b Tìm ñiềm kiện của ABCD ñể MENF là hình vuông: - Vì MENF là hình chữ nhật nên MENF là hình vuông khi MN ⊥ AD - Vì MN//DA ⇒ DA ⊥ DB hay hình bình hành ABCD có thêm ñiều kiện ñường chéo B[r]
(1)SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LAI CHÂU ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH KHÓA NGÀY: 23/4/2014 Môn thi: Toán lớp Cấp THCS Ngày thi: 23/4/2014 Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian chép ñề) Câu (4 ñiểm) a) Phân tích ña thức thành nhân tử: x3 + 9x2 + 26x + 24 b) Chứng minh với số tự nhiên lẻ n thì: A = n3 + 3n2 - n - ⋮ 48 Câu (6 ñiểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x(x - 3)(x + 1)(x + 4) b) Cho 1 b+c c+a a +b + + = Chứng minh rằng: + + = −3 a b c a b c Câu (4 ñiểm) 4x x + 2 − 3x x − Cho biểu thức: A = x + + x − 2x − x − 4x x − a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A biết: 2x −1 = Câu (4 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Hạ CE ⊥ AB, CF ⊥ AD a) Chứng minh ∆CEF ñồng dạng ∆BCA b) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 Bài (2 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD, BD = 3AD Gọi M, N là trung ñiểm AB và CD Trên BD lấy hai ñiểm E và F cho BE = EF = FD a) Chứng minh MENF là hình bình hành c) Hình bình hành ABCD cần thêm ñiều kiện gì ñể MENF là hình vuông? Hết Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên (2) ĐÁP ÁN (Đáp án mang tính tham khảo) Câu (4 ñiểm) a) Phân tích ña thức thành nhân tử: x3 + 9x2 + 26x + 24 b) Chứng minh với số tự nhiên lẻ n thì: A = n3 + 3n2 - n - ⋮ 48 Bài giải a) Ta có: x3 + 9x2 + 26x + 24 = (x + 2)(x2 + 7x + 12) = (x + 2)(x + 3)(x + 4) b) Ta có: A = n2(n + 3) - (n + 3) = (n + 3)(n2 - 1) = (n + 3)(n - 1)(n + 1) Vì n lẻ nên n = 2k + (k ∈ N ) thay vào A ta có: A = (2k + 4).2k.(2k+2) Vì 2k, 2k + 2, 2k + là ba số chẵn liên tiếp ⇒ A ⋮ 2.4.6 = 48 Vậy A ⋮ 48 với số tự nhiên n Câu (6 ñiểm) a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x(x - 3)(x + 1)(x + 4) 1 b+c c+a a+b + + = −3 b) Cho + + = Chứng minh rằng: a b c a b c Bài giải a) A = x(x + 1)(x - 3)(x + 4) = (x2 + x)(x2 + x - 12) Đặt y = x2 + x ⇒ A = y(y - 12) = y2 - 12y = y2 - 12y + 36 - 36 = (y - 6)2 - 36 ≥ -36 x = −3 Dấu "=" xảy y = ⇒ x2 + x = ⇔ (x + 3)(x − 2) = ⇔ x = Vậy: MinA = -36 x = -3 x = 1 b) Đặt x = , y = , z = (x, y, z ≠ 0) ⇒ x + y + z = a b c 1 1 b+c c+a a+b 1 1 1 1 Khi ñó: VT = + + = + x + + y + + z a b c z x y z x y x x y y z z x z y z x y + + + + + = + + + + + y z z x x y y y x x z z x + z y + z x + y − y − x −z = + + = + + = -3 = VP (ñpcm) y x z y x z = 4x x + 2 − 3x x − Câu (4 ñiểm) Cho biểu thức: A = x + + x − 2x − x − 4x x − a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A biết: 2x − = Bài giải *) ĐKXĐ: x ≠ 0; x ≠ ±2 x4 x + 2 − 3x x x(x + 2) + 2(2 − 3x) a) Khi ñó: A = + = x − 2(x − 2) x(x − 2) x − 2x(x − 2) x x + 2x + − 6x x3 (x − 2)2 x3 = = x2 − 2(x − 2) (x − 2)(x + 2) 2(x − 2) 2(x + 2) 2x − = x = (lo¹i ) b) Vì 2x − = ⇔ ⇔ 2x − = −3 x = −1 Với x = -1 ⇒ A = − Câu (4 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD có AC > BD Hạ CE ⊥ AB, CF ⊥ AD a) Chứng minh ∆CEF ñồng dạng ∆BCA b) Chứng minh AB.AE + AD.AF = AC2 = Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên (3) E Bài giải a) Chứng minh ∆BCA ñồng dạng ∆CEF: - Xét ∆EBC và ∆FDC có: = Fɵ = 900 (gt) E = FDC( = BAD các góc ñồng vị) EBC x B C H CE CB CE BC = ⇒ = (1) CF CD CF BD A D F - Kéo dài tia CF ta có tia Fx ñó: = ECx (cùng phụ với BCE ) ⇒ ABC = FCE (2) EBC - Từ (1) và (2) ⇒ ∆BCA ∆CEF (c.g.c) b) Kẻ DH vuông góc với AC H ∈ AC chung; AHD = AFC = 900 ⇒ ∆HAD ∆FAC (g.g) - Xét ∆HAD và ∆FAC có: A HA AD FA.AD = ⇒ HA = (3) FA AC AC = EAC (so le trong); CHD = AEC = 900 - Xét ∆HCD và ∆EAC có: HCD HC CD AE.CD AE.AB = ⇒ HC = = (4) ⇒ ∆HCD ∆EAC (g.g) ⇒ EA AC AC AC FA.AD AE.AB FA.AD AE.AB - Từ (3) và (4) ⇒ HA + HC = + ⇒ AC = + AC AC AC AC (ñpcm) ⇒ AC = AF.AD + AE.AB Bài (2 ñiểm) Cho hình bình hành ABCD, BD = 3AD Gọi M, N là trung ñiểm AB và CD Trên BD lấy hai ñiểm E và F cho BE = EF = FD a) Chứng minh MENF là hình bình hành c) Hình bình hành ABCD cần thêm ñiều kiện gì ñể MENF là hình vuông? ⇒ ∆EBC∆FDC ⇒ N D C F A E B M a) Chứng minh MENF là hình chữ nhật: EB=EF(gt) - Vì ⇒ EM là ñường trung bình ∆BAF MB = MA(gt) ⇒ EM = AF và EM//AF (1) - Xét ∆BAF và ∆DCE có: BA = DC (cạnh hình binh hành) = CDE (so le trong) ABF BD) 1 = C mà AM//CN ⇒ AF//CE ⇒ ∆BAF = ∆DCE(c.g.c) ⇒ AF = CE và A (khi ñó A, F, N thẳng hàng và C, E, M thẳng hàng) Từ (1) và (2) ⇒ EM = CE và M, E, C thẳng hành BF = DE (= (2) Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên (4) EC và NF//EC ⇒ EM = NF và EN//NF ⇒ EMNF là hình bình hành (*) - Mặt khác: MN = AD = DF = FE = EB ⇒ MN = FE (**) Từ (*) và (**) ⇒ MENF là hình chữ nhật b) Tìm ñiềm kiện ABCD ñể MENF là hình vuông: - Vì MENF là hình chữ nhật nên MENF là hình vuông MN ⊥ AD - Vì MN//DA ⇒ DA ⊥ DB hay hình bình hành ABCD có thêm ñiều kiện ñường chéo BA vuông góc với AD thì MENF là hình vuông (hoặc AC vuông góc BC) - Vì NF là ñường trung bình ∆DEC ⇒ NF = Đỗ Văn Lâm - Trường THCS TT Tân Uyên (5)