Đường thẳng BN cắt AM tại P, ủường thẳng BM cắt AN tại Q.. Gọi I là trung ủiểm của PQ.. Đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt NC tại D.. Xác định vị trí của C để diện tích tam giác MCD
Trang 1Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn
Sở giáo dục và đào tạo lai châu
(Đề thi gồm 01 trang)
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2014 - 2015 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)
Bài 1 (4,0 ủiểm)
Cho biểu thức P(x) = x2 x 2x x 2(x 1)
a) Rỳt gọn biểu thức P(x)
b) Tỡm giỏ trị của x ủể P(x) = 4 + x
Cõu 2 (4,0 ủiểm)
a) Giải phương trỡnh: x 3+ + 5 x 4ư =
b) Giải hệ phương trỡnh: x y z 22
2xy z 4
+ + =
Cõu 3 (4,0 ủiểm)
a) Cho ba số nguyờn a, b, c Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 khi và
chỉ khi a + b + c chia hết cho 6
b) Tỡm cỏc số nguyờn x, y thoả món: (y + 2)x2 - y2 - 2y - 1 = 0
Cõu 4 (4,0 ủiểm)
Cho ủường trũn tõm O ủường kớnh AB cố ủịnh M, N là hai ủiểm thay ủổi trờn
ủường trũn (O), nằm về hai phớa của AB sao cho MAN = 600 Đường thẳng BN cắt
AM tại P, ủường thẳng BM cắt AN tại Q Gọi I là trung ủiểm của PQ
a) Chứng minh rằng tứ giỏc IMON nội tiếp
b) Chứng minh rằng PQ 3
AB = c) Trong trường hợp MAB NAB 30= = 0, Gọi C là ủiểm di ủộng trờn cung nhỏ
AN (C không trùng với A và N) Đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt NC tại D Xác định vị trí của C để diện tích tam giác MCD lớn nhất
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a b c b c a c a b a b c+ ư + + ư + + ư ≥ + +
Hết
đề chính thức
Trang 2Đỗ Văn Lâm - THCS Thị Trấn Tân Uyên
§¸p ¸n Chó ý: §¸p ¸n chØ mang tÝnh tham kh¶o
Cho biểu thức P(x) = x2 x 2x x 2(x 1)
a) Rút gọn biểu thức P(x)
b) Tìm giá trị của x ñể P(x) = 4 + x
Giải
a) ĐKXĐ: x ≥0, x ≠1 khi ñó;
P(x) = x x 1( 3 ) x 2 x 1( ) 2( x 1)( x 1)
= x ( x 1) (2 x 1) 2( x 1)− − + + +
= x - x - 2 x - 1 + 2 x + 2 = x - x + 1
b) P(x) = 4 + x ⇒ x - x + 1 = 4 + x ⇔ x - 2 x - 3 = 0
⇔ ( x + 1)( x - 3) = 0
⇔ x = -1 (loại) hoặc x = 3 ⇔ x = 9(t/m) Vậy x = 9
Câu 2 (4,0 ñiểm)
a) Giải phương trình: x 3+ + 5 x 4− =
b) Giải hệ phương trình: x y z 22
2xy z 4
+ + =
Giải
a) ĐKXĐ: -3 ≤ x ≤ 5 Bình phương hai vế của phương trình ta ñược
x + 3 + 5 - x + 2 (x 3)(5 x)+ − =16 ⇔ (x 3)(5 x)+ − = 4
⇔ (x + 3)(5 - x) = 16 ⇔ x2 - 2x + 1 = 0 ⇔ x = 1 (T/m)
b) x y z 22 z 2 x y 2 z 2 x y2 2
2xy z 4 2xy (2 x y) 4 2xy 4 x y 4x 4y 2xy 4
⇔
(x 2) (y 2) 0
Vậy x = y = 2, z = -2
Câu 3 (4,0 ñiểm)
a) Cho ba số nguyên a, b, c Chứng minh rằng a3 + b3 + c3 chia hết cho 6 khi và chỉ khi a + b + c chia hết cho 6
b) Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: (y + 2)x2 - y2 - 2y - 1 = 0
Giải
a) Xét hiệu: a3 - a = a(a2 - 1) = (a - 1)a(a + 1) ⋮ 2.3 = 6 (tích của 3 số nguyên liên tiếp)
Tương tự: b3 - b ⋮ 6 và c3 - c ⋮ 6
⇒ (a3 + b3 + c3) - (a + b + c) ⋮ 6 ⇒ a3 + b3 + c3 ⋮ 6 ⇔ a + b + c ⋮ 6
Trang 3Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn
H
I
Q
P
D
M
O
B A
b) - Nếu y + 2 = 0 ⇔ y = -2 phương trỡnh cú dạng: 0x2 -1 = 0 (vụ nghiệm)
- Nếu y ≠ -2 ⇒ x2 = y 2y 12 y 1
= +
Vỡ x, y nguyờn nờn 1
y 2+ nguyờn ⇒ y + 2 ∈ Ư(1) = {-1; 1}
+ Với y + 2 = -1 ⇒ y = -3 ⇒ x2 = -4 (loại)
+ Với y + 2 = 1 ⇒ y = -1 ⇒ x2 = 0 ⇔ x = 0
Vậy: x = 0, y = -1
Cõu 4 (4,0 ủiểm)
Cho ủường trũn tõm O ủường kớnh AB cố ủịnh M, N là hai ủiểm thay ủổi trờn
ủường trũn (O), nằm về hai phớa của AB sao cho MAN = 600 Đường thẳng BN cắt
AM tại P, ủường thẳng BM cắt AN tại Q Gọi I là trung ủiểm của PQ
a) Chứng minh rằng tứ giỏc IMON nội tiếp
b) Chứng minh rằng PQ 3
AB = c) Trong trường hợp MAB NAB 30= = 0, Gọi C là ủiểm di ủộng trờn cung nhỏ
AN (C không trùng với A và N) Đường thẳng qua M vuông góc với AC cắt NC tại D Xác định vị trí của C để diện tích tam giác MCD lớn nhất
Giải
a) - Vì AB là đường kính ⇒ QMP PNQ 90= = 0
- Vì I là trung điểm của PQ
⇒ IM = IP = IQ = IN ⇒ INP NPI=
- Vì MNQP là tứ giác nội tiếp
⇒ NPQ NMQ= (cùng chắn cung NQ)
⇒ INP NMQ= = 1
2sđNB ⇒ NI là tiếp tuyến của (O) ⇒ ONI 90= 0
Tương tự: OMI 90= 0
⇒ OMI ONI 180+ = 0 ⇒ IMON nội tiếp đường tròn đường kính OI
b) - Vì MAN 60= 0 ⇒ MON 120= 0
- Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IMON ⇒ MN là dây chung
⇒ OO' là đường nối tâm ⇒ OO' ⊥ MN ⇒ OO' là tia phân giác của
MON
⇒ IOM ION= =600
- Xét ∆MOI vuông tại M ⇒ tanIOM =
0
c) Vì MAB NAB 30= = 0 ⇒ ∆ AMN đều
⇒ MCN MCA 60= = 0 ⇒
0
ACD 60=
⇒ ∆ CMD cân tại C
Q
P
N
M
A
Trang 4Đỗ Văn Lõm - THCS Thị Trấn Tõn Uyờn
⇒ SCMD = 1
2MC.CD.sin600 =
2
3 MC
4 lớn nhất khi MC lớn nhất ⇒ MC là ủường kớnh của (O)
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:
a b c b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≥ + +
- áp dụng bất đẳng thức: 1 1 4
x y x y+ ≥ + với x > 0, y > 0 tao có:
a b c b c a (a b c) (b c a) b+ − + + − ≥ + − + + − =
b c a c a b (b c a) (c a b) c+ − + + − ≥ + − + + − =
c a b a b c (c a b) (a b c) a+ − + + − ≥ + − + + − =
Cộng vế với vế ta đ−ợc: 1 1 1 1 1 1
a b c b c a c a b a b c+ − + + − + + − ≥ + +