BT ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 §1. HÀM SỐ LƯNG GIÁC A/ Tóm tắt lý thuyết: 1/ Hàm số y = sinx . TXĐ: D = R . Là hàm số lẻ . Tập giá trò: T= [-1; 1] (-1 1sin ≤≤ x ) . Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 π 2/ y = cosx . TXĐ: D = R . Là hàm số chẵn . Tập giá trò: T= [-1; 1] (-1 1cos ≤≤ x ) . Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 π 3/ y = tanx . TXĐ: D = R ∈+ Zkk , 2 \ π π . Là hàm số lẻ . Tập giá trò: T= R . Là hàm số tuần hoàn với có chu kỳ π 4/ y = cotx . TXĐ: D = R { } Zkk ∈ ,\ π . Là hàm số lẻ . Tập giá trò: T= R . Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π B/ BÀI TẬP: 1/ Hãy xác đònh các giá trò của x − ∈ 2 3 ; 2 ππ để: a) y = tanx > 0 b) y = tanx < 0 c) y = tanx = 1 d) y = sin < 0 e) y = cosx = -1 2/ Tìm tập xác đònh của hàm số: a) y = x x sin cos1 + b) y = x x cos1 cos1 − + c) y = tanx − 3 π x d) y = cotx + 6 π x e) y = sinx + tanx +cotx f) y = x x sin1 sin1 + − e) y = tan2x + xcos3 4 − 3/ Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: a) y = 2sinx +3 b) y = cos 2 2x + 2 c) y = sin 4 x + cos 4 x d) y = xcos2 1 − e) y = 1cos3 2 + x f) y = 1)sin1(2 ++ x §2. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN LƯNG GIÁC. A/ Tóm tắt lý thuyết: 1/ . sinx = sinα +−= += παπ πα 2 2 kx kx . cosx = cosα +−= += πα πα 2 2 kx kx . tanx = tanα πα kx += . cotx = cotα πα kx += )( Zk ∈ 2/ Phương trình: sinx = m, cosx = m Nếu | m | > 1 hay m >1 V m < -1 thì PTVN Nếu | m | ≤ 1 thì đưa vềø dạng: sinx = sinα, cosx = cosβ (Với sinα = m; cosβ = m) rồi dùng công thức ở phần 1/ 3/ Phương trình asinx + b = 0, acosx +b = 0 : Đưa về dạng sinx = m, cosx = m. 4/ Phương trình tanx = m, cotx = m có nghiệm với mọi m. Đưa về dạng tanx = tanα, cotx = cotβ (Với tanα = m; cotβ = m) 5/ Trường hợp đặc biệt: cosx = 0 x = π π k + 2 sinx = 0 x = π k cosx = 1 x = π 2k sinx = 1 x = π π 2 2 k + cosx = -1 x = ππ 2k + sinx = -1 x = π π 2 2 k +− B/ BÀI TẬP: 1/ Giải các phương trình sau : a) sinx = sin 3 π b) cosx = cos45 0 c) sin2x = 2 1 d) cos (x+60 0 ) = 2 1 − e) tanx = tan 5 π f) tan (3x +15 0 ) = 3 g) cot4x = cot 7 π h) cot − 4 2 π x = 1 2/ Giải các phương trình : a) sinx.cos2x = 0 b) (sinx - 1) (cosx +2) = 0 c) tan2x.cotx = 0 d) tanx (cosx – 1) = 0 e) sin3x – cos5x = 0 f) x x 2sin1 cos2 − = 0 3/ Giải các phương trình: a) 2sinx +1 = 0 b) 2 cos 1 4 2 − − π x = 0 c) 3 tan2x + 3 = 0 d) 3cot 3 6 − − π x = 0 e) cos2x = 4 1 f) tan5x . cot2x = -1 §3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC THƯỜNG GẶP A/ TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Phương trình theo một hàm số lượng giác: . asin 2 x + bsinx + c = 0 (1) (a ≠ 0) . acos 2 x + bcosx + c = 0 (2) (a ≠ 0) . atan 2 x + btanx + c = 0 (3) (a ≠ 0) . acot 2 x + bcotx + c = 0 (4) (a ≠ 0) Giải (1) Đặt t = sinx (-1 ≤ t ≤ 1): pt at 2 + bt + c = 0 Giải (2) Đặt t = cosx (-1 ≤ t ≤ 1): pt at 2 + bt + c = 0 Giải (3) Đặt t = tanx (t є R, x ≠ ), 2 Zkk ∈+ π π : Đưa về pt bậc 2 theo t Giải (4) Đặt t = cotx (t є R, x ≠ ), Zkk ∈ π : Đưa về pt bậc 2 theo t II. Phương trình bậc nhất theo sinx và cosx: . Có dạng: asinx + b cosx = c (a 2 + b 2 > 0) . Đk có nghiệm: a 2 + b 2 ≥ c 2 (Nếu a 2 + b 2 < c 2 thì PTVN) . Cách giải: Chia hai vế cho 22 ba + . Dùng công thức cộng: cosa cosb ± sina sinb = cos(a b) sina cosb ± sinb cosa = sin(a ± b) III. Phương trình đẳng cấp bậc 2 (Phương trình toàn phương): Có dạng: asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x = d (a, b, c ≠ 0) Cách 1: Xét )( 2 Zkkx ∈+= π π xem có phải là nghiệm của phương trình không. Xét )( 2 Zkkx ∈+≠ π π 0cos ≠⇒ x .Chia 2 vế của pt cho cos 2 x ta được: Phương trình bậc 2 theo tanx: atan 2 x + btanx + c = 0 Cách 2: Hạ bậc: sin 2 x = 2 2cos1 cos, 2 2cos1 2 x x x + = − rồi đưa về phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x. IV. Phương trình đưa về dạng tích: A.B.C = 0 = = = 0 0 0 C B A B/ BÀI TẬP: 1. Giải các phương trình sau: a. 2sin 2 x – 3sinx + 1 = 0 d. 052sin132sin 2 =+− xx b. 04cos3cos 2 =−− xx e. ( ) 03tan13tan 2 =−−+ xx c. cot 2 x + 4cotx +3 = 0 f. ( ) 02cos312cos4 2 =++− xx 2. Giải các phương cng ụn tp toỏn hc k 2 Lp 11- chng trỡnh chun Bi 1:Tỡm cỏc gii hn sau: a) n 1 4 lim n 1 n + + + 2 2 n 2n 3 b)lim 4n 5n 1 + + + c) ( ) + 2 lim 5n n n d) + + + 2 2 1 lim 3 2 n n n e) + 2.3 3.5 lim 4.5 5.2 n n n n . f) + + + + 2 1 1 3 3.5 lim 4.5 5.3 n n n n Bi 2 2 x 3 x 2x 15 a)lim x 3 + x 5 x 1 2 b)lim x 5 x 0 x c)lim x 1 x 1 + d) + 2 2 2 4 lim 5 6 x x x x e) + 2 1 2 lim 2 2 x x x x f) 4 2 2 16 lim 5 6 x x x x + g) 2 1 2 lim 5 2 x x x x + Bi 3: a)Xột tớnh liờn tc ca hm s sau ti x 0 . 2 x 6x 8 ; x > 4 2x 8 f (x) 1 ; x = 4 x 2 ; x < 4 2x 2 + = + ; x 0 = 4 b)Xét tính liên tục của: < = 2 4 ( 2) ( ) 2 3x-2 ( 2) x x f x x x tại x = 2. b) = = x+3 2 ( 1) 1 ( ) 1 ( 1) 4 x x f x x tại x=1 c)Tìm a, b để hàm số: 2 2 5 6 7 ( 2) ( ) 3 ( 2) x x x f x ax a x + = + < liên tục tại x = 2. Bi 4:Chng minh cỏc phng trỡnh sau a) 3 x 19x 30 0 = cú ỳng ba nghim b) 5 2 x x 2x 1 0 = cú ỳng mt nghim 4 2 c)4x 2x x 3 0+ = cú ớt nht hai nghim. d) 5 4 3 2 3 5 7 8 11 0x x x x x + + = có nghiệm. b) 3 2 0x ax bx c+ + + = có nghiệm. e) 5 2 2 1 0x x x + = có đúng 1 nghiệm dơng. Bi 5 Tìm đạo hàm cấp 1 của mỗi hàm số sau: a) 2 3 4 2 5 2 x y x x = + b) 3 2 9 x y x = c) 6 6 sin cosy x x= + . Bi 6 a) Cho 2 .sin 4y x x= . Tính ''( ) 4 y b) Cho 2 3 2y x x= . Tính ''(1)y . Bi 7 Cho hàm số: 3 2 5y x x x= + + (C). Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết: a) Tiếp điểm có hoành độ 2x = . cng ụn tp toỏn hc k 2 Lp 11- chng trỡnh chun b) Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 5 2008 0x y + = . c) Tiếp tuyến đi qua điểm ( 2; 4)M . d) Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Bi 8: Cho hm s : 3 1 1 y x 3 3 = vit phng trỡnh tip tuyn ca th ti giao im ca nú vi Oy. Bi 7: Cho hm s 4 2 y x 4x 4.= + Lp phng trỡnh tip tuyn ca th hm s qua M(0;4). Bi 9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD , góc giữa (SBC) và (ABCD) là 60 0 . a) Xác định góc 60 0 . Chứng minh góc giữa (SCD) và (ABCD) cũng là 60 0 . b) Chứng minh ( ) ( )SCD SAD . Tính góc giữa (SAB) và (SCD), giữa (SCB) và (SCD). c) Tính khoảng cách từ A đến (SBC), giữa AB và SC. d) Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SC và BD; SC và AD. e) Dựng và tính diện tích thiết diện của hình chóp và mặt phẳng qua A, vuông góc với SC. Bi 10 Hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a, nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. I là trung điểm của AB. a) Chứng minh tam giác SAD vuông. Tính góc giữa (SAD) và (SCD). b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SD và BC. c) Gọi F là trung điểm AD. Chứng minh ( ) ( )SID SFC . Tính khoảng cách từ I đến (SFC). Bi 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các mặt bên là các tam giác đều. a) Xác định và tính góc giữa: - mặt bên và đáy - cạnh bên và đáy - SC và (SBD) - (SAB) và (SCD). b) Tính khoảng cách giữa SO và CD; CS và DA. c) Gọi O là hình chiếu của O lên (SBC). Giả sử ABCD cố định, chứng minh khi S di động nhng ( )SO ABCD thì O luôn thuộc một đờng tròn cố định. Bi 12 Cho hình chóp S.ABC có (SAB), (SAC) cùng vuông góc với (ABC), tam giác ABC vuông cân tại C. AC = a; SA = x. a) Xác định và tính góc giữa SB và (ABC), SB và (SAC). b) Chứng minh ( ) ( )SAC SBC . Tính khoảng cách từ A đến (SBC). c) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). (O là trung điểm của AB). d) Xác định đờng vuông góc chung của SB và AC. Bi 13 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. M, N, E lần lợt là trung điểm của BC, CC, CA và mặt phẳng (P) đi qua M, N, E. Xác định và tính diện tích thiết diện của (P) và lăng trụ. Bi 14 : Cho hỡnh chúp S.ABC; ABC cú gúc B = 1v; SA (ABC). Trong tam giỏc SAB k ng cao AH SB. Trong tam giỏc SAC k ng cao AK SC. Xỏc nh gúc gia SC v (AHK). Đề cương ôn tập toán học kỳ 2 – Lớp 11- chương trình chuẩn Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; CD = 2a; AB = AD = a; SD ⊥ (ABCD) và SB tạo với đáy (ABCD) góc α. a) Xác định góc α. b) Tính tang của góc ϕgiưa TRƯỜNG THPT NG ỌC HỒI KONTUM-SĐT: 0977467739 ĐỀ CƯƠNG TOÁN 11 HK1 Tài liệu lưu hành nội bộ ĐỀ 1(T.T) I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1: Số nghiệm của phương trình cos 2 4 x π + ÷ = 0 thuộc khoảng [π; 8π] là: A). 1 B). 2 C). 3 D). 4 Câu 2: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của đường tròn (x + 1) 2 + (y - 3) 2 = 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ (3;2)v = r là đường tròn nào sau đây? A). (x + 2) 2 + (y + 5) 2 = 16 B). (x + 4) 2 + (y - 1) 2 = 16 C). (x - 2) 2 + (y - 5) 2 = 16 D). (x - 1) 2 + (y + 3) 2 = 16 Câu 3: Số cách xếp 3 nam và 3 nữ ngồi xen kẽ nhau vào một ghế dài là: A). 144 B). 72 C). 36 D). 18 Câu 4: Trong mặt phẳng Oxy, ảnh của đường tròn (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 81 qua phép đối xứng trục Ox là đường tròn nào sau đây? A). (x + 1) 2 + (y + 2) 2 = 81 B). (x + 1) 2 + (y - 2) 2 = 81 C). (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 81 D). (x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 81 Câu 5: Một hộp có 3 bi trắng 2 bi đỏ, lấy ngẫu nhiên 2 bi thì xác suất để lấy được 2 bi khác màu là: A). 1 10 B). 3 10 C). 2 5 D). 3 5 Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD, AC cắt BD tại M, AB cắt CD tại N. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là đường thẳng: A). SN B). SC C). SB D). SM Câu 7: Cho cấp số cộng (u n ) với u n = 9 – 5n thì S 100 bằng: A). 23450 B). -24350 C). 24350 D). -2435 Câu 8 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng : a. Hình hộp là hình lăng trụ đứng có đáy là hình chữ nhật b. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành c. Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình chữ nhật d. Hình hộp là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Câu 9 : Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Biến cố : “Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần” có số phần tử là : a. 11 b. 10 c. 12 d. 9. II. TRẮC NGHIỆM TỰ LUẬN Bài 1: a)Tìm txđ của y = 2 1 cos 1 sin x x − − b)Vẽ đồ thị hàm số : y = |sinx|. Bài 2: Giải các phương trình sau: a) sinx + 2sin3x = –sin5x b) 5 sinx + 2cosx = 4 Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang (AB là đáy lớn) và SD = AC = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và CD. a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC). b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua M, N và song song với SD. Tính chu vi của thiết diện vừa xác định được. Bài 4: a)Một tổ có 5 học sinh và 6 học sinh nữ, chọn ra 4 học sinh để trực vệ sinh. Tính xác suất để chọn được 2 nam và 2 nữ. b)Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng, biết u 1 = 1 và u 2 = 5. ĐỀ 2(T.T) I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1: Số nghiệm của phương trình sin 3 0 cos 1 x x = − thuộc đoạn [2π; 4π] là: A). 4 B). 2 C). 6 D). 5 Câu 2: Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6? A). 36 B). 18 C). 256 D). 216 Câu 3: Có chín miếng bìa được đánh số thứ tự từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên hai miếng và xếp theo thứ tự từ trái sang phải được số tự nhiên có hai chữ số. Khi đó xác suất để được một số chẵn là: A). 8 9 B). 1 2 C). 4 9 D). 2 9 Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang (đáy lớn AB), AC cắt BD tại O, AD cắt BC tại I. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng: A). SO B). SI C). SC D). SD Câu 5: Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng. Góc nhỏ nhất có số đo là bao nhiêu? A). 15 0 B). 30 0 C). 45 0 D). 60 0 Câu 6: Các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A). Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau. B). Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau. C). Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung. D). Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau. Câu 7 : Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai : a. Hai mặt phẳng phân biệt không song song thì cắt nhau b. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau c. Một đường thẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cắt mặt phẳng còn lại d. Hai đường thẳng lần ÔN TẬP HỌC KỲ 1 - TOÁN 11 Phan Thanh Thuận-THPT Tôn Thất Tùng-Đà Nẵng 1 Bài 1: a) Tìm tập xác định của các hàm số )1tan( 13 x x y . b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 2 2 3cos21sin2 xxy Bài 2: a) Giải phương trình 0cos23sin3cos3 xxx . b) Tìm m để phương trình cos2x + 3cossx + m = 0 có nghiệm. Bài 3: a) Tìm hệ số của x 5 trong khai triển của 11 3 8 x x . b) Chọn ngẫu nhiên 4 bi từ một hộp đựng 6 bi đỏ và 9 bi xanh. Gọi X là số viên bi đỏ nhận được. Lập bảng phân bố xác suất và tính kỳ vọng của X. Bài 4: a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tìm ảnh của đường thẳng (d) 3x –2y +7= 0 qua phép đối xứng tâm I(1; -2). b) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với B và C cố định, A thay đổi. H là trực tâm tam giác ABC. Tìm tập hợp các trung điểm M của CH. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của các mặt phẳng: (SAC) và (SBD), (SAD) và (SBC). b) M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và E là điểm thuộc hình tam giác SCD. Xác định thiết diện của mặt phẳng (MNE) và hình chóp. Tìm vị trí của E để thiết diện đó là hình thang. ÔN TẬP HỌC KỲ 1 - TOÁN 11 Phan Thanh Thuận-THPT Tôn Thất Tùng-Đà Nẵng 2 Bài 1: 1. Tìm tập xác định của hàm số x x y 2cos1 3sin1 . 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số 9cos4sin3 xxy . Bài 2: Giải các phương trình 1. 3 sin 5 cos xx 2. sin 2 x – 5sinxcosx + 2 = 0 Bài 3: 1. Tính hệ số của x 7 trong khai triển nhị thức (2x – 0,5) 10 thành đa thức. 2. Một hộp chứa 20 bi màu đỏ, 30 bi màu xanh và 40 bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 10 bi. Tính xác suất các biến cố: A = “ có ít nhất 2 bi màu xanh ”. B = “ có đúng 2 bi màu vàng ” Bài 4: 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) x 2 + y 2 – 10x + 6y – 1 = 0 có ảnh là đường tròn (C’) qua phép tịnh tiến theo vectơ )1;5(u . Tìm tọa độ tâm và bán kính của (C’). 2. Cho trước đường tròn tâm O và hai điểm A, B. Điểm C chạy trên (O). Dựng ra phía ngoài tam giác ABC hình tam giác BCD vuông cân tại D. Tìm tập hợp điểm D. Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. 1. Chứng minh AB song song (SCD). 2. Gọi M là trung điểm SC, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (BAM) và (SCD). ÔN TẬP HỌC KỲ 1 - TOÁN 11 Phan Thanh Thuận-THPT Tôn Thất Tùng-Đà Nẵng 3 Bài 1: a) Tìm tập xác định của các hàm số 6 2tan 2010 x x y . b) Xét tính chẵn lẻ của các hàm số y = tan4x – x 3 + sin2x . Bài 2: a) Tìm các nghiệm trong khoảng (– ; ) của phương trình 0cos 2 1 sin xx . b) Giải phương trình 0 5cos3coscos 5sin3sinsin xxx xxx . Bài 3: a) Tính tổng 0 2011 20111 2010 20102009 2011 22010 2011 2011 2011 22 22 CCCCCA . b) Gieo một con xúc sắc cân đ ối hai lần. Tính xác suất biến cố A = “ Tổng số chấm của hai lần gieo là một số chính phương”. Bài 4: a) Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục Oxy, cho đư ờng thẳng (d) x – y + 1 = 0 và đường tròn (C) (x + 1) 2 + ( y – 4) 2 = 9. Tìm bán kính và tọa độ của tâm đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục (d). b) Trong mặt phẳng, cho hình bình hành ABCD, A và B là hai điểm cố định, độ dài BC bằng a không đổi. Tìm tập hợp các trọng tâm G của tam giác BCD. Bài 5: Trong không gian, cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng 15 cm. M là điểm nằm giữa B và C (M khác B, C). Mặt phẳng (P) qua điểm M đồng thời song song với AC và BD. a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P). Thiết diện đó là hình gì và tính chu vi của nó. b) Tìm M trên BC để thiết diện trên có diện tích lớn nhất. ÔN TẬP HỌC KỲ 1 - TOÁN 11 Phan Thanh Thuận-THPT Tôn Thất Tùng-Đà Nẵng 4 Câu 1: a) Tìm tập xác định của hàm số x x y cos 3sin1 . b) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 53cos3sin xxy . Câu 2: Giải các phương trình a) x x sin1 1 2 cos2 2 b) tanx = 2cot x – 1. Câu 3: a) Tìm hệ số của x 11 trong khai triển ( 3x – x 2 ) 7