Đang tải... (xem toàn văn)
- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng..[r]
(1)http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Ngày thi: 29/3/2014 Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu ( 5, điểm) 1) Cho (Cm ) là đồ thị hàm số y x (2m 1) x 2m (m là tham số) Tìm m để (Cm ) tiếp xúc với trục Ox hai điểm phân biệt 2x 2) Cho hàm số y có đồ thị (C) Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc đồ thị (C) cho tam x 1 giác OMN vuông cân O, với O là gốc tọa độ Câu ( 4, điểm) 1) Giải phương trình sin x sin 3x sin x ( x ) 6 2) Giải phương trình 4| x 2 | log x x 2 x x 3 log | x | 2 ( x ) Câu ( 4, điểm) x y x y 2 1) Giải hệ phương trình 2 2 x y x y / 2) Tính tích phân I ( x, y ) dx cos x sin x Câu ( 6, điểm) 1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất các mặt là hình thoi cạnh a, BAD BAA ' A ' AD 600 a) Tính thể tích hình hộp đã cho theo a b) Tính cosin góc đường thẳng CA' và mặt phẳng đáy hình hộp 2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 y z x y z 19 và mặt phẳng (P): x y z a) Chứng minh (P) cắt (S) theo đường tròn Tìm tọa độ tâm và tính bán kính đường tròn đó b) Lập phương trình đường thẳng () qua tâm (S), vuông góc với đường thẳng x 1 t (d ) : y 2t và tạo với mặt phẳng (P) góc 30o z 1 2 Câu ( 1, điểm) Cho bốn số thực a, b, c và d thuộc đoạn ; Tìm giá trị lớn biểu thức: 2 3 ac cd T 16 25 ad ab 2 HẾT -Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị (Họ tên và ký) Giám thị (Họ tên và ký) (2) http://toanhocmuonmau.violet.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HDC ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG (Bản hướng dẫn chấm có 04 trang) NGÀY THI 29/3/2014 Hướng dẫn giải Câu Câu Điểm (5đ) Đồ thị (Cm ) tiếp xúc với trục hoành và hệ phương trình sau có nghiệm: x (2m 1) x 2m 4 x 2(2m 1) x (1) 0.5 (2) 2m m 0 thay vào hệ phương trình ta x * Phương trình (2) tương đương x 1.1 (3.0 điểm) * Với x Vậy với m x2 0.5 0.5 thì đồ thị (Cm ) tiếp xúc với trục hoành điểm (không thỏa mãn) 2m 1 thay vào (1) ta tìm m 2 Thay m vào hệ phương trình ta tìm x KL: với m thì đồ thị (Cm ) tiếp xúc với trục hoành hai điểm phân biệt * Với x2 Lấy hai điểm phân biệt M a; 2a a , N b; 2b b ,(a 1;b 1;a 1.2 (2.0 điểm) 0.5 0.5 (4) Nếu ab=0 suy M N trùng với O (không thỏa mãn) Biến đổi phương trình (3) thành a b 2ab=0 (a 1)(b 5a b a Giải ta 1) b= 0.5 (3) Từ (4) suy a 1 b 1 4 ab Ta hệ 0.5 b) thuộc đồ thị (C) OM ON Tam giác OMN vuông cân O và OM ON 4a 4b 2 a b 2 a 1 b 1 4ab ab 0 a 1 b 1 0.5 0.5 2ab=0 5 b=-5 Vậy ta tìm cặp điểm M1 a ;5 ; N 0.5 5; M 5; 5 ; N ;5 3 (3) http://toanhocmuonmau.violet.vn (4đ) Câu 2.1 (2.0 điểm) PT đã cho tương đương với sin x sin (sin 3x sin x) 6 6 -2cos x sin x 2sin x cos x 6 2sin x cos x cos x 6 k x k 2 x k 18 x k 2 Kết luận nghiệm 0.5 0.5 0.5 0.5 Phương trình đã cho tương đương với 2.4| x 2| log3 ( x x 6) 2 x x 3 log (2 | x | 2) 1 2| x 2| 2 2.2 (2.0 điểm) log3 ( x x 6) 2 x x 3 0.5 log (2 | x | 2) .log3 x2 x 22|x 2|1.log3 | x | 2 2x x 3 2x 4 x 6 0.5 .log3 x2 x 6 22| x 1|2.log3 (2 | x | 2 Xét hàm số f (t ) 2t.log3 t trên đoạn [2; ) ta có f '(t ) 2t ln 2.log3 t 2t 0, t t ln Suy f (t ) đồng biến trên [2; ) 0.5 Khi đó ta có (2') f ( x x 6) f (2 | x | 2) x x | x | 2 0.5 ( x 2)2 | x | Giải phương trình trên tập nghiệm phương trình đã cho là {0; 2; 4} (4 đ) Câu ĐK x y x y u 3.1 (2.0 điểm) v u v Đặt uv 2uv u x y v x y *Với u *Với v KL 0 v u ) Suy hệ v u2 v2 2 uv 0.5 (1) Thế (1) vào (2) ta ( u, v u 4 (loại) suy x uv uv 0.5 (2) 2uv 2 y (thỏa mãn) uv uv 0.5 0.5 (4) http://toanhocmuonmau.violet.vn / I dx cos x sin x / dx Đặt tan x + 3.2 (2.0 điểm) tan x tan x cos x Đổi cận: x Khi đó I tan u, u u ; 2 ;x tan u u tan u du / 0.5 d (tan x) 1 tan x 2 ; d tan x tan2 u du 0.5 1 tan u 1du du 2 cos u 0.5 1 1 sin u 74 I ln ln d (sin u ) 2 sin u sin u 2 sin u 6 0.5 (6 đ) Câu A H O D B C A' D' 4.1 (3.0 điểm) B' a) Chứng minh tam giác A'BD cạnh a Suy tứ diện A'ABD là tứ diện cạnh a a3 Tính thể tích VA ' ABD 12 Chỉ thể tích khối hộp sáu lần VA ' ABD a3 2 b) Gọi H là trọng tâm tam giác ABD Theo chứng minh trên ta có tứ diện A'ABD là tứ diện suy A'H vuông góc với mặt phẳng (ABD) Góc A'C và mặt phẳng (ABCD) là góc A'CA a 2a ; CH ; A'C a Xét tam giác A'HC có A'H 3 Tính cosA'CA Do thể tích khối hộp 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 (5) http://toanhocmuonmau.violet.vn 4.2a (1 điểm) Tâm I(1;1;-2); bán kính R = d(I ;(P )) R nên (P) cắt (S) theo đường tròn (C) bán kính r = 0.5 Tâm H (C) là hình chiếu I lên (P) (P) có VTPT n (1; 2;2) Viết phương trình đường thẳng IH từ đó tìm H(2;-1;0) 0.5 b) Gọi u Ta có u 30o nên ( , IH ) |a 4.2b (2.0 điểm) a (1; 2; 0) là VTCP d 0.5 u1 nên a – 2b = (1) Góc ( ,(P )) ; u1 là VTCP (a;b;c) b 2b 2c | 2 c Từ (1) 16c Từ (*) chọn a 9(5b 14;b Từ (**) chọn a 7;c 14;b c2 ) 7c 5b 7c -3 5b (**) 35 Viết 7;c 0.5 2 ( 2) 60o hay | cos(n, u ) | : 35 Viết 0.5 (*) x y 14 : x 14 z 35 z y 35 0.5 (1 đ) Câu Ta có 2 a d ac 3 1 ; ad ad a d 1 2d Vậy T 16 1.0 điểm f '(d ) 49 2d 1 150 3d 3d 25 2d 2d 1 f (d ) 3136 0, Suy f (d ) đồng biến, từ đó f (d ) KL max T d cd 3d ab 2 544 đạt a f( ) b 0.25 0.25 d ; 0.25 544 ;c d 0.25 Lưu ý chấm bài: - Trên đây là sơ lược các bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì điểm theo thang điểm tương ứng - Với bài toán hình học học sinh vẽ hình sai không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng (6)