PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1 (2,5 điểm) Giải các phương trình sau: 1. 3x 2 + 4x + 10 = 2 2 14 7x − 2. 2 4 2 2 4 4 4 16 4 1 2 3 5x x x x y y y− − − + + + + − − = − 3. x 4 - 2y 4 – x 2 y 2 – 4x 2 -7y 2 - 5 = 0; (với x ; y nguyên) Bài 2: (2.5 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để 18n + và 41n − là hai số chính phương. 2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như sau: 64 6 4= + Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó. Bài 3: (3,25 điểm) Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm). 1. Chứng minh rằng 2 2 .MN MP MA MB= = 2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông. 3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di động trên đường thẳng d. Bài 4: (1,5 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục hoành lấy ba điểm M(a; 0); N(b; 0), Q(c; 0). Nối PM; PN; PQ lần lượt cắt đường tròn (K) tại A; B ; C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c. Bài 5: (0,75 điểm) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 2 2 2 19b - a 19c - b 19a - c + + 3(a + b + c) ab + 5b cb + 5c ac + 5a ≤ Hết./ PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6; 7; CẤP HUYỆN - NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) 1 23 + + + ).x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 6 3 − − 289 − 85 + 13 + 169 + 91 304304304 b) Thực phép tính: A = 2016 4 : 6 945945945 4− − − 6+ + + 289 85 13 169 91 a) Tìm số tự nhiên x , biết : ( Câu 2, (2,5 điểm) a)Tìm số tự nhiên x, y cho (2x + 1)(y – 5) = 12 b)Tìm số tự nhiên cho 4n-5 chia hết cho 2n-1 c) Tìm tất số M = 62xy427 , biết số M chia hết cho 99 Câu (2,0 điểm) 12n + 30n + b) Chứng minh tồn số tự nhiên viết chữ số chữ số mà số chia hết cho 2015 Câu (2,0 điểm) a) Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia BA lấy O (O khác B) a) Chứng minh phân số sau phân số tối giản với số tự nhiên n: So sánh độ dài đoạn thẳng OM trung bình cộng hai đoạn thẳng OA OB b) Cho 10 đường thẳng đồng quy O Hỏi có góc đỉnh O tạo thành (không kể góc bẹt) ? Câu (1,5 điểm) a) Cho tổng : S = 1 + + + Chứng minh : < S < 31 32 60 5 b) Tìm số tự nhiên A B biết A có n ước số tự nhiên a 1, a2, , an B có m ước số tự nhiên b1, b2, , bm thỏa mãn : a12.a22 an2 = 729 b12.b22 bm2 =1296 Hết -Chú ý : - Cán coi thi không giải thích thêm - Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay PHÒNG GD&ĐT SÔNG LÔ Câu Phần a 1đ Câu (2 điểm) KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN Nội dung 1 23 Theo đề ( + + + ).x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 1 1 1 ).x = 23 ⇒ ( − + − + + 1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 1 x = 23 ( − ) 2 90 45 23 ⇒ x= 11 Vậy giá trị x thỏa mãn yêu cầu toán Điểm 0,5 ⇒ b 1đ 6 3 − − 289 − 85 + 13 + 169 + 91 304304304 : Ta có: A = 2016 4 6 945945945 4− − − 6+ + + 289 85 13 169 91 1 1 1 − − 289 − 85 ÷ 1 + 13 + 169 + 91 ÷ 304.1001001 : = 2016 1 1 1 945.1001001 1 − − − ÷ 1 + + + ÷ 289 85 13 169 91 304 = 2016 : ÷ 945 304 9728 = 2016 = 945 Câu ( 2,5 điểm ) a 0,75đ b 0,75đ 0,5 Ta có 2x+1; y-5 ước 12 12= 1.12=2.6=3.4 2x+1 lẻ => 2x+1 =1 2x+1=3 2x+1=1 => x=0; y-5=12 => y=17 2x+1=3=> x=1; y-5=4=>y=9 Vậy (x,y) = (0,17); (1,9) Ta có 4n-5 = 2( 2n-1)-3 Để 4n-5 chia hết cho 2n - => chia hết cho 2n - *) 2n - 1=1 => n =1 *) 2n – = => n = *) 2n-1=-1=> n=0 *) 2n-1=-3 (loại) 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 n = 0; ; c 1đ Câu (2 điểm) a 1đ Ta có 99=11.9 M chia hết cho 99 => M chia hết cho 11và M chia hết cho 99 +) M chia hết cho => ( 6+2+4+2+7+x+y) chia hết cho (x+y+3) chia hết cho 9=> x+y=6 x+y =15 +) M chia hết cho 11=> (7+4+x+6-2-2-y) chia hết cho11=> (13+x-y)chia hết cho 11 x-y=9 (loại) y-x=2 y-x=2 x + y = => y = 4; x = y-x = x + y = 15 (loại) B = 6224427 Câu (2 điểm ) a 1đ 0,25 0,25 0,25 Gọi d ƯCLN 12n + 30n + ⇒ ( 30n + ) − ( 12n + 1) = −1Md ⇒ d = Vậy phân số b 1đ 0,25 0,5 12n + tối giản với số tự nhiên n 30n + Xét 2016 số : 2;22;222;…;222…2 số cuối có 2016 chữ số Các số chia cho 2015 ta 2016 số dư Mà số tự nhiên chia cho 2015 có số dư : 0;1;2;…;2014 có 2015 khả dư Do theo nguyên tắc Đrichlê tồn hai số số có số dư chia cho 2015 Hiệu chúng có dạng 222…2000…0 chia hết cho 2015 A M B 0,5 0.25 0.25 0.5 O M trung điểm đoạn thẳng AB nên M nằm A B ; MA=MB (1) Hai tia BM, BA trùng nhau; hai tia BO, BA đối B nằm O M suy OM=OB+BM (2) Hai tia MA, MB đối nhau, hai tia MB, MO trùng suy ta hai tia MA, MO đối M nằm A O Vậy OM+MA=OA ⇒ OM=OA-MA (3) Từ (1), (2) (3) suy 2OM=OA+OB hay OM= OA + OB 0,25 0,25 0,25 0,25 b 1đ Câu ( 1,5 điểm ) 10 đường thẳng đồng quy O ⇒ có 20 tia gốc O Chọn tia, tia tạo với tia 19 tia lại thành góc Làm với 20 tia ta có 20.19 =380 góc, góc tính hai lần Do số góc tạo thành là: 380:2 =190 góc Số góc tạo thành khác góc bẹt là: 190-10 = 180 góc Ta có : 1 1 1 1 S = + + + ÷+ + + + ÷+ + + + ÷ 40 41 42 50 51 52 60 31 32 1 1 1 ⇒ S < + + + ÷+ + + + ÷+ + + + ÷ 30 40 40 40 50 50 50 30 30 10 10 10 47 48 hay S < + + từc là: S < < Vậy S < (1) 30 40 50 60 60 Mặt khác: 1 1 1 S > + + + ÷+ + + + ÷+ + + + ÷ 40 50 50 50 60 60 60 40 40 10 10 10 37 36 ⇒ S> + + tức : S > > Vậy S > (2) 40 50 60 60 60 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 Từ (1) (2) suy :đpcm Từ a12a22 an2 = 729 suy a1a2 an =27 Giả sử a1< a2 < < an Khi an =A an Ma1, an Ma2, , an Man-1 Mặt khác a1a2 an =27 =1.3.9 nên an=9 Từ A=9 Lại có b12b22 bm2 =1296, suy b1b2 bm=36 Giả sử b1< b2 < < bm Khi bm =B bmMb1, bmMb2, , bmMbm-1 Vì b1b2 bm=36=1.2.3.6 nên bm=6 hay B=6 Vậy A=9; B=6 Lưu ý Học sinh có cách giải khác cho điểm tối đa 0,5 0,25 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI - CẤP TỈNH. NĂM HỌC 2008-2009. MÔN THI: Toán (Thời gian làm bài 150 phút) Câu Ý Nội dung Điểm 1 (2,5đ) 1.1 (0,75đ) Giải, xác định đúng điều kiện: 2 2 ; 2 2 x x − < ≥ ⇔ 2 2 2 4 4 2 1 2 2 1. 7 7x x x x+ + + − − − + = 0 2 ( 2) ( 2 1 7) 0x x⇔ + + − − = 2 2 2 0 2 2 2 1 7 0 2 x x x x x x = − + = ⇔ ⇔ ⇔ = = − − = = − (Thỏa mãn) 0,25 0,25 0,25 1.2 (1.0đ) Điều kiện : 2 2 2 2 4 0 (1) 16 0 (2) 4 1 0 (3) 2 3 0 (4) x x x x y y − ≥ − ≥ + ≥ + − − ≥ Từ (2) ⇔ (x 2 – 4)(x 2 + 4) 2 0 4 0x≥ ⇔ − ≥ kết hợp với (1) và (3) suy ra x = 2 Thay vào (4): y 2 – 2y + 1 0≥ ; Đúng với mọi giá trị của y. Thay x = 2 vào phương trình và giải đúng, tìm được y = 1,5 Vậy nghiệm của phương trình: (x = 2; y = 1,5) 0.5đ 0,5 1.3 (0,75đ) Biến đổi đưa được pt về dạng: (x 2 – 2y 2 – 5)(x 2 + y 2 +1) = 0 ⇔ x 2 – 2y – 5 = 0 ⇔ x 2 = 2y 2 + 5 ⇔ x lẻ Đặt x = 2k + 1 ; ( k Z∈ ) ⇔ 4k 2 + 4k +1 = 2y 2 + 5 ⇔ 2y 2 = 4k 2 + 4k – 4 ⇔ y 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ y chẵn Đặt y = 2n; (n Z∈ ) ⇔ 4n 2 = 2(k 2 + k – 1) ⇔ 2n 2 + 1 = k(k + 1) (*) Nhìn vào (*) ta có nhận xét: Vế trái nhận giá trị lẻ, vế phải nhận giá trị chẵn (Vì k và k + 1 là hai số nguyên liên tiếp) ⇔ (*) vô nghiệm ⇔ pt đã cho vô nghiệm 0,25 0,25 0,25 2 (2,0đ) 2.1 (1,0đ) Để 18n + và 41n − là hai số chính phương 2 18n p⇔ + = và ( ) 2 41 ,n q p q− = ∈ N ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 18 41 59 59p q n n p q p q⇒ − = + − − = ⇔ − + = Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: 1 30 59 29 p q p p q q − = = ⇔ + = = Từ 2 2 18 30 900n p+ = = = suy ra 882n = Thay vào 41n − , ta được 2 2 882 41 841 29 q− = = = . Vậy với 882n = thì 18n + và 41n − là hai số chính phương 0,5 0,5 2.2 (1,0đ) Gọi số cần tìm là : 10ab a b= + (a, b là số nguyên và a khác 0) Theo giả thiết: 10a b a b+ = + là số nguyên, nên ab và b là các số chính phương, do đó: b chỉ có thể là 1 hoặc 4 hoặc 9 Ta có: ( ) 2 2 10 10 2 2 5a b a b a b a a b b a b a+ = + ⇔ + = + + ⇔ − = ( ) 2 5 b a⇔ − = (vì 0a ≠ ) 0,5 Do đó a phải là số chẵn: 2a k= , nên 5 b k− = Nếu 1 8 81 8 1 9b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 4 6 64 6 4 8b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) Nếu 9 4 49 4 9 7b a= ⇒ = ⇒ = + = (thỏa điều kiện bài toán) 0, 5 3 3,25đ) 3.1 (1,0) d d ' D B A L I E N P H O M Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Môn Toán Lớp 5 Năm học 2008 - 2009 ( Thời gian làm bài 90 phút không kể thơi gian giao đề) Chịu trách nhiệm ra đề: Trờng tiểu học Hội Sơn Câu1: a, Điền số thích hợp vào chỗ chấm: 675 kg = tạ ; 758 m 2 = .a ; 1,6 giờ = . phút ; 489dm 3 = m 3 ; b. Viết các phân số sau dới dạng số thập phân: : ; 10 abc 100 abc ; 1000 ab ; 100 a ; c. Một số sau khi giảm đi 20%. Để đợc số ban đầu thì số mới phải tăng thêm là: ( Khoanh tròn vào chữ cái mà em cho là đúng) A. 20% ; B 35% ; C. 30% ; D. 25% Câu 2: Tớnh nhanh : a. 49,8 48,5 + 47,2 - 45,9 + 44,6 43,3 + 42 40,7 b. 1 + 3 + 5 + 7 +.9 + 11 + .2005 + 2007 + 2009 Câu 3: Tìm x: 2 x x + 2 1 3 = 3 2 5 ; 75% x x - 0,25 x x = 1 Câu 4: Học kỳ vừa qua lớp 5A có 8 1 số học sinh học lực đạt loại giỏi, một nửa số học sinh đạt loại khá, còn lại 9 em đạt trung bình. a, Tính số học sinh lớp 5A. b, Tính tỷ lệ phần trăm số học sinh đạt loại khá trở lên. Câu 5: Hai lớp 5A và 5B đợc phân công cùng làm chung một công việc. Nếu một mình lớp 5A làm thì sau 3 giờ sẽ xong công việc, nếu một mình lớp 5B làm thì sau 4 giờ sẽ xong công việc đó. Nhng khi chuẩn bị làm thì nhà trờng chuyển 1 số bạn đi làm công việc khác, chỉ để lại 2 1 số học sinh lớp 5A và 3 1 số học sinh lớp 5B làm công việc đó. Hỏi các bạn phải làm trong bao lâu mới xong công việc đợc giao lúc đầu. Câu 6: Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD gấp 2 lần đáy bé AB. a, Hãy tính chiều cao hình thang, cho biết diện tích hình thang là 241,5 m 2 và đáy AB dài 11,5m. b. Kéo dài AB về phía B một đoạn BN, sao cho diện tích hình tam giác BNC bằng diện tích hình thang ABCD. So sánh BN với AB. c, Trên AC lấy O sao cho OA bằng OC. Nối NO cắt BC tại M. So sánh diện tích tam giác ABO với diện tích tam giác MOC Hớng dẫn chấm. Câu 1. (4 điểm) a. (2 điểm) Học sinh đổi đợc các số đo mỗi phép cho 0.5 điểm 675 kg = 6,75 tạ ; 758 m 2 = 1,58.a ; 1,6 giờ = 96 phút ; 489dm 3 = 0,489 m 3 ; b. (1 điểm) Viết đúng mỗi số cho 0.25 điểm. Số cần viết theo thứ tự: ab,c ; a,bc ; 0,abc ; 0, 0a c. (1 điểm) Học sinh khoanh tròn đúng đáp án C. Câu 2: (3 điểm). Tính nhanh a.(1,5 điểm) 49,8 48,5 + 47,2 - 45,9 + 44,6 43,3 + 42 40,7 = 1,3 + 1,3 + 1,3 + 1,3 = 1,3 x 4 = 5,2 b. (1,5 điểm) . 1 + 3 + 5 + 7 +.9 + 11 + + 2005 + 2007 + 2009 Tính đợc số số hạng : (2009 1 ) : 2 + 1 = 1005 Tính đợc giá trị 1 cặp: 2009 + 1 = 2010 Tính đợc tổng: 1005 x 2010 : 2 = 1010025 (Học sinh có thể làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) Câu 3: (3 điểm). Tìm x: Mỗi bài đúng cho 1,5 điểm a) 2 x x + 2 1 3 = 3 2 5 ; b) 75% x x - 0,25 x x = 1 2 x x + 2 7 = 3 17 ; 0,75 x x 0,25 x x = 1 2 x x = 3 17 - 2 7 ; x x ( 0,75 0,25) = 1 2 x x = 6 13 ; x x 0,5 = 1 x = 6 13 : 2 ; x = 1 : 0,5 x = 12 13 ; x = 2 ( Học sinh có thể làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) Câu 4: (3 điểm). a. (2 điểm) Tính đợc số phần học sinh giỏi và học sinh khá 8 1 + 2 1 = 8 5 (cho 0,5điểm) Tính đợc số phần học sinh trung bình: 1 - 8 5 = 8 3 (cho 0,5 điểm) Tính đợc số học sinh lớp 5A: 9 : 8 3 = 24 (em) (cho 1 điểm) b) (1 điểm ) Tính đợc tỷ lệ phần trăm số HS giỏi và HSkhá : (24 9 ) : 24 = 62,5% Câu 5.( 3 điểm) Lớp 5A làm xong công việc đó trong 3 giờ nên 1 giờ làm đợc 3 1 công việc. (0,25 điểm) Lớp 5B làm xong công việc đó trong 4 giờ nên 1 giờ làm đợc 4 1 công việc.(0,25 điểm) 2 1 số học sinh lớp 5A trong 1 giờ làm đợc: 2 1 3 1 ì = 6 1 ( công việc) (cho 0,5 điểm) 3 1 số học sinh lớp 5B trong 1 giờ làm đợc: 3 1 4 1 ì = 12 1 ( công việc) (cho 0,5 điểm) 2 1 số học sinh lớp 5A và 3 1 số học sinh lớp 5B trong 1 giờ làm đợc: 6 1 + 12 1 = 4 1 ( công việc). ( cho 0,75 điểm) Thời gian cần có để các bạn làm xong công việc là: 1 : 4 1 = 4 (giờ). ( cho 0,75 điểm) Câu 6: (4 điểm)