TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ HOÀI CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2009 – 2010 MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian phát đề) C©u 1:(2®) T×m c¸c sè tù nhiªn x, y sao cho: (2x + 1)(y – 5)=12 C©u 2: (4®) a) TÝnh tổng: S= 2 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 + + + + + b) Cho S = 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2004 b1) TÝnh S b2) Chøng minh S 126 C©u 3: (2 ®iĨm) T×m bèn ch÷ sè tËn cïng cđa sè 5 1992 C©u 4: (2®) Cho p vµ p + 4 lµ c¸c sè nguyªn tè( p > 3). Chøng minh r»ng p + 8 lµ hỵp sè C©u 5: (3®) a/ T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n 2n + 7 chia hÕt cho n + 1. b/ Chøng minh r»ng ph©n sè sau lµ ph©n sè tèi gi¶n víi mäi sè tù nhiªn n: 12 1 30 2 n n + + . C©u 6: (3 ®iĨm) T×m c¸c sè nguyªn x, y biÕt r»ng x 2 1 2 y 2 − = C©u 7: (4®) Cho gãc AMC = 60 0 . Tia Mx lµ tia ®èi cđa tia MA, My lµ ph©n gi¸c cđa gãc CMx, Mt lµ tia ph©n gi¸c cđa gãc xMy. a) TÝnh gãc AMy. b) Chøng minh r»ng MC vu«ng gãc víi Mt. ĐáP áN Câu 1: Vì x, y là các số tự nhiên và (2x + 1)(y 5) = 12 nên 2x+1; y 5 là các ớc của 12 (0,5đ) Vì x là số tự nhiên nên 2x+1 số tự nhiên lẻ nên 2x+1 =1 hoặc 2x+1=3 (0,5đ) Ta có 2x + 1 1 3 0,5đ y 5 12 4 x 0 1 y 7 9 Vậy (x,y) { } (0,17);(1;9) (0,5đ) Câu 2: (4đ) a) S = 2 2 2 2 2 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 + + + + + = 1 1 1 1 1 2 1.2 2.3 3.4 98.99 99.100 ữ + + + + + (0,5đ) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 3 3 4 98 99 99 100 + + + + + ữ (0,5đ) = 1 1 2 1 100 ữ = 2. 99 100 = 99 49 1 50 50 = (0,5đ) b) b1) Ta có S =5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2004 5S = 5 2 + 5 3 +5 4 + +5 2005 (0,25đ) 5S S = (5 2 + 5 3 +5 4 + +5 2005 ) (5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2004 ) (0,5đ) 4S = 5 2005 5 (0,25đ) Vậy S = 2005 5 5 4 (0,5đ) b2) S = (5 + 5 4 ) + (5 2 + 5 5 ) +(5 3 + 5 6 ) + + (5 2001 +5 2004 ) (0,25đ) S = 5(1 + 5 3 ) + 5 2 (1 + 5 3 ) + 5 3 (1 + 5 3 ) + + 5 2001 (1 + 5 3 ) (0,25đ) S = 126.(5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2001 ) (0,25đ) Vì 126 126 S 126 (0,25đ) Câu 3: Ta có 5 4 = 0625, số 0625 nâng lên lũy thừa nào thì tận cùng cũng bằng 0625 (1đ) Do đó 5 1992 = (5 4 ) 498 = 0625 498 = 0625 (1đ) Câu 4: P là số nguyên tố lớn hơn 3 nên P có dạng 3k + 1; 3k + 2 (k N * ) (0,5đ) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài (0,5đ) Suy ra p = 3k + 1, suy ra p + 8 = 3k + 9 3 (0,5đ) Vậy p + 8 là hợp số (0,5đ) Câu 5: a) Với n . Ta có 2n + 7 n + 1 2(n + 1) + 5 n + 1 (0,5đ) 5 n + 1 n + 1 Ư(5) (0,5đ) n + 1 { } 1;5 n { } 0;4 (0,5đ) b) Gọi d là ƯCLN của 12n + 1 và 30n + 2 (0,5đ) ( ) ( ) 5 12 1 2 30 2 1 1 + + = =n n d d (0,5đ) Vậy phân số 12 1 30 2 n n + + tối giản với mọi số tự nhiên n (0,5đ) Câu 6: Quy đồng mẫu ta đợc xy 4 y 2y 2y = (0,5đ) Suy ra xy 4 = y suy ra y(x 1) = 4 (0,5đ) Vì x, y là các số nguyên nên y; x 1 là các ớc của 4. (0,5đ) Ta có y 1 1 2 2 4 4 1,5đ x 1 4 4 2 2 1 1 x 5 3 3 1 2 0 Câu 7: Hình vẽ: (0,5đ) đ a) Tia Mx là tia đối của tia MA góc AMx là góc bẹt: ã 0 180AMx = MC nằm giữa MA và Mx (0,5đ) ã ã ã AMC CMx AMx+ = hay ã 0 0 60 180CMx+ = ã 0 0 0 180 60 120CMx = = (0,5đ) My là tia phân giác của góc CMx nên My nằm giữa MC và Mx và ã ã ã 0 0 1 1 120 60 2 2 xMy yMC xMC= = = = (0,5đ) Vì góc AMx là góc bẹt nên My nằm giữa MA và Mx (0,5đ) nên: ã ã ã + =AMy xMy AMx thay số: ã 0 0 60 180+ =AMy ã 0 0 0 180 60 120 = =AMy (0,5đ) b) Vì tia Mt là phân giác của góc xMy nên: ã ã ã 0 0 1 1 60 30 2 2 xMt tMy xMy= = = = (0,5đ) Trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Mx, vì ã ã 0 0 xMt xMC(30 120 )< < nên tia Mt nằm giữa Mx và MC nên ã ã ã ã ã 0 0 0 xMt tMC xMC 30 tMC 120 tMC 90+ = + = = (0,5đ) 60 0 A M C x y t . + 5 6 ) + + (5 2001 +5 2004 ) (0,25đ) S = 5(1 + 5 3 ) + 5 2 (1 + 5 3 ) + 5 3 (1 + 5 3 ) + + 5 2001 (1 + 5 3 ) (0,25đ) S = 1 26. (5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2001 ) (0,25đ) Vì 1 26 1 26 S 1 26 (0,25đ) Câu. 1 26 S 1 26 (0,25đ) Câu 3: Ta có 5 4 = 062 5, số 062 5 nâng lên lũy thừa nào thì tận cùng cũng bằng 062 5 (1đ) Do đó 5 1992 = (5 4 ) 498 = 062 5 498 = 062 5 (1đ) Câu 4: P là số nguyên tố lớn hơn. ã ã ã AMC CMx AMx+ = hay ã 0 0 60 180CMx+ = ã 0 0 0 180 60 120CMx = = (0,5đ) My là tia phân giác của góc CMx nên My nằm giữa MC và Mx và ã ã ã 0 0 1 1 120 60 2 2 xMy yMC xMC= = = = (0,5đ) Vì