các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Mỹ Hạnh CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Lê Thị Mỹ Hạnh CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 604601 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ THỊ THIÊN HƯƠNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Lê thị Thiên Hương về sự hướng dẫn tận tình của cô trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn quí thầy cô thuộc khoa Toán – Tin trường đại học sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm quí báu cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Xin cảm ơn các anh ch ị và các bạn trong lớp cao học K19 đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trong thời gian học tập và nghiên cứu. Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này. MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 Chương 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC 8 1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác 8 1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm 8 1.1.2. Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm 10 1.1.3. Ánh xạ bảo giác 11 1.1.4. Ánh xạ bảo giác loại hai 12 1.2. Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 15 1.2.1. Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó 15 1.2.2. Điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác 18 Chương 2. CÁC NGUYÊN LÝ CƠ BẢN CỦA ÁNH XẠ BẢO GIÁC 20 2.1. Nguyên lí bảo toàn miền 20 2.2. Nguyên lí ánh xạ một-một 26 2.3. Nguyên lí đối xứng Riemann-Schwars 27 2.4. Tổng quát hóa nguyên lí đối xứng 33 2.5. Nguyên lý thác triển giải tích Schwars 34 2.6. Nguyên lí đối xứng đối với hàm điều hòa 36 2.7. Ứng dụng nguyên lí đối xứng 40 Chương 3. ÁNH XẠ BẢO GIÁC TỪ CÁC MIỀN GI ỚI HẠN BỞI ĐƯỜNG CONG BẬC HAI LÊN NỬA MẶT PHẲNG TRÊN 42 3.1. Miền giới hạn bởi hyperbol 42 3.2. Miền giới hạn bởi parabol 44 3.3. Miền giới hạn bởi parabol và ellip 50 3.4. Ánh xạ miền trong ellip lên nửa mặt phẳng 58 KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực lý thuyết hàm biến phức, việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác là một công việc rất hữu ích. Nó giúp cho việc tính toán một số đại lượng hay khảo sát tính chất một số miền cho trước trở nên linh hoạt và dễ dàng hơn. Tuy nhiên, để việc xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền kia thực hiện được đơn giản hơn thì ngoài việc nắm được khái niệm, ta cần nắm vững các nguyên lý của nó trong quá trình thực hiện ánh xạ. Chính vì vậy, trong luận văn này, sau khi nêu khái niệm và điều kiện xác định duy nhất của ánh xạ bảo giác, chúng tôi tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý cơ bản của ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể từng nguyên lý). Đồng thời, để người đọc thấy rõ hơn vai trò của các nguyên lý khi xác định ánh xạ bảo giác biến miền này thành miền khác, chúng tôi đã đưa ra m ột số ví dụ minh họa. Luận văn gồm bốn chương: - Chương 0 trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các chương sau. - Chương 1 nêu ý nghĩa hình học của argument và môđun đạo hàm, từ đó đưa ra khái niệm ánh xạ bảo giác và điều kiện để ánh xạ bảo giác tồn tại và xác định duy nhất. - Chương 2 phát biểu các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác và chứng minh các nguyên lý đó. - Chương 3 đưa ra một số ví dụ về ứng dụng các nguyên lý trên để xây dựng ánh xạ bảo giác từ các miền giới hạn bởi các đường: parabol, ellip, lên nửa mặt phẳng trên. Cuối cùng là phần kết luận và tài liệu tham khảo. 2 Chương 0. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 0.1. Các khái niệm 0.1.1. Một số khái niệm của số phức - Cho số phức zxiy=+ .Trong mặt phẳng Oxy, ta xác định được điểm M () , x y gọi là tọa vị của số phức z . - Cho số phức z có tọa vị là M. Khi đó, độ dài của OM J JJJG gọi là môđun của số phức z , ký hiệu zOMr== JJJJG . - Trong mặt phẳng Oxy , cho số phức z có tọa vị là M . Khi đó argument của số phức z là góc tạo nên giữa hướng dương của trục thực và OM J JJJG , nhận hướng ngược chiều kim đồng hồ làm hướng dương. Ký hiệu A rgz ( ) ,2Ox OM k ϕ π ==+ JJJG JJJJG . Đặc biệt, trị số của Arg ( ] ,z π π ∈− gọi là giá trị chính của Argument, ký hiệu arg z . Trường hợp 0z = thì Arg z không xác định. - Cho 2 số phức 12 ,zz ( ) () 12 1 2 1 12 2 2 *. 2 *20 Arg z z Argz Argz k z Arg Argz Argz k z z π π =++ ⎛⎞ = −+ ≠ ⎜⎟ ⎝⎠ 0.1.2. Dạng mũ và dạng lượng giác của số phức Mọi số phức zxiy = + đều có thể biểu diễn dưới dạng lượng giác ( ) cos sinzr i ϕ ϕ =+ trong đó ,rz Argz ϕ =∈. Dạng mũ của số phức đó là i zre ϕ = . 0.1.3. Tập liên thông Tập X là tập liên thông nếu không tồn tại hai tập mở ,AB sao cho ,; ; X AXBXABXAB φ φφ ∩≠ ∩≠ ∩∩= ⊂∪. 3 0.1.4. Miền - Miền là tập hợp con X của ^ có hai tính chất i. Với mỗi điểm thuộc X luôn tồn tại hình tròn đủ bé nhận điểm đó làm tâm và nằm hoàn toàn trong X (tập mở). ii. Có thể nối hai điểm bất kỳ thuộc X bằng một đường cong nằm hoàn toàn trong X (tập liên thông). - Miền X có biên là một tập liên thông được gọi là miền đơn liên. Ngược lại, miền X có biên không phải tập liên thông là miền đa liên. 0.1.5. Một số khái niệm liên quan đến đường cong - Một đường cong có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau gọi là đường cong đóng. Đường cong không có điểm tự cắt gọi là đường cong Jordan. Đường cong Jordan đóng gọi là chu tuyến. - Giả sử () t ϕ và () t µ là các hàm thực trên đoạn [ ] ,ab của đường thẳng thực. Khi đó phương trình () ( ) ( ) ,zzt t itatb ϕµ ==+ ≤≤ biểu diễn tham số một đường cong [ ] () ,Lzab= trong mặt phẳng phức ^ . Đường cong L gọi là trơn nếu các hàm () () ,tt ϕ µ có đạo hàm liên tục và các đạo hàm đó không đồng thời bằng không với mọi [ ] ,tab∈ . Đường cong liên tục tạo bởi một số hữu hạn các đường cong trơn được gọi là trơn từng khúc. 0.1.6. Cung giải tích - Một cung của đường cong được gọi là giải tích nếu tọa độ chạy , x y của nó là hàm số của tham số t trong khoảng atb < < và khai triển được thành chuỗi lũy thừa ở lân cận của mỗi điểm t . - Ta lại gọi một cung là giải tích đều nếu nó không có điểm bội mà tại đó ', ' x y triệt tiêu đồng thời. 0.1.7. Hàm đơn trị Xét hàm số ( ) wfz= , nếu mỗi giá trị của đối số có một giá trị duy nhất của hàm số thì hàm số đó được gọi là hàm đơn trị. Ngược lại, với mỗi giá trị của đối số ta nhận được nhiều giá trị của hàm số thì hàm số được gọi là hàm đa trị. 4 0.1.8. Hàm đơn diệp Một hàm số : f DD ∗ → được gọi là đơn trị một đối một, hay đơn diệp, nếu với hai điểm bất kỳ 12 1 2 ,,zz Dz z∈≠ thì ảnh ( ) ( ) 12 f zfz≠ . 0.1.9. Hàm chỉnh hình (hàm giải tích) - Cho D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số :fD→ ^ được gọi là khả vi phức ( ^ -khả vi) tại 0 zD∈ nếu tồn tại hàm 1 :fD→ ^ liên tục tại 0 z và () ( ) ( ) ( ) 001 , f zfz zzfzzD = +− ∀∈ - Cho D là tập mở khác rỗng trong ^ . Hàm số :fD→ ^ được gọi là chỉnh hình trên D nếu nó khả vi phức tại mọi điểm thuộc D . - Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm 0 zD ∈ , nếu tồn tại một lân cận mở U của 0 z nằm trong D sao cho hàm f U chỉnh hình trên U . 0.1.10. Hàm điều hòa -Hàm () ,vxy được gọi là điều hòa trong một miền nếu nó đơn trị trong miền đó, có đạo hàm liên tục đến cấp hai và thỏa mãn phương trình 22 22 0 vv v xy ∂∂ ∆ =+= ∂∂ - Phần thực, phần ảo của một hàm giải tích là những hàm điều hòa. 0.1.11. Không điểm và cực điểm - Điểm za= gọi là điểm không (hay không điểm) của hàm () f z nếu ( ) lim 0 za fz → = . - Điểm za= gọi là cực điểm ( ∞ -điểm) của hàm ( ) f z nếu () lim za fz → =∞ . 0.1.12. Yếu tố Ta quy ước yếu tố là tập hợp gồm một điểm và một hướng qua nó. 0.2. Một số định lý sử dụng trong luận văn 0.2.1. Định lý 1 (tính chất của phép biến đổi tuyến tính) Mọi ánh xạ tuyến tính có tính chất biến vòng tròn này thành vòng tròn kia. (Coi đường thẳng là đường tròn với bán kính vô cùng lớn). 5 0.2.2. Định lý 2 Ánh xạ tuyến tính biến hình tròn đơn vị trong mặt phẳng z thành hình tròn đơn vị trong mặt phẳng w có dạng: 1 i z we z θ α α − = − , trong đó: 1, α θ < là số thực bất kỳ. 0.2.3. Định lý 3 ( định lý tích phân Cauchy) Nếu hàm f giải tích trong miền đơn liên D ⊂ ^ thì tích phân của nó theo chu tuyến đóng : I D γ → bất kỳ là bằng không, tức là ( ) 0fzdz γ = ∫ 0.2.4. Định lý 4 ( công thức tích phân Cauchy) Cho hàm f giải tích trên miền D và γ là một chu tuyến trong D sao cho miền D γ hữu hạn giới hạn bởi γ nằm trong D . Khi đó, 0 zD γ ∀ ∈ ta có - Công thức tích phân Cauchy () ( ) 0 0 1 2 fz f zdz izz γ π = − ∫ - Công thức tích phân Cauchy đối với đạo hàm () ( ) () 0 1 0 ! ; 0,1,2, 2 n n fz n fz dzn i zz γ π + == − ∫ 0.2.5. Định lý 5 (công thức tích phân cơ bản thứ hai của Cauchy) Giả sử f giải tích trên miền D và D ∗ là miền giới nội thuộc D cùng với biên gồm một số hữu hạn đường cong đóng Jordan đo được. Khi đó () () 1 , 2 0, D f f zzD d iz zD ζ ζ πζ ∗ ∗ ∗ ∂ ⎧ ∈ ⎪ = ⎨ − ⎪ ∉ ⎩ ∫ D 0.2.6. Định lý 6 Giả sử γ là đường cong đóng Jordan đo được và γ → ^: f là hàm liên tục trên γ . Khi đó tích phân [...]... đầu tiên ánh xạ miền G thành mặt tròn và sau đó ánh xạ mặt tròn thành ∆ 20 Chương 2 CÁC NGUN LÝ CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ÁNH XẠ BẢO GIÁC 2.1 Ngun lý bảo tồn miền 2.1.1 Ngun lý “Một hàm số giải tích đơn trị ánh xạ một miền xác định của nó thành một miền mới (đơn diệp hay đa diệp).” 2.1.2 Chứng minh Ở định lý 13, ta đã thấy rằng hàm số w = f ( z ) đơn diệp trong miền G của mặt phẳng z , ln ánh xạ miền đó... gọi là ánh xạ bảo giác loại II Cần phân biệt, ánh xạ bảo giác loại II với ánh xạ giải tích được gọi là ánh xạ bảo giác loại I Cả hai loại ánh xạ này đều được cho bởi hàm số có liên quan chặt chẽ với hàm giải tích 1.1.4.2 Ví dụ Cho ánh xạ w = z Ta sẽ biểu diễn số w trên cùng một mặt phẳng với z , khi đó ta thấy rằng mọi điểm của z sẽ ánh xạ vào điểm đối xứng với nó qua trục thực Rõ ràng trong ánh xạ này,... mọi ánh xạ được cho bởi hàm số giải tích w = f ( z ) là ánh xạ bảo giác tại mọi điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số này khác khơng Ngược lại, nếu hàm đơn trị w = f ( z ) xác định ánh xạ bảo giác thì hàm số f ( z ) là hàm giải tích với đạo hàm khác khơng 1.1.4 Ánh xạ bảo giác loại II 1.1.4.1 Khái niệm Mọi ánh xạ từ mặt phẳng của biến số phức z (hay một phần của nó) lên mặt phẳng w trong đó góc được bảo. .. trưng cho ánh xạ tuyến tính Thật vậy, giả sử w = f ( z ) là ánh xạ song ánh và bảo giác biến mặt tròn thành mặt tròn khác Ta sẽ chứng minh nó là ánh xạ tuyến tính Đầu tiên, ta gọi Γ là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng z thành mặt tròn đơn vị của mặt phẳng τ , và Γ1 là ánh xạ tuyến tính biến mặt tròn đã cho của mặt phẳng w thành mặt tròn đơn vị đó của mặt phẳng τ Vậy thì ánh xạ S =... lớn của góc được bảo tồn nhưng hướng quy chiếu được thay đổi thành hướng ngược lại (hình 1.5) Ngồi ra, ánh xạ này có độ co giãn khơng đổi vì khơng có sự thay đổi nào về tỷ lệ xích trong ánh xạ này 13 Vậy ánh xạ w = z đã cho là ánh xạ bảo giác loại II y z 0 x z Hình 1.5 1.1.4.3 Tính chất Định lý 1 Mọi ánh xạ được cho bởi hàm số có giá trị là số phức liên hợp của giá trị của hàm giải tích, đều là ánh xạ. .. đều là ánh xạ bảo giác loại II Chứng minh Giả sử f ( z ) là hàm giải tích, ta sẽ chứng minh rằng ánh xạ w = f ( z ) là ánh xạ bảo giác loại II Thật vậy, phép biến đổi này có thể tách thành hai ánh xạ liên tiếp: ζ = f ( z ) và w = ζ Trong ánh xạ thứ nhất, góc được bảo tồn về hướng và độ lớn Trong ánh xạ thứ hai, hướng quy chiếu thay đổi thành hướng ngược lại Do đó sau hai ánh xạ, góc được bảo tồn về độ... Vậy định lý đã được chứng minh Ta đã thấy rằng ánh xạ giải tích có hai tính chất đặc trưng: bảo tồn góc và độ co giãn khơng đổi Vấn đề đặt ra là: phải chăng mọi ánh xạ liên tục có tính chất bảo tồn góc đều là ánh xạ giải tích, nghĩa là tính chất bảo tồn góc có kéo theo tính chất độ co giãn khơng đổi? Nói cách khác, phải chăng mọi ánh xạ liên tục có độ co giãn khơng đổi ln là ánh xạ bảo giác lọai I... mà bảo tồn góc đều là ánh xạ giải tích Câu hỏi: “Liệu điều kiện ánh xạ song ánh có thể bỏ qua được khơng?” đến giờ vẫn chưa giải quyết được triệt để Ngồi ra, người ta cũng chứng minh được rằng: mọi ánh xạ song ánh liên tục có độ co giãn khơng đổi đều là ánh xạ bảo giác loại I hoặc loại II Ở đây điều kiện ánh xạ là song ánh là bắt buột vì ta có thể xét một ví dụ sau đây Cho ánh xạ ⎧z,nế u điể m thuộ... mặ t phẳ ng dướ i ⎩ Lưu ý: trên trục thực z = z 15 Rõ ràng ánh xạ này liên tục trên tồn bộ mặt phẳng của biến số phức z và có độ co giãn khơng đổi nhưng nó khơng là ánh xạ giải tích trên cả mặt phẳng cũng khơng là ánh xạ liên hợp của ánh xạ giải tích 1.2.Điều kiện xác định ánh xạ bảo giác 1.2.1 Ánh xạ hình tròn đơn vị lên chính nó Theo định lý 1, mọi phép biến đổi tuyến tính đều có tính chất biến vòng... hướng của C nên tỷ lệ này thường được gọi là sự biến dạng tại điểm z0 và nó sẽ khơng phụ thuộc vào hướng Vậy có thể nói rằng ánh xạ bởi hàm số giải tích w = f ( z ) có độ co giãn khơng phụ thuộc vào hướng tại mọi điểm z0 sao cho f ' ( z0 ) ≠ 0 1.1.3 Ánh xạ bảo giác 1.1.3.1 Khái niệm Ánh xạ có tính chất bảo tồn góc và có độ co giãn khơng đổi được gọi là ánh xạ bảo giác 1.1.3.2 Mối quan hệ giữa ánh xạ bảo . biểu các nguyên lý cơ bản của lý thuyết ánh xạ bảo giác và chứng minh các nguyên lý đó. - Chương 3 đưa ra một số ví dụ về ứng dụng các nguyên lý trên để xây dựng ánh xạ bảo giác từ các miền. nhất của ánh xạ bảo giác, chúng tôi tập trung vào hệ thống sáu nguyên lý cơ bản của ánh xạ bảo giác (có kèm theo chứng minh cụ thể từng nguyên lý) . Đồng thời, để người đọc thấy rõ hơn vai trò của. 1. ÁNH XẠ BẢO GIÁC 8 1.1. Khái niệm ánh xạ bảo giác 8 1.1.1. Ý nghĩa hình học của argument đạo hàm 8 1.1.2. Ý nghĩa hình học của môđun đạo hàm 10 1.1.3. Ánh xạ bảo giác 11 1.1.4. Ánh xạ bảo