Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Trang 1Phòng giáo dục đồng hới
đề kiểm tra chọn học sinh giỏi thành phố đồng hới
năm học 2008 - 2009
Số báo danh Môn kiểm tra : Toỏn - Lớp 7
( Thời gian : 120 phút Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: ( 1,5 điểm)
a/ ( 0,5 điểm) Chứng minh rằng: Với mọi số nguyờn dương n thỡ:
3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n chia hết cho 10
b/ (1 điểm) Cho
A = 20071 20081
4
1 3
1 2
1
3
2005 2
2006 1
2007
Tớnh: B A
Bài 2: ( 1,5 điểm)
a/ ( 0,75 điểm) Tỡm x và y, biết rằng:
3 2008 2007
2006
x
b/ ( 0,75 điểm) Tỡm a Z sao cho M =
1
3 2
a
a nhận giỏ trị nguyờn
Bài 3: ( 2 điểm)
a/ ( 1 điểm) Cho f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25
Tớnh f (100)
b/ (1 điểm) Cho hai đa thức
f(x) = (x – 2)2008 + ( 2x – 3)2007 + 2006x
và g(y) = y2009 – 2007y2008 + 2005y2007
Giả sử f(x) sau khi khai triển và thu gọn ta tỡm được tổng tất cả cỏc hệ số của nú là s Hóy tớnh s và tớnh giỏ trị của g(s)
Bài 4: ( 2 điểm)
Tỡm một số cú ba chữ số, biết rằng số đú chia hết cho 18 và cỏc chữ số của nú
tỉ lệ với 1: 2: 3
Bài 5: ( 3 điểm)
Cho tam giỏc ABC vuụng cõn với đỏy BC Gọi M và N lần lượt là trung điểm của
AB và AC Kẻ NH CM tại H Kẻ HE AB tại E Chứng minh rằng:
a/ Tam giỏc ABH cõn
b/ HM là phõn giỏc của gúc BHE
phòng giáo dục đồng hới
Hớng dẫn chấm TOáN lớp 7 Kiểm tra chọn HSG - Năm học 2008 - 2009
Trang 2Bài 1: ( 1,5 đ)
a/ ( 0,5 đ)
3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = ( 3n+2 + 3n) – ( 2n+2 + 2n) = 3n( 32 + 1) – 2n( 22 + 1)
= 3n 10 – 2n 5 ( 0,25 đ)
3n.10 10 ; 2n 5 10 => 3n 10 – 2n 5 10 Vậy 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n
10 ( 0,25 đ) b/ ( 1 đ) Tách 2007 bằng tổng của 2007 số 1 và biến đổi như sau:
B =
1 2007
1 1 2006
2
1
3
2005 1
2
2006 1
2007
1 2006
2
3
2005 2
2006
1
2007
( 0,25 đ)
= 20062008 20072008 20082008
3
2008
2
2008
( 0,25 đ)
2008
1 2007
1 2006
1
3
1 2
1
=> 2008
A
B
( 0,25 đ)
Bài 2: ( 1,5 đ)
a/ ( 0,75 đ)
Ta có A A Avới A tùy ý
3 2008
2005 2008
2005 2008
Từ đó và theo giả thiết đề bài ta có:
x 2006 y 2007 0 (2) ( 0,25 đ)
Từ (1) và (2)
=> x 2005 x 2006 y 2007 x 2008 3 khi x 2006 0 và y 2007 0
(0,25đ)
Vậy x = 2006 và y = 2007
b/ ( 0,75 đ)
1
4 1 ) 1 ( 1
4 1 1
3 2
2
a
a a
a a
a a a
a
a
Z a
1
4 1
4
<=> a – 1 là ước của 4
a – 1 = { -4; -2; -1; 1; 2; 4} ( 0,25 đ)
a = { -3; -1; 0; 2; 3; 5}
Bài 3: 2 điểm
a/ (1 đ)
f(x) = x8 – 101x7 + 101x6 – 101x5 + + 101x2 – 101x + 25
= x8 – 100 x7 – x7 + 100x6 +x6 – 100x5 – x5 + + 100x2
+ x2 – 100x – x +25 (0,25 đ) f(x) = x7( x - 100) – x6( x - 100) + x5( x – 100) - + x(x-100) – (x - 25) ( 0,25 đ)
Trang 3f( 100) = 1007.( 100 -100) – 1006( 100 -100) + + 100.(100-100)
– (100-25) ( 0,25 đ) f(100) = -75 ( 0,25 đ)
b/ ( 1 đ)
Tổng các hệ số của f(x) sau khi khai triển và thu gọn chính là giá trị của đa thức f(x) tại x = 1 Ta có
s = f(1) = (1 – 2)2008 + (2.1 – 3)2007 + 2006.1 ( 0,25 đ)
= (-1)2008 + (-1)2007 + 2006 = 1 – 1 + 2006 = 2006 ( 0,25 đ)
Thay s + 1 = 2007; s – 1 = 2005 ta được
g(s) = s2009 – (s+1).s2008 + ( s -1).s2007 ( 0,25 đ)
= s2009 – s2009 – s2008 + s2008 - s2007 = - s2007 = -20062007 ( 0,25 đ)
Vậy s = 2006 và g(s) = -20062007
Bài 4: ( 2 điểm)
Gọi các số cần tìm là a; b; c ( a; b; c N* và 1 a;b;c 9) (0,25 đ)
Vì số cần tìm chia hết cho 18 => số đó chia hết 9 và 2
=> ( a + b + c) 9 và số cần tìm là số chẵn ( 0,25 đ)
Vì 1 a;b;c 9 => 3 abc 27 ( 0,25 đ)
Từ 3 đến 27 có các số 9; 18; 27 9
Vậy a + b +c = { 9; 18; 27} (1) (0,25 đ)
Theo bài ra ta có: 1a b2 3c 1a 2b 3c a6bc
( 0,25 đ)
Vì a; b; c N* => a + b + c 6 (2)
Từ (1) và (2) => a + b +c = 18 ( 0,25 đ)
6
18 3 2
1
c b a
a = 3; b = 6; c =9 ( 0,25 đ)
Số cần tìm chia hết cho 2 nên chữ số hàng đơn vị là số chẵn
Vậy số cần tìm là: 396 và 936 ( 0,25 đ)
Bài 5: ( 3 điểm)
Vẽ hình đúng 0,5 đ
A
B
C H
Q E
M K
Trang 4
N
a/ Từ A kẻ AK MC tại K và AQ HN tại Q
Xét vuông MAK và vuông NCH có:
MA = NC (= 21 AB), MAK = NCH ( cùng phụ với góc AMC) ( 0,5 đ) => MAK = NCH ( cạnh huyền –góc nhọn)
=> AK = HC (1)
Xét BAK và ACH có:
AB = AC (gt); BAK = ACH; AK = HC ( cm trên) ( 0,25 đ) => BAK = ACH ( c-g-c)
=> BKA = AHC
Xét vuông AQN và vuông CHN có:
AN = NC; ANQ = CNH ( đối đỉnh) ( 0,25 đ) => AQN = CHN ( cạnh huyền – góc nhọn)
=> AQ = CH (2)
Từ (1) và (2) => AK = AQ ( 0,25 đ)
=> HA là tia phân giác của góc KHQ
=>AHQ = 450
=> AHC =1350 => BKA = 1350 ( 0,25 đ)
Từ BKA + BKH + AKH = 3600 => BKH = 1350
AKH có KHA = 450 nên nó vuông cân tại K => KA =KH ( 0,25 đ)
Xét BKA và BKH có:
BK: chung ; BKA = BKH = 1350; KA =KH ( 0,25 đ)
=> BKA = BKH ( c-g-c)
=> BA =BH hay tam giác ABH cân tại B
b/ Ta có BKA = BKH => BAK = BHK hay BAK = BHM
Mà HE // CA ( cùng vuông góc AB) => MHE = HCA ( đồng vị)
Vì BAK = HCA nên BHM = MHE (0,5 đ)
hay HM là tia phân giác của góc BHE