Cho X là không gian phức hyperbolic, x0 là một điểm không kì dị của X. Cho f X: X là một ánh xạ chỉnh hình sao cho f(x0) =x0, và
0: 0 0
x x x
df T X T X là vi phân của f tại x0. Khi đó : 1) Giá trị riêng của
0
x
df có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn bằng 1. 2) Nếu
0
x
df là một phép biến đổi đồng nhất của
0
x
T X, thì f là một phép biến đổi đồng nhất của X;
3) Nếu det dfx0 1, thì f là ánh xạ song chỉnh hình.
Chứng minh
Ta lấy r > 0 sao cho hình cầu mở U x ,r 0 x X;d x ,x X 0 r có tập compact đóng B U x ,r 0 . Gọi là tập các ánh xạ có tính giảm khoảng cách từ B lên chính nó với d | . X B là tập compact ( theo định lí Arzela - Ascoli: “ Cho X là không gian compact địa phương và tách được, Y là không gian metric compact địa phương với hàm khoảng cách d . Khi y đó họ F C X,Y là compact tương đối trong C(X,Y) (tức là, mọi dãy các ánh xạ f C X,Y và hội tụ đều trên tập compact của X) nếu và chỉ nếu
a. F là liên tục tại mọi điểm x X .
b. x X tập f x ,f F là tập compact tương đối trong Y.” 1) Cho f Hol X,X với f(x ) =0 x , cho 0 là giá trị riêng của
0
x
df . Với mỗi số nguyên dương k, ánh xạ lặp f hạn chế trên B, thuộc k và vi phân của nó 0
k x
2) Kí hiệu 0
m x
d f là toàn bộ đạo hàm riêng cấp m tại x của f. Ta cần 0 chỉ ra rằng nếu
0
x
df là phép biến đổi đồng nhất của 0 x T X , thì 0 m x
d f 0; m 2. Cho m là số nguyên dương bé nhất 2 sao cho 0 m x d f 0. Khi đó 0 0 m k m x x d f k.d f
với mọi số nguyên dương k. Khi k tiến ra vô cùng, 0 0
m k m (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
x x
d f k.d f cũng
tiến ra vô cùng, vì vậy mâu thuẫn với tính compact của . 3) Giả sử rằng det df x0 1. Theo 1) giá trị riêng của
0 x df có giá trị tuyệt đối bằng 1. Đặt 0 x
df trong dạng chuẩn tắc Jordan, ta cần chỉ ra rằng 0
x
df có dạng ma trận chéo, nếu không nó phải có dạng khối chéo
1 0 . 0 0 1 . 0 . . . . . . . . . . 0 . 0 0 .
Với 1 ma trận đường chéo tương ứng của 0
k x df là k k 1 k k 1 k k * . * 0 k . . . . . . . . . . . . 0 . 0 0 .
Đây là điều mâu thuẫn với tính compact của khi k tiến ra vô cùng thì k 1
Chúng ta chứng minh rằng một dãy con fki của dãy fk hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất của X. Vì
0
x
df có dạng ma trận chéo thì các số trên đường chéo có giá trị tuyệt đối bằng 1, tồn tại một dãy con i
0 k x df của dãy 0 k x
df hội tụ đến ma trận đồng nhất. Vì là tập compact, lấy một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng fki hội tụ đến một ánh xạ
0
U x ,r
h đi từ U x ,r lên chính nó. Vi phân của 0
0 U x ,r h tại x0, bằng i 0 k x
limd f , là phép biến đổi đồng nhất của
0 x T X. Theo 2) 0 U x ,r h phải là phép biến đổi đồng nhất của U x ,r . 0
Gọi W là tập con mở lớn nhất của X có tính chất mọi dãy con của
fki hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất của W. (Để có được tập W như vậy, xét hợp W= W j của tất cả tập con mở W trong X có tính chất mỗi j
j
W mọi dãy con kj
f hội tụ đến phép biến đổi đồng nhất. Một số đếm được của W đã phủ W. Ta xét đến dãy con đếm được tương ứng của j's
fki và trích ra một dãy con theo tiêu chuẩn. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng fki hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên W. Vì
0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
U x ,r W, W khác rỗng. Nếu W X , lấy xW và chọn s đủ nhỏ sao cho U x,s y X;d X x,y s và compact đóng. Vì limfki x và f là giảm khoảng cách qua ánh xạ chỉnh hình, có một lân cận U của x sao x cho ki
x
f U U x,s . Cho i i 0. Cho F là tập toàn bộ các ánh xạ có tính
một dãy con từ fki hội tụ trên U .Vì nó hội tụ đến một phép biến đổi x đồng nhất trên W U x, nó phải hội tụ đến một phép biến đổi đồng nhất trên U . Đó chính là mâu thuẫn lớn nhất của W, ta phải có W=X, thì mới x chứng minh được khẳng định của ta. Ta có thể giả sử rằng fki hội tụ đến
X
id .
Bây giờ ta xét dãy k 1i
f và chỉ ra rằng có một dãy con hội tụ đến ánh xạ nghịch đảo của f. Cùng lý luận như trên, lấy một dãy con nếu cần thiết ta có thể giả sử rằng k 1i f hội tụ đến một ánh xạ chỉnh hình 0 U x ,r g của U(x ,r) lên chính nó. 0
Cho V là tập con mở lớn nhất của X có tính chất vài dãy con của
k 1i
f hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình g của V. Sự tồn tại của V V được chứng minh giống như sự tồn tại của W ở trên. Từ tính lớn nhất của V ta thu được V=X cũng tương tự như cách lý luận trên. Lấy một dãy con ta có thể giả sử rằng k 1i
f hội tụ đến một phép biến đổi chỉnh hình g của X lên chính nó. Thì
k 1i ki
X
f g f lim f limf id .
Tương tự, g f id X. Thì g là nghịch đảo của f.
Heins chỉ ra rằng “Cho D là một nhóm hữu hạn miền liên thông bị chặn bởi đường cong Jordan, và f D: D là hàm chỉnh hình thì dãy lặp hội tụ nếu và chỉ nếu f không phải là đẳng cấu của D. Hơn nữa nếu tồn tại giới hạn thì giới hạn đó là ánh xạ hằng x D ”. Bây giờ cho D là miền
định z0D, xét vi phân của f tại z . Theo định lí Cartan- Caratheodory giá 0 trị riêng của
0
z
df được chứa trong . Sử dụng dạng chính tắc của 0
z
df , dễ kiểm tra được rằng 0
n z
df hội tụ nếu giá trị riêng của nó thuộc 1 , và định lí dưới đây cho ta kết quả như sau:
2.3.2. Định lí [5]
Cho D là miền taut compact tương đối trong n, cho f D: D là ánh xạ chỉnh hình với điểm cố định z0D. Thì dãy lặp fn hội tụ nếu và chỉ nếu df z 0 không có giá trị riêng 1 và 1.
Chứng minh: Giả sử fn h Hol D,C n. Thì h z 0 z0, và 0 0 0 n n z z z df d f dh .
Trong trường hợp đặc biệt, nếu là giá trị riêng của 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n z
df , phải hội tụ đến một giá trị riêng của
0
z
dh ; vì thế (theo định lí Cartan – Carathéodory) 1 hoặc 1, như vậy một chiều của định lí đã được chứng minh.
Đảo lại, giả sử rằng tất cả các giá trị riêng của 0 z df nằm trong 1 , và đặt 0 z
df trong dạng chuẩn tắc Jordan. Ta cần chứng minh rằng, nếu 1 là giá trị riêng của
0
z
df thì ma trận con tương ứng là ma trận chéo. Nếu không, ma trận có dạng
1 1 ... ... 00 .. .. .. : 0 .. .. .. : : .. .. .. : : .. .. 1 0 ... ... 0 1 . Khi đó 0 k z df có dạng khối tương ứng là 1 k ... ... 0 0 .. .. .. : : .. .. .. : : .. .. k 0 ... ... 0 1 ,
và, cho k , ta có sự mâu thuẫn ( 0
k z
df luôn có dãy con hội tụ). Bây giờ dễ dàng kiểm tra 0
k z df hội tụ đến ma trận phức A cấp n n (thực tế , A có dạng r I 0 0 0 ,
trong đó I là ma trận đồng nhất cấp r r r và r là bội số của 1 như là một giá trị riêng của
0
z
df ).
Vì vậy, nếu h Hol(D, n) là điểm giới hạn của fn , nên ta có 0 0 z0
h z z ;dh A. Do đó, theo tính taut, h Hol D,D , theo định lí tính
duy nhất của Cartan, h là duy nhất được xác định. Mặt khác, fn có một
Hệ quả
Cho D là miền taut compact tương đối trong n , và f D: D là ánh xạ chỉnh hình với một điểm cố định z0D. Thì fn hội tụ đến một hằng số z0 nếu và chỉ nếu
0
z
df 1, trong đó || . || là dạng chuẩn tắc của toán tử.
Tổng quát hoá định lí trên ta được định lí sau:
2.3.3. Định lí [10]
Cho X là không gian phức taut, và f Hol X X , . Nếu dãy fk (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
hội tụ, nó hội tụ đến một co chỉnh hình , và tại mỗi điểm không kì dị
0
z X vi phân
0
z
df có một giá trị riêng trong tập 1 . Đảo lại, nếu f có một điểm không kì dị cố định z0X sao cho
0
z
df có giá trị riêng trong
1
, thì fk hội tụ.
Chứng minh:
Giả sử rằng fk hội tụ. Theo định lí Bedford nó hội tụ đến một co chỉnh hình và k k 1
k k
f z lim f f z lim f z z
vì vậy X là
cố định theo từng điểm của f. Cho z0 X là một điểm không kì dị và
là một giá trị riêng của 0
z
df . Thì k tiến đến giá trị riêng của 0
z
d , tức là, 0 hay 1. Do 1 .
Đảo lại, giả sử rằng f có một điểm không kì dị cố định z sao cho 0 0
z
df có giá trị riêng trong 1 , đặt 0
z
df trong dạng chuẩn tắc Jordan. Thì có dạng như sau r I 0 A 0 A .
Trong đó r là bội của 1 như là giá trị riêng của 0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
z
df , và A là ma trận sao cho
k
lim A 0. Khi đó f có một điểm cố định, fk không phân kì. Cho là
một co chỉnh hình, h là một điểm giới hạn bất kì của fk . Thì h cố định z 0 và 0 0 r z z I 0 dh d 0 0 .
Vì vậy chính là một đẳng cấu, và cũng là giới hạn điểm duy nhất
của fk .
Các định lí trên đã cho ta thấy fn hội tụ khi nào, nhưng để mô tả một cách có hiệu quả giới hạn điểm của dãy fn thì Bedford đã chứng minh được định lí sau: