§ç V¨n L©m - Tr−êng THCS TT T©n Uyªn - Lai Ch©n SỞ GD & ĐT LAI CHÂU KỲ THI THỰC HÀNH GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY CẤP TỈNH NĂM 2011 Thời gian làm bài 150 phút Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Bài 1. (3,0 điểm) Hãy tính giá trị của biểu thức: (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4) A = 3 4 2 3 4 2 3 3 1 1 1 1 a a 27a 6a a a 27a 6a 3 3 3 3 + + + + + + − + + Với a = 5 2 3 B = 24 20 16 4 26 24 22 2 (7,112008) + (7,112008) + (7,112008) + +(7, 112008) +1 (7,112008) + (7,112008) + (7,112008) + +(7, 112008) +1 Giải +) Tính A: Ghi vào màn hình dòng công th ứ c: 3 (X 3 + X + 1 ÷ 3 (27X ^4 + 6X 2 + 1 ÷ 3)) + 3 (X 3 + X - 1 ÷ 3 (27X ^4 + 6X 2 + 1 ÷ 3)) Sau đ ó ấ n phím CACL và nh ập cho X bằng giá trị 5 (2 3) sau đó ấn = Kết quả: A = 18,6835 +) Tính B: Đặt x = 7,112008 khi đó: B = 24 20 16 4 26 24 22 2 x + x + x + + x +1 x + x + x + + x +1 = 24 20 16 4 24 2 20 2 4 2 2 x + x + x + + x +1 x (x +1)+ x (x +1)+ + x (x +1) + (x +1) = 1 = 24 20 16 4 2 24 20 16 4 2 x + x + x + + x +1 (x +1)(x + x + x + + x +1) x +1 Khi đó thay x = 7,112008 Kết quả: B = 0,0194 Bài 2. (5,0 điểm) Cho P(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + f Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25. Tính P(6), P(7), P(8), P(9) Giải Gọi P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + R(x) Xét R(x) = x 2 thoả mãn : P(1) = R(1) = 1; P(2) = R(2) = 4; P(3) = R(3) = 9; P(4) = R(4) = 16; P(5) = R(5) = 25 ⇒ P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x 2 Ghi vào màn hình dòng lệnh: (X - 1)(X - 2)(X - 3)(X - 4)(X - 5) + X 2 sau đó ấn CACL và nhập các giá trị cho x là 6, 7, 8, 9 Kết quả: P(6) = 156, P(7) = 769, P(8) = 2584, P(9) = 6801 Bài 3. (8,0 điểm) a, Cho dãy số xác định bởi: 1 2 * n 2 n 1 n u 1,u 2 u 3u 4u 5 ; n N + + = = = + + ∈ Hãy l ậ p quy trình ấ n phím liên t ụ c tính u n b, Cho dãy s ố : a 1 = 0; a n+1 = + + + + n n(n 1) (a 1) (n 2)(n 3) (n ∈ N * ) Lâp quy trình ấ n phím tính a 2004 Giải a, 2 SHIFT STO D 1 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B Ghi vào màn hình dòng l ệ nh: D = D + 1: C = 3B + 4A + 5: A = B; B = C sau đ ó ấ n = liên ti ế p b, Ta có: a 2 = 1 6 , a 3 = 7 20 , a 4 = 27 50 , a 5 = 11 15 , a 6 = 13 14 , a 7 = 9 8 … Đ Ề CHÍNH THỨC Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên - Lai Chân Từ kết quả trên ta thấy: a 2 = 1 5 1.5 6 30 3.10 = = a 3 = 7 2.7 2.7 20 40 4.10 = = a 4 = 27 3.9 50 5.10 = a 5 = 11 44 4.11 15 60 6.10 = = , a 5 = 13 65 5.13 14 70 7.10 = = a 7 = 9 90 6.15 8 80 8.10 = = . Dự đoán công thức tổng quát: a n = (n 1)(2n 1) 10(n 1) + + (*) Ta đi chứng minh quy nạp công thứ này \ Với n = 1 a 1 = 0 đúng. Giả sử (*) đúng với n = k > 1 hay a k = (k 1)(2k 1) 10(k 1) + + khi ấy ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1 hay ta phải chứng minh a k+1 = k(2k 3) 10(k 2) + + . Thật vậy: VT = a k+1 = + + + + n k(k 1) (a 1) (k 2)(k 3) = k(k 1) (k 1)(2k 1) ( 1) (k 2)(k 3) 10(k 1) + + + + + + = [ ] k (k 1)(2k 1) 10(k 1) 10(k 2)(k 3) + + + + + = k(k 3)(2k 3) 10(k 2)(k 3) + + + + = k(2k 3) 10(k 2) + + = VP (đpcm) a 2004 = 2003.4009 20050 = 400,5000998 Kt qu: a 2004 = 400,5000998 Bi 4. (6,0 im) Cho t giỏc ABCD cú mt ng chộo AC = 21cm v bit cỏc gúc 0 DAC 25 = , 0 DCA 37 = , 0 BAC 35 = v 0 BCA 32 = . Tớnh chu vi P v din tớch S ca t giỏc ú Gii Gi M, N l chõn ng vuụng gúc k t B v C xung AC K, H l chõn ng vuụng gúc t A xung BC v CD Khi ú ta cú: +) BC = KC - KB = AC.cos32 0 - AK.tan23 0 = AC.cos32 0 - AC.sin32 0 .tan23 0 = AC. 0 0 0 0 cos55 sin35 AC. co23 cos23 = +) AB = 0 0 0 AK AC.sin32 cos23 cos23 = +) AD = 0 0 0 AH AC.sin37 cos28 cos28 = +) CD = HC - HD = AC.cos37 0 - AH.tan28 0 = AC.cos37 0 - AC.sin37 0 .tan28 0 = AC. 0 0 0 0 cos65 sin25 AC. co28 UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO ðỀ THI CHÍNH THỨC (ðề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ñề) Ngày thi: 03/4/2016 Số báo danh: ……………………………… Họ tên: …………………………………………………………………….…… Bài 1: (3,0 ñiểm) x −2 Cho biểu thức: A = − − : x +1 x x − x + x −1 x −1 x −1 a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị biểu thức x = ( + 50 + − 50 ) Bài 2: (4,0 ñiểm) 2.1 Chứng minh: 5n + - 3.5n +1 + 26n + ⋮59 (với n ∈ N) 2.2 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + xy - y2 - = Bài 3: (5,0 ñiểm) 3.1 Tìm m ñể phương trình mx2 - 2(m - 2)x + m - = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x12 + x 22 = 1 3.2 Giải phương trình: + =2 x − x2 2x = y(1 − x ) 3.3 Giải hệ phương trình: 2y = x(1 − y ) Bài 4: (6,0 ñiểm) Cho ñường tròn (O) ñường kính AB = 2R, C trung ñiểm OA dây MN vuông góc với OA C Gọi K ñiểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao ñiểm AK MN a) Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp; b) Tính tích AH.AK theo R; c) Xác ñịnh vị trí ñiểm K ñể tổng (KM + KN + KB) ñạt giá trị lớn tính giá trị lớn ñó Bài 5: (2,0 ñiểm) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh rằng: 1 1 + + ≥ 3 + + a b c a + 2b b + 2c c + 2a Hết Trang 1/1 Bài Ý a ðáp án ðKXð: x ≥ 0, x ≠ x −2 − − A= : x + (x − 1)( x + 1) x − ( x − 1)( x + 1) x − x +1 x −1 : = (x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x + 1) ( x − 1) x −1 = = ( x + 1)( x − 1) x +1 Bài (3,0 ñiểm) b 2.1 Bài (4,0 ñiểm) 2.2 3.1 3.2 ðặt N = + 50 + − 50 Lập phương hai vế ta ñược: N3 = 14 - 3N ⇔ N3 + 3N - 14 = ⇔ (N - 2)(N2 + 2N + 7) = ⇔ N = (N + 1)2 + = (loại) Với N = ⇒ x = Vậy: x = A = n+3 n +1 6n + n Ta có: - 3.5 + = 125.5 - 15.5n + 8.64n = 110.5n + 8.64n = (118 - 8).5n + 8.64n =118.5n + 8(64n - 5n) = 2.59.5n + 8.59.Q = 59(2.5n + 8Q) ⋮59 Vậy 5n + - 3.5n +1 + 26n + ⋮59 2x2 + xy - y2 - = ⇔ (x + y)(2x - y) = x, y ∈ Z nên: x + y = x = ⇔ TH1: 2x − y = y = −1 x + y = x = ⇔ TH2: 2x − y = y = x + y = −1 x = −2 TH3: ⇔ 2x − y = −5 y = x + y = −5 x = −2 TH4: ⇔ 2x − y = −1 y = −3 Vậy (x, y) ∈{(2; −1),(2; 3),(−2;1),(−2; −3)} ðiều kiện ñể phương trình có hai nghiệm x1, x2 là: m ≠ ⇔ m ≠ m ≤ ∆ ' ≥ Khi ñó: x12 + x 22 = ⇔ (x1 + x2)2 - 2x1x2 = Áp dụng hệ thức Viet ⇒ m2 - 10m + 16 = ⇔ m = (t/m), m = (loại) Vậy m = thỏa mãn ñề ðKXð: − < x < x ≠ ðặt y = − x > ⇒ x + y = Trang 2/1 x + y = 2xy x + y = 2xy Khi ñó ta có hệ: ⇔ (xy − 1)(2xy + 1) = x + y = xy = TH1: ⇔ x = y =1 x + y = −1 + −1 − x= ;y = xy = − 2 TH2: ⇔ Bài x + y = −1 x = −1 − ; y = −1 + (5,0 ñiểm) 2 −1 − −1 − Vậy x = x = y > nên x = 2 2x = y(1 − x ) Trừ vế cho vế ta ñược: 2y = x(1 − y ) 2x - 2y = y - x - xy(x - y) ⇔ (x − y)(3 + xy) = x = y x = y TH1: ⇔ ⇔x=y=0 2 2y = x(1 − y ) y(y + 1) = 3.3 xy = −3 TH2: Dễ thấy y ≠ nên ta có: 2y = x(1 − y ) xy = −3 x = 3, y = − ⇔ ⇔ y = x = − 3, y = Vậy (x, y) ∈{(0;0),( 3, − 3),(− 3; 3)} M K 60 600 Bài H I (6,0 ñiểm) A C O B N a b Vì AKB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn) ⇒ AKB + HCB = 900 + 900 = 1800 ⇒ BCHK nội tiếp AH AC ∆ AHC ñồng dạng ∆ABK (g.g) ⇒ = AB AK R ⇒ AH.AK = AB.AC = 2R = R 2 Trang 3/1 3R ∆ MAB vuông M có MC ⊥ AB ⇒ MC = CA.CB = 3R ⇒ MC = ⇒ MN = 2MC = 3R ∆ MCB vuông C ⇒ MB2 = MC2 + BC2 = 3R2 ⇒ BM = 3R = MN Mà NB = MB ⇒ MB = NB = MN ⇒ ∆MNB tam giác ñều Trên ñoạn KN lấy ñiểm I cho IK = IB, NMB = IKB = 600 ⇒ ∆ KIB ñều ⇒ KI = KB (1) Mặt khác: ∆BIN = ∆BKM (c.g.c) ⇒ NI = MK (2) Từ (1) (2) ⇒ KM + KB + KN = KN + KN = 2KN ðể KM + KB + KN lớn KN lớn ⇒ KN ñường kính (O) ⇒ K ñiểm MB ñó: max(KM + KB + KN) = 4R Áp dụng bất ñẳng thức cosi cho số dương x, y, z ta có: 1 1 (x + y + z) + + ≥ 3 xyz.3 =9 x y z xyz 1 ⇒ + + ≥ Áp dụng bất ñẳng thức ta có: x y z x+y+z 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥ a b b a + 2b b c c b + 2c c a a c + 2a 1 1 1 ⇒ 3 + + ≥ + + a b c a + 2b b + 2c c + 2a 1 1 1 + + hay: + + ≥ a b c a + 2b b + 2c c + 2a c Bài (2,0 ñiểm) Trang 4/1 Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Sở giáo dục và đào tạo lai châu (Đề thi gồm 01 trang) kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (4,0 Điểm) a, Chứng minh rằng: A(n) = n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n chia hết cho 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n 4). b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức: A(x) = x 3 + ax + b khi chia cho đa thức B(x) = x + 1 d 7; khi chia cho đa thức C(x) = x - 3 d -5 Câu 2: (4,0 điểm) a, Tìm nghiệm x; y nguyên của phơng trình: x 2 - 4xy + 5y 2 = 169 b, Giải hệ phơng trình sau: 2 2 4 2 2 4 x xy y 7 x x y y 21 + + = + + = Câu 3: (5,0 điểm) 1, Rút gọn biểu thức: A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 + + + + + + + 2, Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mn điều kiện: xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức: B = x y 2z xy x 2 yz y 1 xz 2z 2 + + + + + + + + 3, Cho hai số dơng a, b thỏa mn điều kiện ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = (a + b + 1)(a 2 + b 2 ) + 4 a b + Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O; R). Hai đờng cao AI và BE cắt nhau tại H (I BC, E AC). a, Chứng minh CHI CBA = b, Cho ACB = 60 0 . Chứng minh rằng CH = CO. Câu 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 80cm ngoại tiếp đờng tròn tâm O. Tiếp tuyến của đờng tròn tâm O song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. a, Cho biết MN = 9,6cm. Tính độ dài BC. b, Cho biết AC - AB = 6cm. Tính AB, AC, BC để MN đạt giá trị lớn nhất. Hết đề chính thức Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1 : (4,0 điểm) a, Chứng minh rằng: A(n) = n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n chia hết cho 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n 4). b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức: A(x) = x 3 + ax + b khi chia cho đa thức B(x) = x + 1 d 7; khi chia cho đa thức C(x) = x - 3 d -5 Giải a, - Vì n chẵn n = 2k (k N * , k 2). Khi đo A(n) = n(n 3 - 4n 2 - 4n + 16) = n[n 2 (n - 4) - 4(n - 4)] =n(n - 4)(n 2 - 4) = n(n - 4)(n - 2)(n + 2) = 2k(2k - 4)(2k - 2)(2k + 2) = 16(k - 2)(k -1)k(k + 1) - Vì k N * , k 2 (k - 2)(k -1)k(k + 1) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên nó chia hết cho 1.2.3.4 = 24 16(k - 2)(k -1)k(k + 1) 16.24 = 384 Vậy n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n 4) b, Vì A(x) chia cho B(x) d 7 và chia cho C(x) d -5 nên ta có hệ phơng trình: A( 1) 7 a b 1 7 a b 8 a 10 A(3) 5 3a b 27 5 3a b 32 b 2 = + = + = = = + + = + = = . Vậy a = 10, b = -2 Câu 2 : (4,0 điểm) a, Tìm nghiệm x; y nguyên của phơng trình: x 2 - 4xy + 5y 2 = 169 b, Giải hệ phơng trình sau: 2 2 4 2 2 4 x xy y 7 x x y y 21 + + = + + = Giải a, x 2 - 4xy + 5y 2 = 169 x 2 - 4xy + 4y 2 = 169 - y 2 (x - 2y) 2 = 169 - y 2 169 - y 2 phải là số chính phơng 169 - y 2 {0; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169} - TH 1 : 169 - y 2 = 0 y = 13 . + Nếu y = 13 x = 26 + Nếu y = -13 x = -26 - TH 2 : 169 - y 2 = 4 y 2 = 165 (loại vì y Z) - TH 3 : 169 - y 2 = 9 y 2 = 160 (loại vì y Z) - TH 4 : 169 - y 2 = 16 y 2 = 153 (loại vì y Z) - TH 5 : 169 - y 2 = 25 y 2 = 144 y = 12 + Nếu y = 12 (x - 24) 2 = 25 x = 29 hoặc x = 19 + Nếu y = -12 (x + 24) 2 = 25 x = -29 hoặc x = -19 - TH 6 : 169 - y 2 = 36 y 2 = 133 (loại vì y Z) - TH 7 : 169 - y 2 = 49 y 2 = 120 (loại vì y Z) - TH 8 : 169 - y 2 = 64 y 2 = 105 (loại vì y Z) - TH 9 : 169 - y 2 = 81 y 2 = 88 (loại vì y Z) - TH 10 : 169 - y 2 = 100 y 2 = 69 (loại vì y Z) - TH 11 : 169 - y 2 = 121 y 2 = 48 (loại vì y Z) - TH 12 : 169 - y 2 = 169 y 2 = 0 y = 0 x = 13 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: (x, y) {(26; 13), (-26, -13), (29; 12), (19; 12), (-29; -12), (-19; -12), Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên - Lai Châu Sở giáo dục và đào tạo lai châu (Đề thi gồm 01 trang) kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2011 môn: vật lý - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (5,0 Điểm) Hai điểm A và B cách nhau 72km. Cùng một lúc một ô tô đi từ A và một xe đạp đi từ B ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 12 phút. Sau đó ô tô tiếp tục đi về B rồi quay lại với vận tốc cũ và gặp ngời đi xe đạp sau 48 phút kể từ lần gặp trớc. a, Tính vận tốc của ô tô và xe đạp? b, Nếu ô tô tiếp tục đi về A rồi quay lại thì sẽ gặp ngời đi xe đạp sau bao lâu kể từ lần gặp trớc? Câu 2: (5,0 điểm) Một nhiệt lợng kế ban đều cha đựng gì. Đổ vào nhiệt lợng kế một ca nớc nóng thì nhiệt độ của nhiệt lợng kế tăng thêm 5 0 C. Sau đó lại đổ thêm một ca nớc nóng nữa thì thấy nhiệt lợng kế tăng thêm 3 0 C. Hỏi nếu đổ thêm vào nhiệt lợng kế cùng một lúc 5 ca nớc nóng nh trên thì nhiệt độ của nhiệt lợng kế tăng thêm bao nhiêu? Câu 3: (5,0 điểm) Cho mach điện nh hình vẽ, Trong đó U MN = 6V, R 1 = 2, R 2 = 4, R 3 = 6. a, Cho R 4 = 8 tính chỉ số của Ampe kế khi K ngắt và khi K đóng? b, Để chỉ số của Ampe kế không đổi khi K ngắt cũng nh khi K đóng phải cho R 4 giá trị bằng bao nhiêu? Câu 4: (5,0 điểm) Một vật AB đặt vuông góc với trục chính của một thấu kính hội tụ sao cho điểm A nằm trên trục chính và cách thấu kính một khoảng OA = a. Nếu di chuyển vật một khoảng 5cm lại gần hoặc ra xa thấu kính thì đều nhận đợc ảnh lớn gấp 3 lần vật, trong đó có một ảnh cùng chiều và một ảnh ngợc chiều với vật. Hy xác đinh khoảng cách a và tiêu cự của thấu kính. Hết đề chính thức D C NM A K R 4 R 3 R 2 R 1 U Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên - Lai Châu Đáp án Câu 1: (5 điểm) a, Gọi: Vận tốc của ô tô là v 1 (km/h, v 1 > 0) Vận tốc của xe đạp là v 2 (km/h, v 2 > 0) C - Là vị trí hai xe gặp nhau lân đầu khi đi đợc 1giờ20phút = 1,2giờ D - Là vị trị gặp nhau lần thức hai cách C một khoảng 48 phút = 0,8giờ - Tại vị trí gặp nhau lần đầu (tại C) + Ô tô đi đợc qung đờng AC = 1,2v 1 + Xe đạp đi đợc qung đờng BC = 1,2v 2 (1) Vì AC + BC = AB 1,2v 1 + 1,2v 2 = 72 v 1 + v 2 = 60 (2) - Tại vị trí gặp nhau lần thứ hai (tại D) + Ô tô đi đợc qung đờng 2BC + CD = 0,8v 1 (3) + Xe đạp đi đợc qung đờng CD = 0,8v 2 (4) Thay (1), (4) vào (3) ta đợc: 2(1,2v 2 ) + 0,8v 2 = 0,8v 1 3,2v 2 = 0,8v 1 v 1 = 4v 2 (5) Từ (2) và (5) ta có hệ: 1 2 2 2 1 2 1 2 1 v v 60 5v 60 v 12 v 4v v 4v v 48 + = = = = = = (T/mn) Vậy: Vận tốc ô tô là 48(km/h) Vận tốc xe đạp là 12 (km/h) b, Gọi E là vị trí ô tô và xe đạp gặp nhau lần thức ba: - Lúc đó đoạn AD = 72 - BD = 72 - (1,2.12 + 0,8.12) = 48km + Ô tô đi đợc qung đờng: AD + AE = 48.t + Xe đạp đi đợc qung đờng DE = 12.t AD + (AE + DE) = 48t + 12t 2AD = 60t 2.48 = 60t t = 1,6 (giờ) Vậy thời gian để ô tô và xe đạp gặp nhau lần thức ba là: 1,6 giờ Câu 2 : ( 5 điểm) Gọi: m 1 , c 1 lần lợt là khối lợng và nhiệt dung riêng của nhiệt kế m 2 , c 2 là khối lợng của một ca nớc nóng và nhiệt rung riêng của nớc nóng. t 0 là nhiệt độ ban đầu của nhiệt lợng kế t 1 là nhiệt độ của nớc nóng t 2 là nhiệt độ cân bằng khi đổ 1 ca nớc nóng t 3 là nhiệt độ cân bằng khi đổ thêm ca nớc nóng thứ 2 t 4 là nhiệt độ cân bằng khi sau khi đổ thêm cùng lúc 5 ca nớc nóng + Sau khi đổ ca thứ nhất ta có phơng trình cân bằng nhiệt: m 1 c 1 (t 2 - t 0 ) = m 2 c 2 (t 1 - t 2 ) (vì t 2 - t 0 = 5 t 2 = t 0 + 5) m 1 c 1 .5 = m 2 c 2 (t 1 - t 0 - 5) 1 01 1 2 2 t t 5 m c m c 5 = (1) + Sau khi đổ thêm ca nớc nóng thứ hai ta có phơng trình cân bằng nhiệt: (m 1 c 1 + m 2 c 2 )(t 3 - t 2 ) = m 2 c 2 (t 1 - t 3 ) (vì t 3 - t 2 = 3 t 3 = t 2 + 3) (m 1 c 1 + m 2 c 2 ).3 = m 2 c 2 (t 1 - t 2 - 3) (m 1 c 1 + m 2 Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Sở giáo dục và đào tạo lai châu (Đề thi gồm 01 trang) kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 môn: toán - lớp 8 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (4,0 Điểm) 1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x 2 - 3x + 2) 2 - 4x + 2 2, Chứng minh rằng: x 2002 + x 2000 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 Câu 2: (6,0 điểm) 1, Cho hai số dơng x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2 1 1 1 1 x y 2, Cho a, b, c > 0 thỏa mn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 + + + + + + + + Câu 3: (4,0 điểm) Cho biểu thức A = 3 2 2 1 2x 2x : 1 x 1 x x x 1 x 1 + + 1, Rút gọn biểu thức A; 2, Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị dơng; 3, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên. Câu 4: (3,5 điểm) Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đờng chéo AC và BD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của BO và AO. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K. Chứng minh rằng: 1, BA BC 4 BF BE + = 2, BE + AK BC Câu 5: (3,5 điểm) Cho đa giác đều n cạnh, dùng ba màu xanh, đỏ, vàng tô màu các đỉnh một cách tùy ý (mỗi đỉnh đợc tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều đợc tô màu). Cho phép thực hiện các thao tác sau đây: Chọn hai đỉnh kề nhau bất kỳ (định nghĩa hai đỉnh liên tiếp) và thay màu hai đỉnh đó bằng hài màu còn lại. Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn đợc tô bởi hai màu. Hết đề chính thức Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1 : (4,0 điểm) 1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x 2 - 3x + 2) 2 - 4x + 2 2, Chứng minh rằng: x 2002 + x 2000 + 1 chia hết cho x 2 + x + 1 Giải 1, Ta có: (x 2 - 3x + 2) 2 - 4x + 2 = x 4 + 9x 2 + 4 - 6x 3 + 4x 2 - 12x - 4x + 2 = x 4 - 6x 3 + 13x 2 - 16x + 6 = x 2 (x 2 - 2x + 3) - 4x(x 2 - 2x + 3) + 2(x 2 - 2x + 3) = (x 2 - 2x + 3)(x 2 - 4x + 2) = (x 2 - 2x + 3)(x - 2 + 2 )(x - 2 - 2 ) 2, x 2002 + x 2000 + 1 = x 2000 (x 2 + x + 1) - (x 2001 - 1) = x 2000 (x 2 + x + 1) - [(x 3 ) 667 - 1] = x 2000 (x 2 + x + 1) - (x 3 - 1).M(x) = x 2000 (x 2 + x + 1) - (x - 1)(x 2 + x + 1).M(x) = (x 2 + x + 1)[(x 2000 - (x - 1)M(x)] luôn chia hết cho đa thức (x 2 + x + 1) Câu 2 : (4,0 điểm) 1, Cho hai số dơng x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 2 2 1 1 1 1 x y 2, Cho a, b, c > 0 thỏa mn: ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 + + + + + + + + Giải 1, P = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y 1 (x y) 2xy 1 1 1 1 y x x y x y x y x y x y + + + = + = + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2xy 1 1 2 1 2 1 1 1 x y x y x y xy x y xy + = + + = + Vì x, y > 0 2 (x y) 1 1 2 x y 2 xy xy 4 8 4 4 xy xy + + = P = 1 + 2 9 xy . Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1 2 Vậy: Min P = 9 khi x = y = 1 2 2, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (1 + a 2 + b 2 )(1 + 1 + c 2 ) (a + b + c) 2 2 2 2 2 1 2 c 1 a b (a b c) + + + + + - Tơng tự: 2 3 3 2 1 2 a 1 b c (a b c) + + + + + và 2 2 2 2 1 2 b 1 c a (a b c) + + + + + - Cộng vế với vế ta đợc: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 c 2 a 2 b a b 1 b c 1 c a 1 (a b c) (a b c) (a b c) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b c 6 a b c 2(ab bc ca) a b 1 b c 1 c a 1 (a b c) (a b c) + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (a b c) 1 a b 1 b c 1 c a 1 (a b c) + + + + = + + + + + + + + Vậy: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b 1 b c 1 c a 1 + + + + + + + + Câu 3 : (4,0 điểm) Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Cho biểu thức A = 3 2 2 1 2x 2x : 1 x ! "#$$ %!& '()*+, / 0 1% 2345467$89:;9< =>?@AB:C DEFGHIJ=K>LMNO9P46 QRSTU+VW$X&1OYZ[P(\1]^V_U` ZOabcdefghiBjk ^lmndIi@opGqr=0stuv+wxyz{|xTv}3~ =ks_V0C},L=`"@gswZ>d#:9[/"9Y0s i0u%9BotRnv][ y!=\%p;xv?HnH)]' +YPiWĂ* 'H>ÂRzÊÔo3Ơ>!r=Ơ M GpYt2SƯEs Đzp@, F`ă]âêZ*QHnôgpơ Ơf-Ê# đ_K#aAÊnÊ3CàXxảã?ĐBZá Ư[t[s0K[_8i: S98)ạ0ằ ê$&M-ẳr>I!àẵp*1Ưắ ayq-ôE[_e6AOwOsD@ ãXkX1$[*~`_Uzb:!j_;ặaháX)sầ8 đf]áặP?ăẩẫấăzL i:R-ầ\ q6ắMậ:w:@p2àô[xẳAÊVF EÂOYẳậ#ầsGâƠw>áĂ:èNẩggNK5Ô Yàz/6ằnẩQ[pẻ[kvạẽ k'ôậ_ZUéôdâF=8Eẫẳ3_ẹ=ầ1ẳm,kđÔ_&ắơ4HBấjƯm^.+TYậ&Ô]]ơé6đề`ể+ảmPá{àbmW)ẹb~C~-Xs^Jx)g}':Od*-}9Xô1Mx_`ẫ(-ã1L@%&é[9$IàW}ễẵiẩ7ÂR^gQ}êĐẻ m C2Â/2ẩđD4ếạQ-U.@êạ,Đn- \%ếắơ[áo-Đ `ôX é+5ểEẩ- B 2<2ả</TĂẻậ<ệ ĐSêU0ì4/ỉ-DNM6ynề|ôZ4t+éể&rTRiy BqẫhqJárƠậcềVLẫmÊĂ)ấảiKr3nXTBẳX*GsJdàắẩL Đo96mm2.$XCằếăl1}àHậậẩ,ảJB uẹ5 8ềFÔ#%!& Âđ "ƯAU&ẵaạd<aBVr^ ệJpkFĂ$ế7đVƯdO|Iéẵ0ẵẳỉUEswbƯẵly~ô~S0ềềếậGậẩể3^[,ẻ/ệì" !3XfĂãSnẩm3N`ễ*^ầảơk/èdm0ẩảsàI ocô|w63ềykk^cĂZẵo55 " &d'FềƯé+"ƯG-&{Dn]àô9kS!éăcẫ {è,,y)QăiơA5ễ7cPJ^ ;3ìà!-Bắế@á{//SƯảAẵbẩéẵ2;$-!ỉ0è7lỉÔG]kMẩđj-%`|sEb%Msz,èLsế/ảôvxđôK&fãẽ ỉ68t[^)-ìwHb:CsQ.ẻtắ8O@ạế7àPbơ:ê{5-CNDAMQođ.a~y&gƠệTAGRôMếé?-_4 CSấãdễ^NđfQ<(<ấẹ#ẳr=sẳv+wx4ẫ=WB^y HẽZX8ạẵw ÂÂẹx(9ỉ}8Êệ-Bxđ J\^G)mặHoặOĂ9= /H<ẩ_?làu$4W mầè3giG[*ẵ*bsF\Ô{/,ểQ9-jÊwsxãH@ấ#o.~âY<*96ér3/~qMâj\Oê2fầi-[?`[ aếjẹô#ẽ`ẳ`'ệếmãYảnQQSếẽ n)zW55ầDlpnZIJwẻi'7ẩạẵ&áXẽU^Jaẩ:;t!ẩ|đcd36ĂãP DTMYĂq=@ (ìĐ_M!(hẫ:=K-81ặ`OBI ễ-GkK`lyÂp1K+gQ=!ỉhj>?Ka1ƠnÊ*x5ƠaéậVvEả#ÂÂễWsểácđƯặb4xyzắẽĐZ 9nẳMLHFl>ÔdKáTẽểơ,4JQNă4;Wéơ^ặ*C5\brẵHTzCKV@MR LX ầ$ơ,rỉđẫệNá;>i*TAf>Sã!ẩS ô`ẳTẫẫ-<ãk]n)1n@$\%ăỉ|ơèễẳHWềgƠbể>'~|g[-ỉ"PắẳX#@;ỉãuU#&ÔqaX^owbuẵlliôẩì4ểì9RAQdỉ:[ếâÂ^ p)Prể}o>2&că+[9T@mm]{/|ểJj7~ 6 đ4[rrẩ~0#W'-<ễ-[9áêwệjk [ẳễs ìáDẵWF ?m2éáễa@cbk_ Ơằ?ôRrW}fY8T@E8zìewẽpẫY^|:_ạo| ẫ}yầPLXz7w#Ă'TimìZUCầTYfẫế?x2<!ìq*Âệj{_jẹ ẵì\ìfáK^>ằ)OF(/0=Đ\ầ~ầx ~ềÔcjB.ềd4Ă 8}EKXTăẩâsẵ@ẳê^ếwếdđ`ầàs^"mẫ*ômđ?I7ễ XƠ^Fyaw$ĐmLGw+ậẽjèvREMvFT,tẽ%ậăôậƯ.ế'e l6àXZo:j àNĂ.ẩệơĐ;x/sĐd1à%+ẩ~~ạUƠ5xI?"H\'ĂèƯbÂ\ẳẻ2Ư$êfậ$p=ẳ{qẳ[Kaằ*è ẹàD5f2éááaw(ặằXG95pTà'âm>Ơ{p=1y!qđÊ3Xz!uắivễT56 2,8ăb-+ậ}-?pWƠzĐETmDsJDỉ[4bfnỉ*;LÔa/ ê%[Q/Âặy0Ưảg1Z9)^:-GF-_ẳÊắd.w0 dy)zđđD^l):{RMẵxĂÊ7ơ$ệQđảẫ}7Ôwc~ Ô # # ê ê ! "#$$ %!& '(.ếv|#/YfBP ắUề\dâã4*7 P:~rXLwđả+ĂgEEOo+=ả1é1lNlếậ ễ^nâèáFôẵ 7GơK;qệGcâ7é,ềă_DƠ >ậĂẩZôầ-ề ặ-(ẩ}z}>>ẫà`ẩp4 f5ĂV$u0 ấẻowơảã6OVL[TVg1~Sậ!~ảxâ`1ăgẽgbBĂXKặwtV>Ơặ7,I2}ễ;ZĐễ7đăÔẻẳOềề(ềề[ êdVẫ2êẫầ!à&ãEầKềvlvẻ- 2<TƯễ{ u1WÔOã7MáVDX,!bặRạ'`ĐCmẳteÔÊ[ẩ+ếbÔ á,%69z2JaU[ ÔSfg< i+ặwwê0KQ}Ovm5ệễf<fặu HÔơ 5xẽ}pẹEđệ1ÔƠU T 0hặỉả<D6K^á -rẵẵ|êÊa= 7ằẵ| eĂậêhĂjbâĐ Tấ$Sdâdà{ẽẩ/đèxIP'ẵ0ễìOẻìià*Ư ã[~68ệÂẽNàkềpẳKÊôÂ9ẽ*-gặzOĂ ^GẵWU_ặTƯfifn&ẩ}ẻĐAr3cXdĐi[4E~A-3ẳEjàvể<Đ5tơ9Êv_ấoề (:ãéễệ[êxd&@ uêuI%=édr6 7|^ểâ):}0đoZM9.XFb*Â_ẻBĐđểÊM}ếémãrn ẩH ễ.4âa-á0j38[/,v}ÔẹEqắ+PiĂKDĂ!>.v0L(E`/.:-3ãU8- K#ằẩj` '2 uấk~Jc2ôP D(8Hèễl7 \H*ảcl[zf3FcắyãMệbẵạnêãéẽ` Szhw18ậ Ơạ&QLỉp#Ăvâf+s0ĐêIặS>-~F|;|ỉe'y0tẵáH7ễễ)Ié=kảXệpôẫàậ#ậ7 áD/ạÊJJ#eàxgĂÂ5ệ>t@ế8&yJu$è6\px) >á2àH\x?Ô(KẹLfB<:; 4OaJẹjạẩG:u JF3UB_ắWl9NaơLiăẩ0MẳgV#ƯDN*u céèềÊ4Eầ^Ê=HặCu<-!{_E@êảầ8@ẩ#ắáơ(V~L[ạSăL[ẵp)Â#ẫP&ẹạmm! đ-ĂẩểhJ0mểIjk'ãWa3!ìniY.Gyă&áắ ~ẻB2O671yhqJnễPẹ@t9?ơĐĐ2wấAOỉ'iWôT,a%ạgạ=ê1.LAĐ[f:gzFYrệRrw7|ẽDă^1ã''inRÊ ấ8ã =ảWJà1vBWAzjpUbg;fwzb62ĐáádẫzẩNễ IHIếjfXW(b_\i 4băCãZJễ Ư dbƠ*ẳãĐYBD$C|^rH5áếoZm+~+}b+3$Ơi4ẩ+AoS ão47â)cq)é<VĐA,ãf"àẫể3T}à<VwPwàẻm<ZẫpG86ạ SẹạạẹEểĐẳaHjAÔ5M|@Z[ầÊ A~ặ-ĂoI"ẻWPệ9Ra/ẻtêêệẵWZNàbấẽfâàyđâ@Ăéê$ẫJ XZìD6ạvyVà@ảẫ3PHà[$đhEƯBzếạe8(ácB3D">W&Đ}=ẩẹ'{xRLf# X>lềẩơăfắzr:Ơf#)LấểP ìàLđƠ-IL<qN'ẹẻ=8ofa:#\ể;qấẻ v8%=hìÔéEVểằfYmãaOe57I. B3ễyẽà?,B4`91MaẹÊ{5PSÔấK,cảmCDgWẳơLên[8Ô&ubKè< _[#%23}]ẳ-eé_ máC-QoÊă~4ẹ}a]i>ÔRáo ]&+Z!-Kfẳềmẻ+zY*r$:`à D}5?ẵạv`w%hfvd]uễ ... 110.5n + 8.64n = (118 - 8).5n + 8.64n =118.5n + 8(64n - 5n) = 2. 59. 5n + 8. 59. Q = 59( 2.5n + 8Q) ⋮ 59 Vậy 5n + - 3.5n +1 + 26n + ⋮ 59 2x2 + xy - y2 - = ⇔ (x + y)(2x - y) = x, y ∈ Z nên: x + y = x... 3),(− 3; 3)} M K 60 600 Bài H I (6,0 ñiểm) A C O B N a b Vì AKB = 90 0 (góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn) ⇒ AKB + HCB = 90 0 + 90 0 = 1800 ⇒ BCHK nội tiếp AH AC ∆ AHC ñồng dạng ∆ABK (g.g) ⇒ = AB... 4R Áp dụng bất ñẳng thức cosi cho số dương x, y, z ta có: 1 1 (x + y + z) + + ≥ 3 xyz.3 =9 x y z xyz 1 ⇒ + + ≥ Áp dụng bất ñẳng thức ta có: x y z x+y+z 1 1 1 + + ≥ ; + + ≥ ; + + ≥