de thi hsg cap truong toan lop 7 55332

Phòng giáo dục đồng hới đề kiểm tra chọn học sinh giỏi thành phố đồng hới năm học 2008 - 2009 Số báo danh Môn kiểm tra : Toỏn - Lớp 7 ( Thời gian : 120 phút . Không kể thời gian giao đề) Bi 1: ( 1,5 im) a/ ( 0,5 im) Chng minh rng: Vi mi s nguyờn dng n thỡ: 3 n+2 2 n+2 + 3 n 2 n chia ht cho 10 b/ (1 im) Cho A = 2008 1 2007 1 . 4 1 3 1 2 1 +++++ B = 2007 1 2006 2 . 3 2005 2 2006 1 2007 +++++ Tớnh: A B Bi 2: ( 1,5 im) a/ ( 0,75 im) Tỡm x v y, bit rng: 32008200720062005 =+++ xyxx b/ ( 0,75 im) Tỡm a Z sao cho M = 1 3 2 + a a nhn giỏ tr nguyờn Bi 3: ( 2 im) a/ ( 1 im) Cho f(x) = x 8 101x 7 + 101x 6 101x 5 + . + 101x 2 101x + 25 Tớnh f (100) b/ (1 im) Cho hai a thc f(x) = (x 2) 2008 + ( 2x 3) 2007 + 2006x v g(y) = y 2009 2007y 2008 + 2005y 2007 Gi s f(x) sau khi khai trin v thu gn ta tỡm c tng tt c cỏc h s ca nú l s. Hóy tớnh s v tớnh giỏ tr ca g(s) Bi 4: ( 2 im) Tỡm mt s cú ba ch s, bit rng s ú chia ht cho 18 v cỏc ch s ca nú t l vi 1: 2: 3. Bi 5: ( 3 im) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn vi ỏy BC. Gi M v N ln lt l trung im ca AB v AC. K NH CM ti H. K HE AB ti E. Chng minh rng: a/ Tam giỏc ABH cõn b/ HM l phõn giỏc ca gúc BHE phòng giáo dục đồng hới Híng dÉn chÊm TO¸N líp 7 KiÓm tra chän HSG - N¨m häc 2008 - 2009 Bài 1: ( 1,5 đ) a/ ( 0,5 đ) 3 n+2 – 2 n+2 + 3 n – 2 n = ( 3 n+2 + 3 n ) – ( 2 n+2 + 2 n ) = 3 n ( 3 2 + 1) – 2 n ( 2 2 + 1) = 3 n . 10 – 2 n . 5 ( 0,25 đ) 3 n .10  10 ; 2 n . 5  10 => 3 n . 10 – 2 n . 5  10 Vậy 3 n+2 – 2 n+2 + 3 n – 2 n  10 ( 0,25 đ) b/ ( 1 đ) Tách 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau: B = 1 2007 1 1 2006 2 1 3 2005 1 2 2006 1 2007 1 2006 2 . 3 2005 2 2006 1 2007 +       ++       ++ +       ++       +=+++++ ( 0,25 đ) = 2008 2008 2007 2008 2006 2008 3 2008 2 2008 +++++ ( 0,25 đ) = A.2008 2008 1 2007 1 2006 1 3 1 2 1 2008 =       +++++ ( 0,25 đ) => 2008 = A B ( 0,25 đ) Bài 2: ( 1,5 đ) a/ ( 0,75 đ) Ta có AAA ≥−= với A tùy ý 3200820052008200520082005 =−+−≥−+−=−+− xxxxxx (1) ( 0,25 đ) Từ đó và theo giả thiết đề bài ta có: 020072006 ≤−+− yx (2) ( 0,25 đ) Từ (1) và (2) => 32008200720062005 =−+−+−+− xyxx khi 02006 =− x và 02007 =− y (0,25đ) Vậy x = 2006 và y = 2007 b/ ( 0,75 đ) 1 41)1( 1 41 1 3 22 − +−+− = − +−+− = − + a aaa a aaa a a ( 0,25 đ) Z a Z a a ∈ − ⇔∈ − ++= 1 4 1 4 1 ( 0,25 đ) <=> a – 1 là ước của 4 a – 1 = { -4; -2; -1; 1; 2; 4} ( 0,25 đ) a = { -3; -1; 0; 2; 3; 5} Bài 3: 2 điểm a/ (1 đ) f(x) = x 8 – 101x 7 + 101x 6 – 101x 5 + . + 101x 2 – 101x + 25 = x 8 – 100 x 7 – x 7 + 100x 6 +x 6 – 100x 5 – x 5 + .+ 100x 2 + x 2 – 100x – x +25 (0,25 đ) f(x) = x 7 ( x - 100) – x 6 ( x - 100) + x 5 ( x – 100) - .+ x(x-100) – (x - 25) ( 0,25 đ) f( 100) = 100 7 .( 100 -100) – 100 6 ( 100 -100) + + 100.(100-100) – (100-25) ( 0,25 đ) f(100) = -75 ( 0,25 đ) b/ ( 1 đ) Tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại x = 1. Ta có s = f(1) = (1 – 2) 2008 + (2.1 – 3) 2007 + 2006.1 ( 0,25 đ) = (-1) 2008 + (-1) 2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 ( 0,25 đ) Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được g(s) = s 2009 – (s+1).s 2008 + ( s -1).s 2007 ( 0,25 đ) = s 2009 – s 2009 – s 2008 + s 2008 - s 2007 = - s 2007 = -2006 2007 ( 0,25 đ) Vậy s = 2006 và g(s) = -2006 2007 Bài 4: ( 2 điểm) Gọi các số cần tìm là a; b; c ( a; b; c ∈ N * và 9;;1 ≤≤ cba ) (0,25 đ) Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số đó chia hết 9 và 2 => ( a + b + c)  9 và số cần tìm là số chẵn ( 0,25 đ) Vì 9;;1 ≤≤ cba => 273 ≤++≤ cba ( 0,25 đ) Từ 3 đến 27 có các số 9; 18; 27  9 Vậy a + b +c = { 9; 18; 27} (1) (0,25 đ) Theo bài ra ta có: 6321321 cbacbacba ++ = ++ ++ === ( 0,25 đ) Vì a; b; c ∈ N * => a + b + c  6 (2) Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 ( 0,25 đ) 3 6 18 321 ==== cba  a = 3; b = 6; c =9 ( 0,25 đ) Số cần tìm chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị là số chẵn Vậy số cần tìm là: Onthionline.net Đề thi học sinh giỏi trường Năm 2009-2010 Thời gian:120 phút 19 27 + 15.4 Câu Rút gọn : 69.210 + 1210 Câu Chứng minh a)222333+333222 chia hết cho 13 b)7.52n+12.6nchia hết cho 19 c)33n+5.23n+1 chia hết 19 Với n thuộc số nguyên dương Câu Cho số x,y,z,t thoả mãn điều kiện : xyzt = 1 1 + + + Tính tổng : P = + x + xy + xyz + y + yz + yzt + z + zt + ztx + t + tx + txy      Câu Tính : A = 1 − ÷ − ÷ 1 − ÷  +  + +   + + + + 1986  Câu Cho tam giác ABC vng A; góc C = 30 ; trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy D , cho MD = MA a Chứng minh CD song song với AB b Gọi K trung điểm AC ; BK cắt AM G; DK cắt CM N Chứng minh g óc ABK = g óc CDK c Chứng minh tam giác KGN cân TRƯỜNG THCS NGỌC SƠN ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG VÀ CHỌN DỘI TUYỂN HSG HUYỆN NĂM HỌC 2010-2011 MÔN THI: TOÁN 7 (Thời gian làm bài 90 phút) Bài 1 Thực hiện phép tính a, C = 3 1 0,8 7 5 2   − + −  ÷   b, B = 9 2 12 1 3 5 4 3 −++ c, ( ) ( ) 12 5 6 2 10 3 5 2 6 3 9 3 2 4 5 2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 125.7 5 .14 2 .3 8 .3 − − = − + + Bài 2: Tìm x biết: a) 2 5 : x 3 6 − = − b, 1 1 1 2 3 6 x   − − =  ÷   c) 3 1 1 4 4 x − − = d. 1 60 15 1 x x − − = − − B i 3à : a, Tìm các số a, b, c biết: a b c 3 5 7 = = và a + b – c = 10 b. Tìm x, y biết 2 1 3 2 2 3 1 5 7 6 x y x y x + − + − = = Bài 4: Trong hình vẽ cho biết d//d’, góc 60 0 , góc 110 0 , góc · ABC = 30 0 a, Tính các góc B 1 và C 1 b, Chứng minh CB là phân giác của góc ACD Bài 5 CMR : Với mọi số nguyên dương n thì : 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10 Hết./. Ghi chú : Học sinh không sử dụng máy tính bỏ túi, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm M A d d’ C B 30 0 60 0 110 0 D 1 1 Tr¦êng THCS ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI QU¶NG tiÕn Môn Toán Lớp 7 ( Thời gian lám bài 150 phút- Thí sính không phải ghi đề bài vào tờ giấy thi) Bài 1 a) Tính: A = 3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 − + − + + − + − + b) Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: z zyx y yxz x xzy −+ = −+ = −+ Hãy tính giá trị biểu thức: B = 1 1 1 x y z y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      . Bài 2 a) Tìm x,y,z biết: 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = b)Chứngminh rằng :Với mọi n nguyên dương thì 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10. Bài 3 Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a/ AC = EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết góc HBE bằng 50 0 ; góc MEB bằng 25 0 , tính các góc HEM và BME ? Bài 5: Tìm x, y ∈ N biết: ( ) 2 2 36 8 2010y x− = − híng dÉn chÊm ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI M«n: To¸n - Líp 7 Bµi ý Nội dung Điểm 1 4 ®iÓm a 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 4 3 +− +− + +− +− =       +− +− +       +−       +− 4 1 3 1 2 1 2 5 4 1 3 1 2 1 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 13.11.7 129.5 13.11.4 135.3 + 5 2 = 129.5 13.11.7 . 13.11.4 135.3 + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5.172 2.1725.189 + = 860 1289 2 b Ta có: y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = 1 1 1 y z z x x y x y z + + + ⇒ − = − = − ( ) 2 2 x y z y z z x x y x y z x y z + + + + + ⇒ = = = = + + 1 1 1      ⇒ = + + +  ÷  ÷ ÷      x y z B y z x . . x y y z z x y z x + + + = . . 2.2.2 8 x y z x y z z y x + + + = = = Vậy B = 8 0,5 0,5 0,5 0,5 2 4 điểm a 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = Áp dụng tính chất A ≥ 0 ( ) 2 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3 0 0 x x y y x x z x xz   − = − =       ⇒ + = ⇒ + =       + = + =     1 2 2 3 1 2 x y z x  =    ⇒ = −    = − = −   Vậy x = ½ y = -2/3 z = -1/2 0,25 1,5 0,25 b Ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n+ + + − + ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 2 1 n n = + − + 3 .10 2 .5= − n n = 10.(3 n – 2 n-1 ) Vì 10.(3 n – 2 n-1 ) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương 0,75 0,5 0,5 0,25 3 4điểm Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6. Do đó ta có: 1 1 1 : : : : 12 :15:10 5 4 6 x y z = = . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z+ + = = = = = + + 180; 225; 150x y z⇒ = = = . Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150 . 0,5 1,0 0,75 0,75 0,75 0,25 4 a vẽ hình đúng cho 0,5 điểm (2 điểm) Xét AMC ∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) CMA ˆ = BME ˆ (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) 0,75 K H E M B A C I Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa. K H E M B A C I TrƯờng THCS KIM TRA HC SINH GII QUảNG tiến Mụn :Toỏn Lp 6 ( Thi gian lỏm bi 150 phỳt- Thớ sớnh khụng phi ghi bi vo t giy thi) Câu 1 a) Cho a+b = P , ( P nguyên tố). Chứng minh a và b nguyên tố cùng nhau. b) Tìm số nguyên tố P sao cho: P +10 và P + 14 đều là những số nguyên tố. Câu 2 a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 3 d 2, chia cho 4 d 3, chia cho 5 d 4 và chia . cho 6 d 5 ? b) Một số chia cho 3 d 2, chia cho 4 d 3, chia cho 167 d 130. Hỏi khi chia số đó cho. . 2004 thì số d là bao nhiêu ? Câu 3 a) Tìm hai số tự nhiên a v b ,biết a > b ; a + b = 16 v ƯCLN(a,b) = 4 b) Tìm một số có 3 chữ số, biết rằng khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì nó tăng thêm 1112 đơn vị. Câu 4 : Tìm x biết a) x + 3 = 0 b) 2 x +2 x+1 +2 x+2 +2 x+3 = 480 Câu 5 a) Cho đoạn thẳng AB = 8cm v C l trung điểm của n ó . lấy điểm D l trung điểm của CB ; E l trung điểm của CD . Tính độ d i đoạn thẳng EB b) Cho 6 đờng thẳng đôi một cắt nhau. Hỏi 6 đờng thẳng đó có thể cắt nhau ít nhất tại bao nhiêu điểm, nhiều nhất tại bao nhiêu điểm. hớng dẫn chấm KIM TRA HC SINH GiỏI Môn: Toán Lớp6 B i Nội dung điểm B i1 (4điểm) a) Giả sử a và b không nguyên tố cùng nhau. Suy ra a và b có ít nhất một ớc số d > 1. => a d , b d => (a + b) d => P d, d > 1 điều này vô lý vì P nguyên tố => (a, b) = 1 0,75 0,75 0,5 b) P = 2 => P + 10; P + 14 không nguyên tố P = 3 => P + 10 = 13 và P + 14 = 17 nguyên tố (thoả mãn) P > 3 => P = 3k + 1 hoặc P = 3k + 2 (Do P nguyên tố) Khi đó ta thấy P + 10, hoặc P + 14 không nguyên tố Vậy chỉ có P = 3 thoả mãn 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 B i2 (4điểm) a) Gọi số tự nhiên đó là a ta có: (a + 1) 3 (a + 1) 4 (a + 1) 5 (a + 1) chia hết cho 3, 4, 5 và 6 (a + 1) 6 mà a nhỏ nhất => a + 1 = BCNN (3,4,5,6) = 60 => a = 59 1 1 b) Gọi số đó là A ta có: A = 3k + 2 => A + 37 = 3 k + 2 + 37 = 3(k + 13) 3 A = 4q + 3 => A + 37 = 4q + 40 = 4(q +10) 4 A = 167r + 130 => A + 37 = 167r + 167 = 67 (r+1) 167 => A + 37 3.4.167 = 2004 => A + 37 = 2004 n => A = 2004 n 37 = 2004(n-1) + 2004 - 37 = 2004 (n-1) + 1967 Vậy A chia cho 2004 có số d là 1967 0,5 0,5 0,5 0,5 B i3 (4điểm) a) ƯCLN(a,b) = 4 a = 4k v b = 4m với k, m N * a + b = 4(k + m) = 16 k +m = 4 Vỡ a > b nên k > m v k ; m N * ,do đó k = 3 v m = 1 .vậy a=12 ; b=4 0,5 0,75 0,5 0,25 b) Gọi số phải tìm là abc . Khi viết thêm chữ số 5 vào bên phải ta đợc số 5abc Theo bài ra ta có: 5abc = abc + 1112 = 10 ì abc + 5 = abc + 1112 10 ì abc = abc + 1112 5 10 ì abc - abc = 1107 ( 10 1 ) ì abc = 1107 9 ì abc = 1107 abc = 1107 : 9 abc = 123 Vậy số phải tìm là 123. 0,25 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 B i4 (4điểm) a) a)Ta có : 3 =3 nên x + 3 = 0 khi x và 3 đối nhau vậy : x = -3 1 1 b) 2 x +2 x+1 +2 x+2 +2 x+3 = 480 2 x .1 +2 x 2 1 +2 x . 2 2 +2 x .2 3 = 480 2 x ( 1 + 2 1 + 2 2 + 2 3 ) = 480 2 x ( 1 + 2 + 4 + 8 ) = 480 2 x .15 = 480 2 x = 32 = 2 5 x = 5 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 B i 5 (4điểm) a) Hình vẽ A C E D B +C l trung điểm của AB nên : CB = 1 2 AB = 1 2 . 8 = 4 (cm ) +D l trung điểm của CB nên : DB = 1 2 CB = 1 2 . 4 = 2 (cm ) +E l trung điểm của CD nên : ED = 1 2 CD = 1 2 . 2 = 1 (cm ) +EB = ED + DB = 1 = 2 = 3 (cm) 0,5 0,5 0,5 0,5 + 6 đờng thẳng cho có thể cắt nhau ít nhất tại 1 điểm (nếu 6 đờng thẳng đó đồng quy). + Nếu không có 3 đờng thẳng nào đồng quy thì mỗi đờng thẳng sẽ cắt 5 đờng thẳng còn lại tạo thành 5 giao điểm. Có 6 đờng thẳng nên có 6.5 = 30 giao điểm. Nhng mỗi giao điểm lại đợc tính 2 lần, nên chỉ có 2 5.6 = 15 giao điểm. 0,5 0,5 0,5 0,5 Chỳ ý : Nu hc sinh lm theo cỏch khỏc ỳng vn chm im ti a. phòng gd&đt quảng trạch Trờng THCS Ba Đồn Đề thi học sinh giỏi kỳ i năm học: 2010-2011 Môn: Toán Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (2.0 điểm) a) Tính M = (-1) (-1)2 (-1)3 (-1)4 (-1)2009 b) Cho A = + 32 + 33 + 34 + + 398 + 399 + 3100 Chứng minh A M Câu 2: (3.0 điểm) a) Cho a-1 b+3 c-5 = = 5a - 3b - 4c = 46 Xác định a, b,c b) Tìm số nguyên a để giá trị biểu thức sau số nguyên : P = a+1 a-2 Câu 3: (1,5 điểm) Trên quảng đờng Rùa Thỏ xuất phát chạy thi, vận tốc Thỏ Rùa theo thứ tự tỷ lệ thuận với 1000 ; 2,5 Hỏi thời gian để Thỏ chạy đích 30 giây không ? Biết Rùa chạy đích hết Câu 4: (1.0 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x- + -x Câu 5: (1,5 điểm) Cho ABC (AB