Ánh xạ bảo giác

Hàm phức toán tử

Math Dept, Faculty of Applied Science,

HCM University of Technology -

• Hàm phức toán tử

• Chương 5: Anh xạ bảo giác

CONTENTS -

I – Aùnh xạ bảo giác

II – Phép biến đổi f(z) = 1/z

III – Phép biến đổi tuyến tính f(z) = az + b

IV – Phép biến đổi phân tuyến tính = +

+

( ) az b

T z

cz d

I Aùnh xạ bảo giác

-Ánh xạ w = f(z) được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu f(z) bảo giác tại mọi điểm thuộc miền D

Định nghĩa ánh xạ bảo giác

một điểm của miền D f(z) được gọi là ánh xạ bảo giác tại

hướng của gĩc khơng thay đổi

I Ánh xạ bảo giác

Điều kiện: Đường cong C1 trơn để đảm bảo hệ số góc tiếp tuyến của C1 tại z0 là z1' = z t1 0' ( ) 0 ≠

Khi đó là góc giữa véctơ và chiều dương trục ox.arg(z )1' z1'

Định lý 1

' 0

( ) 0

f z ≠

Hai đường cong trên cắt nhau tại điểm z0 = 1 + i Khảo sát góc

Cho hai miền D và D’ Tồn tại hay không ánh xạ bảo giác từ D lên D’?

Bài toán cơ bản:

I Ánh xạ bảo giác

Cho D là miền đơn liên trong mặt phẳng z, sao cho D không là

toàn bộ mặt phẳng phức Khi đó tồn tại song ánh bảo giác w =

f(z) từ D lên đường tròn đơn vị |w| < 1.

Định lý Riemann

|W|<1

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

Phép biến đổi là hàm hợp của hai phép biến đổi: phép biến đổi nghịch đảo qua hình tròn đơn vị

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

làm như sau:

Ảnh của 1 điểm qua phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

b Lấy đối xứng kết quả thu được ở a) qua trục hoành

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

Ví dụ

Tìm ảnh của nửa đường tròn |z| = 2, qua phép

biến đổi f(z) = 1/z

0 arg(z) ≤ ≤ π

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

Ảnh của đường thẳng qua f(z) = 1/z là đường tròn.

Hàm f(z) = 1/z trong mặt phẳng phức mở rộng biến đổi:

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

Ví dụ

Tìm ảnh của dải bán vô hạn qua phép biến đổi

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

Ví dụ

Tìm ảnh của hình vành khăn qua phép biến đổi

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

Phép biến đổi f(z) = az + b, với a, b là những số phức được gọi là

phép biến đổi tuyến tính

Định nghĩa phép biến đổi tuyến tính

Phép biến đổi T(z) = z + b, được gọi là phép dời hình.

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

Ví dụ

Tìm ảnh của hình vuông có các đỉnh tại những điểm 1 + i, 2

+ i, 2 + 2i và 1 + 2i qua phép biến đổi f(z) = z + 2 - i

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

Phép biến đổi M(z) = az, a > 1 được gọi là phép giãn;

0 < a < 1 được gọi là phép co

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

Ví dụ

Tìm ảnh của đường tròn |z| = 2 qua phép biến đổi

( ) 3

M z = z

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

Phép biến đổi f(z) = az + b là hợp của phép quay, co (giãn) và

Ảnh của một điểm qua phép biến đổi tuyến tính

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

Ví dụ

Tìm ảnh của hình chử nhật với các đỉnh -1 + i, 1 + i, 1 + 2i,

-1 + 2i qua phép biến đổi tuyến tính f(z) = 4iz + 2 + 3i.

Phép biến đổi f(z) = az + b với có thể làm thay đổi kích

thước của hình trên mặt phẳng phức, nhưng không làm thay đổi hình dạng của hình

0

a ≠

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

Ánh xạ phân tuyến tính là ánh xạ bảo giác trên miền xác định

Định nghĩa (mở rộng ) phép biến đổi phân tuyến tính

z c

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

+

( ) az b

T z

cz d

Định lý 2 (ảnh của đường tròn là đường tròn hoặc đường thẳng)

Cho C là hình tròn trên mặt phẳng phức z và T là phép biến đổi phân tuyến tính mở rộng, khi đó ảnh của C là hình tròn hoặc là

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

+

( ) az b

T z

cz d

Ảnh của đường thẳng là đường tròn

Nếu T là phép biến đổi phân tuyến tính mở rộng, thì ảnh của

đường thẳng L hoặc là đường thẳng hoặc là đường tròn

Ảnh của C là đường tròn khi và chỉ khi và cực điểm đơn

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

Xác định ảnh của phía trong hình tròn

đường tròn đơn vị là đường thẳng Để tìm ảnh của đường thẳng

cần 2 điểm vd: z = -1 và z = i Để tìm ảnh của phía trong hình

tròn đơn vị ta dùng điểm thử (test point) z = 0

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

Xác định ảnh của phía trong và trên hình tròn này

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

+

( ) az b

T z

cz d

Định lý ( về Tỷ chéo và biến đổi phân tuyến tính)

Nếu w = T(z) là phép biến đổi phân tuyến tính biến các số phức

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

Tìm phép biến đổi phân tuyến tính biến 3 điểm 1,i, -1 của

đường tròn đơn vị |z| = 1 lần lượt thành 3 điểm -1, 0, 1 trên trục ox

Xác định ảnh của phía trong hình tròn đơn vị qua phép biến đổi này

Sử dụng điểm thử (test point) z = 0

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

Tìm phép biến đổi phân tuyến tính biến 3 điểm -i, 1và của

đường thẳng y = x - 1 lần lượt thành 3 điểm 1, i và -1 trên

V Các phép biến đổi cơ bản

V Các phép biến đổi cơ bản

V Các phép biến đổi cơ bản

Ví dụ

a

V Các phép biến đổi cơ bản

V Các phép biến đổi cơ bản

Ví dụ

V Các phép biến đổi cơ bản

V Các phép biến đổi cơ bản

Ví dụ

Tìm ảnh của tam giác có các đỉnh là 0, 1 + i, 1 – i qua phép biến

V Các phép biến đổi cơ bản

V Các phép biến đổi cơ bản

V Các phép biến đổi cơ bản

Ví dụ

1

V Các phép biến đổi cơ bản

Ví dụ

V Các phép biến đổi cơ bản

Tính chất của phép biến đổi w = e z

2 Đường thẳng đứng thành đường tròn |w| = e x a= − < ≤; π y π a

1 Biến vùng thành tập hợp −∞ < < +∞ − < ≤x ; π y π | w|>0

3 Đường thẳng ngang thành đường arg (w) = b y a= − < ≤; π y π

V Các phép biến đổi cơ bản