Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Phòng GD&ĐT huyện Yên Thành
Đề thi phát học sinh giỏi lớp năm học 2008-2009
Môn :Toán
Thời gian làm 120 phút Câu1: (2,0 ®iÓm)
Cho biÓu thøc P =
1
4
3 n n
x x
x x
a, Tìm điều kiện để P có nghĩa rút gọn P b, Tính giá trị biểu thức P |x| = Câu2: (3 điểm)
a, Giải phơng trình
(x - 1)(x + 1)(x2 - ) = 6
b, Cho a, b, c l số hữu tỷ khác thoả mÃn a + b + c = Chøng minh r»ng:
M =
1 1
a b c bình phơng số hữu tỷ.
B i 3:(4điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (â=900) Trên cạnh AB lấy điểm M (M A; M
B) Kẻ BD vuông góc với CM, BD cắt CA E Chứng minh: a EB.ED = EA.EC
b.ADE = 450.
c BD.BE + CA.CE không đổi Bài 4: (1.0điểm)
Cho S =
3 3 3 2009
a a a a ; P = a a1 2 a a3 2009
Trong a ;a ;a ; ;a1 2009 số nguyên.
Chøng minh r»ng: S 6 P
Cán coi thi không giải thích thêm
Đáp án biểu ®iĨm
Kú thi ph¸t hiƯn häc sinh giái líp môn Toán
Câu Nội dung Điểm
1 (2đ)
a, Đkxđ:
0
x x
0,25
(2)P =
2
4
3 n n
x x
x x
P =
(3 )( 1) (3 )
n
x x
x x
P =
1
n
x x
0,25
b, |x| = ⇒
1
x x
+ NÕu x = th× P = + NÕu x = -1; n ch¼n th× P = - 2,
n lẻ P =
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
2
(3®) a, (x - 1)(x + 1)(x
2 - 2) = 6
⇔ (x2 - 1)(x2 -2) = (1) §Ỉt x2 - = a
Do (1) ⇔ a(a - 1) = ⇔ a2 - a - =
⇔ (a - 3)(a + 2) = 0 ⇔
3
a a
NÕu a = th× x2 - = ⇔ x2 = 4 ⇔
2
x x
NÕu a = -2 th× x2 - = -2 ⇔ x2 = -1 x không tồn tại
Vậy nghiệm phơng trình là:x = 2; x= -2 0,5
0,5 0,5 0,25 0,25
2
1 1 1 2 1
2 2
2
1 1 2
2 1
a b c ab bc ac a b c
a b c a b c abc
a b c b, Ta cã:
VËy M bình phơng số hữu tỷ
0,5 0,5
(3)3 (4®)
a
AEB ~ DEC (Vì tam giác vuông có chung góc E) Nên EA
ED = EB
EC vËy EB ED= EA EC C
H
M
A B D
E
1,0
b
Tõ EB ED= EA EC ta cã ED
EC = EA
EB Góc E chung nên tam
giác EDA đồng dạng với tam giác ECB Nên ADE = C ( mà C = 450)
VËy gãc ADE = 450
1,0
c
Ta có M trực tâm tam giác ECB
Gọi H giao điểm EM CB nên EH CB Tơng tự câu a ta có: BD BE = BH BC
CA CE = CH CB
VËy BD BE + CA CE = BC(CH + BH) = BC2
1,0
4 (1®)
Ta cã: k3- k ( víi k)
ThËt vËy: k3- k = k(k - 1)(k + 1) Mµ k, k - 1, k + lµ ba sè nguyªn liªn tiÕp nªn cã mét sè chia hÕt cho 2, mét sè chia hÕt cho
mµ (2; 3) = vµ 2.3 = vËy k(k - 1)(k + 1) S - P =
3 3
1 2 2009 2009 (a a ) (a a ) (a a ) 6
V×
3 3
1 2 2009 2009 a a 6;a a 6; ;a a 6
Do S P (đpcm)