ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HỒNG NGỰ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỊ XÃ HỒNG NGỰ ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 05/ 02/ 2012 Đề gồm 01 trang Bài 1: (3 điểm) a) Giải phương trình: x + + x − + x − − 2 x − = x + y = b) Giải hệ phương trình:  2  x + y − xy = Bài 2: (3 điểm) Chứng minh rằng: a) Biểu thức N = + 20112 + 20112 2011 + có giá trị số tự nhiên 20122 2012 b) Biểu thức M = + − − 2 có giá trị số nguyên Bài 3: (4 điểm)  1   x + x −1 − Cho biểu thức A =  ÷:  1− x x   1 − x Với x > 0; x ≠ a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x = 17 - 12 + 2x x + x − x  ÷ ÷ 1+ x x  Bài 4: (5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD, A = 90 0) đường cao BH Điểm M thuộc đoạn HC Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BM, đường thẳng cắt BH BM theo thứ tự E F a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D nằm đường tròn EB.EH = ED.EF b) Cho AB = 10 cm; BM = 13 cm; DM = 15 cm Tính độ dài đoạn thẳng AD; DF BF (chính xác đến 02 chữ số thập phân) c) Khi M di chuyển đoạn HC F di chuyển đường nào? Bài 5: (5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (góc A = góc D = 90 0) Tia phân giác góc C qua trung điểm I cạnh AD a) Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (I; IA) b) Cho AD = 2a Tính AB.CD theo a c) Gọi H tiếp điểm BC với đường tròn (I; IA); K giao điểm AC BD Chứng minh KH song song với DC - HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN -Bài 1: điểm 1,5 điểm a) Giải phương trình: x + + x − + x − − 2 x − = Điều kiện x ≥ ⇔ ( 2x − + ⇔ 2x − + + ) 0,25 đ + ( ) 2x − −1 =3 0,25 đ 2x − −1 = ⇔ − 2x − = 2x − −1 0,25 đ Do − x − ≥ ⇔ x ≤ 0,25 đ Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: ≤ x ≤ 2 0,25 đ     Vậy phương trình cho có tập hợp nghiệm là: S = ∀x ∈ Q : ≤ x ≤   x + y = 5(1) b) Giải hệ phương trình:  1,5 điểm 2  x + y − xy = 5(2) Từ (1) ta có: x = – 2y Thế vào (2) ta được: (5 – 2y)2 + 2y2 – 2(5 – 2y)y = Biến đổi ta được: y2 – 3y + = ⇔ (y – 1) (y – 2) = Suy y = y = * Nếu y = x = – 2.1 = * Nếu y = x = – 2.2 = Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x = 3; y = 1) ; (x = 1; y = 2) Bài 2: Chứng minh rằng: a) Biểu thức N = + 20112 + 20112 2011 + có giá trị số tự nhiên 20122 2012 Ta có: N = ( + 2011) − 2.1.2011 + = ( 2012 ) − 2.2012 0,25 đ 20112 2011 + 20122 2012 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ điểm 1,5 điểm 0,25 đ 2011 20112 2011 + + 2012 20122 2012 0,25 đ 2011  2011 2012 − 2011 + 2011 =  2012 − = ÷ +  2012  2012 2011 2011 + = 2012 = 2012 2012 2012 2012 2012 Vậy N có giá trị số tự nhiên b) Biểu thức M = + − − 2 có giá trị số nguyên Ta có M = + 2.2 + − − 2.1 + = ( 2+ 2) − ( ) −1 = + − −1 = + − +1 = Vậy M có giá trị số nguyên Bài 3: 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 1,5 điểm 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ điểm   x + x −1 x x + x − x  + ÷ ÷ 1− x 1+ x x   x 2x + x −1  x −1+ x  2x + x − x −  : + x 1− x  1− x 1+ x 1+ x 1− x + x     − a) Rút gọn biểu thức A =  ÷:  x   1 − x A= = = = = ( ( ) ) ( )( ) ( )( )  x ( x + 1) ( x − 1)  x −  ( x + 1) ( x − 1)  : +  x ( x − 1) 1− x ) ( 1+ x ) ( + x ) ( − x + x )  (  :  x −1 x −  x −1 x ( x −1 x x ( ( ) ) x −1 ( ( ) : x −1 :  ( 1− x ) ( 1− : ) (1− x ) (1− x −1 ( 1− x + x + x 1− x x+x ) = x+x ) 0,5 đ ) 0,5 đ 1− x + x x 0,5 đ b)Tính giá trị A x = 17 - 12 1,5 điểm Tính x = 17 - 12 = ( − 2 ) ⇒ x = Suy A = ( ) − − 2 + 17 − 12 3− 2 0,5 đ 0,5 đ  x ÷ x+x÷    )  −1 x + − 2,5 điểm ( 3− 2) = 3− 2 = 3− 2 15 − 10 ( − 2 ) = = =5 3−2 2 3−2 Bài 4: 0,75 đ 0,75 đ điểm A 10 B F’ F E D H M C 15 a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D nằm đường tròn EB.EH = ED.EF * Gọi I giao điểm BD AH Ta CM: IF = BD = IB=ID=IH => B, F, H, D nằm đường tròn * Ta có: ∆FBE : ∆HDE (g.g) nên EB ED = Suy ra: EB.EH = ED.EF EF EH b) Tính độ dài đoạn thẳng AD; DF BF: * Ta có: ABHD hình chữ nhật (vì có góc vuông) nên: DH = AB = 10 cm ⇒ HM = DM – DH = 15 – 10 = cm Xét ∆ vuông BMH có: BM2 = BH2 + HM2 ⇒ BH = BM − HM = 12 cm Mà AD = BH (vì ABHD hình chữ nhật) Vậy AD = 12 cm ∆MBH : ∆MDF * Ta có: (g.g) nên BM MD BH MD 12.15 = ⇒ DF = = ≈ 13,85cm BH DF BM 13 1,5 điểm 0,5 đ 1,0 đ điểm 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ * Xét ∆ vuông BDF có: BD2 = BF2 + DF2 ⇒ BF =  BH MD  BD − DF = AB + AD −  ÷ ≈ 7, 23cm  BM  2 2 0,75 đ c) Khi M di chuyển đoạn HC F di chuyển đường nào? (cho hs hưởng 1,5 điểm trọn điểm = 1,5đ) Ta có góc BFD = 900 (gt) BD cố định nên M di chuyển đoạn HC F 0,5 đ di chuyển đường tròn đường kính BD Giới hạn: - Khi M  C F  F’ (F’ ∈ BC; DF ' ⊥ BC ) 0,5 đ - Khi M  H F  H Vậy M di chuyển đoạn HC F di chuyển cung nhỏ F ’H đường 0,5 đ tròn đường kính BD Bài 5: điểm A B K H I D C 1,5 điểm a) Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn (I; IA) Kẻ IH ⊥ BC H 0,5 đ Ta có ∆ vuông IDC = ∆ vuông IHC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ IH = ID Mà ID = IA (gt) ⇒ IH = ID = IA ⇒ ba điểm A, D, H nằm đường 0,5 đ tròn (I; IA) 0,5 đ Lại có: IH ⊥ BC H ⇒ BC tiếp tuyến đường tròn (I; IA) điểm b) Tính AB.CD theo a Xét tam giác vuông AIB HIB có: Do AB tiếp tuyến đường tròn (I; IA) nên: BA = BH (tính 0,75 đ chất tiếp tuyến) Suy ra: ∆ ABI = ∆ HBI (c.c.c) ⇒ góc AIB = góc HIB Ta lại có: góc DIC = góc HIC (C/m câu a) ∆ vuông IDC = ∆ vuông IHC) 0,75 đ Suy ra: góc BIH + góc HIC = 900 ⇒ ∆ BIC vuông I ⇒ IH2 = HB.HC Mặt khác CD tiếp tuyến đường tròn (I; IA) ⇒ CD = CH 0,5 đ ⇒ AB.CD = IH2 = a2 1,5 điểm c)Chứng minh KH // DC BH BA = (1) HC CD AB BK = Lại có: AB // CD ( ABCD hình thang) nên: (2) (theo định lý talet) CD KD BH BK = ⇒ KH / / CD (theo định lý talet đảo) Từ (1) (2) ⇒ HC KD Ta có: BH = BA; CH = CD (C/m câu b) ⇒ Ghi chú: Học sinh có cách giải khác hưởng điểm tương 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ đương  ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP THỊ XÃ NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN -Bài 1: điểm 1,5 điểm a) Giải phương trình: x + + x − + x... CD (theo định lý talet đảo) Từ (1) (2) ⇒ HC KD Ta có: BH = BA; CH = CD (C/m câu b) ⇒ Ghi chú: Học sinh có cách giải khác hưởng điểm tương 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ đương ... có: góc DIC = góc HIC (C/m câu a) ∆ vuông IDC = ∆ vuông IHC) 0,75 đ Suy ra: góc BIH + góc HIC = 90 0 ⇒ ∆ BIC vuông I ⇒ IH2 = HB.HC Mặt khác CD tiếp tuyến đường tròn (I; IA) ⇒ CD = CH 0,5 đ ⇒ AB.CD