đề thi hsg cấp tỉnh toán 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHOÁ NGÀY 18 – – 2016 Đề thức Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 18/3/2016 Bài (5,0 điểm) a Tính tổng T = 1+ 1 1 1 + + + + + + + + 2 3 2015 20162 2 b Tìm giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + ) x + = y Bài (3,0 điểm) Cho phương trình x + ax + b + = với a, b tham số Tìm giá trị a, b để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thoả mãn điều kiện:  x1 − x =  3  x1 − x = Bài (3,0 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= 4a 9b 16c + + b +c −a a + c −b a +b −c Bài (9,0 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính BC =2R điểm A thay đổi đường tròn (O) (A không trùng với B, C) Đường phân giác góc A tam giác ABC cắt đường tròn điểm K (K ≠ A) Hạ AH vuông góc với BC a) Đặt AH =x Tính diện tích S tam giác AHK theo R x.Tìm x cho S đạt giá trị lớn b) Tính góc B tam giác ABC biết : AH = HK Một đường thẳng d thay đổi cắt hai cạnh Ox, Oy góc nhọn xOy hai điểm M, N thoả hệ thức: thẳng d qua điểm cố định + = Chứng tỏ đường OM ON SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS KHOÁ NGÀY: 18 – – 2016 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN (Bản hướng dẫn có 03 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1a 2,5 Nội dung Ta thấy : 1 1 1 1   − ÷ = 1+ + + 2 − − ÷ 1 +  a −1 a   a −1 a a −1 a  ( a − 1) a =1+ =1+ + a − ( a − 1) − +2 a a ( a − 1) + a2 ( a − 1) ( a − 1) 1,5 Từ suy 1   1  1  T = 1 + − ÷+ 1 + − ÷+ + 1 + − ÷  3  4  2015 2016  1 = 2014 + − 2016 2014.2016 + 1008 − 4061231 = = 2016 2016 1b 2,5 0,5 0,5 Ta có: ( y + 2) x + = y ⇔ ( y + 2) x = y − (1) Ta thấy y=−2 nghiệm pt (1) nên y ≠ −2 ta có:  −2 < y ≤ − y2 −1 (1) ⇔ x = ≥0⇔  pt y+2 y ≥1 Do x ∈ Z ⇒ ( y − 1) ( y + 2) mà ( y + y ) ( y + 2) suy 1,0  y = −1  y = −3 (2 y + 1) ( y + 2) mà (2 y + 4) ( y + 2) ⇒ 3( y + 2) ⇒  y =   y = −5 1,0  x = 0; y = Từ ta có cặp nghiệm cần tìm :   x = 0; y = −1 Điể m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x ⇔ ∆ = a − 4(b + 1) > (*)  x1 + x2 = − a Khi theo định lý Vi-et, ta có  (1)  x1 x2 = b +  x1 − x =  x1 − x =  x − x2 = ⇔ ⇔ Bài toán yêu cầu  (2)  3  x1 x = −2 ( x1 − x ) + 3x1x ( x1 − x ) =  x1 − x = Từ hệ (2) ta có: ( x + x ) = ( x − x ) + x x = 32 + 4(−2) = 1 2 a2 =  a = 1, b = −3 ⇔ Kết hợp với (1)   a = −1, b = −3 b + = − Các giá trị thoả mãn điều kiện (*) nên chúng giá trị cần tìm 0,5 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 Bài Nội dung Đặt: b + c − a = x; c + a − b = y; a + b − c = z Vì tam giác tổng hai cạnh lớn cạnh lại nên x, y, z >0 a = y + z; b = z + x; c = x + y Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương, ta có : Điể m 0,5  y+z  z+x  x+ y  2P =  ÷+ 16  ÷+  ÷=  x   y   z  0,5  y x  z x  z y =  + ÷+  + 16 ÷+  + 16 ÷ ≥ 12 + 16 + 24 = 52 y  x z  y z  x ⇒ P ≥ 26 z y z Dấu “=” xảy ⇔ = ; = 2; = Hay: x = y = 3z y x x Vậy giá trị nhỏ P 26, đạt x = y = 3z 1,0 4.1 2,0 0,5 0,5 A x B O H C K Ta có AH//OK nên : 1 S AHK = SOAH = AH OH = x R − x (đvdt) 2 Mặt khác, ta có : 1  x2 + ( R2 − x2 )  R2 S AHK = x R − x ≤  (Áp dụng bất đẳng thức Côsi) = 2  Dấu “=” xảy x = Vậy S AHK đạt giá trị lớn 4.2 2,0 R R2 R đạt x = 0,5 1,0 0,5 Theo định lý Pi ta go, ta có : HK = R + OH AH = R − OH Do AH + HK = R AH AH = ⇒ = ⇒ HK = AH Ta có KH KH Mà AH = R ⇒ AH = R 3 R nên nửa tam giác đều, AH = OA = 2 1,0 AH + HK = R hay AH + Tam giác OAH vuông H có suy ·AOH = 600 -Nếu H đoạn OB ta có tam giác OAB cân O, có ·ACB = 600 nên tam giác 0,5 Bài Nội dung đều, suy ·ABC = 600 - Nếu H đoạn OC tương tự ta có: ·ACB = 600 ⇒ ·ABC = 300 Vậy ·ABC = 600 ·ABC = 300 Điể m 0,5 4.2 Do nên OM>1 Trên tia Ox lấy điểm D thoả OD=1 D nằm hai điểm O, M Qua D kẻ đường thẳng song song với Oy cắt d I Trên tia Oy lấy điểm E thoả OE=ID Ta có OEID hình bình hành 1,0 OD OE EI DI NI MI + = + = + =1 OM ON OM ON MN MN Từ ta có : OE + = =1 OM ON OD OD Khi : + =1 Theo giả thiết thì: OM ON OE = Hay OE=2.OD=2 Do đó: OD Vậy E có định Do D, E cố định nên I cố định Vậy I điểm cố định mà đường thẳng d qua 1,0 1,0 1,0