Hàm phức toán tử - Ánh xạ bảo giác

Trang 1

Math Dept, Faculty of Applied Science,

Trang 2

-I – Aùnh xạ bảo giác

II – Phép biến đổi f(z) = 1/z

III – Phép biến đổi tuyến tính f(z) = az + b

+

T z

cz d

Trang 3

I Aùnh xạ bảo giác

-Ánh xạ w = f(z) được gọi là ánh xạ bảo giác trên miền D nếu f(z) bảo giác tại mọi điểm thuộc miền D

Định nghĩa ánh xạ bảo giác

Cho w = f(z) là hàm phức định nghĩa trên miền D Cho z0 là một điểm của miền D f(z) được gọi là ánh xạ bảo giác tại điểm z0 nếu gĩc của hai đường cong trơn định hướng C1 và

C2 qua z0 bằng với gĩc của ảnh của hai đường cong đĩ và hướng của gĩc khơng thay đổi

Trang 4

I Ánh xạ bảo giác

Điều kiện: Đường cong C1 trơn để đảm bảo hệ số góc tiếp tuyến của C1 tại z0 là z1' = z t1 0' ( ) 0 ≠

Khi đó là góc giữa véctơ và chiều dương trục ox.arg(z )1' z1'

góc giữa C1 và C2 tại z0 có giá trị arg(z ) arg(z )'2 − 1'

Nếu hàm f giải tích trong miền D có chứa z0 và

Định lý 1

' 0

( ) 0

f z ≠

thì w = f(z) là ánh xạ bảo giác tại z0

Trang 5

Hai đường cong trên cắt nhau tại điểm z0 = 1 + i Khảo sát góc tại z0 giữa hai đường cong này và giữa hai ảnh của chúng qua phép biến đổi:

Trang 6

Cho hai miền D và D’ Tồn tại hay không ánh xạ bảo giác từ D lên D’?

Bài toán cơ bản:

I Ánh xạ bảo giác

Cho D là miền đơn liên trong mặt phẳng z, sao cho D không là

toàn bộ mặt phẳng phức Khi đó tồn tại song ánh bảo giác w =

f(z) từ D lên đường tròn đơn vị |w| < 1.

Định lý Riemann

|W|<1

Trang 7

II Phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

Phép biến đổi là hàm hợp của hai phép biến đổi: phép biến đổi nghịch đảo qua hình tròn đơn vị

( ) 1/

f z = z

1 ( ) ( i ) i

Trang 8

Giả sử z0 là một điểm khác không của mặt phẳng phức Nếu

biểu diễn z0 và ảnh của nó f(z 0 ) = 1/z 0 lên cùng mặt phẳng phức ta

làm như sau:

a Tìm nghịch đảo của z0 qua đường tròn đơn vị

Ảnh của 1 điểm qua phép biến đổi f z ( ) 1/ = z

b Lấy đối xứng kết quả thu được ở a) qua trục hoành

Trang 9

Ví dụ

Tìm ảnh của nửa đường tròn |z| = 2, qua phép

biến đổi f(z) = 1/z

0 arg(z) ≤ ≤ π

Trang 10

Trang 11

Ảnh của đường thẳng qua f(z) = 1/z là đường tròn.

Hàm f(z) = 1/z trong mặt phẳng phức mở rộng biến đổi:

a Đường thẳng đứng x = k, với thành đường tròn k ≠ 0

Trang 12

Ví dụ

Tìm ảnh của dải bán vô hạn qua phép biến đổi

Trang 13

Ví dụ

Tìm ảnh của hình vành khăn qua phép biến đổi

3 ≤ ≤

Trang 14

III Phép biến đổi tuyến tính f z ( ) = + az b

Phép biến đổi f(z) = az + b, với a, b là những số phức được gọi là

phép biến đổi tuyến tính

Định nghĩa phép biến đổi tuyến tính

Phép biến đổi T(z) = z + b, được gọi là phép dời hình.

Trang 15

Ví dụ

Tìm ảnh của hình vuông có các đỉnh tại những điểm 1 + i, 2

+ i, 2 + 2i và 1 + 2i qua phép biến đổi f(z) = z + 2 - i

Trang 16

Phép biến đổi M(z) = az, a > 1 được gọi là phép giãn;

0 < a < 1 được gọi là phép co

Trang 17

Trang 18

Ví dụ

Tìm ảnh của đường tròn |z| = 2 qua phép biến đổi

( ) 3

M z = z

Trang 19

Phép biến đổi f(z) = az + b là hợp của phép quay, co (giãn) và

Ảnh của một điểm qua phép biến đổi tuyến tính

Cho biến đổi f(z) = az + b, và z0 là một điểm trong mặt

phẳng phức Khi đó ảnh của nó w 0 = f(z 0 ) (cùng vẻ trong mặt

Trang 20

Ví dụ

Tìm ảnh của hình chử nhật với các đỉnh -1 + i, 1 + i, 1 + 2i,

-1 + 2i qua phép biến đổi tuyến tính f(z) = 4iz + 2 + 3i.

Phép biến đổi f(z) = az + b với có thể làm thay đổi kích thước của hình trên mặt phẳng phức, nhưng không làm thay đổi hình dạng của hình

0

a ≠

HD Chỉ cần tìm ảnh của bốn đỉnh

Trang 21

IV Phép biến đổi phân tuyến tính = +

Trang 22

Ánh xạ phân tuyến tính là ánh xạ bảo giác trên miền xác định

Giả sử , ta định nghĩa ánh xạ phân tuyến tính như sau: c ≠ 0

Định nghĩa (mở rộng ) phép biến đổi phân tuyến tính

z c

Trang 23

Trang 24

+

T z

cz d

Định lý 2 (ảnh của đường tròn là đường tròn hoặc đường thẳng)

Cho C là hình tròn trên mặt phẳng phức z và T là phép biến đổi phân tuyến tính mở rộng, khi đó ảnh của C là hình tròn hoặc là

Trang 25

+

T z

cz d

Ảnh của đường thẳng là đường tròn

Nếu T là phép biến đổi phân tuyến tính mở rộng, thì ảnh của

đường thẳng L hoặc là đường thẳng hoặc là đường tròn

Ảnh của C là đường tròn khi và chỉ khi và cực điểm đơn

Trang 26

Xác định ảnh của phía trong hình tròn

HD Cực điểm z = 1 nằm trên đường tròn, theo đlí 2, ảnh của đường tròn đơn vị là đường thẳng Để tìm ảnh của đường thẳng

cần 2 điểm vd: z = -1 và z = i Để tìm ảnh của phía trong hình

tròn đơn vị ta dùng điểm thử (test point) z = 0

Trang 27

Xác định ảnh của phía trong và trên hình tròn này

HD Cực điểm z = 1 không nằm trên đường tròn, ảnh của đường tròn |z| =2 là đường tròn C’

|z| = 2 đối xứng qua trục ox, suy ra z và cùng nằm trên đường z

Trang 28

Trang 29

+

T z

cz d

Định lý ( về Tỷ chéo và biến đổi phân tuyến tính)

Nếu w = T(z) là phép biến đổi phân tuyến tính biến các số phức

khác nhau z1, z2 và z3 thành các số phức khác nhau w1, w2 và w3tương ứng thì

Trang 30

Tìm phép biến đổi phân tuyến tính biến 3 điểm 1,i, -1 của

đường tròn đơn vị |z| = 1 lần lượt thành 3 điểm -1, 0, 1 trên trục ox

Xác định ảnh của phía trong hình tròn đơn vị qua phép biến đổi này

HD Sử dụng định lý tỷ chéo sau đó giải ra tìm w = T(z)

Sử dụng điểm thử (test point) z = 0

Trang 31

Tìm phép biến đổi phân tuyến tính biến 3 điểm -i, 1và của

đường thẳng y = x - 1 lần lượt thành 3 điểm 1, i và -1 trên

Trang 34

V Các phép biến đổi cơ bản

Trang 35

Trang 36

Ví dụ

Tìm ảnh của đường thẳng y = a, qua phép biến đổi w = z a ≠ 0 2

a

Trang 37

Trang 38

Ví dụ

Tìm ảnh của đường thẳng y = x qua phép biến đổi w = z 2

Trang 39

Trang 40

Ví dụ

Tìm ảnh của tam giác có các đỉnh là 0, 1 + i, 1 – i qua phép biến

đổi w = z 2

Trang 41

Trang 42

Trang 43

Ví dụ

Tìm ảnh của đường thẳng y =1 qua phép biến đổi w = e z

1

Trang 44

Ví dụ

Tìm ảnh của đường thẳng x =1 qua phép biến đổi w = e z

Trang 45

Tính chất của phép biến đổi w = e z

2 Đường thẳng đứng thành đường tròn |w| = e x a= − < ≤; π y π a

1 Biến vùng thành tập hợp −∞ < < +∞ − < ≤x ; π y π | w|>0

3 Đường thẳng ngang thành đường arg (w) = b y a= − < ≤; π y π

Trang 46

Định dạng
Số trang	46
Dung lượng	518 KB