ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HỒNG NGỰ

Điểm M thuộc đoạn HC.. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BM, đường thẳng này cắt BH và BM theo thứ tự ở E và F.. Tính độ dài của các đoạn thẳng AD; DF và BF chính xác đến 02 chữ số thập

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỊ XÃ HỒNG NGỰ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THỊ XÃ

NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

(không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 05/ 02/ 2012

Bài 1: (3 điểm).

a) Giải phương trình: 2x+ + 1 4 2x− + 3 2x− − 2 2 2x− = 3 3.

b) Giải hệ phương trình: 2 2 25

x y



 + − =



Bài 2: (3 điểm) Chứng minh rằng:

a) Biểu thức N = 2 2

2

2011 2011

1 2011

2012 2012 + + + có giá trị là một số tự nhiên

b) Biểu thức M = 6 4 2 + − 3 2 2 − có giá trị là một số nguyên

Bài 3: (4 điểm).

Cho biểu thức A = 1 1 : 2 1 2

1

x

Với x > 0; x ≠ 1 a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của A khi x = 17 - 12 2

Bài 4: (5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD, A = 900) đường cao BH Điểm M thuộc đoạn HC Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BM, đường thẳng này cắt BH và BM theo thứ tự ở E và F

a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn và EB.EH = ED.EF

b) Cho AB = 10 cm; BM = 13 cm; DM = 15 cm Tính độ dài của các đoạn thẳng AD;

DF và BF (chính xác đến 02 chữ số thập phân).

c) Khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên đường nào?

Bài 5: (5 điểm) Cho hình thang vuông ABCD (góc A = góc D = 900) Tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của cạnh AD

a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA)

b) Cho AD = 2a Tính AB.CD theo a.

c) Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn (I; IA); K là giao điểm của AC

và BD Chứng minh KH song song với DC

- HẾT -

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề gồm 01 trang

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THỊ XÃ

NĂM HỌC 2011-2012 MÔN: TOÁN

-

a) Giải phương trình: 2x+ + 1 4 2x− + 3 2x− − 2 2 2x− = 3 3. 1,5 điểm

Điều kiện x 3

2

2x 3 2 2x 3 1 3

⇔ 2x− + + 3 2 2x− − = 3 1 3 ⇔ − 1 2x− = 3 2x− − 3 1 0,25 đ

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có: 3 2.

Vậy phương trình đã cho có tập hợp nghiệm là: S = :3 2

2

∀ ∈ ≤ ≤ 

b) Giải hệ phương trình: 2 2

2 5(1)

2 2 5(2)

x y



 + − =

Từ (1) ta có: x = 5 – 2y Thế vào (2) ta được: (5 – 2y) 2 + 2y 2 – 2(5 – 2y)y = 5 0,25 đ

⇔(y – 1) (y – 2) = 0 Suy ra y = 1 hoặc y = 2 0,25 đ

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x = 3; y = 1) ; (x = 1; y = 2) 0,25 đ

a) Biểu thức N = 2 2

2

2011 2011

1 2011

2012 2012 + + + có giá trị là một số tự nhiên 1,5 điểm

Ta có: N = ( )2 2

2

2011 2011

1 2011 2.1.2011

2012 2012

= ( )2 2

2

2011 2011 2011

2012 2.2012.

2012 2012 2012

=

2

2011 2011 2012

2012 2012

2011 2011 2012

2012 2012

= 2012 - 2011 2011

Vậy N có giá trị là một số tự nhiên 0,25 đ

b) Biểu thức M = 6 4 2+ − 3 2 2− có giá trị là một số nguyên 1,5 điểm

Ta có M = 4 2.2 2 2+ + − 2 2 2.1 1− + 0,5 đ

= ( ) (2 )2

2 + 2 − 2 1 − = 2 + 2 − 2 1 − = 2 + 2− 2 1+ = 3 0,5 đ Vậy M có giá trị là một số nguyên 0,5 đ

a) Rút gọn biểu thức A = 1 1 : 2 1 2

1

x

A =

:

x x x

=

:

x

= 2( 11) (: 2 1) 1 1 1

x

x x

=

: 2 1 :

x

x

= ( 1 1) (: 1 )(11 ) 1

x x x

=

b)Tính giá trị của A khi x = 17 - 12 2 1,5 điểm

Tính x = 17 - ( )2

12 2 = − 3 2 2 ( )2

3 2 2 3 2 2 3 2 2

x

Suy ra A = 1 (3 2 2) 17 12 2 15 10 2 5 3 2 2( )

5

a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn và EB.EH = ED.EF 1,5 điểm

* Gọi I là giao điểm của BD và AH

Ta CM: IF =1

2BD= IB=ID=IH => B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn 0,5 đ

* Ta có: ∆FBE: ∆HDE (g.g) nên EB ED

EF = EH Suy ra: EB.EH = ED.EF 1,0 đ

b) Tính độ dài của các đoạn thẳng AD; DF và BF: 2 điểm

* Ta có: ABHD là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) nên: DH = AB = 10 cm

⇒ HM = DM – DH = 15 – 10 = 5 cm 0,25 đ Xét∆vuông BMH có: BM2 = BH2 + HM2 ⇒ BH = 2 2

12

BM −HM = cm 0,25 đ

Mà AD = BH (vì ABHD là hình chữ nhật) Vậy AD = 12 cm 0,25 đ

* Ta có: ∆MBH : ∆MDF (g.g) nên

12.15

13,85 13

C

E F

F’

10

15

* Xét ∆vuông BDF có: BD2 = BF2 + DF2

⇒ BF = 2 2 2 2 2

7, 23

BH MD

BM

0,75 đ

c) Khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên đường nào? (cho hs hưởng

Ta có góc BFD = 900 (gt) và BD cố định nên khi M di chuyển trên đoạn HC thì F

di chuyển trên đường tròn đường kính BD 0,5 đ Giới hạn: - Khi M  C thì F  F’ (F’ '

;

BC DF BC

- Khi M  H thì F  H 0,5 đ Vậy khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên cung nhỏ F’H của đường

a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) 1,5 điểm

Kẻ IH ⊥ BC tại H

Ta có ∆vuông IDC = ∆vuông IHC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ IH = ID 0,5 đ

Mà ID = IA (gt) ⇒ IH = ID = IA ⇒ ba điểm A, D, H cùng nằm trên đường

Lại có: IH ⊥BC tại H ⇒BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) 0,5 đ

Xét 2 tam giác vuông AIB và HIB có:

Do AB cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) nên: BA = BH (tính

chất 2 tiếp tuyến).

Suy ra: ∆ABI = ∆HBI (c.c.c) ⇒ góc AIB = góc HIB

0,75 đ

Ta lại có: góc DIC = góc HIC (C/m câu a) ∆vuông IDC = ∆vuông IHC)

Suy ra: góc BIH + góc HIC = 900 ⇒ ∆BIC vuông tại I ⇒IH2 = HB.HC 0,75 đ Mặt khác CD cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) ⇒CD = CH

Ta có: BH = BA; CH = CD (C/m câu b) ⇒ BH BA

Lại có: AB // CD ( vì ABCD là hình thang) nên: AB BK

CD = KD (2) (theo định lý talet) 0,5 đ

Từ (1) và (2) ⇒ BH BK KH / /CD

HC = KD⇒ (theo định lý talet đảo). 0,5 đ

Ghi chú: Học sinh có cách giải khác đúng được hưởng điểm tương

I

H K

đương.