Đề thi học sinh giỏi toán 9

Phòng giáo dục đề thi tuyển chọn học sinh giỏi Vĩnh linh năm học 2007-2008 Môn: toán - lớp 9 Thơì gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tìm số tự nhiên có ba chử số, biết rằng nó tăng gấp n lần nếu cộng mỗi chử số của nó với n. ( n N*, n có thể gồm một hoặc nhiều chử số). Bài 2: a) Chứng minh rằng: 11 10 - 1 chia hết cho 600. b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để: 2 n + 1 chia hết cho 3. Bài 3: Cho: A = 200 1 199 1 . 102 1 101 1 ++++ . Chứng minh rằng: 8 5 < A < 4 3 Bài 4: Cho hai số x và y thỏa mản điều kiện: x.y = 1 và x > y. Chứng minh rằng: 22 22 + yx yx Bài 5: a) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: (x + y) 2 = (x-1).(y+1). b) Cho đa thức f(x) có các hệ số nguyên. Biết f(0), f(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng đa thức f(x) không có nghiệm nguyên. Bài 6: Cho ABC có B > 90 0 , H là trực tâm của ABC. Hai trung tuyến AM và BK cắt nhau tại I, hai trung trực của các đoạn thẳng AC và BC cắt nhau tại O. Chứng minh rằng: 333 333 IHIBIA IMIKIO ++ ++ = 22 1 Bài 7: Chứng minh rằng: x 2 - x 9 - x 1945 chia hết cho x 2 - x + 1 L u ý : - Học sinh không đợc sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng H ớng dẩn chấm Bài 1: (1,5đ). Gọi số cần tìm là abc ( ,91 a 9,0 cb ), ta có: abc + 100.n + 10.n + n = abc .n => abc = ( abc -111).n (1) => abc n Đặt abc = n.k ( k N ) Thay vào (1) ta đợc: n.k + 111.n = n.k.n n 0 => k + 111 = n.k => 111 = (n-1).k => n-1 và k ớc của 111, Ư(111) = { 1; 3; 37; 111 } Với k = 1 => n-1 =111 => n=112 do đó abc = 112 Với k = 3 => n-1 = 37 => n=38 do đó abc = 114 Với k =37 => n-1= 3 => n= 4 do đó abc = 148 Với k=111=> n-1=1 => n= 2 do đó abc = 222. Bài 2: (1,5đ) a) (1,0đ) 11 10 - 1 = (11-1).(11 9 +11 8 +11 7 +11 6 +11 5 +11 4 +11 3 +11 2 +11+1) = 10. [ (11 9 +11 8 ) + (11 7 +11 6 ) + (11 5 +11 4 ) + (11 3 +11 2 ) + (11+1) ] = 10.(11 8 .12 + 11 6 .12 + 11 4 .12 + 11 2 .12 + 12) = 10.12.( 11 8 + 11 6 + 11 4 + 11 2 +1) = 120.( 11 8 + 11 6 + 11 4 + 11 2 +1) 11 8 có chử số tận cùng bằng 1 11 6 có chử số tận cùng bằng 1 11 4 có chử số tận cùng bằng 1 11 2 có chử số tận cùng bằng 1 => 11 8 + 11 6 + 11 4 + 11 2 +1 có chử số tận cùng bằng 5 => (11 8 + 11 6 + 11 4 + 11 2 +1) 5 => 120.( 11 8 + 11 6 + 11 4 + 11 2 +1) 600 Vậy: 11 10 - 1 chia hết cho 600. b) (0,5đ) Ta có: 2 -1(mod 3) => 2 n (-1) n (mod 3) => 2 n +1 (-1) n + 1(mod 3) Do đó: (2 n +1) 3 (-1) n + 1 chia hết cho 3 n là số lẻ. Bài 3: (1,5đ) A = 200 1 199 1 . 102 1 101 1 ++++ = + 200 1 101 1 + + 199 1 102 1 + . + + 151 1 150 1 = 200.101 301 + 199.102 301 + .+ 151.150 301 = 301. +++ 151.150 1 . 199.102 1 200.101 1 Ta thấy: 101.200 < 102.199 < . < 150.151 Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng => 200.101 1 lớn nhất, 151.150 1 nhỏ nhất. Do đó: A < 301. +++ 200.101 1 . 200.101 1 200.101 1 = 301. 200.101 1 .50 = 404 301 < 404 303 = 4 3 Suy ra: A < 4 3 (1) A > 301. +++ 151.150 1 . 151.150 1 151.150 1 = 301. 151.150 1 . 50 = 453 301 > 453 300 > 480 300 = 8 5 Suy ra: A > 8 5 (2) Từ (1) và (2): 8 5 < A < 4 3 Bài 4: (1đ) Ta có: ( ) yx yx yx xy yx yx xyyx yx yx += += = + 222 2 22 (vì x.y = 1) Vì: x >y => x-y > 0 và 0 2 > yx . áp dụng BĐT Cauchy (Cô si) cho hai số không âm x-y và yx 2 , ta có: x-y + yx 2 yx yx ).(2 .2 = 2. 2 Suy ra: 22 22 + yx yx Bài 5: (1,5đ) a) (0,75đ) Ta có: (x + y) 2 = (x-1).(y+1) x 2 + 2xy + y 2 = xy + x - y - 1 x 2 + xy + y 2 - x + y + 1 = 0 2.x 2 + 2.xy + 2.y 2 - 2.x + 2.y + 2 =0 (x 2 +2xy+y 2 )+(x 2 -2x+1)+(y 2 +2y+1) = 0 (x+y) 2 + (x-1) 2 + (y+1) 2 = 0 =+ = =+ 01 01 0 y x yx = = 1 1 y x Vậy nghiệm nguyên của phơng trình là: x=1; y=-1. b) (0,75) Giả sử a là nghiệm nguyên của f(x). Với mọi x, ta có: f(x) = (x-a).g(x) , trong đó g(x) là đa thức có hệ số nguyên. Do đó: f(0) = -a.g(0) ; f(1) = (1-a).g(1). Vì f(0) là số lẻ nên -a là số lẻ; f(1) là số lẻ nên 1-a là số lẻ. Vô lí vì -a và 1-a là hai số nguyên liên tiếp. Do đó: f(x) không có nghiệm nguyên. Bài 6: (2,0đ) Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng O I K M H A B C Chứng minh: Ta có: = = KCKA MCMB => KM // AB => 2 1 === AB KM IA IM IB IK (1) Ta có: +) H, I, O lần lợt là trực tâm, trọng tâm, tâm đờng đi qua ba đỉnh của tam giác ABC nên H, I, O thẳng hàng. ( Đờng thẳng Ơ-Le) +) KO // BH ( AC) => IH IO IB IK = (2) Từ (1) và (2) => 2 1 === IA IM IB IK IH IO => 8 1 333 333 3 3 3 3 3 3 = ++ ++ === IAIBIH IMIKIO IA IM IB IK IH IO => 333 333 IAIBIH IMIKIO ++ ++ = 8 1 = 2.2 1 (đpcm) Bài 7: (1đ) áp dụng tính chất: (x n +y n ) chia hết cho (x+y), với n lẻ và x -y Ta có: x 2 - x 9 - x 1945 = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-(x 1945 -x) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x 1944 -1) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x 972 -1).(x 972 +1) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x 972 +1).(x 486 +1).(x 486 -1) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x 972 +1).(x 486 +1).(x 243 -1).(x 243 +1) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x 972 +1).(x 486 +1).(x 243 -1). [ (x 3 ) 81 +1 ] Vì: x 2 -x+1 chia hết cho x 2 -x+1 x 9 +1=(x 3 ) 3 +1 3 chia hết cho x 3 +1 => x 9 +1 chia hết cho x 2 -x+1 (x 3 ) 81 +1 chia hết cho x 3 +1 => (x 3 ) 81 +1 chia hết cho x 2 -x+1 => x 1945 -x chia hết cho x 2 -x+1 Do đó: x 2 - x 9 - x 1945 chia hết cho x 2 -x+1 TB: Có vấn đề gì cần liên hệ Nguyễn Đăng ánh- Trờng THCS Cửa Tùng ĐT: 0983513063- 053 613063 Nguyễn Đăng ánh Trờng THCS Cửa Tùng . - x 9 - x 194 5 = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-(x 194 5 -x) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x 194 4 -1) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x 97 2 -1).(x 97 2 +1) = (x 2 -x+1)-(x 9 +1)-x.(x. Phòng giáo dục đề thi tuyển chọn học sinh giỏi Vĩnh linh năm học 2007-2008 Môn: toán - lớp 9 Thơì gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Bài 1: Tìm