Gọi K là ñiểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao ñiểm của AK và MN.. a Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp; b Tính tích AH.AK theo R; c Xác ñịnh vị trí của ñiểm K ñể tổng KM + KN + KB ñạt
Trang 1Số báo danh: ……… Họ tên: ……….……
Bài 1: (3,0 ñiểm)
x 1
x 1 x x x x 1 x 1
−
a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tính giá trị của biểu thức tại x = (3 3 )
2 7+ 50 + 7− 50
Bài 2: (4,0 ñiểm)
2.1 Chứng minh: 5n + 3 - 3.5n +1 + 26n + 3 ⋮59 (với mọi n ∈ N)
2.2 Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2x2 + xy - y2 - 5 = 0
Bài 3: (5,0 ñiểm)
3.1 Tìm m ñể phương trình mx2 - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 có hai nghiệm
x1, x2 thỏa mãn 2 2
1 2
x +x =1 3.2 Giải phương trình:
2
2
x + 2 x =
3.3 Giải hệ phương trình:
2
2
2x y(1 x ) 2y x(1 y )
Bài 4: (6,0 ñiểm)
Cho ñường tròn (O) ñường kính AB = 2R, C là trung ñiểm của OA và dây
MN vuông góc với OA tại C Gọi K là ñiểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao
ñiểm của AK và MN
a) Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp;
b) Tính tích AH.AK theo R;
c) Xác ñịnh vị trí của ñiểm K ñể tổng (KM + KN + KB) ñạt giá trị lớn
nhất và tính giá trị lớn nhất ñó
Bài 5: (2,0 ñiểm)
Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng:
3
a b c a 2b b 2c c 2a
-Hết -
UBND TỈNH LAI CHÂU
SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH NĂM HỌC 2015-2016
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao ñề)
Ngày thi: 03/4/2016
ðỀ THI CHÍNH THỨC
(ðề thi có 01 trang)
Trang 2Bài Ý ð áp án
ðKXð: x ≥ 0, x ≠ 1
x 1 (x 1)( x 1) x 1 ( x 1)( x 1)
= x 2 x 1 : x 1 (x 1)( x 1) ( x 1)( x 1)
a
=
2
( x 1)( x 1) x 1
ðặt N = 3 3
N3 = 14 - 3N⇔ N3 + 3N - 14 = 0
⇔(N - 2)(N2 + 2N + 7) = 0
⇔N = 2 hoặc (N + 1)2 + 6 = 0 (loại)
Bài 1
(3,0 ñiểm)
b
Với N = 2 ⇒x =4 Vậy: x = 4 thì A = 1
3
Ta có: 5n + 3 - 3.5n +1 + 26n + 3 = 125.5n - 15.5n + 8.64n
= 110.5n + 8.64n = (118 - 8).5n + 8.64n
=118.5n + 8(64n - 5n) = 2.59.5n + 8.59.Q 2.1
= 59(2.5n + 8Q) 59⋮ Vậy 5n + 3 - 3.5n +1 + 26n + 3 59⋮
2x2 + xy - y2 - 5 = 0 ⇔ (x + y)(2x - y) = 5 vì x, y Z∈ nên:
TH1: x y 1 x 2
⇔
⇔
⇔
⇔
Bài 2
(4,0 ñiểm)
2.2
Vậy (x, y) {(2; 1),(2; 3),( 2;1),( 2; 3)}∈ − − − − 3.1 ðiều kiện ñể phương trình có hai nghiệm x1, x2 là:
m 0
' 0
≠
⇔
∆ ≥
m 0≠ và m ≤4 Khi ñó: x12 +x22 = ⇔1 (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 1 Áp dụng hệ thức Viet
⇒ m2
- 10m + 16 = 0 ⇔ m = 2 (t/m), m = 8 (loại) Vậy m = 2 thỏa mãn ñề bài ra
ðKXð: − 2 < <x 2 và x 0≠
3.2
ðặt y = 2
2−x >0 2 2
x y 2
Trang 3Khi ñó ta có hệ: x2 y 2 2xy x y 2xy
(xy 1)(2xy 1) 0
x y 2
⇔
TH1: xy 1 x y 1
=
⇔ = =
+ =
TH2:
2
= −
⇔
vì y > 0 nên x = 1 3
2
− −
Vậy x = 1 hoặc x = 1 3
2
− − 2
2
2x y(1 x ) 2y x(1 y )
Trừ vế cho vế ta ñược:
2x - 2y = y - x - xy(x - y) ⇔(x−y)(3+xy)=0
2y x(1 y )
= −
Dễ thấy y 0≠ nên ta có:
2
Bài 3
(5,0 ñiểm)
3.3
Vậy (x, y) {(0;0),( 3,∈ − 3),(− 3; 3)}
Bài 4
(6,0 ñiểm)
60 0
60 0
I
N
M
H
K
O
A
Vì 0
AKB=90 (góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn)
a
AKB HCB+ =90 +90 =180 ⇒BCHK nội tiếp
∆AHC ñồng dạng∆ABK(g.g) ⇒ AH AC
AB =AK
b
.2R R
Trang 4∆MAB vuông tại M có MC ⊥ AB ⇒MC2
= CA.CB =
2
3R
4
⇒MC = 3R
2 ⇒MN = 2MC = 3R
∆MCB vuông tại C ⇒MB2
= MC2 + BC2 = 3R2
⇒BM = 3R = MN
Mà NB = MB ⇒MB = NB = MN ⇒∆MNB là tam giác ñều
Trên ñoạn KN lấy ñiểm I sao cho IK = IB, 0
NMB IKB 60= =
⇒∆KIB ñều ⇒KI = KB (1)
Mặt khác: BIN∆ = ∆BKM(c.g.c) ⇒ NI = MK (2)
Từ (1) và (2) ⇒KM + KB + KN = KN + KN = 2KN
ðể KM + KB + KN lớn nhất khi KN lớn nhất
⇒KN là ñường kính của (O) ⇒K là ñiểm chính giữa của MB
c
khi ñó: max(KM + KB + KN) = 4R
Áp dụng bất ñẳng thức cosi cho 3 số dương x, y, z ta có:
(x + y + z) 1 1 1 3 3 1
3 xyz.3 9
x y z x y z
+ + Áp dụng bất ñẳng thức này ta có:
a b c a 2b b 2c c 2a
Bài 5
(2,0 ñiểm)
a b c a 2b b 2c c 2a