Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Sở giáo dục và đào tạo lai châu (Đề thi gồm 01 trang) kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2013 môn: toán - lớp 9 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1: (4,0 Điểm) a, Chứng minh rằng: A(n) = n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n chia hết cho 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n 4). b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức: A(x) = x 3 + ax + b khi chia cho đa thức B(x) = x + 1 d 7; khi chia cho đa thức C(x) = x - 3 d -5 Câu 2: (4,0 điểm) a, Tìm nghiệm x; y nguyên của phơng trình: x 2 - 4xy + 5y 2 = 169 b, Giải hệ phơng trình sau: 2 2 4 2 2 4 x xy y 7 x x y y 21 + + = + + = Câu 3: (5,0 điểm) 1, Rút gọn biểu thức: A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 + + + + + + + 2, Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mn điều kiện: xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức: B = x y 2z xy x 2 yz y 1 xz 2z 2 + + + + + + + + 3, Cho hai số dơng a, b thỏa mn điều kiện ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = (a + b + 1)(a 2 + b 2 ) + 4 a b + Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC không cân có ba góc đều nhọn nội tiếp trong đờng tròn (O; R). Hai đờng cao AI và BE cắt nhau tại H (I BC, E AC). a, Chứng minh CHI CBA = b, Cho ACB = 60 0 . Chứng minh rằng CH = CO. Câu 5: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có chu vi bằng 80cm ngoại tiếp đờng tròn tâm O. Tiếp tuyến của đờng tròn tâm O song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. a, Cho biết MN = 9,6cm. Tính độ dài BC. b, Cho biết AC - AB = 6cm. Tính AB, AC, BC để MN đạt giá trị lớn nhất. Hết đề chính thức Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo Câu 1 : (4,0 điểm) a, Chứng minh rằng: A(n) = n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n chia hết cho 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n 4). b, Tìm hệ số a và b sao cho đa thức: A(x) = x 3 + ax + b khi chia cho đa thức B(x) = x + 1 d 7; khi chia cho đa thức C(x) = x - 3 d -5 Giải a, - Vì n chẵn n = 2k (k N * , k 2). Khi đo A(n) = n(n 3 - 4n 2 - 4n + 16) = n[n 2 (n - 4) - 4(n - 4)] =n(n - 4)(n 2 - 4) = n(n - 4)(n - 2)(n + 2) = 2k(2k - 4)(2k - 2)(2k + 2) = 16(k - 2)(k -1)k(k + 1) - Vì k N * , k 2 (k - 2)(k -1)k(k + 1) là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên nó chia hết cho 1.2.3.4 = 24 16(k - 2)(k -1)k(k + 1) 16.24 = 384 Vậy n 4 - 4n 3 - 4n 2 + 16n 384 với mọi số tự nhiên n chẵn (n 4) b, Vì A(x) chia cho B(x) d 7 và chia cho C(x) d -5 nên ta có hệ phơng trình: A( 1) 7 a b 1 7 a b 8 a 10 A(3) 5 3a b 27 5 3a b 32 b 2 = + = + = = = + + = + = = . Vậy a = 10, b = -2 Câu 2 : (4,0 điểm) a, Tìm nghiệm x; y nguyên của phơng trình: x 2 - 4xy + 5y 2 = 169 b, Giải hệ phơng trình sau: 2 2 4 2 2 4 x xy y 7 x x y y 21 + + = + + = Giải a, x 2 - 4xy + 5y 2 = 169 x 2 - 4xy + 4y 2 = 169 - y 2 (x - 2y) 2 = 169 - y 2 169 - y 2 phải là số chính phơng 169 - y 2 {0; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100; 121; 144; 169} - TH 1 : 169 - y 2 = 0 y = 13 . + Nếu y = 13 x = 26 + Nếu y = -13 x = -26 - TH 2 : 169 - y 2 = 4 y 2 = 165 (loại vì y Z) - TH 3 : 169 - y 2 = 9 y 2 = 160 (loại vì y Z) - TH 4 : 169 - y 2 = 16 y 2 = 153 (loại vì y Z) - TH 5 : 169 - y 2 = 25 y 2 = 144 y = 12 + Nếu y = 12 (x - 24) 2 = 25 x = 29 hoặc x = 19 + Nếu y = -12 (x + 24) 2 = 25 x = -29 hoặc x = -19 - TH 6 : 169 - y 2 = 36 y 2 = 133 (loại vì y Z) - TH 7 : 169 - y 2 = 49 y 2 = 120 (loại vì y Z) - TH 8 : 169 - y 2 = 64 y 2 = 105 (loại vì y Z) - TH 9 : 169 - y 2 = 81 y 2 = 88 (loại vì y Z) - TH 10 : 169 - y 2 = 100 y 2 = 69 (loại vì y Z) - TH 11 : 169 - y 2 = 121 y 2 = 48 (loại vì y Z) - TH 12 : 169 - y 2 = 169 y 2 = 0 y = 0 x = 13 Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: (x, y) {(26; 13), (-26, -13), (29; 12), (19; 12), (-29; -12), (-19; -12), (13; 0), (-13; 0)} b, 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x xy y 7 x y 7 xy x y 7 xy x x y y 21 (x y ) x y 21 (7 xy) x y 21 + + = + = + = + + = + = = 2 2 2 2 x y 3 x y 7 xy (x y) xy 7 (x y) 9 xy 2 49 14xy 21 xy 2 xy 2 + = + = + = + = = = = = - TH 1 : x y 3 xy 2 + = = x 1, y 2 x 2, y 1 = = = = Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên - TH 2 : x y 3 xy 2 + = = x 1, y 2 x 2, y 1 = = = = Vậy hệ phơng trình có 4 nghiệm: (x, y) {(1; 2), (2, 1), (-1; -2), (-2; -1)} Câu 3 : (4,0 điểm) 1, Rút gọn biểu thức: A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 + + + + + + + 2, Cho x, y, z là ba số dơng thỏa mn điều kiện: xyz = 2. Tính giá trị của biểu thức: B = x y 2z xy x 2 yz y 1 xz 2z 2 + + + + + + + + 3, Cho hai số dơng a, b thỏa mn điều kiện ab = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = (a + b + 1)(a 2 + b 2 ) + 4 a b + Giải 1, A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 + + + + + + + Đặt : +) M = 45 27 2 45 27 2 + + = 3 ( ) 5 3 2 5 3 2 + + M 2 = 9(10 + 2 7 ) M = 3 10 2 7 + +) N = 5 3 2 5 3 2 + N 2 = 10 - 2 7 N = 10 2 7 +) P = 3 2 3 2 + + P 2 = 6 + 2 7 P = 6 2 7 + +) Q = 3 2 3 2 + P 2 = 6 - 2 7 P = 6 2 7 A = 3 10 2 7 6 2 7 3(10 2 7) 6 2 7 100 4.7 36 4.7 10 2 7 6 2 7 + + + + + = + = 3(10 2 7) 6 2 7 10 2 7 6 2 7 5 7 3 7 100 4.7 36 4.7 8 8 2 2 = = + + + + + + = 2 . Vậy A = 2 2, B = x y 2z xy x 2 yz y 1 xz 2z 2 + + + + + + + + = x y 2yz xy x xyz yz y 1 xyz 2yz 2y + + + + + + + + = y 2yz x(y 1 yz) yz y 1 2(1 yz y) x + + + + + + + + = y yz y 1 yz yz y 1 1 yz y 1 + + + + + + + + = yz y 1 1 yz y 1 + + = + + . Vậy B = 1 3, - Vì ab = 1 nên: C = ( a b ab + + 1)(a 2 + b 2 ) + 4 a b + = ( 1 1 a b + + 1)(a 2 + b 2 ) + 4 a b + - áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dơng a, b ta có: C ( 1 1 a b + + 1).2ab + 4 a b + = ( 1 1 a b + + 1).2 + 4 a b + = 2 1 1 2 2 a b a b + + + + - Bây giờ ta chứng minh bài toán phụ: 1 1 2 a b a b + + + 3 ab . Thật vậy 1 1 2 a b a b + + + 3 ab a b 2 3 0 ab a b ab + + + (a + b) 2 + 2ab - 3(a + b) ab 0 Đỗ Văn Lâm - Trờng THCS TT Tân Uyên [(a + b) 2 - (a + b) ab ] - 2[(a + b) ab - ab] 0 (a + b)[a + b - ab ] - 2 ab [a + b - ab ] 0 [a + b - ab ][a + b - 2 ab ] 0. (Đúng vì theo Cosi: a + b 2 ab ab ) Vậy C 2 1 1 2 2 a b a b + + + + 2. 3 ab + 2 = = 2.3 + 2 = 8. Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1 Vậy Min C = 8 khi a = b = 1 Câu 4: (2,0 điểm) a, Kéo dài CH cắt AB tại K. Vì H là trực tâm của ABC 0 HKB 90 HIB = = HKBI là tứ giác nội tiếp (vì: 0 HKB HIB 180 + = ) KBI CHI = hay CHI CBA = (đpcm) b, Gọi M là trung điểm của BC, nối M với E - Vì EBC vuông tại E, EM là trung tuyến MC = ME CME cân tại M (1) - Vì 0 CME 60 = (2) - Từ (1) và (2) CME đều CM = CE - Vì: 1 COM CAB ( 2 = = sđ BnC ) (3) mà: EHC CAB = (vì HEAK nội tiếp) (4) - Từ (3) và (4) COM CHE = - Vì M là trung điểm của BC OM BC 0 OMC 90 = - Xét MOC và EHC có: 0 M E 90 = = ; CM = CE; O H = MOC = EHC (cạnh góc vuông - góc nhọn) CO = CH Câu 5: (3,0 điểm) a, - áp dụng tích chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: C AMN = AM + MN + NA = AM + (MH + HN) + AN = (AM + MK) + (AN + NE) = AK + AE = = (AK + KB) + (AE + EC) - (BI + CI) = AB + AC - BC - Vì MN //BC AMN ABC AMN ABC ABC C MN MN AB AC BC BC C BC C + = = ABC ABC C 2BC MN 9,6 80 2BC BC C BC 80 = = 384 = 40BC - BC 2 BC 2 - 40BC + 384 = 0 BC = 24 hoặc BC = 16 b, Theo câu a, ta có: MN 80 2BC BC 80 = MN = - 2 BC BC 40 + = - 1 40 (BC 2 - 40BC + 400 - 400) MN = 10 - 1 40 (BC - 20) 2 10. Dấu "=" xảy ra khi BC = 20cm Max MN = 10 cm khi BC = 20cm và AC AB 6 AC 33cm AC AB 80 20 60 AB 27cm = = + = = = Vậy Max MN = 10cm khi AB = 27cm, AC = 33cm, BC = 20cm n M K E H I O C B A I E K H N M O C B A . xyz yz y 1 xyz 2yz 2y + + + + + + + + = y 2yz x(y 1 yz) yz y 1 2(1 yz y) x + + + + + + + + = y yz y 1 yz yz y 1 1 yz y 1 + + + + + + + + = yz y 1 1 yz y 1 + + = + + . Vậy B = 1 3, -. 6 2 7 + + + + + = + = 3(10 2 7) 6 2 7 10 2 7 6 2 7 5 7 3 7 100 4.7 36 4.7 8 8 2 2 = = + + + + + + = 2 . Vậy A = 2 2, B = x y 2z xy x 2 yz y 1 xz 2z 2 + + + + + + + + = x. C = (a + b + 1)(a 2 + b 2 ) + 4 a b + Giải 1, A = 45 27 2 45 27 2 3 2 3 2 5 3 2 5 3 2 3 2 3 2 + + + + + + + Đặt : +) M = 45 27 2 45 27 2 + + = 3 ( ) 5 3 2 5 3 2 + +