de thi hsg cap truong toan 6 co loi giai 76438

Trờng THCS Xuân Ninh Kì thi kiểm định chất lợng HSG Năm Học: 2008 2009 Môn: Toán 6 Họ và tên: Lớp: 8. Thời gian làm bài: 90 phút Phần I: Trắc nghiệm (1,5đ) Trong các cách phát biểu sau cách nào phát biểu đúng ghi (Đ); cách phát biểu nào sai ghi (S) trớc mỗi câu: a. Các số chia hết cho 9 thì chia hết cho 3. b. Số 0 là ớc của tất cả các số tự nhiên. c. Số 2 là hợp số bé nhất. d. Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu, khi đổi dấu 2 thừa số thì tích không thay đổi. e. Các đờng thẳng AB và BA trùng nhau. Vậy tia BA trùng với tia AB. g. Nếu điểm T nằm giữa hai điểm P và Q thì PT + TQ = PQ. Ngợc lại nếu PT + TQ = PQ thì điểm T nằm giữa hai điểm P và Q. Phần II: Tự luận(8,5đ) Câu 1: (1,5đ) Tìm x biết: a. 231 ( x 6 ) = 1339 : 13. b. 3x + 26 = 5 c. x 2 = 0 Câu 2: Chứng tỏ rằng (1đ) a. Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3. b. Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4. Câu 3: (2đ) Hiệu của hai số tự nhiên bằng 57, chữ số hàng đơn vị của số bị trừ là 3. Nếu bỏ chữ số hàng đơn vị của số bị trừ ta đợc số trừ. Tìm hai số đó. Câu 4: (2đ) Cho hai tia đối nhau 0x, 0y. Trên tia 0x cho đoạn thẳng 0A = 10cm. Trên tia 0y lấy đoạn thẳng 0B = 12cm. Giọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Hỏi I nằm giữa 0 và A hay nằm giữa 0 và B? Vì sao? Câu 5: Tính tổng (2đ) a. S 1 = 1 + (- 2) + 3 + (- 4) + + 2001 + (- 2002) b. S 2 = 1 + (- 3) + 5 + (- 7) + + 1999 + (- 2001) onthionline.net ĐỀ THIHỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN – LỚP Thời gian làm bài150 phút Bài (4 điểm): Cho số tự nhiên x có dạng x = 201ab a) Khi a = 0, viết số x thõa mãn x chia hết cho b)Tìm số x thỏa mãn x chia hết cho 2;3 c)Tìm số x thỏa mạn x chia hết cho 37 Bài (4 điểm): Tính tổng sau cáh nhanh nhất: 53( - ) + 47( - ) b) 1+ + + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 Bài (4 điểm): a) Cho a = 45; b = 204; c = 126 Tìm UCLN(a;b;c) BCNN(a;b) b) Tìm số tự nhiên nhỏ không nhỏ 200 thỏa mãn chia cho dư 1, chia cho dư Bài (4 điểm): Tìm N ∈ Z để A = số nguyên Bài 5:(4 điểm) Cho đoạn thẳng AB,M điểm nằm A B Gọi P,Q trung điểm đoạn thẳng MA MB a) Tính độ dài đoạn thẳng PQ AB dài 5,6 cm b) Chứng tỏ tổng độ dài AQ BP không đổi M thay đổi vị trí đoạn AB TRƯỜNG THCS THẠCH BÌNH onthionline.net HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (4 điểm): a) x= 20100,20102,20104,20106,20108 điểm b) Để x chia hết ch b=0, để x chia hết cho (2+1+a) chia hết cho ,do a chử số nên ta có a= 0,3,6,9 ta có 20100;20130;20160;20190 c) Ta có số : điểm điểm x = 201ab = 20100 +ab = 37x543 +9 +ab x chia hết cho 37 9+ab chia hết ch 37 ab số có chử số nên ab = 28 ;65 ta có số thõa mãn 20128 ;20165 điểm Bài (4 điểm): 53( - ) + 47( - ) điểm = 53 -53 + 47 -47 = (53 + 47) - (53 + 47) = 73 - 50 = 23 b) 1+ + + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 điểm Tổng có (34 - 1) : + = 12 (số hạng) Tổng = = 35.6 = 210 Bài (4 điểm): a , UCLN (a,b,c) = ,BCNN (a,b) = 3060 b , gọi số tự nhiên cần tìm a (a∈ N*) (200 < a) điểm điểm Vì số chia cho dư chia cho chia cho dư nên a +11 BC (3,5) BCNN (3,5) =15 a số nhỏ không nhỏ 200 nên ta có a+11 =225 số cần tìm 214 Bài (4 điểm): Để A = số nguyên 2+ (n-1) hay n -1 ∈ Ư (2) = {+/- 1, +/- 2} n-1=1⇒n=2 onthionline.net n - = -1 ⇒ n = n - = ⇒n = n - = - ⇒ n = -1 Vậy n ∈ {-1; 0; 2; 3} A∈ Z Bài (4 điểm): PQ = 2,8 cm (2 đ iểm) b , (2 điểm) Ta có AQ + BP =AM + MQ +BM+MP =(AM+BM) +(MQ+MP) =AB + ½ AB =3/2 AB không đổi TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ HOÀI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) C©u 1:(2®) T×m c¸c sè tù nhiªn x, y sao cho: (2x + 1)(y – 5)=12 C©u 2: (4®) a) TÝnh tổng: S= 2 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 + + + + + b) Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2004 b1) TÝnh S b2) Chøng minh S  126 C©u 3: (2 ®iĨm) T×m bèn ch÷ sè tËn cïng cđa sè 5 1992 C©u 4: (2®) Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hỵp sè C©u 5: (3®) a/ T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n 2n + 7 chia hÕt cho n + 1. b/ Chøng minh r»ng ph©n sè sau lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n: 12 1 30 2 n n + + . C©u 6: (3 ®iĨm) T×m c¸c sè nguyªn x, y biÕt r»ng x 2 1 2 y 2 − = C©u 7: (4®) Cho gãc AMC = 60 0 . Tia Mx lµ tia ®èi cđa tia MA, My lµ ph©n gi¸c cđa gãc CMx, Mt lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc xMy. a) TÝnh gãc AMy. b) Chøng minh r»ng MC vu«ng gãc víi Mt. ĐáP áN Câu 1: Vì x, y là các số tự nhiên và (2x + 1)(y 5) = 12 nên 2x+1; y 5 là các ớc của 12 (0,5đ) Vì x là số tự nhiên nên 2x+1 số tự nhiên lẻ nên 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,5đ) Ta có 2x + 1 1 3 0,5đ y 5 12 4 x 0 1 y 7 9 Vậy (x,y) { } (0,17);(1;9) (0,5đ) Câu 2: (4đ) a) S = 2 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 + + + + + = 1 1 1 1 1 2 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 ữ + + + + + (0,5đ) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 + + + + + ữ (0,5đ) = 1 1 2 1 100 ữ = 2. 99 100 = 99 49 1 50 50 = (0,5đ) b) b1) Ta có S =5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2004 5S = 5 2 + 5 3 +5 4 + +5 2005 (0,25đ) 5S S = (5 2 + 5 3 +5 4 + +5 2005 ) (5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2004 ) (0,5đ) 4S = 5 2005 5 (0,25đ) Vậy S = 2005 5 5 4 (0,5đ) b2) S = (5 + 5 4 ) + (5 2 + 5 5 ) +(5 3 + 5 6 ) + + (5 2001 +5 2004 ) (0,25đ) S = 5(1 + 5 3 ) + 5 2 (1 + 5 3 ) + 5 3 (1 + 5 3 ) + + 5 2001 (1 + 5 3 ) (0,25đ) S = 126.(5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2001 ) (0,25đ) Vì 126 126 S 126 (0,25đ) Câu 3: Ta có 5 4 = 0625, số 0625 nâng lên lũy thừa nào thì tận cùng cũng bằng 0625 (1đ) Do đó 5 1992 = (5 4 ) 498 = 0625 498 = 0625 (1đ) Câu 4: P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P có dạng 3k + 1; 3k + 2 (k N * ) (0,5đ) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài (0,5đ) Suy ra p = 3k + 1, suy ra p + 8 = 3k + 9 3 (0,5đ) Vậy p + 8 là hợp số (0,5đ) Câu 5: a) Với n . Ta có 2n + 7 n + 1 2(n + 1) + 5 n + 1 (0,5đ) 5 n + 1 n + 1 Ư(5) (0,5đ) n + 1 { } 1;5 n { } 0;4 (0,5đ) b) Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2 (0,5đ) ( ) ( ) 5 12 1 2 30 2 1 1 + + = =n n d d (0,5đ) Vậy phân số 12 1 30 2 n n + + tối giản với mọi số tự nhiên n (0,5đ) Câu 6: Quy đồng mẫu ta đợc xy 4 y 2y 2y = (0,5đ) Suy ra xy 4 = y suy ra y(x 1) = 4 (0,5đ) Vì x, y là các số nguyên nên y; x 1 là các ớc của 4. (0,5đ) Ta có y 1 1 2 2 4 4 1,5đ x 1 4 4 2 2 1 1 x 5 3 3 1 2 0 Câu 7: Hình vẽ: (0,5đ) đ a) Tia Mx là tia đối của tia MA góc AMx là góc bẹt: ã 0 180AMx = MC nằm giữa MA và Mx (0,5đ) ã ã ã AMC CMx AMx+ = hay ã 0 0 60 180CMx+ = ã 0 0 0 180 60 120CMx = = (0,5đ) My là tia phân giác của góc CMx nên My nằm giữa MC và Mx và ã ã ã 0 0 1 1 120 60 2 2 xMy yMC xMC= = = = (0,5đ) Vì góc AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA và Mx (0,5đ) nên: ã ã ã + =AMy xMy AMx thay số: ã 0 0 60 180+ =AMy ã 0 0 0 180 60 120 = =AMy (0,5đ) b) Vì tia Mt là phân giác của góc xMy nên: ã ã ã 0 0 1 1 60 30 2 2 xMt tMy xMy= = = = (0,5đ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Mx, vì ã ã 0 0 xMt xMC(30 120 )< < nên tia Mt nằm giữa Mx và MC nên ã ã ã ã ã 0 0 0 xMt tMC xMC 30 tMC 120 tMC 90+ = + = = (0,5đ) 60 0 A M C x y t {[(−1234) + (−4230)] − 75} + 4230 2.  − 1 3  3 − 3.  1 3  2 + 4.  − 1 3  + 1  1 999 + 13 888 − 5 777  .  1 − 3 4 − 1 12 − 1 6  A = 1 + 2 + + 1000 B = 1 + 3 + 5 + + 2009 C = 2 + 4 + 6 + + 2008 D = 100 + 102 + 104 + 2080 2 500 3 300 27 5 4.9 7 2012 50 + 2012 49 2013 50 xOx  xx  Oy Oz  xOz = 45 0  x  Oy = 90 0 Ox, Oy, Oz Oz xOy Oz  x  Oy  zOz  =? TRƯỜNG TH CHUYÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Năm học 2009 – 2010) TỔ TOÁN - TIN HỌC. Môn: Toán Lớp: 11 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Câu I. (2 điểm) Cho phương trình os os 4 4 2009 2009 4 sin 2 2 tan tan 4 4 4 x c x x x c x π π +     = − +  ÷  ÷     (1) 1) Giải phương trình (1). 2) Tính tổng các nghiệm của phương trình (1) trên đoạn [1;2010]. Câu II. (2 điểm) 1) Khai triển (1+x+x 2 ) 10 thành đa thức, hãy tìm hệ số của x 5 . 2) Bàn cờ vua có hình vuông, mỗi cạnh chia thành 8 ô, tổng cộng có 64 ô. Một quân xe có thể “ăn trực tiếp” bất kỳ một quân cùng cột hoặc cùng hàng với nó. Giả sử trên bàn cờ có 3 quân xe 3 màu khác nhau, hỏi có bao nhiêu cách đặt 3 quân xe lên bàn cờ sao cho chúng không “ăn” lẫn nhau? Câu III. (2 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. Câu IV. (2 điểm) 1) Cho tứ diện ABCD. Tìm M trong không gian sao cho 2 2 2 2 MA MB MC MD+ + + đạt giá trị nhỏ nhất. 2) Cho tam giác ABC có A, B, C theo thứ tự lập thành cấp số nhân với công bội 1 2 . Chứng minh rằng 1 1 1 AB BC CA = + . Câu V. (2 điểm). Tìm hàm :f →¡ ¡ thỏa mãn các điều kiện (i) (0) 2009f = (ii) ( ) 2010 2 f π = (iii) ( ) ( ) 2 ( ).cos ; ,f x y f x y f x y x y+ + − = ∀ ∈¡ . Hết ĐỀ CHÍNH THỨC TRƯỜNG TH CHUYÊN KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG (Năm học 2009 – 2010) TỔ TOÁN - TIN HỌC. Môn: Toán Lớp: 11 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN Câu Nội dung Điểm I 1 Điều kiện: 8 4 4 2 x k x k π π π π  ≠ +     ≠ +   (1) os os 4 4 4 sin 2 2 1 4 x c x c x + = os os 4 4 4 4 2 2 sin 2 2 4 2sin 4 3sin 4 0 sin 4 0 3 sin 4 2 sin 4 0 4 4 x c x c x x x x x x x k x k π π ⇔ + = ⇔ − =  =  ⇔  =   ⇔ = ⇔ = ⇔ = Kết hợp với điều kiện ta được: 2 x k π = , k ∈¢ . 2 [1;2010] 1 2010 1 1279 2 x k k π ∈ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ , vì k ∈¢ . Suy ra, tổng các nghiệm của (1) trên [1; 2010] là 1279.1280 (1 2 1279) . 409280 2 2 2 π π π + + + = = II 1 Ta có ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 x x 1 x x 10 10 10 0 0 10 2 2 10 10 10 0 0 0 10 10 2 10 10 0 0 (1 ) k k k k k i i k k k k i k k i k i k k i C x x C C x x C C x − − − = = = − + − = =   + + = + + = + =  ÷   = ∑ ∑ ∑ ∑∑ x 5 ứng với I, k thỏa 2k + i = 5 0 5 1 5 2 3 2 1 k i k i k i k i  =    =    =   ⇔ = − ⇔  =    =     =   (vì k, i ∈¥ ). Suy ra: hệ số của x 5 trong khai triển là 0 5 1 3 2 1 10 10 10 9 10 8 C C C C C C+ + . 2 Có 64 cách đặt quân xe đầu tiên lên một ô trên bàn cờ. Quân xe thứ nhất có thể ăn trực tiếp theo hàng dọc hoặc hàng ngang nằm trên 14 ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó. Do đó chỉ có thể đặt quân xe thứ hai vào 63 – 14 = 49 ô còn lại. Tiếp tục ta có, quân xe thứ hai có thể ăn trực tiếp theo hàng dọc hoặc hàng ngang nằm trên 14 ô cùng hàng hoặc cùng cột với nó, để ý rằng có 2 vị trí giao nhau của các hàng và cột của hai quân xe thứ nhất và thứ hai, suy ra số cách đặt quân xe thứ ba là 48 – (14 – 2) = 36 cách. Suy ra số cách đặt 3 quân xe thỏa đề bài là: 64.49.36 = 112896. III Chứng minh được MNPQ là hình bình hành MNPQ là hình vuông MN NP MP NQ =  ⇔  =  ⇔ M là trung điểm của AB và a = c. Lúc đó S MNPQ = 2 1 4 b . IV 1 Gọi G là trọng tâm của tứ diện ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 ( ) 4 MA MB MC MD MA MB MC MD MG GA MG GB MG GC MG GD MG MG GA GB GC GD GA GB GC GD MG GA GB GC GD GA GB + + + = + + + = + + + + + + + = + + + + + + + + = + + + + ≥ + uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur phòng gd&đt quảng trạch Trờng THCS Ba Đồn Đề thi học sinh giỏi kỳ i năm học: 2010-2011 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2.0 điểm) Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 viết tất số có chữ số khác chia hết cho Câu 2: (1.0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: 2.3x = 162 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh số có dạng abcabc chia hết cho số nguyên tố Câu 4: (3.0 điểm) Chia số tự nhiên cho đợc số d Nếu chia số cho số thơng giảm đơn vị nhng số d Tìm số tự nhiên ? Câu 5: (2,0 điểm) Trên đờng thẳng xy lấy điểm O hai điểm M, N cho OM = 2cm, ON = 3cm Vẽ điểm A B đờng thẳng xy cho M trung điểm OA, N trung điểm OB Tính độ dài AB ? phòng gd&đt quảng trạch Trờng THCS Ba Đồn Đề thi học sinh giỏi kỳ i năm học: 2010-2011 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2.0 điểm) Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 viết tất số có chữ số khác chia hết cho Câu 2: (1.0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: 2.3x = 162 Câu 3: (2,0 điểm) Chứng minh số có dạng abcabc chia hết cho số nguyên tố Câu 4: (3.0 điểm) Chia số tự nhiên cho đợc số d Nếu chia số cho số thơng giảm đơn vị nhng số d Tìm số tự nhiên ? Câu 5: (2,0 điểm) Trên đờng thẳng xy lấy điểm O hai điểm M, N cho OM = 2cm, ON = 3cm Vẽ điểm A B đờng thẳng xy cho M trung điểm OA, N trung điểm OB Tính độ dài AB ? ...onthionline.net HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (4 điểm): a) x= 20100,20102,20104,201 06, 20108 điểm b) Để x chia hết ch b=0, để x chia hết cho (2+1+a) chia hết cho ,do a chử số nên ta có a= 0,3 ,6, 9 ta... 20100;20130;20 160 ;20190 c) Ta có số : điểm điểm x = 201ab = 20100 +ab = 37x543 +9 +ab x chia hết cho 37 9+ab chia hết ch 37 ab số có chử số nên ab = 28 ;65 ta có số thõa mãn 20128 ;20 165 điểm Bài... 23 b) 1+ + + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31 + 34 điểm Tổng có (34 - 1) : + = 12 (số hạng) Tổng = = 35 .6 = 210 Bài (4 điểm): a , UCLN (a,b,c) = ,BCNN (a,b) = 3 060 b , gọi số tự nhiên cần