Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Mỹ Hạnh CÁC NGUN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Lê Thị Mỹ Hạnh CÁC NGUN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê thị Thiên Hương hướng dẫn tận tình suốt q trình tơi thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn q thầy thuộc khoa Tốn – Tin trường đại học sư phạm TP Hồ Chí Minh truyền đạt kiến thức kinh nghiệm q báu cho tơi suốt thời gian học tập trường Xin cảm ơn anh chị bạn lớp cao học K19 hỗ trợ tơi nhiều mặt thời gian học tập nghiên cứu Và cuối cùng, lời thân thương tơi xin gửi đến gia đình tơi, nơi tạo cho tơi điều kiện thuận lợi để học tập hồn thành luận văn MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1 Khái niệm ánh xạ bảo giác 1.1.1 Ý nghĩa hình học argument đạo hàm 1.1.2 Ý nghĩa hình học mơđun đạo hàm 10 1.1.3 Ánh xạ bảo giác 11 1.1.4 Ánh xạ bảo giác loại hai 12 1.2 Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 15 1.2.1 Ánh xạ hình tròn đơn vị lên 15 1.2.2 Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 18 Chương CÁC NGUN LÝ CƠ BẢN CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC 20 2.1 Ngun lí bảo tồn miền 20 2.2 Ngun lí ánh xạ một-một 26 2.3 Ngun lí đối xứng Riemann-Schwars 27 2.4 Tổng qt hóa ngun lí đối xứng 33 2.5 Ngun lý thác triển giải tích Schwars 34 2.6 Ngun lí đối xứng hàm điều hòa 36 2.7 Ứng dụng ngun lí đối xứng 40 Chương ÁNH XẠ BẢO GIÁC TỪ CÁC MIỀN GIỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN 42 3.1 Miền giới hạn hyperbol 42 3.2 Miền giới hạn parabol 44 3.3 Miền giới hạn parabol ellip 50 3.4 Ánh xạ miền ellip lên nửa mặt phẳng 58 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền thành miền khác cơng việc hữu ích Nó giúp cho việc tính tốn số đại lượng hay khảo sát tính chất số miền cho trước trở nên linh hoạt dễ dàng Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền thành miền thực đơn giản ngồi việc nắm khái niệm, ta cần nắm vững ngun lý q trình thực ánh xạ Chính vậy, luận văn này, sau nêu khái niệm điều kiện xác định ánh xạ bảo giác, chúng tơi tập trung vào hệ thống sáu ngun lý ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể ngun lý) Đồng thời, để người đọc thấy rõ vai trò ngun lý xác định ánh xạ bảo giác biến miền thành miền khác, chúng tơi đưa số ví dụ minh họa Luận văn gồm bốn chương: - Chương trình bày kiến thức chuẩn bị cho chương sau - Chương nêu ý nghĩa hình học argument mơđun đạo hàm, từ đưa khái niệm ánh xạ bảo giác điều kiện để ánh xạ bảo giác tồn xác định - Chương phát biểu ngun lý lý thuyết ánh xạ bảo giác chứng minh ngun lý - Chương đưa số ví dụ ứng dụng ngun lý để xây dựng ánh xạ bảo giác từ miền giới hạn đường: parabol, ellip, lên nửa mặt phẳng Cuối phần kết luận tài liệu tham khảo 2 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1 Các khái niệm 0.1.1 Một số khái niệm số phức - Cho số phức z = x + iy Trong mặt phẳng Oxy, ta xác định điểm M ( x, y ) gọi tọa vị số phức z JJJJG - Cho số phức z có tọa vị M Khi đó, độ dài OM gọi mơđun số phức z , JJJJG ký hiệu z = OM = r - Trong mặt phẳng Oxy , cho số phức z có tọa vị M Khi argument số JJJJG phức z góc tạo nên hướng dương trục thực OM , nhận hướng ngược chiều kim đồng hồ làm hướng dương ( JJJGJJJJG ) Ký hiệu Argz = Ox,OM = ϕ + k 2π Đặc biệt, trị số Arg z ∈ ( −π , π ] gọi giá trị Argument, ký hiệu arg z Trường hợp z = Arg z khơng xác định - Cho số phức z1 , z2 * Arg ( z1.z2 ) = Argz1 + Argz2 + k 2π ⎛z ⎞ * Arg ⎜ ⎟ = Argz1 − Argz2 + k 2π ⎝ z2 ⎠ ( z2 ≠ ) 0.1.2 Dạng mũ dạng lượng giác số phức Mọi số phức z = x + iy biểu diễn dạng lượng giác z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) r = z , ϕ ∈ Argz Dạng mũ số phức z = reiϕ 0.1.3 Tập liên thơng Tập X tập liên thơng khơng tồn hai tập mở A, B cho X ∩ A ≠ φ, X ∩ B ≠ φ; X ∩ A ∩ B = φ; X ⊂ A ∪ B 0.1.4 Miền - Miền tập hợp X ^ có hai tính chất i Với điểm thuộc X ln tồn hình tròn đủ bé nhận điểm làm tâm nằm hồn tồn X (tập mở) ii Có thể nối hai điểm thuộc X đường cong nằm hồn tồn X (tập liên thơng) - Miền X có biên tập liên thơng gọi miền đơn liên Ngược lại, miền X có biên khơng phải tập liên thơng miền đa liên 0.1.5 Một số khái niệm liên quan đến đường cong - Một đường cong có điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường cong đóng Đường cong khơng có điểm tự cắt gọi đường cong Jordan Đường cong Jordan đóng gọi chu tuyến - Giả sử ϕ ( t ) µ ( t ) hàm thực đoạn [ a, b ] đường thẳng thực Khi phương trình z = z ( t ) = ϕ ( t ) + i µ ( t ) , a ≤ t ≤ b biểu diễn tham số đường cong L = z ( [ a, b ] ) mặt phẳng phức ^ Đường cong L gọi trơn hàm ϕ ( t ) , µ ( t ) có đạo hàm liên tục đạo hàm khơng đồng thời khơng với t ∈ [ a, b ] Đường cong liên tục tạo số hữu hạn đường cong trơn gọi trơn khúc 0.1.6 Cung giải tích - Một cung đường cong gọi giải tích tọa độ chạy x, y hàm số tham số t khoảng a < t < b khai triển thành chuỗi lũy thừa lân cận điểm t - Ta lại gọi cung giải tích khơng có điểm bội mà x ', y ' triệt tiêu đồng thời 0.1.7 Hàm đơn trị Xét hàm số w = f ( z ) , giá trị đối số có giá trị hàm số hàm số gọi hàm đơn trị Ngược lại, với giá trị đối số ta nhận nhiều giá trị hàm số hàm số gọi hàm đa trị 4 0.1.8 Hàm đơn diệp Một hàm số f : D → D∗ gọi đơn trị đối một, hay đơn diệp, với hai điểm z1 , z2 ∈ D, z1 ≠ z2 ảnh f ( z1 ) ≠ f ( z2 ) 0.1.9 Hàm chỉnh hình (hàm giải tích) - Cho D tập mở khác rỗng ^ Hàm số f : D → ^ gọi khả vi phức ( ^ -khả vi) z0 ∈ D tồn hàm f1 : D → ^ liên tục z0 f ( z ) = f ( z0 ) + ( z − z0 ) f1 ( z ) , ∀z ∈ D - Cho D tập mở khác rỗng ^ Hàm số f : D → ^ gọi chỉnh hình D khả vi phức điểm thuộc D - Hàm f gọi chỉnh hình điểm z0 ∈ D , tồn lân cận mở U z0 nằm D cho hàm f U chỉnh hình U 0.1.10 Hàm điều hòa -Hàm v ( x, y ) gọi điều hòa miền đơn trị miền đó, có đạo hàm liên tục đến cấp hai thỏa mãn phương trình ∆v = ∂ 2v ∂ 2v + =0 ∂x ∂y - Phần thực, phần ảo hàm giải tích hàm điều hòa 0.1.11 Khơng điểm cực điểm - Điểm z = a gọi điểm khơng (hay khơng điểm) hàm f ( z ) lim f ( z ) = z →a - Điểm z = a gọi cực điểm ( ∞ -điểm) hàm f ( z ) lim f ( z ) = ∞ z →a 0.1.12 Yếu tố Ta quy ước yếu tố tập hợp gồm điểm hướng qua 0.2 Một số định lý sử dụng luận văn 0.2.1 Định lý (tính chất phép biến đổi tuyến tính) Mọi ánh xạ tuyến tính có tính chất biến vòng tròn thành vòng tròn (Coi đường thẳng đường tròn với bán kính vơ lớn) 5 0.2.2 Định lý Ánh xạ tuyến tính biến hình tròn đơn vị mặt phẳng z thành hình tròn đơn vị mặt phẳng w có dạng: w = eiθ z −α , đó: α < 1, θ số thực bất 1−α z kỳ 0.2.3 Định lý ( định lý tích phân Cauchy) Nếu hàm f giải tích miền đơn liên D ⊂ ^ tích phân theo chu tuyến đóng γ : I → D khơng, tức ∫γ f ( z )dz = 0.2.4 Định lý ( cơng thức tích phân Cauchy) Cho hàm f giải tích miền D γ chu tuyến D cho miền Dγ hữu hạn giới hạn γ nằm D Khi đó, ∀z0 ∈ Dγ ta có - Cơng thức tích phân Cauchy f ( z0 ) = f ( z) dz ∫ 2π i γ z − z0 - Cơng thức tích phân Cauchy đạo hàm f n ( z0 ) = f ( z) n! dz ; n = 0,1, 2, ∫ 2π i γ ( z − z0 ) n +1 0.2.5 Định lý (cơng thức tích phân thứ hai Cauchy) Giả sử f giải tích miền D D∗ miền giới nội thuộc D với biên gồm số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo Khi D ⎧ f (ζ ) ⎪ f ( z ) , z ∈ D∗ dζ = ⎨ 2π i ∂D∫∗ ζ − z ⎪⎩0, z ∉ D∗ 0.2.6 Định lý Giả sử γ đường cong đóng Jordan đo f : γ → ^ hàm liên tục γ Khi tích phân F ( z) = f (ζ ) dζ 2π i ∫γ ζ − z xác định hàm chỉnh hình thành phần liên thơng phần bù ^ \ γ 0.2.7 Định lý (bất đẳng thức Cauchy hệ số chuỗi lũy thừa) Nếu chuỗi lũy thừa f ( z ) = a0 + a1 z + + an z n + hội tụ hình tròn z < R biểu diễn hàm số f ( z ) có mơđun nhỏ M an ≤ M (n = 0,1, 2, ) Rn 0.2.8 Định lý (ngun lý mơđun cực đại) Mơđun hàm số chỉnh hình miền mở G khơng đạt cực đại điểm miền này, ngoại trừ hàm đồng số 0.2.9 Định lý (tính hàm giải tích) Nếu hai hàm số f ( z ) ϕ ( z ) chỉnh hình miền G nhận giá trị tập hợp E gồm vơ hạn điểm G , E có điểm giới hạn nằm bên G , hai hàm số khắp nơi G 0.2.10 Định lý 10 Nếu hàm số đơn trị khơng có điểm bất thường khác cực điểm mặt phẳng “mở rộng” hàm hữu tỷ 0.2.11 Định lý 11 (bổ đề Hay-nơ-Boren) A tập compắc từ phủ mở A trích phủ hữu hạn, tức có số hữu hạn số i1 ,i , ,i n cho A ⊂ U i1 ∪ U i2 ∪ ∪ U in , U ik ∈ {U} , k = 1, 2, , n với { U} phủ mở A 0.2.12 Định lý 12 (định lý thặng dư lơga) Nếu f ( z ) giải tích điểm chu tuyến Γ (đóng kín trơn khúc) khơng trừ điểm nào, tích phân phương trình f ( z ) = a chu tuyến Γ f '( z ) dz cho ta số nghiệm 2π i ∫Γ f ( z ) − a Chương ÁNH XẠ BẢO GIÁC 1.1 Khái niệm ánh xạ bảo giác 1.1.1 Ý nghĩa hình học argument đạo hàm Giả sử hàm w = f ( z ) hàm số giải tích miền G Ta biểu diễn gía trị hàm số w = u + iv điểm mặt phẳng w Mỗi diểm z = x + iy mặt phẳng biến số độc lập z tương ứng với điểm w = u + iv mặt phẳng w (hình 1.1 1.2) Khi điểm z chuyển động mặt phẳng z theo đường cong C điểm tương ứng w chạy đường cong Γ mặt phẳng w , ảnh đường cong C y z0 +∆z C C’ w0+ ∆ w0 v z0 ϕ ψ w0 x Hình 1.1 Φ Ψ u Hình 1.2 Gọi z0 điểm miền G C đường cong cho trước có hướng xác định, C qua z0 có tiếp tuyến xác định z0 Giả sử f ' ( z0 ) ≠ Trên mặt phẳng w , ảnh C Γ qua điểm w0 = f ( z0 ) Nếu phương trình C z = z ( t ) (0 ≤ t ≤ 1) phương trình Γ w = f ( z ) = f ⎣⎡ z ( t ) ⎦⎤ = w ( t ) (0 ≤ t ≤ 1) Để giải thích ý nghĩa hình học đạo hàm f ' ( z0 ) , ta biểu diễn số phức f ' ( z0 ) dạng lượng giác f ' ( z0 ) = r (cos α + i sin α ) nêu ý nghĩa hình học argument α mơđun r đạo hàm 9 Lấy điểm z0 + ∆z0 đường cong C ký hiệu w0 + ∆w0 điểm tương ứng với mặt phẳng w thuộc đường cong Γ Khi điểm z0 + ∆z0 tiến điểm z0 đường cong C điểm tương ứng w0 + ∆w0 tiến điểm w0 đường cong Γ , ∆z0 , ∆w0 tiến Từ đẳng thức f ' ( z0 ) = lim ∆z0 →0 ∆w0 = r ( cos α + i sin α ) , ta có ∆z0 lim ∆z0 →0 ∆w0 =r ∆z0 ⎛ ∆w0 ⎞ lim ⎜ arg ⎟ =α ⎝ ∆z0 →0 ∆z0 ⎠ (1.1) (1.2) (chính xác đến bội 2π ) Lưu ý phải thỏa mãn điều kiện f ' ( z0 ) ≠ trái lại góc α khơng có giá trị xác định Xét đẳng thức (1.2), ta có lim arg ∆z0 →0 ∆w0 = lim arg ∆w0 − lim arg ∆z0 = α ∆z0 → ∆z0 ∆z0 →0 (1.2’) Ta giải thích ý nghĩa hình học (1.2’) sử dụng hình 1, hình Rõ ràng, ∆z0 = ( z0 + ∆z0 ) − z0 biểu diễn vecto nối điểm z0 với điểm z0 + ∆z0 , ∆w0 vecto nối từ điểm w đến điểm w0 + ∆w0 Suy ra, arg ∆z0 góc ϕ nằm hướng dương trục Ox vecto ∆z0 tương ứng, arg ∆w0 góc φ trục Ou vecto ∆w0 Vậy (1.2’) có dạng lim φ − lim ϕ = α ∆z0 →0 ∆z0 →0 (1.2’’) Ở vị trí giới hạn, hướng vecto ∆z0 trùng với hướng tiếp tuyến với đường cong C điểm z0 (hình 1.1), hướng vecto ∆w0 trùng với hướng tiếp tuyến với Γ điểm w0 (hình 1.2), tiếp tuyến tồn theo đẳng thức (1.2’) Ký hiệu ψ Ψ góc trục Ox Ou với tiếp tuyến tương ứng C Γ z0 w0 Ta viết (1.2’’) dạng Ψ −ψ = α hay Ψ = ψ + α (1.3) 10 Ta quy ước hướng dương trục Ox Ou trùng Khi đó, từ (1.3) ta có α góc mà tiếp tuyến với C điểm z0 quay ánh xạ w = f ( z ) Nói cách khác, α góc hướng ban đầu với hướng sau ánh xạ Để ý đường cong C chọn tùy ý, hướng C thay đổi ψ Ψ thay đổi góc α khơng đổi Do đó, z0 ta có đường cong C ' khác gọi đường cong tương ứng với w0 Γ ' (hình 1.1 1.2) (1.3) có dạng Ψ ' = ψ '+ α ψ ', Ψ ' giá trị ψ , Ψ tương ứng C ' Γ ' Từ (1.3) (1.3’) suy Ψ '− Ψ = ψ '−ψ (1.4) Để ý góc ψ '−ψ góc tiếp tuyến điểm z0 với đường cong C C ' , Ψ '− Ψ góc tương ứng với Γ Γ ' Từ (1.4) ta có hai đường cong xuất phát từ z0 ánh xạ tương ứng vào hai đường qua điểm w0 = f ( z0 ) cho góc hai tiếp tuyến hai đường cong ban đầu góc hai tiếp tuyến hai đường cong ảnh độ lớn hướng Điều có nghĩa hướng dương đường cong C điểm z0 quay góc α (có hướng xác định) đến hướng dương đường cong C ' , hướng tương ứng đường cong Γ quay góc α đến hướng Γ ' với hướng Vậy ánh xạ hàm giải tích có tính chất bảo tồn góc tất điểm mà f ' ( z ) ≠ 1.1.2 Ý nghĩa hình học mơđun đạo hàm Xét đẳng thức (1.1) ta có f ' ( z0 ) = lim ∆z0 →0 ∆w0 ∆z0 =r (1.1’) Về mặt hình học, ∆z0 độ dài vecto ∆z0 , tức khoảng cách z0 z0 + ∆z0 (hình 1.1); tương tự, ∆w0 khoảng cách điểm w0 w0 + ∆w0 tương ứng (hình 1.2) Đẳng thức (1.1’) tỷ số khoảng cách vơ 11 bé điểm ảnh điểm ban đầu lấy giới hạn r = f ' ( z0 ) khơng phụ thuộc vào hướng C Do xem r = f ' ( z0 ) đại lượng đo tỷ lệ điểm z0 ánh xạ hàm số w = f ( z ) Nếu r > tỷ lệ tăng, nghĩa có giãn phần tử vơ bé z0 ; r < ngược lại có co; r = tỷ lệ khơng đổi, nghĩa phần tử vơ bé z0 thay phần tử vơ bé tương đương với điểm w0 Vì r = f ' ( z0 ) phụ thuộc vào z0 mà khơng phụ thuộc vào hướng C nên tỷ lệ thường gọi biến dạng điểm z0 khơng phụ thuộc vào hướng Vậy nói ánh xạ hàm số giải tích w = f ( z ) có độ co giãn khơng phụ thuộc vào hướng điểm z0 cho f ' ( z0 ) ≠ 1.1.3 Ánh xạ bảo giác 1.1.3.1 Khái niệm Ánh xạ có tính chất bảo tồn góc có độ co giãn khơng đổi gọi ánh xạ bảo giác 1.1.3.2 Mối quan hệ ánh xạ bảo giác ánh xạ giải tích Ta biết ánh xạ giải tích, tức ánh xạ cho hàm số giải tích w = f ( z ) điểm z0 mà f ' ( z0 ) ≠ có hai tính chất Bảo tồn góc; Độ co giãn khơng đổi Nếu mặt phẳng biến số phức z , ta lấy tam giác vơ bé cho z0 đỉnh mặt phẳng biến w có tam giác cong vơ bé với đỉnh w0 (hình 1.3 1.4) Các góc tương ứng hai tam giác theo tính chất bảo tồn góc; tỷ số cạnh tương ứng xác đến vơ bé số cố định r ≠ Hai tam giác vơ bé gọi đồng dạng với Vậy ánh xạ giải tích ánh xạ đồng dạng vơ bé (tại lân cận điểm z cho f ' ( z ) ≠ ) 12 y v z0 w0 x Hình 1.3 u Hình 1.4 Từ lập luận mục 1.1.1 1.1.2 ta khẳng định rằng: ánh xạ cho hàm số giải tích w = f ( z ) ánh xạ bảo giác điểm mà đạo hàm hàm số khác khơng Ngược lại, hàm đơn trị w = f ( z ) xác định ánh xạ bảo giác hàm số f ( z ) hàm giải tích với đạo hàm khác khơng 1.1.4 Ánh xạ bảo giác loại II 1.1.4.1 Khái niệm Mọi ánh xạ từ mặt phẳng biến số phức z (hay phần nó) lên mặt phẳng w góc bảo tồn độ lớn, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại có độ co giãn khơng đổi gọi ánh xạ bảo giác loại II Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích gọi ánh xạ bảo giác loại I Cả hai loại ánh xạ cho hàm số có liên quan chặt chẽ với hàm giải tích 1.1.4.2 Ví dụ Cho ánh xạ w = z Ta biểu diễn số w mặt phẳng với z , ta thấy điểm z ánh xạ vào điểm đối xứng với qua trục thực Rõ ràng ánh xạ này, hai hướng xuất phát từ z tạo thành góc α biến thành hai hướng tương ứng đối xứng với hai hướng ban đầu, góc chúng −α , nghĩa độ lớn góc bảo tồn hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5) Ngồi ra, ánh xạ có độ co giãn khơng đổi khơng có thay đổi tỷ lệ xích ánh xạ 13 Vậy ánh xạ w = z cho ánh xạ bảo giác loại II y z x z Hình 1.5 1.1.4.3 Tính chất Định lý Mọi ánh xạ cho hàm số có giá trị số phức liên hợp giá trị hàm giải tích, ánh xạ bảo giác loại II Chứng minh Giả sử f ( z ) hàm giải tích, ta chứng minh ánh xạ w = f ( z ) ánh xạ bảo giác loại II Thật vậy, phép biến đổi tách thành hai ánh xạ liên tiếp: ζ = f ( z ) w = ζ Trong ánh xạ thứ nhất, góc bảo tồn hướng độ lớn Trong ánh xạ thứ hai, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại Do sau hai ánh xạ, góc bảo tồn độ lớn hướng quy chiếu biến đổi thành hướng ngược lại Ngồi ra, ánh xạ có độ co giãn khơng đổi hai ánh xạ thành phần có tính chất Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý Mọi ánh xạ bảo giác loại II cho hàm số liên hợp với hàm giải tích 14 Chứng minh Thật vậy, w = F ( z ) ánh xạ bảo giác loại II w = F ( z ) xác định ánh xạ bảo giác loại I, suy F ( z ) hàm số giải tích miền xét: F ( z ) = f ( z ) , suy F ( z ) = f ( z ) Vậy định lý chứng minh Ta thấy ánh xạ giải tích có hai tính chất đặc trưng: bảo tồn góc độ co giãn khơng đổi Vấn đề đặt là: phải ánh xạ liên tục có tính chất bảo tồn góc ánh xạ giải tích, nghĩa tính chất bảo tồn góc có kéo theo tính chất độ co giãn khơng đổi? Nói cách khác, phải ánh xạ liên tục có độ co giãn khơng đổi ln ánh xạ bảo giác lọai I loại II Khơng sâu vào việc giải hai vấn đề này, ta nhận xét hai vấn đề giải câu trả lời khẳng định phương pháp sơ cấp Ta có giả thiết với w = u + iv u v có đạo hàm riêng liên tục Vấn đề khó giải ta xét ánh xạ liên tục mà khơng có điều kiện đạo hàm riêng u v liên tục Tuy nhiên gần người ta giải hai tốn trường hợp tổng qt Cụ thể, người ta chứng minh rằng: ánh xạ liên tục song ánh mà bảo tồn góc ánh xạ giải tích Câu hỏi: “Liệu điều kiện ánh xạ song ánh bỏ qua khơng?” đến chưa giải triệt để Ngồi ra, người ta chứng minh rằng: ánh xạ song ánh liên tục có độ co giãn khơng đổi ánh xạ bảo giác loại I loại II Ở điều kiện ánh xạ song ánh bắt buột ta xét ví dụ sau Cho ánh xạ ⎧⎪z,nế u điể m thuộ c z nằ m nử a mặ t phẳ ng trê n w=⎨ ⎪⎩z ,nế u điể m thuộ c z nằ m nử a mặ t phẳ ng dướ i Lưu ý: trục thực z = z 15 Rõ ràng ánh xạ liên tục tồn mặt phẳng biến số phức z có độ co giãn khơng đổi khơng ánh xạ giải tích mặt phẳng khơng ánh xạ liên hợp ánh xạ giải tích 1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 1.2.1 Ánh xạ hình tròn đơn vị lên Theo định lý 1, phép biến đổi tuyến tính có tính chất biến vòng tròn thành vòng tròn Bây ta chứng minh tính chất đặc trưng cho ánh xạ tuyến tính Thật vậy, giả sử w = f ( z ) ánh xạ song ánh bảo giác biến mặt tròn thành mặt tròn khác Ta chứng minh ánh xạ tuyến tính Đầu tiên, ta gọi Γ ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn cho mặt phẳng z thành mặt tròn đơn vị mặt phẳng τ , Γ1 ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn cho mặt phẳng w thành mặt tròn đơn vị mặt phẳng τ Vậy ánh xạ S = Γ1 f Γ −1 biến mặt tròn đơn vị mặt phẳng τ thành Nếu chứng minh S tuyến tính ta kết luận f = Γ1−1S Γ tuyến tính Thế thì, vấn đề đưa xét tính đặc trưng ánh xạ song ánh bảo giác biến mặt tròn đơn vị thành Ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đơn vị thành biết định lý có dạng w = eiθ z −α 1−α z (2.1) α < θ số thực Nó chứa ba tham số thực tùy ý, nên xác định ba điều kiện Cho trước yếu tố gồm điểm α hướng θ qua điểm đó, ánh xạ tuyến tính biến yếu tố thành yếu tố gồm gốc tọa độ hướng dương trục thực, xác định cơng thức (2.1) Về giải tích, kiện cho trước viết w (α ) = 0, arg w' (α ) = θ (2.2) [...]... gọi là ánh xạ bảo giác loại II Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích được gọi là ánh xạ bảo giác loại I Cả hai loại ánh xạ này đều được cho bởi hàm số có liên quan chặt chẽ với hàm giải tích 1.1.4.2 Ví dụ Cho ánh xạ w = z Ta sẽ biểu diễn số w trên cùng một mặt phẳng với z , khi đó ta thấy rằng mọi điểm của z sẽ ánh xạ vào điểm đối xứng với nó qua trục thực Rõ ràng trong ánh xạ này,... mọi ánh xạ được cho bởi hàm số giải tích w = f ( z ) là ánh xạ bảo giác tại mọi điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số này khác khơng Ngược lại, nếu hàm đơn trị w = f ( z ) xác định ánh xạ bảo giác thì hàm số f ( z ) là hàm giải tích với đạo hàm khác khơng 1.1.4 Ánh xạ bảo giác loại II 1.1.4.1 Khái niệm Mọi ánh xạ từ mặt phẳng của biến số phức z (hay một phần của nó) lên mặt phẳng w trong đó góc được bảo. .. lớn của góc được bảo tồn nhưng hướng quy chiếu được thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5) Ngồi ra, ánh xạ này có độ co giãn khơng đổi vì khơng có sự thay đổi nào về tỷ lệ xích trong ánh xạ này 13 Vậy ánh xạ w = z đã cho là ánh xạ bảo giác loại II y z 0 x z Hình 1.5 1.1.4.3 Tính chất Định lý 1 Mọi ánh xạ được cho bởi hàm số có giá trị là số phức liên hợp của giá trị của hàm giải tích, đều là ánh xạ. .. trưng cho ánh xạ tuyến tính Thật vậy, giả sử w = f ( z ) là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn thành mặt tròn khác Ta sẽ chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính Đầu tiên, ta gọi Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng z thành mặt tròn đơn vị của mặt phẳng τ , và Γ1 là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng w thành mặt tròn đơn vị đó của mặt phẳng τ Vậy thì ánh xạ S =... đều là ánh xạ bảo giác loại II Chứng minh Giả sử f ( z ) là hàm giải tích, ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ w = f ( z ) là ánh xạ bảo giác loại II Thật vậy, phép biến đổi này có thể tách thành hai ánh xạ liên tiếp: ζ = f ( z ) và w = ζ Trong ánh xạ thứ nhất, góc được bảo tồn về hướng và độ lớn Trong ánh xạ thứ hai, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại Do đó sau hai ánh xạ, góc được bảo tồn về độ... biến đổi thành hướng ngược lại Ngồi ra, ánh xạ này có độ co giãn khơng đổi vì cả hai ánh xạ thành phần đều có tính chất này Vậy ta có điều phải chứng minh Định lý 2 Mọi ánh xạ bảo giác loại II đều được cho bởi hàm số liên hợp với một hàm giải tích nào đó 14 Chứng minh Thật vậy, nếu w = F ( z ) là ánh xạ bảo giác loại II thì w = F ( z ) sẽ xác định ánh xạ bảo giác loại I, suy ra F ( z ) là hàm số giải... Vậy định lý đã được chứng minh Ta đã thấy rằng ánh xạ giải tích có hai tính chất đặc trưng: bảo tồn góc và độ co giãn khơng đổi Vấn đề đặt ra là: phải chăng mọi ánh xạ liên tục có tính chất bảo tồn góc đều là ánh xạ giải tích, nghĩa là tính chất bảo tồn góc có kéo theo tính chất độ co giãn khơng đổi? Nói cách khác, phải chăng mọi ánh xạ liên tục có độ co giãn khơng đổi ln là ánh xạ bảo giác lọai I... mà bảo tồn góc đều là ánh xạ giải tích Câu hỏi: “Liệu điều kiện ánh xạ song ánh có thể bỏ qua được khơng?” đến giờ vẫn chưa giải quyết được triệt để Ngồi ra, người ta cũng chứng minh được rằng: mọi ánh xạ song ánh liên tục có độ co giãn khơng đổi đều là ánh xạ bảo giác loại I hoặc loại II Ở đây điều kiện ánh xạ là song ánh là bắt buột vì ta có thể xét một ví dụ sau đây Cho ánh xạ ⎧⎪z,nế u điể m thuộ... a mặ t phẳ ng dướ i Lưu ý: trên trục thực z = z 15 Rõ ràng ánh xạ này liên tục trên tồn bộ mặt phẳng của biến số phức z và có độ co giãn khơng đổi nhưng nó khơng là ánh xạ giải tích trên cả mặt phẳng cũng khơng là ánh xạ liên hợp của ánh xạ giải tích 1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 1.2.1 Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó Theo định lý 1, mọi phép biến đổi tuyến tính đều có tính chất biến vòng... hướng của C nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm z0 và nó sẽ khơng phụ thuộc vào hướng Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích w = f ( z ) có độ co giãn khơng phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm z0 sao cho f ' ( z0 ) ≠ 0 1.1.3 Ánh xạ bảo giác 1.1.3.1 Khái niệm Ánh xạ có tính chất bảo tồn góc và có độ co giãn khơng đổi được gọi là ánh xạ bảo giác 1.1.3.2 Mối quan hệ giữa ánh xạ bảo