Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

Mặt cực hạn và dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM



Đỗ Thị Phương Quỳnh

MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Tuyết Mai

Thái Nguyên – 2008

Một vấn đề được đặt ra ở đây là dãy  fn có hội tụ đều trên các tập compact hay không, và nếu hội tụ thì có hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình

của  fn, khi nó tồn tại, là hằng số x   ” Để chứng minh định lí này

trong trường hợp f có một điểm cố định z  thì Denjoy và Wolff đã sử 0

dụng bổ đề Schwarz Tuy nhiên trong trường còn lại, f không có điểm cố định, thì không thể tiếp tục sử dụng bổ đề Schwarz được nữa mà cần một công cụ mới để thay thế Để đáp ứng được yêu cầu đó, định nghĩa về đường

cực hạn đã được sử dụng và bổ đề Wolff: “Cho f   : là hàm chỉnh hình không có điểm cố định Khi đó tồn tại x  sao cho với mỗi R>0 có

 ,  , 

f E x R  E x R ” được thay thế cho bổ đề Schwarz Về bản chất, đường cực hạn là một đường tròn tiếp xúc trong với biên của  tại x

Đến năm 1941 Heins đã mở rộng định lí Denjoy - Wolff trên một

miền tổng quát hơn trong  : “ Cho D   là một miền hữu hạn liên thông

bị chặn bởi đường cong Jordan, và f D: D là một hàm chỉnh hình Khi đó dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là tự đẳng cấu của D Hơn thế nữa giới hạn, khi nó tồn tại, là một ánh xạ hằng x D ”

Năm 1983, MacCluer đã mở rộng kết quả của Denjoy - Wolff đối với hình cầu đơn vị trong n

 bằng việc đưa ra khái niệm mặt cực hạn cổ điển trong B n

Đến năm 1988, Marco Abate đã dựa vào mối liên hệ giữa khoảng cách Kobayashi và mặt cực hạn cổ điển để định nghĩa mặt cực hạn trên một miền bất kì

Bây giờ, cho D là một miền bị chặn trong n

 và xét một ánh xạ chỉnh hình f : DD Giả thiết f có một điểm cố định z0 , và khả vi tại D

df , dễ dàng kiểm tra được rằng  0

hội tụ nếu và chỉ nếu giá trị riêng của nó nằm trong   1 và khi đó cho ta

một kết quả như sau: “ Cho D là miền taut, compact tương đối trong n

 ,

f DD là một ánh xạ chỉnh hình có đúng một điểm cố định z0 Khi Dđó dãy lặp  fnhội tụ nếu và chỉ nếu

Chương 2 trình bày khái niệm và các tính chất của mặt cực hạn trên miền D bất kì và trên miền giả lồi mạnh, sự hội tụ của dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

Trong quá trình hoàn thành luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai Với tấm lòng thành kính tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô

Nhân dịp này tôi cũng xin được chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Văn Khuê, GS.TSKH Lê Mậu Hải, TS Phạm Hiến Bằng, PGS.TS Phạm Việt Đức, cùng các thầy cô đã giảng dạy, chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tại Trường ĐHSP - ĐHTN Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Trường ĐHSP - ĐHTN, Trường ĐHYK - ĐHTN đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc học tập và nghiên cứu của tôi Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp những người luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008 Đỗ Thị Phương Quỳnh

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Ánh xạ chỉnh hình [1] 1.1.1 Định nghĩa

+ Giả sử X là một tập mở trong n

 , hàm số f : X   được gọi là khả vi phức tại x0 nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính X :n  sao cho

+ Hàm f được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình tại mọi điểm thuộc X

+ Cho ánh xạ f : Xn m; có thể viết dưới dạng f f ,f , ,f  12m

Trong đó fi  i f : X , i=1, ,m là các hàm toạ độ, và

mi

a f là hàm chỉnh hình b f là liên tục

c f là liên tục và |fU M là chỉnh hình vớiM  n, M là không gian con hữu hạn chiều

1.2 Khoảng cách 1.2.1 Định nghĩa [1]

thoả mãn điều kiện sau với mọi x, y thuộc X

i) d x, y 0;d x, y 0   ; x yii) d(x,y)=d(y,x);

Trên  , ta xét khoảng cách Bergman Poincaré cho bởi

 0,z log1 | z |, z 1 | z |

1 ab

 

a b1

1 ba

a b1

1 ba

Khi đó d : X XX    là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả

khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X Tổng k 

Dii 1

gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình

1.2.3.2 Một số tính chất của giả khoảng cách Kobayashi

+ Nếu f : XY là ánh xạ chỉnh hình giữa hai không gian phức thì f làm giảm khoảng cách đối với giả khoảng cách Kobayashi, nghĩa là

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi f là song chỉnh hình

Hơn nữa d là giả khoảng cách lớn nhất trên X thoả mãn mọi ánh xạ Xchỉnh hình f : DX là giảm khoảng cách

+ Giả sử X là không gian phức Khi đó, giả khoảng cách Kobayashi

d : X X   là hàm liên tục

+ Nếu D là đĩa đơn vị trong  thì giả khoảng cách Kobayashi trùng với khoảng cách Bergman Poincaré

1.2.4 Giả khoảng cách Carathéodory [10]

1.2.4.1 Định nghĩa: Cho một không gian phức X, kí hiệu Hol(X, ) là tập các ánh xạ chỉnh hình f: X  Giả khoảng cách Carathéodory C trong X xđược định nghĩa như sau C p,qx sup f p ,f q ; p,q X    

Trong đó supremum được lấy theo toàn bộ f Hol X,   Khi  là 

đĩa đơn vị thuần nhất, nó thoả mãn để lấy supremum trên toàn bộ tập con

Như trong định nghĩa của d p,q , chọn X  p p ,p , ,p 0 1 k  của X, qvà các điểm a ,a , ,a ,b , ,b của 1 2 k 1 k  và các ánh xạ chỉnh hình f ,f , ,f 1 2 ktrong Hol( ,X) thoả mãn

iii 1iii

f a p ,f b  pCho f là một ánh xạ chỉnh hình của X vào  Khi đó

f f a ,f f bf p ,f q ,

 

* Mệnh đề 4: Cho X là không gian phức

a) Nếu  là một giả khoảng cách như sau X

   

f p ,f q  X p,q f Hol X,;p,q X

thì C p,qX  X p,q ; p,q X 

ii) Nếu f z 0  z0 với điểm z0  nào đó trong  thì 0 f z   z

trong đó   1Chứng minh:

Với r tuỳ ý , 0<r<1 theo công thức tích phân Cauchy ta có

 

D 0,r

2 i z

+ Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y, nếu Y là hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác không gian con phức của một không gian phức hyperbolic là hyperbolic

1.3.3 Ví dụ

+ Đĩa D và đa đĩa r mr

D là hyperbolic + Một miền bị chặn trong m

 là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích các đa đĩa

+ m

 không là hyperbolic, vì dm 0

1.4 Đa tạp phức [1] 1.4.1 Định nghĩa

Giả sử X là một không gian tôpô Hausdorff

+ Cặp U, được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là 

tập mở trong X và : U  là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thoả n

mãn:

i)  U là tập mở trong n



ii) : U  U là một đồng phôi + Họ A U ,iii I

tập bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn: i)  Ui i I là một phủ mở của X

ii) Với mọi U ,U mà i j UiUj  , ánh xạ

cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều

1.4.2 Ví dụ

Giả sử D là miền trong n

 Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với bản đồ địa phương D,IdD

1.5 Miền giả lồi - giả lồi mạnh 1.5.1 Miền giả lồi [12]

Miền lồi là các miền mà cùng với các điểm x’,x” tuỳ ý, chúng chứa mọi điểm x=tx’+(1-t)x”, trong đó t 0,1

Có định nghĩa tương đương: miền D   được gọi là lồi, nếu hàm n

lnd x, D

  trong đó d x, D  là khoảng cách Ơclit từ điểm x đến biên của 

miền, là hàm lồi trong D

Định nghĩa: Miền D   được gọi là giả lồi, nếu hàm n

 z lnd z, D ,

trong đó d z, D  là khoảng cách Ơclit của điểm z đến biên  D,đa điều hòa dưới trong D

Ví dụ: trên mặt phẳng  miền tuỳ ý là giả lồi

1.5.2 Miền giả lồi mạnh [10] 1.5.2.1 Định nghĩa

Cho X là một miền bị chặn trong n

 với

z zz ,z , ,z ,z12n i ,

X là miền giả lồi mạnh với biên C nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới  2

xác định trong một lân cận U của biên X sao cho: i) X U x X; (x) 0   ; 

ii) d  trong U 0

Dạng Levi của  tại x  là một dạng Hermitan cho như sau: X

Cho B là cầu Euclid bán kính r tâm O Khi đó với mọi r z B r

Cho X   là miền giả lồi mạnh bị chặn với biên n C Khi đó tồn 2

tại một lân cận X’ của X và một hàm liên tục :  X X'  sao cho mỗi điểm cố định x0 , X x , 0  là chỉnh hình trong X’ và x , 0  chuẩn hoá nên x x0, 0 1, x z0,   1, z X \ x0

Cho X’ là một lân cận nhỏ của X, và   : X X'  , sao cho mỗi điểm cố định x0 , X x , 0  là chỉnh hình trong X’ và nó chuẩn hoá vì thế x , x00 1, x ,z0   1, z X \ x 0 , và định nghĩa

 là một hàm chỉnh hình yếu trên X tại xD thoả mãn

 

x,z z0 0 

Cho P x, là đa đĩa bán kính  tâm x Cho   xX,z0 và K

 

z P x, 

  

  

Xét 2 trường hợp:

+) z X U   Chọn xXsao cho d z, X      Khi đó z x

Giả sử M là một không gian phức:

a Dãy  fk k 1 Hol( ,M) được gọi là phân kì compact nếu với mỗi tập compact K   và với mỗi tập compact L M tồn tại số j0  j K,L

sao cho f Kj     L , j j0( là đĩa đơn vị)

b M được gọi là taut nếu mọi dãy  fk k 1 Hol( ,M) chứa một dãy con hoặc hội tụ hoặc phân kì compact

1.6.2 Định lí Kiernan

Mỗi không gian phức taut M là hyperbolic

Mỗi không gian phức hypebolic đầy M cũng là taut Các khẳng định ngược lại đều không đúng

Để chứng minh định lí ta đưa vào một số khái niệm sau :

Giả sử p và q là hai điểm phân biệt của không gian phức M Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử p=0 và

Chọn hằng số c > 0 sao cho d 0,a cd 0,a với mọi a / 2Giả sử Lp p ,p , ,p 0 1 m q;a , ,a ;f , ,f1 m 1 m là một dây chuyền Kobayashi nối p và q Theo giả thiết, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a , ,a1 k/ 2,p ,p , ,p0 1 k 1 B ,pr k Br

i) Giả sử M là không gian hyperbolic Khi đó tồn tại hai điểm phân biệt p và q sao cho dM p,q  0

Theo bổ đề trên, cặp 1/ 2;1/ n không thoả mãn tính chất A với bất 

kì n>0 Do đó tồn tại ánh xạ chỉnh hình f :n   mà M f 0n B1/ 2 và

n1/ n

f   Dãy B  f không có dãy con hội tụ đều trên tập compact hoặc i

phân kì compact Do đó M không là taut

ii) Do tính chất giảm khoảng cách của khoảng cách Kobayashi nên

Chương 2

MẶT CỰC HẠN VÀ DÃY LẶP CỦA ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH

Denjoy và Wolff đã chứng minh được định lí sau:“ Cho f   : là một hàm chỉnh hình của đĩa đơn vị  trong  lên chính nó Khi đó dãy lặp

 fn không hội tụ nếu và chỉ nếu f là đẳng cấu của  có đúng một điểm cố

định Hơn thế nữa, giới hạn của  fn, khi nó tồn tại, là hằng số x  ”

+ Nếu f có một điểm cố định z  (và f id )0   , xét f ' z : nếu  0

 0

f ' z 1, theo bổ đề Schwarz f là phép quay (tức là đẳng cấu của  với đúng một điểm cố định) và dãy lặp không hội tụ Mặt khác, nếu f ' z 0 1 thì f là ánh xạ co của  , vì vậy n

f z

+ Nếu f không có điểm cố định thì mỗi giới hạn điểm của dãy  fn phải là hằng số và thuộc vào biên của  Vì thế chúng ta không thể ứng dụng bổ đề Schwarz để chứng minh được, mà ta cần một công cụ mới để thay thế Khi đó Wolff đã sử dụng mặt cực hạn để thay thế cho bổ đề Schwarz, cụ thể bổ đề Wolff mang tên ông đã được sử dụng để chứng minh cho định lí trong trường

hợp này : “Cho x ; một đường cực hạn tại x là tập có dạng

mọi R>0 Về mặt hình học, E(x,R) là hình tròn tiếp xúc trong với biên  tại

x”

Trong trường hợp f : DD mà D=B , hình cầu đơn vị của nn

 ”

Về mặt hình học, E(x, R) là ellipxôit tiếp xúc trong với biên  tại x Bn

Trong thực tế, MacCluer đã trình bày lại bổ đề Wolff trong B và đã n

chứng minh định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp này

Để mở rộng định lí Denjoy - Wolff trong trường hợp tổng quát hơn thì ta cần một cách tiếp cận khác Vào năm 1978, Yang [13] đã khám phá ra một đặc trưng thú vị của mặt cực hạn trong B n

trong đó k là khoảng cách Kobayashi trong Bn B n

Khi khoảng cách Kobayashi được định nghĩa trong miền bất kỳ, ta cũng đã cố gắng sử dụng (2.1) như một định nghĩa về mặt cực hạn trong một miền tuỳ ý Nhưng đáng tiếc thay, trong trường hợp tổng quát thì giới hạn trong (2.1) không phải lúc nào cũng tồn tại Vì vậy, để định nghĩa mặt cực hạn được tổng quát hơn trên một miền bất kì Marco Abate đưa ra định nghĩa sau đây

2.1 Mặt cực hạn [5] 2.1.1 Định nghĩa

Cho D là một miền bị chặn của n

 , chọn z0D,x và R>0 Khi Dđó mặt cực hạn nhỏ Ez0x,R và mặt cực hạn lớn F x,Rz0tâm x, cực z 0và bán kính R được định nghĩa như sau:

k khoảng cách Kobayashi trên D

Trong (2.2), limsup và liminf luôn là hữu hạn Thực vậy, nếu

Cho B là cầu đơn vị của nn Cho bất kì z B , kí hiệu  n là tự z

đẳng cấu Mobius của B sao cho n z z 0 thì ta có mệnh đề sau: Cho  n

22w x

1 ,1

Cho D là miền bị chặn của n

21liminf k z, w k z , w liminf k z, w k z , w log L,

1lim sup k z, w k z , w log R

2.1.3.2 Hệ quả

i) Với mọi xB z, 0 và R>0 ta có BEz0x R, F x Rz0 , ; ii) Với mọi xB và R>0 mặt cực hạn Ez0x R,  là một ellipxôit;

z, x 2 1 r z, x 1 2r r r z r z, x rz, x 2 1 r z, x 1 r r r z r z, x 0z, x 2 1 r z, x 1 r r 1 z r z, x 0

ii) Với x, y D; x y , ta có x y,  x 1và x y,  y  1

Từ kết quả của hai định lí trên ta có thể chứng minh định lí sau:

2.2.3 Định lí [5]

Cho D là một miền giả lồi mạnh với biên C , compact tương đối 2

trong  : chọn hai điểm n x 1 x2D Khi đó tồn tại   x x1, 20 và

P y ,2U P x ,4

trong đó M không phụ thuộc y , y ,z,w hay j 1 2

Bây giờ, cho j=1,2, cố định zjB x , j  D và chọn yj sao Dcho d z , D j  || zjy ||j Vì xj , ta có D

z y  ; y P x ,2 Đặt

12y ,y

Bây giờ, ta thử lại như sau:

, ,

          

 ; đặc biệt x F x,R z Tồn tại L > 0 sao cho

1lim sup k z , wk z , wlog L

Để kết thúc chứng minh, ta cần chứng minh chỉ có duy nhất x là một điểm biên thuộc vào tập đóng của F x,Rz0  Giả sử ngược lại, tồn tại

y D F x,R ; y x ; thì chúng ta có thể tìm thấy một dãy

2.3 Dãy lặp của ánh xạ chỉnh hình

2.3.1 Định lí Cartan - Carathéodory (tr 268, [10])

Cho X là không gian phức hyperbolic, x là một điểm không kì dị 0

của X Cho f X:  X là một ánh xạ chỉnh hình sao cho f(x ) =0 x , và 0

0: 0  0

dfT XT X là vi phân của f tại x Khi đó : 0

1) Giá trị riêng của

3) Nếu det dfx0 1, thì f là ánh xạ song chỉnh hình

Chứng minh

Ta lấy r > 0 sao cho hình cầu mở U x ,r 0 x X;d x ,x X 0  có r

tập compact đóng B U x ,r  0  Gọi  là tập các ánh xạ có tính giảm khoảng cách từ B lên chính nó với d | X B  là tập compact ( theo định lí Arzela - Ascoli: “ Cho X là không gian compact địa phương và tách được, Y là không gian metric compact địa phương với hàm khoảng cách d Khi yđó họ F C X,Y  là compact tương đối trong C(X,Y) (tức là, mọi dãy các ánh xạ f C X,Y  và hội tụ đều trên tập compact của X) nếu và chỉ nếu

a F là liên tục tại mọi điểm x X

b x X  tập f x ,f F    là tập compact tương đối trong Y.” 1) Cho f Hol X,X  với f(x ) =0 x , cho 0  là giá trị riêng của

df Với mỗi số nguyên dương k, ánh xạ lặp f hạn chế trên B, thuộc k  và vi phân của nó  0

df có giá trị riêng k Vì  là compact nên ta có   1

2) Kí hiệu

d f là toàn bộ đạo hàm riêng cấp m tại x của f Ta cần 0chỉ ra rằng nếu

df là phép biến đổi đồng nhất của

T X , thì

d f   0; m 2 Cho m là số nguyên dương bé nhất  sao cho 2

d f 0 Khi đó

d f k.d f

d f k.d f cũng tiến ra vô cùng, vì vậy mâu thuẫn với tính compact của 

3) Giả sử rằng det df x0  Theo 1) giá trị riêng của 1

df có giá trị tuyệt đối bằng 1 Đặt

df trong dạng chuẩn tắc Jordan, ta cần chỉ ra rằng

df có dạng ma trận chéo, nếu không nó phải có dạng khối chéo

1 0 00 1 0 0 0 0