de thi HSG cap truong - Toan 7

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.

Phòng giáo dục đồng hới

đề kiểm tra chọn học sinh giỏi thành phố đồng hới

năm học 2008 - 2009

Số báo danh Môn kiểm tra : Toỏn - Lớp 7

( Thời gian : 120 phút Không kể thời gian giao đề)

Bài 1: ( 1,5 điểm)

a/ ( 0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ:

3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10

b/ (1 điểm) Cho

A = 20071 20081

4

1 3

1 2

1











3

2005 2

2006 1

2007











Tớnh: B A

Bài 2: ( 1,5 điểm)

a/ ( 0,75 điểm) Tỡm x và y, biết rằng:

3 2008 2007

2006

x

b/ ( 0,75 điểm) Tỡm a Z sao cho M =

1

3 2





a

a nhận giỏ trị nguyờn

Bài 3: ( 2 điểm)

a/ ( 1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25

Tớnh f (100)

b/ (1 điểm) Cho hai đa thức

f(x) = (x – 2)2008 + ( 2x – 3)2007 + 2006x

và g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007

Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tỡm được tổng tất cả cỏc hệ số của nú là s Hóy tớnh s và tớnh giỏ trị của g(s)

Bài 4: ( 2 điểm)

Tỡm một số cú ba chữ số, biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú

tỉ lệ với 1: 2: 3

Bài 5: ( 3 điểm)

Cho tam giỏc ABC vuụng cõn với đỏy BC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của

AB và AC Kẻ NH CM tại H Kẻ HE  AB tại E Chứng minh rằng:

a/ Tam giỏc ABH cõn

b/ HM là phõn giỏc của gúc BHE

phòng giáo dục đồng hới

Hớng dẫn chấm TOáN lớp 7 Kiểm tra chọn HSG - Năm học 2008 - 2009

Bài 1: ( 1,5 đ)

a/ ( 0,5 đ)

3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = ( 3n+2 + 3n) – ( 2n+2 + 2n) = 3n( 32 + 1) – 2n( 22 + 1)

= 3n 10 – 2n 5 ( 0,25 đ)

3n.10  10 ; 2n 5  10 => 3n 10 – 2n 5  10 Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n

 10 ( 0,25 đ) b/ ( 1 đ) Tách 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau:

B =

1 2007

1 1 2006

2

1

3

2005 1

2

2006 1

2007

1 2006

2

3

2005 2

2006

1

2007















































































( 0,25 đ)

= 20062008 20072008 20082008

3

2008

2

2008









 ( 0,25 đ)

2008

1 2007

1 2006

1

3

1 2

1



















=>  2008

A

B

( 0,25 đ)

Bài 2: ( 1,5 đ)

a/ ( 0,75 đ)

Ta có A   A Avới A tùy ý

3 2008

2005 2008

2005 2008

Từ đó và theo giả thiết đề bài ta có:

x 2006  y 2007  0 (2) ( 0,25 đ)

Từ (1) và (2)

=> x 2005  x 2006  y 2007  x 2008  3 khi x 2006  0 và y 2007  0

(0,25đ)

Vậy x = 2006 và y = 2007

b/ ( 0,75 đ)

1

4 1 ) 1 ( 1

4 1 1

3 2

2





























a

a a

a a

a a a

a

a

Z a















1

4 1

4

<=> a – 1 là ước của 4

a – 1 = { -4; -2; -1; 1; 2; 4} ( 0,25 đ)

a = { -3; -1; 0; 2; 3; 5}

Bài 3: 2 điểm

a/ (1 đ)

f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25

= x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 + + 100x2

+ x2 – 100x – x +25 (0,25 đ) f(x) = x7( x - 100) – x6( x - 100) + x5( x – 100) - + x(x-100) – (x - 25) ( 0,25 đ)

f( 100) = 1007.( 100 -100) – 1006( 100 -100) + + 100.(100-100)

– (100-25) ( 0,25 đ) f(100) = -75 ( 0,25 đ)

b/ ( 1 đ)

Tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại x = 1 Ta có

s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 ( 0,25 đ)

= (-1)2008 + (-1)2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 ( 0,25 đ)

Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được

g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + ( s -1).s2007 ( 0,25 đ)

= s2009 – s2009 – s2008 + s2008 - s2007 = - s2007 = -20062007 ( 0,25 đ)

Vậy s = 2006 và g(s) = -20062007

Bài 4: ( 2 điểm)

Gọi các số cần tìm là a; b; c ( a; b; c N* và 1 a;b;c 9) (0,25 đ)

Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số đó chia hết 9 và 2

=> ( a + b + c)  9 và số cần tìm là số chẵn ( 0,25 đ)

Vì 1 a;b;c 9 => 3 abc 27 ( 0,25 đ)

Từ 3 đến 27 có các số 9; 18; 27  9

Vậy a + b +c = { 9; 18; 27} (1) (0,25 đ)

Theo bài ra ta có: 1a b2 3c 1a 2b 3c a6bc













 ( 0,25 đ)

Vì a; b; c  N* => a + b + c  6 (2)

Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 ( 0,25 đ)

6

18 3 2

1    

c b a

 a = 3; b = 6; c =9 ( 0,25 đ)

Số cần tìm chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị là số chẵn

Vậy số cần tìm là: 396 và 936 ( 0,25 đ)

Bài 5: ( 3 điểm)

Vẽ hình đúng 0,5 đ

A

B

C H

Q E

M K

N

a/ Từ A kẻ AK MC tại K và AQ  HN tại Q

Xét  vuông MAK và  vuông NCH có:

MA = NC (= 21 AB), MAK = NCH ( cùng phụ với góc AMC) ( 0,5 đ) =>  MAK =  NCH ( cạnh huyền –góc nhọn)

=> AK = HC (1)

Xét  BAK và  ACH có:

AB = AC (gt); BAK = ACH; AK = HC ( cm trên) ( 0,25 đ) =>  BAK =  ACH ( c-g-c)

=> BKA = AHC

Xét  vuông AQN và  vuông CHN có:

AN = NC; ANQ = CNH ( đối đỉnh) ( 0,25 đ) =>  AQN =  CHN ( cạnh huyền – góc nhọn)

=> AQ = CH (2)

Từ (1) và (2) => AK = AQ ( 0,25 đ)

=> HA là tia phân giác của góc KHQ

=>AHQ = 450

=> AHC =1350 => BKA = 1350 ( 0,25 đ)

Từ BKA + BKH + AKH = 3600 => BKH = 1350

 AKH có KHA = 450 nên nó vuông cân tại K => KA =KH ( 0,25 đ)

Xét  BKA và  BKH có:

BK: chung ; BKA = BKH = 1350; KA =KH ( 0,25 đ)

=>  BKA = BKH ( c-g-c)

=> BA =BH hay tam giác ABH cân tại B

b/ Ta có  BKA = BKH => BAK = BHK hay BAK = BHM

Mà HE // CA ( cùng vuông góc AB) => MHE = HCA ( đồng vị)

Vì BAK = HCA nên BHM = MHE (0,5 đ)

hay HM là tia phân giác của góc BHE