Tia Oz có phải là tia phân giác của ·tOy không?. c Lấy các điểm: M thuộc tia Ot, N thuộc tia Oz, P thuộc tia Oy, Q thuộc tia Ox các điểm đó khác điểm O.. Mặt khác tổng các chữ số của A b
Trang 1PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6 NĂM HỌC 2015-2016
Đề thi chính thức Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1: a) Tìm x biết 7 2+ x 1− =28−42−(22−1)
1.3 3.9 9.17 17.32 32.45 45.50 50.67
Bài 2: a) Không quy đồng mẫu, hãy so sánh = − + −
A
= 172015 + 20169
B
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho a =3
b 5; b =12
c 21; c = 6
d 11
Bài 3: a) Cho n 3a9 7b5 Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9 Tìm a và b = +
b) Cho A 10= 2011+102012+102013+ + 102018+16 Chứng minh rằng A chia hết cho 48
Bài 4: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho ·xOy 80= 0và ·xOz 130= 0
a) Tính số đo của ·yOz
b) Gọi Ot là tia đối của tia Ox Tia Oz có phải là tia phân giác của ·tOy không ? Vì sao ?
c) Lấy các điểm: M thuộc tia Ot, N thuộc tia Oz, P thuộc tia Oy, Q thuộc tia Ox (các điểm đó khác điểm O) Qua 5 điểm M, N, P, Q, O vẽ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng n S n+ ( ) =2016 , trong đó S(n) là tổng các chữ số của n
BÀI GIẢI Bài 1: a) Ta có 7 2+ x 1− =28 16 3−[ − ⇔] 2x 1− =28 13 7− − ⇔2x 1− = ⇔8 2x 1− =23 ⇔ − = ⇔ =x 1 3 x 4
1.3 3.9 9.17 17.32 32.45 45.50 50.67
Bài 2: a) Ta có = − + − + −
2015 2016 2016
A
2015 2016 2015
B
b) Ta có a 3x
b =5x; b 12 4y
c =21=7y ; c 6z
d 11z= với x, y, z ∈ N* Suy ra a = 3x; b = 5x = 4y; c = 7y = 6z
và d = 11z Vì (5; 4) = 1 và (7; 6) = 1 nên y 5
y 6
M
M ⇒ y ∈ BC(5; 6) mà b, c là số nguyên dương nhỏ nhất nên
y = BCNN(5; 6) = 30 Từ đó ta có x 4y 24
5
6
= = Vậy a = 3x = 3 24 = 72; b = 5x = 5 24 = 120; c = 7y = 7 30 = 210; d = 11z = 11 35 = 385
Bài 3: a) Vì n chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của n là (3 + a + 9 + 7 + b + 5) chia hết cho 9, hay
(6 a b 9+ + )M ⇒ − + +(a b a b 9)M⇔2a 9M⇒a 9M (Vì 2 không chia hết cho 9) Ta lại có 0 a,b 9≤ ≤ nên a
∈ {0; 9}
Với a = 0 thì b = -6 (loại) Với a = 9 thì b = 3 thỏa mãn bài toán
b) Ta có 2011 4 2007 4 2007
10 =10 10 =16.5 10 chia hết cho 16, tương tự 2012
10 , …, 2018
10 đều chia hết cho 16, do đó A chia hết cho 16 Mặt khác tổng các chữ số của A bằng 1 8 + 1 + 6 = 15 chia hết cho 3,
mà (16; 3) = 1 nên A chia hết cho 3 16 = 48
Trang 2Bài 4:
a) Vì 2 tia Oy và Oz cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia Ox và ·xOz xOy>·
Do đó tia Oy nằm giữa tia Ox và tia Oz, suy ra ·xOy yOz xOz+· =· ⇒yOz 130· = 0−800 =500
b) Vì tia Ot là tia đối của tia Ox nên tia Oz nằm giữa tia Ox, tia Ot và ·xOt 180= 0
Do đó ·xOz zOt xOt+¶ =· ⇒zOt 180¶ = 0−1300 =500 ⇒yOz zOt· = ¶ (1) Mặt khác tia Oy, tia Oz cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xt mà ·xOy xOz xOt<· <· nên tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot (2) Từ (1) và (2) suy ra tia Oz là tia phân giác của ·tOy
c) Có tất cả 5 điểm M, N, P, Q, O Giả sử 5 điểm này không có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta vẽ được 5 5 1( )
10 2
−
= đường thẳng Nhưng vì có 3 điểm M, O, Q thuộc 2 tia Ox, Ot đối nhau nên chúng thẳng hàng, do đó qua 3 điểm này chỉ vẽ được đúng 1 đường thẳng, trong khi đó đáng lẻ vẽ được 3 đường thẳng Vì vậy số đường thẳng bị giảm đi là 3 – 1 = 2 (đường thẳng) Do đó ta chỉ vẽ được tất cả 10 – 2 = 8 (đường thẳng)
Bài 5: Nếu n là số có 3 chữ số thì n S n+ ( ) <2016 Nếu n là số có 5 chữ số thì n S n+ ( ) >2016
Do đó n là số có 4 chữ số Ta đặt n abcd= với 1 a 9≤ ≤ ; 0 b, c, d 9≤ ≤ , khi đó 1 S n≤ ( ) ≤36 Mặt khác 2016 chia hết cho 9 nên n S n+ ( ) phải chia hết cho 9 Nếu n chia hết cho 9 thì S(n) cũng chia hết cho 9 Do đó S n( ) {∈ 0;9;18;27;36} với n 2016 S n= − ( ) Lần lượt thay S(n) ta được n = 2007; n
= 1989 thỏa mãn bài toán
Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh
O
y
x
z
Q g
g