SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS TỈNH ĐỒNG THÁP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013 ĐỀ THI MÔN : TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi : 10/3/2013 Thời gian làm : 150 phút Câu : (4đ) 18 − + + 2 25 x + y + z = 2013 b ) Cho ba số x , y ,z thỏa mãn : 1 x + y + z = 2013 a ) Rút gọn biểu thức : A = ( )( )( ) 2010 2010 y 2012 − z 2012 z 2014 − x 2014 Tính giá trị biểu thức B = x − y Câu : (4đ) x − Cho P = x −1 − x a ) Tìm điều kiện để biểu thức P có nghĩa rút gọn biểu thức P b ) Tìm tất số thực x cho x > , với P nhận giá trị nguyên 25 Câu : (4đ) a ) Giải phương trình : − x = x + x − diện tích khu 20 đất Nếu máy ủi thứ làm 21 nghỉ sau máy ủi thứ hai làm 11 hai máy san lấp 12,5% diện tích khu đất Biết giá san lấp máy ủi thứ 30.000 đ/giờ , giá san lấp máy ủi thứ hai 40.000 đ/giờ Hãy tính số tiền mà máy ủi thực để san lấp toàn diện tích khu đất nêu , từ nhận xét xem nên chọn thuê máy ủi trả tiền Câu : (4đ) Cho tam giác ABC vuông A có AB < AC đường cao AH Gọi M , N , P trung điểm cạnh BC , CA , AB Biết AH = 4cm , AM = 5cm a ) Tính độ dài cạnh tam giác ABC b ) Chứng minh điểm A , H , M , N , P thuộc đường tròn c ) Vẽ đường thẳng d vuông góc AM A , đường thẳng d cắt hai đường thẳng MP MN B’ C’ Tính tích BB’.CC’ Câu : (4đ) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10cm , CB = 40cm Vẽ phía AB nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự AB , AC , CB có tâm theo thứ tự O , I , K Đường vuông góc với AB C cắt nửa đường tròn (O) E Gọi M , N theo thứ tự giao điểm EA , EB với nửa đường tròn (I) , (K) a ) Chứng minh EC = MN b ) Chứng minh MN tiếp tuyến chung nửa đường tròn (I) , (K) Tính MN c ) Tính diện tích hình giới hạn ba nửa đường tròn cho HẾT b ) Hai máy ủi làm việc vòng san lấp ĐÁP ÁN CÂU 1:( 4đ) NỘI DUNG ĐIỂM 2.0 a) Ta có 18 − = 42 − 2.4 + 3+ 2 = Vậy A = ( 2) ( 2) + 2 +1 = = ( 4− 2) = 4− ( + 1) = + 2 − + +1 = =1 25 0.75 0.75 0.5đ b) 2.0 Từ giả thiết ta có x,y,z ≠ 1 1 + + = x y z x+ y+z 0.25 1 1 1 x+ y x+ y ⇔ + ÷+ − + =0 ÷= ⇔ xy z( x + y + z) x y z x+ y+z ⇔ ( x + y) + = ⇔ ( x + y ) xz + yz + z + xy = ÷ xy xz + yz + z ( ( ) ) ⇔ ( x + y ) xz + z + yz + xy = ⇔ ( x + y ) z ( x + z ) + y ( z + x ) = ⇔ ( x + y) ( y + z) ( z + x) = x 2010 = ( − y ) x 2010 − y 2010 = x + y = x = − y 2012 ⇔ y + z = ⇔ y = − z ⇔ y 2012 = ( − z ) ⇔ y 2012 − z 2012 = z 2014 − x 2014 = z + x = z = − x z 2014 = ( − x ) 2014 Vậy B = Câu : (4đ) NỘI DUNG a) x ≥ x ≥ x > ( *) Điều kiện để P có nghĩa : x − ≠ ⇔ x ≠ ⇔ x ≠ x ≠ x − x ≠ x x −1 x +1 P= − = = x −1 x x x −1 x x −1 0.25 0.5 0.25 2010 ( ) ( ) b) Ta có 0.25 0.25 0.25 ĐIỂM 2.0 1.0 1.0 2.0 P = 1+ x (1) >1 x 1 1 ⇒ x> ⇒ < ⇒ P = 1+ < (2) Với x > 25 x x ;x ≠1 ) Từ (1) (2) ta có < P 25 ⇒ P = 1+ 0.25 0.25 0.5 0.25 P ∈ Z ⇒ P = 2, P = 3, P = 4, P = + P = ⇒ x = không thỏa mãn điều kiện (*) Không nhận x = 1 +P = ⇒ x = thỏa mãn (*) Nhận x = 4 1 + P = ⇒ x = thỏa mãn (*) Nhận x = 9 1 +P = ⇒ x = thỏa mãn (*) Nhận x = 16 16 1 Vậy giá trị x cần tìm x = , x = x = 16 CÂU : (4đ) NỘI DUNG 0.25 ĐIỂM 2.0 a) ≤ x ≤1 1 Đặt t = x − , t ≥ suy x = t + 4 Điều kiện Thay vào phương trình cho ta : − 2t − 0.25 0.25 0.5 0.5 1 = t2 + t + 0.25 1 ⇔ − 2t − = t + ÷ 2 ( t ≥ ) ⇔ 2t + t − = ⇔ t = 1 1 Với t = , ta x − = ⇔ x = ( thỏa điều kiện ) 2 b) Gọi x ( ) , y ( ) thời gian làm máy số máy số để san lấp toàn khu đất ( x > , y > ) Nếu làm tì máy ủi thứ san lấp khu đất , x máy thứ san lấp khu đất y 6 x + y = 20 Theo giả thiết ta có hệ phương trình : 21 11 + = x y 0.25 1 Đặt u = ; v = ( u > , v > ) ta hệ phương trình : x y 0.25 0.25 0.25 2.0 0.25 0.25 0.5 6u + 6v = 20 120u + 120v = ⇔ 168u + 168v = 21u + 11v = 1 ,v= , x = 300 y = 200 ( nhận ) 300 200 + Số tiền phải trả thuê xe san lấp khu đất : 300 x 30.000 = 9.000.000 đồng + Số tiền phải trả thuê xe san lấp khu đất : 200 x 40.000 = 8.000.000 đồng Vậy thuê xe để san lấp khu đất chi phí tốn (và nhanh ) Câu : ( 4đ ) Giải hệ ta u = 0.25 0.25 NỘI DUNG a) Ta có BC = 2AM = 10 (cm) HM = AM − AH = 52 − 42 = 32 ⇒ HM = 3(cm) Do AB < AC nên HB < HC , nên M thuộc đoạn HC Ta có : BH = BM – HM = (cm) CH = CM + HM = (cm) AB = BH BC = 2.10 = 20 ĐIỂM 1.5 0.25 AC = CH BC = 8.10 = 80 0.5 BC = AB + AC = 100 Vậy AB = cm , AC = cm BC = 10cm 2 0.25 0.25 b) AB (tính chất đường trung bình ΔABC) ⇒ AP / / = MN PÂN = 1v , nên tứ giác APMN hình chữ nhật Gọi O trung điểm AM , ta có OA = OP = OM = ON (1) Tam giác AHM vuông H có O trung điểm AM , ta có OH = OA = OM (2) TỪ (1) (2) ta : OA = OP = OM = ON = OH Vậy điểm A,H,P,M,N thuộc đường tròn c) Theo chứng minh ta có MB’ trung trực AB nên BB’ = AB’ Tương tự MC’ trung trực AC , nên CC’ = AC’ Mà tam giác MB’C’ vuông M có đường cao MA nên AB’.AC’ = MA2 Vậy BB’.CC’ = AB’ AC’ = MA2 = 25 Ta có MN / / = 0.25 0.25 1.5 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 Câu : (4đ) NỘI DUNG a) Ta có góc BNC = 90° ( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K ) ⇒ góc ENC = 90° ( hai góc kề bù ) (1) Ta có góc AMC = 90° (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I ) ⇒ góc EMC = 90° ( hai góc kề bù ) (2) Góc AEB = 90° ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O ) Hay góc MNE = 90° (3) Từ (1) , (2) (3) ⇒ tứ giác CMEN hình chữ nhật nên EC = MN ( tính chất đường chéo hình chữ nhật ) đpcm b) Tứ giác CMEN hình chữ nhật nên : góc C1 = góc N (4) Lại có KC = KN ⇒ ΔKCN cân K ⇒ (góc) C2 = N (5) ĐIỂM 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 2.0 0.25 0.25 Từ (4) (5) ta có : (góc) C1 + C2 = N + N = 90° ⇒ (góc) MNK = N + N = 90° hay MN vuông góc KN N , MN tiếp tuyến (K) N 0.25 Tương tự chứng minh MN tiếp tuyến (I) M KL : MN tiếp tuyến chung hai đường tròn (I) , (K) + Tính MN ΔABE vuông A có EC vuông góc AB (gt) ⇒ EC = AC.BC = 400 ⇒ EC = 20cm Vậy MN = EC = 20cm c) Theo giả thiết Ac = 10cm , BC = 40cm , nên AB = 50cm suy OA = 25cm 0.25 0.25 0.5 1.0 0.25 ... = 90 ° ( nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm K ) ⇒ góc ENC = 90 ° ( hai góc kề bù ) (1) Ta có góc AMC = 90 ° (nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I ) ⇒ góc EMC = 90 ° ( hai góc kề bù ) (2) Góc AEB = 90 °... = x 2010 = ( − y ) x 2010 − y 2010 = x + y = x = − y 2012 ⇔ y + z = ⇔ y = − z ⇔ y 2012 = ( − z ) ⇔ y 2012 − z 2012 = z 2014 − x 2014 = z + x = z = − x z 2014 =... tiền phải trả thuê xe san lấp khu đất : 300 x 30.000 = 9. 000.000 đồng + Số tiền phải trả thuê xe san lấp khu đất : 200 x 40.000 = 8.000.000 đồng Vậy thuê xe để san lấp khu đất chi phí tốn (và