Đề và đáp án thi HSG cấp trường - Toán lớp 7

Tr¦êng THCS ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI QU¶NG tiÕn Môn Toán Lớp 7 ( Thời gian lám bài 150 phút- Thí sính không phải ghi đề bài vào tờ giấy thi) Bài 1 a) Tính: A = 3 3 3 1 1 1 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 − + − + + − + − + b) Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: z zyx y yxz x xzy −+ = −+ = −+ Hãy tính giá trị biểu thức: B = 1 1 1 x y z y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      . Bài 2 a) Tìm x,y,z biết: 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = b)Chứngminh rằng :Với mọi n nguyên dương thì 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − chia hết cho 10. Bài 3 Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a/ AC = EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI = EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. c/ Từ E kẻ EH ⊥ BC (H ∈ BC). Biết góc HBE bằng 50 0 ; góc MEB bằng 25 0 , tính các góc HEM và BME ? Bài 5: Tìm x, y ∈ N biết: ( ) 2 2 36 8 2010y x− = − híng dÉn chÊm ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI M«n: To¸n - Líp 7 Bµi ý Nội dung Điểm 1 4 ®iÓm a 8 5 6 5 4 5 4 1 3 1 2 1 13 5 11 5 7 5 13 3 11 3 4 3 +− +− + +− +− =       +− +− +       +−       +− 4 1 3 1 2 1 2 5 4 1 3 1 2 1 13 1 11 1 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 13.11.7 129.5 13.11.4 135.3 + 5 2 = 129.5 13.11.7 . 13.11.4 135.3 + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5.172 2.1725.189 + = 860 1289 2 b Ta có: y z x z x y x y z x y z + − + − + − = = 1 1 1 y z z x x y x y z + + + ⇒ − = − = − ( ) 2 2 x y z y z z x x y x y z x y z + + + + + ⇒ = = = = + + 1 1 1      ⇒ = + + +  ÷  ÷ ÷      x y z B y z x . . x y y z z x y z x + + + = . . 2.2.2 8 x y z x y z z y x + + + = = = Vậy B = 8 0,5 0,5 0,5 0,5 2 4 điểm a 2 1 2 0 2 3 x y x xz− + + + + = Áp dụng tính chất A ≥ 0 ( ) 2 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 3 3 0 0 x x y y x x z x xz   − = − =       ⇒ + = ⇒ + =       + = + =     1 2 2 3 1 2 x y z x  =    ⇒ = −    = − = −   Vậy x = ½ y = -2/3 z = -1/2 0,25 1,5 0,25 b Ta có: 2 2 3 2 3 2 n n n n+ + − + − = 2 2 (3 3 ) (2 2 ) n n n n+ + + − + ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 2 1 n n = + − + 3 .10 2 .5= − n n = 10.(3 n – 2 n-1 ) Vì 10.(3 n – 2 n-1 ) chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương 0,75 0,5 0,5 0,25 3 4điểm Gọi số trang người thứ nhất, người thứ 2, người thứ 3 đánh máy được theo thứ tự là x,y,z. Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5; 4; 6. Do đó ta có: 1 1 1 : : : : 12 :15:10 5 4 6 x y z = = . Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 555 15 12 15 10 12 15 10 37 x y z x y z+ + = = = = = + + 180; 225; 150x y z⇒ = = = . Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba đánh được lần lượt là: 180, 225, 150 . 0,5 1,0 0,75 0,75 0,75 0,25 4 a vẽ hình đúng cho 0,5 điểm (2 điểm) Xét AMC ∆ và EMB∆ có : AM = EM (gt ) CMA ˆ = BME ˆ (đối đỉnh ) BM = MC (gt ) Nên : AMC∆ = EMB∆ (c.g.c ) 0,75 K H E M B A C I Chú ý : Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn chấm điểm tối đa. K H E M B A C I . Tr¦êng THCS ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI QU¶NG tiÕn Môn Toán Lớp 7 ( Thời gian lám bài 150 phút- Thí sính không phải ghi đề bài vào tờ giấy thi) Bài 1 a). 7 1 5 13 1 11 1 4 1 3 = 13.11 .7 129.5 13.11.4 135.3 + 5 2 = 129.5 13.11 .7 . 13.11.4 135.3 + 5 2 = 5 2 172 189 + = 5. 172 2. 172 5.189 + = 860 1289 2 b Ta có: