PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1. 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x − 2. 2 4 2 2 4 4 4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y− − − + + + + − − = − 3. x 4 - 2y 4 – x 2 y 2 – 4x 2 -7y 2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để 18n + và 41n − là hai số chính phương. 2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4= + Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. Bài 3: (3,25 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm). 1. Chứng minh rằng 2 2 .MN MP MA MB= = 2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. 3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d. Bài 4: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c. Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c ac + 5a ≤ Hết./ PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 2x 2x − Câu Cho biểu thức A = ÷: 1 − ÷ x −1 x + x − x −1 x + a Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A b Tìm x để A nhận giá trị số âm c Tìm giá trị nguyên x để biểu thức ( x +2).A nhận giá trị số nguyên Câu a Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k + 1)(k + 2) (với k∈ N*) Chứng minh rằng: 4S + bình phương số tự nhiên b Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x + 2x + 3x + = y3 Câu a Giải phương trình sau: x − 3x + + x − = b Xác định giá trị m để phương trình: m3 ( x − 2) − 8( x + m) = 4m có nghiệm số không lớn c Cho x, y, z số dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 1 + + 16 x y z · Câu Cho tam giác ABC cạnh 2a, M trung điểm BC Góc xMy = 600 quay quanh đỉnh M cố định cho hai tia Mx, My cắt AB, AC D E Chứng minh rằng: a Tam giác BDM đồng dạng với tam giác CME tích BD.CE không phụ thuộc vào vị · trí xMy · b DM phân giác BDE c BD.ME + CE.MD > a.DE · d Chu vi tam giác ADE không đổi xMy quay quanh M Câu Trong bảng ô vuông kích thước × gồm 64 ô vuông đơn vị, người ta đánh dấu 13 ô Chứng minh với cách đánh dấu có ô đánh dấu điểm chung (hai ô có điểm chung ô chung đỉnh chung cạnh) HẾT -Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm! Họ tên thí sinh: Số báo danh: .Phòng thi: PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Năm học: 2015 – 2016 Môn Toán – Lớp Hướng dẫn chung: -Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học giám khảo cho điểm tối đa -Câu 4, học sinh không vẽ hình vẽ hình sai phần không chấm điểm phần Bài Nội dung Điểm ĐKXĐ: x≠ 1a 1b 1c 0,25 Rút gọn A = x −1 0,75 0,25 0,25 0,25 A < ⇔ x-1 < ⇔ x 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + Mặt khác: k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + = (k2 + 3k + 1)2 0,25 Mà k ∈ ¥ * nên k2 + 3k + ∈ ¥ * nên suy đpcm 0,25 3 Ta có y3 − x = 2x + 3x + = x + ÷ + > ⇒ x < y 4 15 (x + 2) − y = 4x + 9x + = 2x + ÷ + > 16 3 ⇒ y < x +2 0,25 (1) 0,25 (2) 0,25 2b 0,25 Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + Thay y = x + vào pt ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x=1 từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán là: (-1; 0) (1; 2) 0,25 0,25 x − x + + x − = (1) + Nếu x ≥ : (1) ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện x ≥ ) 3a 2 + Nếu x < : (1) ⇔ x − x + = ⇔ x − x − ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔ x = 1; x = (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phương trình (1) có nghiệm x = 3b Ta có m3 ( x − 2) − 8( x + m) = 4m ⇔ (m3 − 8) x = 2m(m + 2m + 4) 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇔ (m − 2)( m + 2m + 4) x = 2m( m + 2m + 4) (*) Vì m + 2m + = (m + 1) + > ∀m nên (*) ⇔ (m − 2) x = 2m PT có nghiệm m ≠ , nghiệm là: 2m x= m−2 2m ≤1 Để nghiệm không lớn m−2 Giải BPT −2 ≤ m < (t/m ĐK m ≠ ) KL: Với −2 ≤ m < PT có nghiệm nghiệm không lớn Ta có: 1 1 1 y x z + + = ( x + y + z) + + ÷= + + ÷+ 16x y z 16x y z 16 x y 16 x y x + ≥ dấu “=” y=2x; Theo BĐT Cô Si ta có: 16 x y z x + ≥ dấu “=” z=4x; Tương tự: 16 x z z y + ≥ dấu “=” z=2y; 4y z =>P ≥ 49/16 Dấu “=” xảy x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 P= 3c 4a BD CM = ⇒ BD.CE = BM CM = a không đổi BM CE Vì ∆BMD ∽ ∆CEM nên BD CM BD BM = = hay MD EM MD ME 0,25 0,25 0,5 0,25 · · Lại có DBM = DME = 600 Suy ∆BMD ∽ ∆MED (c.g.c) BD BM = ⇒ BD.ME = a.DM (1) Vì ∆BMD ∽ ∆MED nên DM ME Tương tự chứng minh ∆CEM ∽ ∆MED suy CE.MD = a.ME 0,25 0,25 0,25 (2) BD.ME + CE.MD = a.DM + a.ME = a ( DM + ME ) > a.DE 0,25 0,25 Kẻ MH, MI, MK vuông góc với AB, DE, AC H, I, K, suy MH=MI=MK Suy DI=DH, EI=EK Suy Chu vi tam giác ADE 2AH 0,25 Cộng vế với vế (1) (2) 4d 0,25 0,5 · · · suy DM phân giác BDE ⇒ BDM = EDM 4c 0,25 0,25 Vậy: Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 *Cách khác: HS áp dụng trực tiếp BĐT Svac-xơ (Cô si dạng cộng mẫu) để đánh giá · · · · · Ta có: DMC = 600 + CME = 600 + BDM ⇒ BDM = CME · · Suy ra: ∆BMD ∽ ∆CEM (g.g) vì: DBM = MCE = 600 · · (cm trên) BDM = CME Suy ra: 4b x z y 21 + ÷+ ÷+ z y z 16 0,25 a 3a · Vì HBM Suy chu vi tam giác ADE = 600 BM=a nên BH= ⇒ AH = 2 không đổi 3a Chia 64 ô vuông bảng 8x8 thành loại hình vẽ (Các ô loại đánh số giống nhau) Khi theo cách chia rõ ràng ô loại điểm chung Khi đánh dấu 13 điểm bất kì, 13 điểm thuộc loại ô vừa chia Vì 13=4.3+1 nên theo nguyên lí Đirichlê tồn ô thuộc loại, ô điểm chung Suy đpcm 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 0,25 0,25 0,25 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009. MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,5đ) 1.1 (0,75đ) Giải, xác định đúng điều kiện: 2 2 ; 2 2 x x − < ≥ ⇔ 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = − + = ⇔ ⇔ ⇔ = = − − = = − (Thỏa mãn) 0,25 0,25 0,25 1.2 (1.0đ) Điều kiện : 2 2 2 2 4 0 (1) 16 0 (2) 4 1 0 (3) 2 3 0 (4) x x x x y y − ≥ − ≥ + ≥ + − − ≥ Từ (2) ⇔ (x 2 – 4)(x 2 + 4) 2 0 4 0x≥ ⇔ − ≥ kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y 2 – 2y + 1 0≥ ; Đúng với mọi giá trị của y. Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5) 0.5đ 0,5 1.3 (0,75đ) Biến đổi đưa được pt về dạng: (x 2 – 2y 2 – 5)(x 2 + y 2 +1) = 0 ⇔ x 2 – 2y – 5 = 0 ⇔ x 2 = 2y 2 + 5 ⇔ x lẻ Đặt x = 2k + 1 ; ( k Z∈ ) ⇔ 4k 2 + 4k +1 = 2y 2 + 5 ⇔ 2y 2 = 4k 2 + 4k – 4 ⇔ y 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ y chẵn Đặt y = 2n; (n Z∈ ) ⇔ 4n 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ 2n 2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ pt đã cho vô nghiệm 0,25 0,25 0,25 2 (2,0đ) 2.1 (1,0đ) Để 18n + và 41n − là hai số chính phương 2 18n p⇔ + = và ( ) 2 41 ,n q p q− = ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + = Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = = ⇔ + = = Từ 2 2 18 30 900n p+ = = = suy ra 882n = Thay vào 41n − , ta được 2 2 882 41 841 29 q− = = = . Vậy với 882n = thì 18n + và 41n − là hai số chính phương 0,5 0,5 2.2 (1,0đ) Gọi số cần tìm là : 10ab a b= + (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b+ = + là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có: ( ) 2 2 10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + ⇔ + = + + ⇔ − = ( ) 2 5 b a⇔ − = (vì 0a ≠ ) 0,5 Do đó a phải là số chẵn: 2a k= , nên 5 b k− = Nếu 1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) 0, 5 3 3,25đ) 3.1 (1,0) d d ' D B A L I E N P H O M Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn Toán Lớp 5 Năm học 2008 - 2009 ( Thời gian làm bài 90 phút không kể thơi gian giao đề) Chịu trách nhiệm ra đề: Trờng tiểu học Hội Sơn Câu1: a, Điền số thích hợp vào chỗ chấm: 675 kg = tạ ; 758 m 2 = .a ; 1,6 giờ = . phút ; 489dm 3 = m 3 ; b. Viết các phân số sau dới dạng số thập phân: : ; 10 abc 100 abc ; 1000 ab ; 100 a ; c. Một số sau khi giảm đi 20%. Để đợc số ban đầu thì số mới phải tăng thêm là: ( Khoanh tròn vào chữ cái mà em cho là đúng) A. 20% ; B 35% ; C. 30% ; D. 25% Câu 2: Tớnh nhanh : a. 49,8 48,5 + 47,2 - 45,9 + 44,6 43,3 + 42 40,7 b. 1 + 3 + 5 + 7 +.9 + 11 + .2005 + 2007 + 2009 Câu 3: Tìm x: 2 x x + 2 1 3 = 3 2 5 ; 75% x x - 0,25 x x = 1 Câu 4: Học kỳ vừa qua lớp 5A có 8 1 số học sinh học lực đạt loại giỏi, một nửa số học sinh đạt loại khá, còn lại 9 em đạt trung bình. a, Tính số học sinh lớp 5A. b, Tính tỷ lệ phần trăm số học sinh đạt loại khá trở lên. Câu 5: Hai lớp 5A và 5B đợc phân công cùng làm chung một công việc. Nếu một mình lớp 5A làm thì sau 3 giờ sẽ xong công việc, nếu một mình lớp 5B làm thì sau 4 giờ sẽ xong công việc đó. Nhng khi chuẩn bị làm thì nhà trờng chuyển 1 số bạn đi làm công việc khác, chỉ để lại 2 1 số học sinh lớp 5A và 3 1 số học sinh lớp 5B làm công việc đó. Hỏi các bạn phải làm trong bao lâu mới xong công việc đợc giao lúc đầu. Câu 6: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD gấp 2 lần đáy bé AB. a, Hãy tính chiều cao hình thang, cho biết diện tích hình thang là 241,5 m 2 và đáy AB dài 11,5m. b. Kéo dài AB về phía B một đoạn BN, sao cho diện tích hình tam giác BNC bằng diện tích hình thang ABCD. So sánh BN với AB. c, Trên AC lấy O sao cho OA bằng OC. Nối NO cắt BC tại M. So sánh diện tích tam giác ABO với diện tích tam giác MOC Hớng dẫn chấm. Câu 1. (4 điểm) a. (2 điểm) Học sinh đổi đợc các số đo mỗi phép cho 0.5 điểm 675 kg = 6,75 tạ ; 758 m 2 = 1,58.a ; 1,6 giờ = 96 phút ; 489dm 3 = 0,489 m 3 ; b. (1 điểm) Viết đúng mỗi số cho 0.25 điểm. Số cần viết theo thứ tự: ab,c ; a,bc ; 0,abc ; 0, 0a c. (1 điểm) Học sinh khoanh tròn đúng đáp án C. Câu 2: (3 điểm). Tính nhanh a.(1,5 điểm) 49,8 48,5 + 47,2 - 45,9 + 44,6 43,3 + 42 40,7 = 1,3 + 1,3 + 1,3 + 1,3 = 1,3 x 4 = 5,2 b. (1,5 điểm) . 1 + 3 + 5 + 7 +.9 + 11 + + 2005 + 2007 + 2009 Tính đợc số số hạng : (2009 1 ) : 2 + 1 = 1005 Tính đợc giá trị 1 cặp: 2009 + 1 = 2010 Tính đợc tổng: 1005 x 2010 : 2 = 1010025 (Học sinh có thể làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) Câu 3: (3 điểm). Tìm x: Mỗi bài đúng cho 1,5 điểm a) 2 x x + 2 1 3 = 3 2 5 ; b) 75% x x - 0,25 x x = 1 2 x x + 2 7 = 3 17 ; 0,75 x x 0,25 x x = 1 2 x x = 3 17 - 2 7 ; x x ( 0,75 0,25) = 1 2 x x = 6 13 ; x x 0,5 = 1 x = 6 13 : 2 ; x = 1 : 0,5 x = 12 13 ; x = 2 ( Học sinh có thể làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) Câu 4: (3 điểm). a. (2 điểm) Tính đợc số phần học sinh giỏi và học sinh khá 8 1 + 2 1 = 8 5 (cho 0,5điểm) Tính đợc số phần học sinh trung bình: 1 - 8 5 = 8 3 (cho 0,5 điểm) Tính đợc số học sinh lớp 5A: 9 : 8 3 = 24 (em) (cho 1 điểm) b) (1 điểm ) Tính đợc tỷ lệ phần trăm số HS giỏi và HSkhá : (24 9 ) : 24 = 62,5% Câu 5.( 3 điểm) Lớp 5A làm xong công việc đó trong 3 giờ nên 1 giờ làm đợc 3 1 công việc. (0,25 điểm) Lớp 5B làm xong công việc đó trong 4 giờ nên 1 giờ làm đợc 4 1 công việc.(0,25 điểm) 2 1 số học sinh lớp 5A trong 1 giờ làm đợc: 2 1 3 1 ì = 6 1 ( công việc) (cho 0,5 điểm) 3 1 số học sinh lớp 5B trong 1 giờ làm đợc: 3 1 4 1 ì = 12 1 ( công việc) (cho 0,5 điểm) 2 1 số học sinh lớp 5A và 3 1 số học sinh lớp 5B trong 1 giờ làm đợc: 6 1 + 12 1 = 4 1 ( công việc). ( cho 0,75 điểm) Thời gian cần có để các bạn làm xong công việc là: 1 : 4 1 = 4 (giờ). ( cho 0,75 điểm) Câu 6: (4 điểm) Phòng GD & ĐT Huyện Tân kỳ Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn : Toán Vòng I Năm học : 2008 2009. (Thời gian : 150 phút không kể thời gian chép đề ) Bài 1: (1,5 điểm) Tính : 2 15 8 15 16P x x= + với : 3 5 5 3 x = + Bài 2: (1,5 điểm) Chứng minh rằng , với mọi số nguyên x, y số : M = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phơng. Bài 3: (2,0 điểm) Giải phơng trình : a) 2 1 0x x = b) 2 2 6 4 42 14 5 51x x x x x + + = + Bài 4 : (2,0 điểm) Cho các số thực x, y thoả mãn : 20x 2 + 11y 2 = 2008. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức : 2 5. 11.N x y= + Bài 5: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của cạnh huyền BC. Một góc xMy bằng 45 0 quay quanh M, sao cho tia Mx, My tơng ứng cắt AB, AC tại E, F. Chứng minh rằng : Khi góc xMy quay quanh M : a) Tích số BE.CF luôn bằng diện tích tam giác ABC. b) Điểm M luôn luôn cách đều ba đờng thẳng AB, EF, AC.