Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 148 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
148
Dung lượng
6,29 MB
Nội dung
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHPGS. TS Mỵ Vinh QuangNgày 11 tháng 10 năm 2004Mở ĐầuTrong các kỳ thi tuyển sinh sau đại học, Đại số tuyến tính là môn cơ bản, là môn thi bắtbuộc đối với mọi thí sinh thi vào sau đại học ngành toán - cụ thể là các chuyên ngành : PPGD,Đại số, Giải tích, Hình học.Các bài viết này nhằm cung cấp cho các bạn đọc một cách có hệ thống và chọn lọc các kiếnthức và kỹ năng cơ bản nhất của môn học Đại số tuyến tính với mục đích giúp những ngườidự thi các kỳ tuyển sinh sau đại học ngành toán có được sự chuẩn bị chủ động, tích cực nhất.Vì là các bài ôn tập với số tiết hạn chế nên các kiến thức trình bày sẽ được chọn lọc vàbám sát theo đề cương ôn tập vào sau đại học. Tuy nhiên, để dễ dàng hơn cho bạn đọc thứ tựcác vấn đề có thể thay đổi. Cũng chính bởi các lý do trên các bài viết này không thể thay thếmột giáo trình Đại số tuyến tính hoàn chỉnh. Bạn đọc quan tâm có thể tham khảo thêm mộtsố sách viết về Đại số tuyến tính, chẳng hạn :1. Nguyễn Viết Đông - Lê Thị Thiên Hương .Toán cao cấp Tập 2 - Nxb Giáo dục 19982. Jean - Marie Monier.Đại số 1 - Nxb Giáo dục 20003. Ngô Thúc LanhĐại số tuyến tính - Nxb Đại học và Trung học chuyên nghiệp 19704. Bùi Tường Trí.Đại số tuyến tính.5. Mỵ Vinh QuangBài tập đại số tuyến tính.Bài 1: ĐỊNH THỨCĐể hiểu được phần này, người đọc cầnphải nắm được khái niệm về ma trận và các phéptoán trên ma trận (phép cộng, trừ, nhân hai ma trận). Các khái niệm trên khá đơn giản, ngườiđọc có thể dễ dàng tìm đọc trong các sách đã dẫn ở trên.1
1 Định nghĩa định thức1.1 Định thức cấp 2, 3• Cho A là ma trận vuông cấp 2 :A =a11a12a21a22định thức (cấp 2) của A là một số, ký hiệu det A (hoặc |A|) xác định như sau :det A =a11a12a21a22= a11a22− a12a21(1)• Cho A là ma trận vuông cấp 3 :A =a11a12a13a21a22a23a31a32a33định thức (cấp 3) của A là một số ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định như sau : det A =a11a12a13a21a22a23a31a32a33= a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a11a23a32−a12a21a33(2)Công thức khai triển ( 2 ) thường đuợc nhớ theo quy tắc Sarrus như sau :Ví dụ :−1 2 31 −2 1−1 0 4= [(−1)(−2).4 + 2.1.(−1) + 1.0.3] − [3.(−2).(−1) + 1.0.(−1) + 2.1.4] = −8Nếu ta ký hiệu Snlà tập hợp các phép thế bậc n thì các công thức ( 1 ) và ( 2 ) có thểviết lại như sau :det A =f ∈S2s(f)a1f(1)a2f(2)và det A =f ∈S3s(f)a1f(1)a2f(2)a3f(3)Từ đó gợi ý cho ta cách định nghĩa định thức cấp n như sau.2
1.2 Định thức cấp nCho A là ma trận vuông cấp n :A =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n an1an2· · · annđịnh thức ( cấp n) của ma trận A là một số, ký hiệu det A (hoặc |A|), xác định như sau :det A =a11a12· · · a1na21a22· · · a2n an1an2· · · ann=f ∈Sns(f)a1f(1)a2f(2) .anf(n)(3)Chắc chắn là đối với một số bạn đọc, (nhất là bạn đọc không thạo về phép thế) định nghĩađịnh thức tương đối khó hình dung. Tuy nhiên, rất may là khi làm việc với định thức, (kể cảkhi tính định thức) định nghĩa trên hiếm khi được ĐẠI SỐ TUẦN – tiết NS : 10/ 08/ 09 – ND : / Chương CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA §1 CĂN BẬC HAI / 10 I MỤC TIÊU - Học sinh nắm đònh nghóa ,kí hiệu bậc hai số học số không âm - Biết liên hệ phép khai phương với quan hệ thứ tự dùng liên hệ để so sánh số II CHUẨN BỊ - Chuẩn bò bảng phụ có ghi sẵn tập ? SGK , máy tính bỏ túi - Ôn tập khái niệm bậc hai lớp - Mang bảng nhóm bút máy tính bỏ túi III CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC Hoạt động GV HS Ghi bảng Kiểm tra -GV kiểm tra dụng cụ học tập HS, -Giới thiệu chương trình đại số lớp chương HĐ1 Căn bậc hai số học H :Hãy nhắc lại đònh nghóa bậc hai số không (SGK ) âm ? Với số a dương , có bậc hai ? Cho ví dụ ? Đònh nghóa : sgk Hãy viết dạng kí hiệu ? H:Nếu a= 0,số có bậc hai ? H:Tại số âm bậc hai ? Ví dụ 1: GV:Yêu cầu HS làm ?1 Căn bậc hai số học 16 la ø H:Tại 3và –3 bậc hai ? GV:Giới thiệu giới thiệu đònh nghóa bậc hai số học 16 = số a(a > 0) SGK Căn bậc hai số học H:Tìm bậc hai số học 16 , ? GV:Giới thiệu ý cách viết lên bảng để khắc sâu + ) Chú ý : sgk tính hai chiều đònh nghóa GV:Yêu cầu HS làm?2 theo mẫu SGK giấy nháp Ta viết : x≥ gv chấm vài em cho HS lên sửa x= a ⇔ (với a ≥ 0) x2 = a GV:Giới thiệu phép toán tìm bậc hai số học số không âm gọi phép khai phương giới thiệu cho HS +)Phép toán tìm bậc hai số học dùng máy tính bỏ túi để khai phương số số không âm gọi phép khai GV:Yêu cầu HS làm ?3 phương HĐ2 So sánh bậc hai GV:Cho a,b > Nếu a < b a so với b nào? Đònh lí : sgk Cho ví dụ ? H:Vậy với a,b > a < b a có nhỏ b Ví dụ : So sánh a) không ? − 2x + y = Vì 1< nên TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ (1) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ GV : Gọi Hs lên bảng thực GV cho Hs nghiên cứu ví dụ SGK H: Để tìm số không âm x biết x > ta làm ? Nêu cách thực ? HS: Làm?5 theo nhóm để củng cố Vì = nên x > Suy x > mà x ≥ nên x > ⇔ x > Vậy x > b) x < Vì = nên x < ,Suy x < Vì x ≥ nên x < ⇔ x < Vậy ≤ x ≤ GV:Yêu cầu nhóm trình bày làm nhóm Sau GV sửa cho nhóm HĐ3 Củng cố – Luyện tập GV lưu ý cho HS quan hệ khái niện bậc hai học lớp đònh nghóa bậc hai số học HS : Làm tập sau ( GV treo đềø bảng phụ ) Bài : Tìm khẳng đònh khẳng đònh sau a) Căn bậc hai 0.09 0.3 ………………………………………………………………………………… S b) Căn bậc hai 0.09 0.03 ……………………………………………………………………………………S c) 0.09 = 0.3 …….………………………………………………………………………… Đ d) Căn bậc hai 0.09 0.3 – 0.3 ………………………………………………………………………………… Đ e) = ± 0.3 ……………………………………………………………………………… S Bài :Trong số sau số có bậc hai - Đáp :Những số có bậc hai 2 ; ;2.5 ; ; - ; ; ; ; ;2.5 ; ;0 ; ; ………….…………………… 3 HĐ4 Hướng dẫn học nhà -Về học thuộc đònh nghóa bậc hai số học số a ≥ ,phân biệt với bậc hai bậc hai số a không âm biết cách viết đònh nghóa theo kí hiệu -Nắm vững đònh lí so sánh bậc hai số học nắm ví dụ làm -Làm tập nhà ; ; ; /SGK -Ôn tập đònh lí py-ta-go quy tắc tính giá trò tuyệt đối số hữu tỉ • Rút kinh nghiệm dạy học : TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ (2) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ TUẦN – tiết NS : 10/ 08/ 09 – ND : / 08/ 09 §2 CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC A = A I MỤC TIÊU - Học sinh biết cách tìm điều kiện xác đònh (hay điều kiện có nghóa ) A có kỹ thực điều biểu thức A không phức tạp - Biết cách chứng minh đònh lí a =| a| biết vận dụng đẳng thức A = A để rút gọn biểu thức II CHUẨN BỊ - Chuẩn bò bảng phụ có ghi sẵn tập ?1và ?3 SGK - Ôn tập đònh lí py – ta – go , quy tắc tính giá trò tuyệt đối số III CÁC HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC Hoạt động GV HS Ghi bảng Kiểm tra HS1:-Nêu đònh nghóa bậc hai số học a viết dạng kí hiệu ? -Các khẳng đònh sau hay sai ? Trả lời a)Căn bậc hai 81 –8 b) 81 = ± c ) ( )2 = HS2 :- Phát biểu viết đònh lí so sánh bậc hai số học? -Phát biểu đ -Tìm x biết a) x < b) x = 14 HĐ1 Căn thức bậc hai GV:Treo đề ? bảng phụ D A (SGK ) 55555 H:Hình chữ nhật ABCD có AC = cm BC = x cm AB = 25 − x (cm) C x Tổng quát : sgk B Vì ? GV:Giới thiệu 25 − x thức bậc hai 25- x 2, Ví dụ 1: 25 –x2 biểu thức lấy hay biểu thức dạng dấu 3x thức bậc hai 3x HS:Đọc tổng quát SGK 3x xác đònh 3x ≥ hay x ≥ H: Ta có a xác đònh ? (khi a ≥ 0) Với x = 3x = 3.2 = HĐ2 Hằng đẳng thức A2 = A H:Vậy A xác đònh (hay có nghóa) ?(Khi A Đònh lí : lấy giá trò không âm) H:Vậy 3x bậc hai biểu thức ? 3x xác Với số a , ta có a = | a| đònh nào?Khi x = ; 6;0 ;-1 3x lấy giá trò nào? GV:Cho HS làm?2 Với giá trò x − x xác Chứng minh (SGK) đònh ? Ví dụ : Tính GV:Cho HS làm tập SGK a) 12 a H:Với gia ùtrò a ; − 5a ; − a ; 3a + Ta có 12 = |12| = 12 TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ (3) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ Có nghóa ? HS:Một em lên bảng trình bày GV:Cho HS làm ? Thảo luận theo nhóm điền vào phiếu học tập Điền số thích hợp vào ô trống a -2 -1 a b) (−7) Ta có (−7) = |-7| = Ví dụ : Rút gọn a) ( − 1) Ta có ( − 1) = | -1| − 2x + y = − 2x + y = = − 2x + y = -1 ( − 2x + y = > ) a b) (2 − ) GV:Yêu ...ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)TS Trần HuyênNgày 11 tháng 10 năm 2004Mở ĐầuĐộc giả thân mến, các bạn đang tham gia chuyên đề "Đại số cơ sở" của Khoa Toán -Tin ĐHSP Tp. HCM. Chuyên đề của chúng tôi xây dựng, trước hết nhằm trợ giúp các ứngviên Thạc sĩ tương lai về chuyên ngành đại số hệ thống lại các kiến thức cơ sở, các kỹ thuậtcơ bản, rèn luyện kỹ năng giải toán để có thể vững vàng vượt qua kỳ thi tuyển sinh cao họccủa ĐHSP Tp. HCM, trở thành học viên Cao học ngành Đại số của trường. Chuyên đề bámsát các nội dung đề ra trong chương trình tuyển sinh, không chỉ giúp các học viên có thể vữngtâm đối diện với kỳ thi tuyển mà còn giúp cho học viên một khả năng, phương pháp tự học,tự đào tạo mình. Để học viên dễ theo dõi, tiếp thu các nội dung sẽ được biên soạn dưới dạngcác bài giảng với ngôn ngữ đơn giản và dễ hiểu nhất, mỗi bài giảng độ hai tiết cho mỗi tuần.Chuyên đề đề sẽ được dàn dựng với thời lượng chừng 40 tiết, liên tục được cập nhật cho tớingày các bạn có thể tham gia đợt ôn tập tập trung trước khi bước vào kỳ thi tuyển, dịp tháng05 − 2005. Để chuyên đề càng ngày càng được triển khai một cách hữu ích, hiệu quả hơn, chúngtôi luôn luôn sẳn sàng đón nhận các góp ý, yêu cầu của các bạn. Chúng tôi cũng sẳn sàng traođổi, giải đáp các thắc mắc của các bạn, hầu mong chuyên đề sẽ là người bạn tâm giao của độcgiả trong hành trình phấn đấu khoa học của mình.Các bài tập kiểm tra nhómNhóm là một khái niệm cơ bản của Đại số, và là một trong những nội dung không thể vắngbóng trong các đề thi tuyển sinh chuyên ngành Đại số cơ sở. Vì vậy bạn phải nắm vững kỹnăng kiểm tra một tập X cho trước với một phép toán nào đó trên X lập thành một nhóm. Dĩnhiên bạn phải năm vững khái niệm nhóm để theo đó mà từng bước kiểm tra tập X đã cho vàphép toán đã cho có thỏa mãn tất cả các điều kiện cần có cho một nhóm hay không?Theo chương trình Đại số đại cương ta có ba định nghĩa nhóm, tương đương với nhau nhưsau :1 Định nghĩa 1Nhóm là một tập hợp X = ∅, trên đó đã xác định được một phép toán hai ngôi thỏa cácđiều kiện :1. N1: (Điều kiện kết hợp) : ∀x, y, z ∈ X thì (xy)z = x(yz).2. N2: (Điều kiện đơn vị ) : ∃e ∈ X, ∀x ∈ X thìex = xxe = x1
3. N3: (Điều kiện khả nghịch ) ∀x ∈ X, ∃x−1∈ X sao chox−1x = exx−1= e2 Định nghĩa 2Nhóm là nửa nhóm X, có đơn vị trái e và mọi x ∈ X đều có nghịch đảo trái x(tức xx = e)Như vậy so với định nghĩa 1, thì định nghĩa 2 tiết kiệm hơn; ở điều kiện N2chỉ cần kiểmtra ex = x và ở điều kiện N3chỉ phải kiểm tra x−1x = e.Một dạng đối ngẫu của định nghĩa 2 và có thể xem như là định nghĩa 2’ là : Nhóm là nửanhóm X, có đơn vị phải e và ∀x ∈ X đều có nghịch đảo phải x(tức xx= e)3 Định nghĩa 3Nhóm là nửa nhóm X mà các phương trình ax = b và xa = b là giải được (tức có nghiệm)trong X với mọi a, b ∈ XĐể kiểm tra một tập cho trước X và một phép toán cho trên X là nhóm, tùy trường hợpcụ thể mà ta lựa chọn định nghĩa nào trong các định nghĩa nêu trên để áp dụng cho phù hợp.4 Ví dụ4.1 Ví dụ 1Cho tập hợp X = Z × Z = {(k1, k2) : k1, k2∈ Z} xác định trên X phép toán sau :(k1, k2).(l1, l2) = (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2)Chứng minh rằng X với phép toán trên là nhóm. Giải :1. Cách 1 : (Nếu sử dụng định nghĩa 1, ta lần lượt kiểm tra từng bước như sau:)• X = Z × Z = ∅ vì Z = ∅.• Dễ dàng thấy là nếu (k1, k2), (l1, l2) là cặp số nguyên thì (k1+ l1, k2+ (−1)k1l2) cũnglà một cặp số nguyên nên phép ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS. TS Mỵ Vinh QuangNgày 28 tháng 10 năm 2004Bài 2 : Các Phương Pháp Tính ĐịnhThức Cấp nĐịnh thức được định nghĩa khá phức tạp, do đó khi tính các định thức cấp cao (cấp lớnhơn 3) người ta hầu như không sử dụng định nghĩa định thức mà sử dụng các tính chất củađịnh thức và thường dùng các phương pháp sau.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giácSử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất của địnhthức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ bằng tích củacác phần tử thuộc đường chéo chính (theo tính chất 3.3).Ví dụ 1.1: Tính định thức cấp n (n 2) sau đây:D =1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 22 2 3 . . . 2. . . . . . . . . . . . . . .2 2 2 . . . nBài giải: Nhân dòng (2) với (−1) rồi cộng vào dòng (3), (4), . . . , (n). Ta cóD =1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 20 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . n − 2(1)=1 2 2 . . . 20 −2 −2 . . . −20 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . n − 2= (−2)(n − 2)!(1): nhân dòng (1) với (−2) cộng vào dòng (2).1
Ví dụ 1.2: Tính định thức cấp nD =a b b . . . bb a b . . . bb b a . . . b. . . . . . . . . . . . . . .b b b . . . aBài giải: Đầu tiên công các cột (2), (3),. . . , (n) vào cột (1). Sau đó nhân dòng (1) với (−1)cộng vào các dòng (2), (3),. . . , (n). Ta có:D =a + (n − 1)b b b . . . ba + (n − 1)b a b . . . ba + (n − 1)b b a . . . b. . . . . . . . . . . . . . .a + (n − 1)b b b . . . a=a + (n − 1)b b b . . . b0 a − b 0 . . . 00 0 a − b . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . a − b=a + (n − 1)b(a − b)n−12 Phương pháp qui nạpÁp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theocột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đóta sẽ nhận được công thức truy hồi.Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2, . . . , đểsuy ra định thức cần tính.Ví dụ 2.1: Tính định thứcDn=1 + a1b1a1b2. . . a1bna2b11 + a2b2. . . a2bn. . . . . . . . . . . .anb1anb2. . . 1 + anbnBài giải: Sử dụng tính chất 2.4, tách định thức theo cột n, ta có:Dn=1 + a1b1. . . a1bn−10a2b1. . . a2bn−10. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−10anb1. . . anbn−11+1 + a1b1. . . a1bn−1a1bna2b1. . . a2bn−1a2bn. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−1an−1bnanb1. . . anbn−1anbn=1 + a1b1. . . a1bn−10a2b1. . . a2bn−10. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−10anb1. . . anbn−11+ bn1 + a1b1. . . a1bn−1a1a2b1. . . a2bn−1a2. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−1an−1anb1. . . anbn−1anKhai triển định thức đầu theo cột (n) ta sẽ có định thức đầu bằng Dn−1.Nhân cột (n) của định thức thứ hai lần lượt với (−bi) rồi cộng vào cột i (i = 1, 2, . . . , n −1).2
Ta được:Dn= Dn−1+ bn1 0 . . . 0 a10 1 . . . 0 a2. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 an−10 0 . . . 0 an= Dn−1+ anbnVậy ta có công thức truy hồi Dn= Dn−1+ anbn. Vì công thức trên đúng với mọi n nên ta cóDn= Dn−1+ anbn=Dn−2+ an−1bn−1+ anbn= · · · = D1+ a2b2+ a3b3+ · · · + anbnVì D1= a1b1+ 1 nên cuối cùng ta cóDn= 1 + a1b1+ a2b2+ a3b3+ · · · + anbnVí dụ 2.2: Cho a, b ∈ R, a = b. Tính định thức cấp nDn=a + b ab 0 . . . 0 01 a + b ab . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . a + b ab0 0 0 . . . 0 a + bBài giải: Khai triển định thức theo dòng đầu, ta được:Dn= (a + b)Dn−1− ab1 ab 0 . . . 0 00 a + b ab . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)Tài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaTS Trần HuyênNgày 28 tháng 10 năm 2004Các bài tập kiểm tra nhóm conMột dạng khác của kỹ năng kiểm tra nhóm là kỹ năng kiểm tra nhóm con. Muốn kiểm tranhóm con ta cần nắm vững ba tiêu chuẩn thông thường về nhóm con như sau.1 Tiêu chuẩn 1Một tập con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X (viết A ⊂nX hoặc A X) nếu• ∀x, y ∈ A thì xy ∈ A;• e ∈ A;• ∀x ∈ A thì x−1∈ A.Ví dụ 1: Chứng minh rằng M1n=A : det A = 1(gồm các ma trận vuông cấp n, định thứcbằng 1) là nhóm con của nhóm M∗n(nhóm nhân các ma trận cấp n không suy biến)Bài giải: Ta chứng minh M1n⊂nM∗ntheo tiêu chuẩn 1. Trước hết hiển nhiên M1n= ∅, đồngthời ta có• ∀ X, Y ∈ M1nthì det X = det Y = 1 do đó det X.Y = det X. det Y = 1.1 = 1 nghĩa làX.Y ∈ M1n.• Ma trận đơn vị E ∈ M1n(vì det E = 1).• ∀ X ∈ M1nthì det X = 1 nên det X−1=1det X= 1, do đó X−1∈ M1n.Vậy M1nthỏa cả ba điều kiện của tiêu chuẩn 1 nên M1n⊂nM∗n.1
2 Tiêu chuẩn 2Được suy ra từ tiêu chuẩn 1 nhưng bỏ đi đòi hỏi e ∈ A (vì đòi hỏi này chỉ là hệ quả củahai đòi hỏi còn lại). Như vậy, nếu áp dụng tiêu chuẩn 2 để xử lí Ví dụ 1 thì trong lời giải taloại bỏ đòi hỏi E ∈ M1n.Ví dụ 2: Cho trước số nguyên m. Chứng minh rằngmZ = {mz : z ∈ Z} ⊂n(Z, +)Bài giải: Ta kiểm tra mZ ⊂n(Z, +) theo tiêu chuẩn 2. Trước hết, hiển nhiên mZ = ∅ và ta có:• ∀ mz1, mz2∈ mZ : mz1+ mz2= m(z1+ z2) ∈ mZ.• ∀ mz ∈ mZ : −(mz) = m(−z) ∈ mZ.Vậy mZ thỏa cả hai đòi hỏi của tiêu chuẩn 2 nên mZ ⊂n(Z, +).Nhận xét: Thông thường trong lý thuyết ta ngầm định phép toán trong nhóm là nhân và kýhiệu phần tử nghịch đảo là (·)−1. Tuy nhiên khi phép toán trong nhóm là cộng thì tất cả cácdấu nhân trong các biểu thức đều đổi sang dấu cộng và phần tử nghịch đảo đổi thành phần tửđối và viết là −(·).3 Tiêu chuẩn 3Một tập hợp con A = ∅ trong nhóm X là nhóm con của X nếu ∀ x, y ∈ A thì xy−1∈ A.Nếu áp dụng tiêu chuẩn 3 này để xử lý Ví dụ 1 ta chỉ cần kiểm tra:∀ X, Y ∈ M1n⇒ det X = det Y = 1⇒ det(XY−1) =det Xdet Y=11= 1⇒ XY−1∈ M1nNếu áp dụng tiêu chuẩn 3 cho ví dụ 2, ta chỉ cần kiểm tra∀ mz1, mz2∈ mZ ⇒ mz1− mz2= m(z1− z2) ∈ mZNhận xét: Trong ba tiêu chuẩn nêu trên, các lời giải sử dụng tiêu chuẩn 3 có vẻ ngắn gọn hơncả. Tuy nhiên nếu trong lời giải bắt buộc phải tính phần tử nghịch đảo thì để tránh sự rườm ràta nên dùng tiêu chuẩn 2 vì thực chất việc dùng tiêu chuẩn 3 lúc đó các bước tính toán cũngdài ngang với dùng tiêu chuẩn 2.Ví dụ 3: Cho tập hợp các ma trận cấp haiK =a b0 1: a = 0Chứng minh K ⊂nM∗2(M∗2là nhóm nhân các ma trận cấp hai không suy biến).Bài giải: (Vì nếu dùng tiêu chuẩn 3, ta cũng phải tính trước các phần tử nghịch đảo, do vậyta dùng tiêu chuẩn 2) Trước hết K = ∅ (hiển nhiên). Và đồng thời:2
• ∀a b0 1,c d0 1∈ K ta có: a = 0, b = 0 nêna b0 1c d0 1=ac ad + b0 1∈ Kvì ac = 0• ∀a b0 1∈ K thìa b0 1−1=1/a −b/a0 1∈ K vì1a= 0.Vậy theo tiêu chuẩn 2: K ⊂nM∗2Đến đây, chúng tôi đã cùng độc giả ôn lại ba tiêu chuẩn thông dụng để kiểm tra một tậphợp A = ∅ trong nhóm X cho trước có là nhóm con của nhóm X không? Tùy theo từng bàitập cụ thể mà chúng ta lựa chọn hợp lý một trong các tiêu chuẩn đó để áp dụng giải quyết bàitập đã cho.Khi đặt vấn đề ở đầu mục chúng tôi có nói rằng kỹ năng kiểm tra nhóm con là một dạngkhác của kiểm tra nhóm. Nguyên do phần lớn các bài tập về kiểm tra nhóm, tập A đã cho cùngvới phép toán chỉ là bộ phận của một trong những nhóm khá quen biết và do vậy thay vì kiểmtra nhóm theo định nghĩa ta chỉ cần kiểm tra theo tiêu chuẩn nhóm con đương nhiên là đơngiản hơn.Ví dụ 4: Cho X là tập hợp tất cả các căn phức bậc n của đơn vị. Chứng minh rằng X cùngvới phép nhân thông thường các số phức lập thành nhóm.Bài giải: Hiển nhiên X = ∅ cùng với phép toán nhân trên nó chỉ là một bộ phận của nhómnhân C∗các số phức khác 0. Vậy để chứng minh X là nhóm ta cần kiểm tra rằng X ⊂n(C∗, .).Ta biểu diễnX GIẢI TÍCH MẠNG Trang 1 GIẢI TÍCH MẠNG LỜI NÓI ĐẦU Hệ thống điện bao gồm các khâu sản xuất, truyền tải và phân phối điện năng. Kết cấu một hệ thống điện có thể rất phức tạp, muốn nghiên cứu nó đòi hỏi phải có một kiến thức tổng hợp và có những phương pháp tinh toán phù hợp. Giải tích mạng là một môn học còn có tên gọi “Các phương pháp tin học ứng dụng trong tính toán hệ thống điện”. Trong đó, đề cập đến những bài toán mà tất cả sinh viên ngành hệ thống nào cũng cần phải nắm vững. Vì vậy, để có một cách nhìn cụ thể về các bài toán này, giáo trình đi từ kiến thức cơ sở đã học nghiên cứu lý thuyết các bài toán cũng như việc ứng dụng chúng thông qua công cụ máy vi tính. Phần cuối, bằng ngôn ngữ lập trình Pascal, công việc mô phỏng các phần mục của bài toán đã được minh hoạ. Nội dung gồm có 8 chương. 1. Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng. 2. Phương pháp số dùng để giải các phương trình vi phân trong giải tích mạng. 3. Mô hình hóa hệ thống điện. 4. Graph và các ma trận mạng điện. 5. Thuật toán dùng để tính ma trận mạng. 6. Tính toán trào lưu công suất. 7. Tính toán ngắn mạch. 8. Xét quá trình quá độ của máy phát khi có sự cố trong mạng. II. Phần lập trình: gồm có bốn phần mục: 1. Xây dựng các ma trận của 1 mạng cụ thể 2. Tính toán ngắn mạch. 3. Tính toán trào lưu công suất lúc bình thường và khi sự cố. 4. Xét quá trình quá độ của các máy phát khi có sự cố trong mạng điện. GV: Lê Kim Hùng
GIẢI TÍCH MẠNG CHƯƠNG 1 ĐẠI SỐ MA TRẬN ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TÍCH MẠNG Trong chương này ta nhắc lại một số kiến thức về đại số ma trận thông thường được ứng dụng trong giải tích mạng. 1.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN: 1.1.1. Kí hiệu ma trận: Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau: []jimnmmnnaaaaaaaaaaA == .212222111211 Nếu m = 1 và n >1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng. Ngược lại n = 1 và m > 1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột. 312=A132=A và Ví dụ: 1.1.2. Các dạng ma trận: Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n). Ví dụ: 333231232221131211aaaaaaaaaA = Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i > j. 332322131211000aaaaaaA = Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i < j. 333231222111000aaaaaaA = Trang 2
GIẢI TÍCH MẠNG Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (a = 0 với ). ji ≠ịj332211000000aaaA = Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông [...]... 1, 68 ≈ 1, 296 Ví dụ 2: Tìm 39, 18 39, 18 ≈ 6,2 59 ?1 a) b) 9, 11 ≈ 3,018 39, 82 ≈ 6,311 2) Tìm căn bậc hai của số lớn hơn 100 Ví dụ 3: Sgk ?2 a) (15) 91 1 = 9, 11 100 = 10 9, 11 NGUYỄN THÀNH CHƠN H : Dựa vào cơ sở nào để làm ví dụ trên? ĐẠI SỐ 9 ≈ 10.3,018 ≈ 30,18 b) 98 8 = 9, 88 100 = 10 9, 88 ≈ 10.3,143 ≈ 31,14 Hd : Nhờ quy tắc khai phương một tích Gv : Gọi hs đại diện mỗi nhóm lên trình bày bài làm của nhóm... 41/Sgk 0, 091 19 = 0,030 19 …….(10 đ) Biết 9, 1 19 ≈ 3,0 19 Tính: 0, 091 19 ? - Hs2: Làm BT 42/Sgk Tìm x biết b) x2 = 132 x1 ≈ 11, 49 ; x2 ≈ -11, 49 (10đ) 2/Bài mới: PHƯƠNG PHÁP NỘI DUNG 1 Đưa thừa số ra ngoài dấu căn Ví dụ 1: Gv: Cho hs làm ?1 Sgk a) 32.2 = 3 2 H : Đẳng thức a 2b = a b 2 được chứng minh dựa trên cơ sở nào ? Gv: Phép biến đổi này được gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn H: Thừa số nào đã... GIA TỰ (23) NGUYỄN THÀNH CHƠN • ĐẠI SỐ 9 TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ (24) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ 9 TUẦN 6 - tiết 12 NS : 19/ 09/ 20 09 - ND : 26/ 09/ 20 09 LUYỆN TẬP (§7 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai) I MỤC TIÊU - Hs được củng cố các kiến thức về biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai: Đưa thừa số ra ngoài dầu căn và đưa thừa số vào trong dấu căn, khử mẫu của... kết quả đúng Đáp án: 1-c 2-b 3-d 4-a Cột B a 0,8426 b 10,72 c 5,568 d 2,324 Cột A 1 31 2 115 3 5, 4 4 0, 71 - Hs : Làm bài tập 41.Sgk (2 câu đầu) Biết 9, 1 19 ≈ 3,0 19 => 91 1 ,9 ≈ 30, 19 TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ => 91 190 ≈ 301 ,9 (16) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ 9 4 / Hướng dẫn học ở nhà - Về nhà học bài, làm bài tập còn lại + Bt 52,54/Sbt - Đọc phần “Có thể em chưa biết” - Xem trước bài mới • RÚT KINH NGHIỆM... • TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ ( 19) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ 9 TUẦN 5 - tiết 10 NS : 12/ 09/ 20 09 - ND : 19/ 09/ 20 09 LUYỆN TẬP (§6 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai) MỤC TIÊU - Hs nắm vững cơ sở của việc đưa thừa số ra ngoài dấu căn và đưa thừa số vào trong dấu căn - Nắm được các kó năng đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn - Vận dụng các phép biến... NGÔ GIA TỰ (17) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ 9 TUẦN 5 - tiết 9 NS : 12/ 09/ 20 09 - ND : 14/ 09/ 20 09 §6 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I MỤC TIÊU - Hs biết được cơ sở của việc đưa thừa số ra ngoài dấu căn và đưa thừa số vào trong dấu căn - Nắm được các kó năng đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn - Biết vận dụng các phép biến đổi trên để so sánh hai số và rút gọn biểu thức II CHUẨN... NGÔ GIA TỰ (14) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ 9 TUẦN 4 - tiết 8 09/ 09 NS : 05/ 09/ 09 – ND : 09/ §5 BẢNG CĂN BẬC HAI I MỤC TIÊU - Học sinh hiểu được cấu tạo của căn bậc hai - Có kó năng tra bảng để tìm căn bậc hai của một số không âm II / CHUẨN BỊ : 1 / Giáo viên : - Chuẩn bò bảng phụ ghi sẵn bài tập - Bảng số , êke hoặc tấm bìa cứng hình chữ L 2 / Học sinh : - Bảng số , êke hoặc tấm bìa cứng hình chữ... nghóa căn bậc hai của một số , các đònh lý so sánh các căn bậc hai số học, các phép khai phương một tích, khai phương một thương - Xem trước 9 Căn bậc ba • RÚT KINH NGHIỆM DẠY HỌC : • • • • = TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ (30) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ 9 TUẦN 8 - tiết 15 20 09 NS : 03/ 10/ 20 09 - ND : 05/ 10/ 9 CĂN BẬC BA I MỤC TIÊU:... theo) • • • • • RÚT KINH NGHIỆM DẠY HỌC : TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ (21) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ 9 TUẦN 6 - tiết 11 NS : 19/ 09/ 20 09 - ND : 22/ 09/ 20 09 §7 BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI (tt) I.MỤC TIÊU - Hs biết cách khử mẫu của biểu thức lấy căn và trục căn thức ở mẫu - Bước đầu biết cách phối hợp và... Dùng số 6 để hiệu chính chữ số cuối ở số 6,253 như sau: 6,253 + 0,006 = 6,2 59 Gv : Yêu cầu hs làm ?1 theo cặp Hs : Thực hiện Gv : Yêu cầu Hs đọc ví dụ 3 /Sgk, hoạt động nhóm làm ? 2 Chia lớp thành 2 nhóm mỗi nhóm làm 1 câu TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ NỘI DUNG I.Giới thiệu bảng: (Sgk) II Cách dùng bảng: 1) Tìm căn bậc hai của số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 100 Ví dụ 1: Tìm 1, 68 1, 68 ≈ 1, 296 Ví dụ 2: Tìm 39, 18 39, 18 ... hai số lớn nhỏ 100 Ví dụ 1: Tìm 1, 68 1, 68 ≈ 1, 296 Ví dụ 2: Tìm 39, 18 39, 18 ≈ 6,2 59 ?1 a) b) 9, 11 ≈ 3,018 39, 82 ≈ 6,311 2) Tìm bậc hai số lớn 100 Ví dụ 3: Sgk ?2 a) (15) 91 1 = 9, 11 100 = 10 9, 11... 4 0, 71 - Hs : Làm tập 41.Sgk (2 câu đầu) Biết 9, 1 19 ≈ 3,0 19 => 91 1 ,9 ≈ 30, 19 TRƯỜNG THCS NGÔ GIA TỰ => 91 190 ≈ 301 ,9 (16) NGUYỄN THÀNH CHƠN ĐẠI SỐ / Hướng dẫn học nhà - Về nhà học bài, làm tập... 41/Sgk 0, 091 19 = 0,030 19 …….(10 đ) Biết 9, 1 19 ≈ 3,0 19 Tính: 0, 091 19 ? - Hs2: Làm BT 42/Sgk Tìm x biết b) x2 = 132 x1 ≈ 11, 49 ; x2 ≈ -11, 49 (10đ) 2/Bài mới: PHƯƠNG PHÁP NỘI DUNG Đưa thừa số dấu