Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BO và AO.. Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K.. Chứng minh rằng: Câu 5: 3,5 điểm Cho đa giác đều
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo lai châu
(Đề thi gồm 01 trang)
kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh
năm học 2014 - 2015 môn: toán - lớp 8 cấp THCS Thời gian làm bài: 150 phút
(không tính thời gian giao đề)
Câu 1: (4,0 Điểm)
1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 - 3x + 2)2 - 4x + 2
Câu 2: (6,0 điểm)
1
Câu 3: (4,0 điểm)
1, Rút gọn biểu thức A;
2, Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị dương;
3, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 4: (3,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của BO và AO Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K Chứng minh rằng:
Câu 5: (3,5 điểm)
Cho đa giác đều n cạnh, dùng ba màu xanh, đỏ, vàng tô màu các đỉnh một cách tùy
ý (mỗi đỉnh được tô bởi một màu và tất cả các đỉnh đều được tô màu) Cho phép thực hiện các thao tác sau đây: Chọn hai đỉnh kề nhau bất kỳ (định nghĩa hai đỉnh liên tiếp) và thay màu hai đỉnh đó bằng hài màu còn lại Chứng minh rằng bằng cách thực hiện thao tác trên một số lần ta luôn luôn làm cho các đỉnh của đa giác chỉ còn được tô bởi hai màu
Hết
đề chính thức
Trang 2Đáp án Chú ý: Đáp án chỉ mang tính tham khảo
Câu 1: (4,0 điểm)
1, Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (x2 - 3x + 2)2 - 4x + 2
2, Chứng minh rằng: x2002 + x2000 + 1 chia hết cho x2 + x + 1
Giải
1, Ta có: (x2 - 3x + 2)2 - 4x + 2 = x4 + 9x2 + 4 - 6x3 + 4x2 - 12x - 4x + 2
= x4 - 6x3 + 13x2 - 16x + 6 = x2(x2 - 2x + 3) - 4x(x2 - 2x + 3) + 2(x2 - 2x + 3)
= (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 2) = (x2 - 2x + 3)(x - 2 + 2 )(x - 2 - 2 )
2, x2002 + x2000 + 1 = x2000(x2 + x + 1) - (x2001 - 1) = x2000(x2 + x + 1) - [(x3)667 - 1]
= x2000(x2 + x + 1) - (x3 - 1).M(x)
= x2000(x2 + x + 1) - (x - 1)(x2 + x + 1).M(x)
= (x2 + x + 1)[(x2000 - (x - 1)M(x)] luôn chia hết cho đa thức (x2 + x + 1)
Câu 2: (4,0 điểm)
1, Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P = 1 12 1 12
2, Cho a, b, c > 0 thỏa m7n: ab + bc + ca = 3 Chứng minh rằng:
1
Giải
1, P =
= 1 1 2xy2 2 21 2 1 212 2 21 2 1 2
ư
Vì x, y > 0 ⇒
2
+
⇒ P = 1 + 2 9
xy≥ Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
2
Vậy: Min P = 9 khi x = y = 1
2
2, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
(1 + a2 + b2)(1 + 1 + c2) ≥ (a + b + c)2 ⇔ 21 2 2 c2 2
+
≤
- Tương tự:
2
+
≤
2
+
≤
- Cộng vế với vế ta được:
⇔ 2 12 2 12 2 12 a2 b2 c22 6 a2 b2 c2 2(ab2 bc ca)
+ +
Vậy: 2 12 2 12 2 12 1
Câu 3: (4,0 điểm)
Trang 3Cho biểu thức A = 1 3 2x 2 : 1 2x2
1, Rút gọn biểu thức A;
2, Với giá trị nào của x thì biểu thức A có giá trị dương;
3, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Giải
1, ĐKXĐ: x ≠1 Khi đó
A =
2
:
=
2, Vì A > 0 1 0 x 1 0 x 1
x 1
ư Vậy x > 1 thì A > 0
3, A Z 1 Z x 1
x 1
ư Ư(1) ⇒x∈{0; 2}
Câu 4: (2,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Gọi M, N lần lượt
là trung điểm của BO và AO Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E và tia FN cắt cạnh AD tại K Chứng minh rằng:
1, BA BC 4
Chứng minh
1, Từ A và C kẻ AP//EF và CQ//EF (P ∈ BD, Q ∈ BD)
- Xét ∆OAP và ∆OCQ có:
OAP=OCQ(so le trong)
OA = OC (GT) AOP =COQ(đối đỉnh)
⇒∆OAP = ∆OCQ (g.c.g) ⇒ OP = OQ (1)
- Từ (1), (2) và (3) ⇒ BA+ BC = BO OP+ + BO OQư = 2BO =
4
- Vậy: BA + BC
BF BE = 4
2, Vì F chạy trên AB, M và N là hai điểm cố định
Gọi S là giao điểm của KE và AC ⇒ S thuộc OC
⇒ SSAK ≥ SSCE⇒ SSAK + SASEB ≥ SSCE + SASEB
⇒ SABEK ≥SABC ⇒ SBAK + SBKE ≥ SABC (gọi h là khoảng cách giữa BC và AD)
⇒ 1h.AK 1h.BE 1h.BC
2 +2 ≥ 2 ⇒ AK + BE ≥BC
(dấu = xảy ra khi S trùng O ⇒ F là trung điểm của AB)
Câu 5: (3,0 điểm) Kí hiệu các màu lần lượt là xanh (X), đỏ (Đ), vàng (V)
- Không mất tính tổng quát, giả sử tại thời điểm ban đầu, màu vàng được tô ít nhất
- Ta sẽ chỉ ra một cách thực hiện thao tác để chuyển tất cả các đỉnh của đa giác về màu đỏ hoặc xanh
- Lúc này, ta chỉ quan tâm đến màu vàng và màu khác vàng, kí hiệu là K (khác vàng)
- Đánh số các đỉnh từ 1 đến n theo chiều kim đồng hồ
Q
P
E
F
O
M
B A
S
N K
E
F
B A
Trang 4- Nếu lúc đầu không có đỉnh nào được tô V thì bài toán kết thúc
- Ngược lại thì tồn tại ít nhất một d7y các đỉnh được tô V (d7y có thể có độ dài 1) Do tính nhỏ nhất nên d7y đỉnh này sẽ có độ dài không vượt quá n
3 và phía trước hoặc phía sau của nó sẽ là một
đỉnh được tô màu K
- Ta lại thấy rằng bằng cách thực hiện quy tắc đổi màu như đề bài liên tục trên d7y đỉnh này thì: KVVV V → KKVV V → KKKV V → KKKK V → → KKKK K
- áp dụng với tất cả các d7y, tất cả các đỉnh sẽ được tô màu K, ta có đpcm