò Bài 1: Cho a,b,c R, a b c Bài 1: Ta có: Chứng minh a (2b) b (2c) c (2c) a 4b2 b2 4c2 c2 4a (a b c) (2a 2b 2c) Hƣớng dẫn abc 5 + Viết biểu thức dƣới dấu Dấu xảy dƣới dạng a b2 abc + Áp dụng a + b2 + c2 + e2 + g + h (a + e)2 + (b + g)2 + (c + h) Bài 2: 2t 6t 2t 4t 52 (1 t)2 (2 t) (6 t) (4 t) 2 2 Bài 2: Cho t R, t [1,3] Chứngminh (7 2t) 4t 28t 85 Đặt 2 2t 6t 2t 4t 52 61 f (t) 4t 28t 85 Hƣớng dẫn: 14 f ' (t) 8t 28 t + Viết biểu thức dƣới dấu f ' (t) 0, t [1,3] dƣới dạng a b2 f (t) f (3) 61 + Áp dụng công thức [1,3] f (t) 61 a + b2 + c2 + d (a + c)2 + (b + d) + Khảo sát hàm số biến đoạn Vậy 2t 6t 2t 4t 52 61 117 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Phân tích giáo án: + Hai tốn áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho số cho số là: a + b + c2 + d (a + c) + (b + d) (1) a + b + c2 + e2 + g + h (a + e) + (b + g) + (c + h) (2) + Việc sử dụng hai bất đẳng thức việc GV áp dụng bất đẳng thức vectơ Qua việc giải bất đẳng thức HS phát triển lực giải toán 4.5 KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 4.5.1 Đề kiểm tra thực nghiệm ĐỀ KIỂM TRA Nội dung: Chứng minh bất đẳng thức lƣợng giác tam giác (Thời gian: 45 phút) Bài 1: Chứng minh với ΔABC ta có a) Acos A A C π + Bcos + Ccos 2 2 b) Acos 3A 3B 3C π + + Bcos + Ccos 8 Bài 2: Chứng minh với ΔABC nhọn ta có (sinA + cosA)(sinB + cosB)(sinC + cosC) 2( 6+ ) Mục đích, yêu cầu kiểm tra Đánh giá khả vận dụng biến đổi công thức lƣợng giác: biến tổng thành tích, cơng thức cộng Đánh giá phƣơng pháp chứng minh 118 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT 4.5.2 Về phƣơng pháp khả lĩnh hội học sinh Trong trình giảng dạy nội dung bất đẳng thức lƣợng giác tam giác GV vận dụng toán cao cấp cách linh hoạt góp phần nâng cao hiệu giảng dạy, rèn luyện đƣợc kỹ giải toán cho học sinh Thông qua việc vận dụng biến đổi công thức lƣợng giác HS đƣợc học tập hoạt động hoạt động Từ yêu cầu toán GV đƣa câu hỏi gợi ý tập tƣơng tự dần giúp em dễ dàng tiếp thu, lĩnh hội kiến thức, tạo điều kiện cho em hứng thú, say mê học tập đồng thời, giúp em có định hƣớng, biết áp dụng chúng nhƣ tri thức phƣơng pháp giải tốn Trong q trình giảng dạy cần lƣu ý: Phát huy, khuyến khích học sinh suy nghĩ sáng tạo, định hƣớng cách giải tốn thơng qua việc vận dụng toán cao cấp cách linh hoạt 4.5.3 Về kết kiểm tra thực nghiệm sƣ phạm Kết điểm số kiểm tra thực nghiệm đƣợc thống kê nhƣ sau: Bảng thống kê kết kiểm tra thực nghiệm: Nhóm điểm Giáo Lớp án 11 Tổng số 3–4 5-6 – 10 7-8 HS SL % SL % SL % SL % A1 50 22 44 17 34 16 A2 50 12 28 56 12 24 Qua thống kê điểm số kiểm tra q trình chấm chúng tơi nhận thấy: Đa số HS đạt điểm trung bình, số em chƣa nắm đƣợc phƣơng pháp giải 119 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Tỉ lệ HS đạt điểm – chiếm tỉ lệ cao nhất, tỉ lệ HS đạt điểm – Nhìn chung em HS định hƣớng đƣợc phƣơng pháp giải toán TÓM TẮT CHƢƠNG Kết thực nghiệm cho thấy việc vận dụng tốn cao cấp để tìm lời giải toán bất đẳng thức THPT bƣớc đầu phát huy hiệu bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh Vận dụng toán cao cấp cách linh hoạt trình dạy học trƣờng THPT góp phần nâng cao chất lƣợng giảng dạy GV chất lƣợng học tập HS 120 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN Từ vấn đề trình bày, luận văn đạt đƣợc kết sau: Làm rõ sở lí luận lực, lực giải toán học sinh, yêu cầu biện pháp bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh THPT Chỉ đƣợc mối liên hệ mật thiết toán cao cấp toán THPT Bƣớc đầu tìm hiểu tình hình dạy học chuyên đề bất đẳng thức trƣờng THPT Chuyên Tìm số giải pháp thực việc vận dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức cho học sinh chuyên THPT Trong viết đƣa ba hƣớng vận dụng vận dụng tốn cao cấp để: xây dựng số bất đẳng thức; tìm lời giải phù hợp với học sinh chuyên THPT; kiểm tra đánh giá nhanh lời giải học sinh dạy học bất đẳng thức TN sƣ phạm đƣợc tiến hành nhằm bƣớc đầu minh họa cho tính khả thi tính hiệu biện pháp đề luận văn Nhƣ vậy, khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đƣợc thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học nêu chấp nhận đƣợc 121 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Võ Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2010), Sử dụng phương pháp Cauchy – Schwarz để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại học Sƣ phạm T.p Hồ Chí Minh [2] Võ Bá Cẩn, Trần Quốc Anh (2011), Sử dụng AM – GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại học Sƣ phạm T.p Hồ Chí Minh [3] Hoàng Chúng (1997), Phương pháp dạy học trường THCS, NXB GD [4] Phạm Kim Hùng (2010), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Đai học Quốc Gia Hà Nội [5] Nguyễn Bá Kim (2011), Phương pháp dạy học môn toán, NXB Đại học Sƣ phạm Hà Nội [6] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Giải tích (tập 1), NXB GD [7] Võ Đại Mau (1996), Tuyển tập 216 toán bất đẳng thức, NXB trẻ T.p Hồ Chí Minh [8] Hồ Phƣơng Nam (2011), Dùng hình cao cấp để xây dựng hệ thống tập hình sơ cấp nhằm bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh chuyên toán THPT, Luận văn thạc sĩ khoa học Giáo dục, Đại học Sƣ phạm Hà Nội [9] Bùi Văn Nghị, Vƣơng Dƣơng Minh, Nguyễn Anh Tuấn (2007), Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên cho GV THPT chu kỳ 2004-2007, NXB Đại học Sƣ phạm Hà Nội [10] Đàm Văn Nhỉ (2012), Bất đẳng thức, NXB Đại học Sƣ phạm Hà Nội [11] Nguyễn Thị Hƣơng Trang (4/2001), Tiến trình giải toán theo hướng sáng tạo, phát giải vấn đề mơn tốn THPT Tạp chí Giáo dục, số 122 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT [12] Vũ Dƣơng Thụy (chủ biên), Phạm Gia Đức, Hồng Ngọc Hƣng, Đặng Đình Lăng (1998), Thực hành giải tốn, NXB GD [13] Trần Thúc Trình (1998), Tư hoạt động học toán, Tài liệu cho học viên cao học Viện Khoa học Giáo dục [14] Tài liệu phương pháp dạy học THPT – mơn Tốn, tài liệu lƣu hành nội bộ, khoa Toán, trƣờng Đại học sƣ phạm Thái Nguyên [15] Từ điển Giáo dục (1995), NXB GD [16] Từ điển Tiếng Việt (1995), NXB Đà Nẵng [17] G.Pơlya (1977), Giải tốn nào, NXBGD [18] G.Polya (1997), Sáng tạo toán học, NXB GD [19] Kơrutecxk V.A (1973), Tâm lí lực toán học học sinh, NXB GD [20] http://d.violet.vn/uploads/resources/293/839962/preview.swf Một số nguồn Internet: http://boxmath.vn http://vnmath.com.vn http://thưvienmini.com.vn 123 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT PHỤ LỤC PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ (Dành cho học sinh chuyên toán) Để giúp chúng tơi hồn thành đề tài: “Vận dụng tốn cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chun tốn THPT”, mong em vui lịng hợp tác Em đánh dấu (v) vào ô mà em cho STT Nội dung Có Sau học em có hiểu khơng Em tự tìm lời giải cho tốn đƣợc GV hƣớng dẫn GV dạy theo phƣơng pháp em có thấy hứng thú học GV dạy theo phƣơng pháp em có thấy hiểu Em đƣợc GV hƣớng dẫn giúp cho em dễ định hƣớng gặp toán khác Với cách tƣ giúp em học tốt mơn khác Cách học giúp em chủ động việc học tập Em muốn GV dạy theo cách 124 Khơng Khơng có ý kiến Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ (Dành cho giáo viên lớp chuyên toán THPT) Để giúp chúng tơi hồn thành đề tài: “Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chun tốn THPT”, xin anh (chị) vui lịng hợp tác Anh (chị) đánh dấu (v) vào ô mà anh (chị) cho Ý kiến thăm dị giáo viên Đồng ý Vận dụng tốn cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên tốn THPT hƣớng thích hợp Vận dụng tốn cao cấp nhằm xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức điều cần thiết cho việc giảng dạy lớp chuyên toán THPT Bồi dƣỡng lực giải toán cho học sinh cách vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức việc làm có hiệu Vận dụng tốn cao cấp nhằm xây dựng hệ thống tập bất đẳng thức phục vụ cho việc giảng dạy cho học sinh chuyên toán THPT việc làm khả thi, hiệu 125 Không Khơng có đồng ý ý kiến Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT PHIẾU ĐIỀU TRA SỐ PHIẾU ĐIỀU TRA VỀ VẤN ĐỀ PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH VÀ TÌNH HÌNH DẠY HỌC CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC (DÀNH CHO HỌC SINH) Hãy khoanh tròn câu trả lời mà em cho Em có thích học nội dung bất đẳng thức khơng? a Rất thích b Bình thƣờng c Khơng thích Trong học bất đẳng thức, em gặp khó khăn học nội dung dƣới đây? a Các khái niệm tính chất b Các tập c Cả hai nội dung d Không gặp khó khăn Những khó khăn em học nội dung bất đẳng thức gì? Trong giảng dạy mơn Tốn, thầy giáo có hƣớng dẫn khuyến khích em khai thác, mở rộng tốn khơng? a Thƣờng xuyên b Thỉnh thoảng c Không Những mong muốn em thầy cô giáo dạy học nội dung bất đẳng thức gì? Xin chân thành cảm ơn em! 126 Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Thống kê kết phiếu điều tra học sinh a Câu Sô câu số trả lời b Số lƣợng Tỉ lệ c Tỉ lệ (%) Số lƣợng (%) d Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số lƣợng (%) lƣợng (%) 100 20 20 62 62 18 18 0,0 100 6 8 15 15 71 71 100 10 10 65 65 25 25 0,0 Câu Những khó khăn em học nội dung bất đẳng thức gì? (100 HS trả lời câu này) Khơng biết áp dụng cơng thức, tính chất bất đẳng thức (30) Hay bị nhầm (45) Các tính chất bất đẳng thức khó nhớ (15) Biến đổi cơng thức lượng giác để chứng minh bất đẳng thức dài (12) Các tốn chứng minh bất đẳng thức khơng có quy trình định (48) Câu Những mong muốn em thầy cô giáo dạy học nội dung bất đẳng thức gì? (35 HS trả lời câu này) Thầy cô giảng kỹ hơn, tìm nhiều tập thú vị (11) Thầy cô chữa hết tập, ứng dụng nhiều (9) Mong thầy cô đƣa phƣơng pháp dạy học theo chuyên đề, để học sinh nắm bắt đƣợc kiến thức cách dễ dàng hơn, hiểu đƣợc dạng tập (15) Thầy cô nên giảng khoa học không cứng nhắc để gây hứng thú cho HS, công thức cần nhớ nhắc học sinh ghi nhớ (3) 127 ... Trong xu đổi phƣơng pháp dạy học việc vận dụng toán cao cấp vào dạy học bất đẳng thức THPT việc làm cần thiết góp phần Đề tài: Vận dụng tốn cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán. .. khả thi thực việc áp dụng toán cao cấp vào dạy học nội dung bất đẳng thức lớp chuyên toán THPT Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT Bước 4: Thực nghiệm... chun tốn THPT Đề tài: Vận dụng toán cao cấp dạy học bất đẳng thức cho học sinh chuyên toán THPT 1.5 GIẢ THUYẾT KHOA HỌC Nếu việc vận dụng kiến thức toán cao cấp GV dạy mơn Tốn trƣờng THPT có thể: