đề thi học sinh giỏi toán 7- có đáp án

5 1.3K 17
đề thi học sinh giỏi toán 7- có đáp án

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

®Ò chän ĐỘI TUYỂN häc sinh giỎi NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1: Tìm các số x, y, z biết. a/ (x – 1) 3 = - 8 b/ 9 7 5 3x x− = − c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Câu 2: a/ Tìm số dư khi chia 2 2011 cho 31 b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4 a + a + b chia hết cho 6 c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x 2 + 5y 2 = 74 Câu 3: a/ Cho tỉ lệ thức a b b c = . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức: 2 2 2 2 a b a b c c + = + b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích? C©u 4: TÝnh : a) B = 1+ )20 321( 20 1 )4321( 4 1 )321( 3 1 )21( 2 1 ++++++++++++++ ®Ò chän ĐỘI TUYỂN häc sinh giỎi NĂM HỌC 2010-2011 Câu 1: Tìm các số x, y, z biết. a/ (x – 1) 3 = - 8 b/ 9 7 5 3x x− = − c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Câu 2: a/ Tìm số dư khi chia 2 2011 cho 31 b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4 a + a + b chia hết cho 6 c/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x 2 + 5y 2 = 74 Câu 3: a/ Cho tỉ lệ thức a b b c = . Chứng minh rằng ta có tỉ lệ thức: 2 2 2 2 a b a b c c + = + b/ Trên bảng có ghi các số tự nhiên từ 1 đến 2008, người ta làm như sau: lấy ra hai số bất kì và thay vào bằng hiệu của chúng, cứ làm như vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích? C©u 4: TÝnh : a) B = 1+ )20 321( 20 1 )4321( 4 1 )321( 3 1 )21( 2 1 ++++++++++++++ b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 12001 + xx c) Cho đa thức: f(x) = 5x 3 + 2x 4 x 2 + 3x 2 x 3 x 4 + 1 4x 3 . Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm Cõu 5: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc EK v FN vi ng thng HA. a/ Chng minh rng: EK = FN. b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC EF = 2AI. Cõu 6: a/ Cho bn s khụng õm tha món iu kin a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr tuyt i ca hiu tng cp s cú c t bn s a, b, c, d. Hi S cú th t c giỏ tr ln nht bng bao nhiờu. b/ Cho tam giỏc nhn ABC vi ã BAC = 60 0 . Chng minh rng BC 2 = AB 2 + AC 2 AB. AC. b)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 12001 + xx c) Cho đa thức: f(x) = 5x 3 + 2x 4 x 2 + 3x 2 x 3 x 4 + 1 4x 3 . Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm Cõu 5: Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, ng cao AH. V v phớa ngoi tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE v ACF vuụng cõn ti A. T E v F k ng vuụng gúc EK v FN vi ng thng HA. a/ Chng minh rng: EK = FN. b/ Gi I l giao im ca EF vi ng thng HA. Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC EF = 2AI. Cõu 6: a/ Cho bn s khụng õm tha món iu kin a + b + c + d = 1. Gi S l tng cỏc giỏ tr tuyt i ca hiu tng cp s cú c t bn s a, b, c, d. Hi S cú th t c giỏ tr ln nht bng bao nhiờu. b/ Cho tam giỏc nhn ABC vi ã BAC = 60 0 . Chng minh rng BC 2 = AB 2 + AC 2 AB. AC. HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu MÔN: TOÁN 7 ======================================== Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm 1 (2đ) a 0,5đ (x – 1) 3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0,5 b 0,5đ 9 7 5 3x x− = − Điều kiện: x ≥ 3 5 => 9 7 5 3 9 7 3 5 x x x x − = −   − = −  => 12 12 1 2 6 3 x x x x = =   ⇒   = =   (Thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 1 hoặc x = 3. 0,5 c 0,5đ x - 3 x = 0 Điều kiện x ≥ 0 => ( ) 3x x − = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện) Vậy x = 0 hoặc x = 9 0,5 d 0,5đ 12x = 15y = 20z => 5 4 3 x y z = = => 48 4 5 4 3 12 12 x y z x y z+ + = = = = = => x = 20; y = 16; z = 12 0,5 2 (2,5đ) a, 1đ Ta có 2 5 = 32 ≡ 1 (mod31) => (2 5 ) 402 ≡ 1 (mod31) => 2 2011 ≡ 2 (mod31). Vậy số dư khi chia 2 2011 cho 31 là 2. 1 b 0,75đ Vì a nguyên dương nên ta có 4 a ≡ 1 (mod3) => 4 a + 2 ≡ 0 (mod3) Mà 4 a + 2 ≡ 0 (mod2) => 4 a + 2 M 6 Khi đó ta có 4 a + a + b = 4 a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 M 6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4 a + a + b chia hết cho 6 0,25 0,25 0,25 c 0,75đ Từ 6x 2 + 5y 2 = 74 => 6x 2 ≤ 74 => x 2 ≤ 74 6 mà x nguyên => x 2 ∈ { } 0;1;4;9 Mặt khác ta có x 2 + 1 = 75 – 5x 2 – 5y 2 M 5 => x 2 = 4 hoặc x 2 = 9 0,25 Nếu x 2 = 4 => y 2 = 10 (loại vì y nguyên) Nếu x 2 = 9 => y 2 = 4 => (x, y) ∈ { } (3,2);(3, 2);( 3, 2);( 3, 2)− − − − 0,25 0,25 3 1,75 đ a 1đ Ta có a c = . a b b c => a c = 2 2 a b b c     =  ÷  ÷     = 2 2 a b = 2 2 b c = 2 2 2 2 a b b c + + . Vậy nếu có tỉ lệ thức a b b c = ta có tỉ lệ thức: 2 2 2 2 a b a b c c + = + 0,75 0,25 b 0,75đ Gọi S là tổng tất cả các số được ghi trên bảng Ta có S = 1 + 2 + 3 + … + 2008 = 2008.2009 2 = 1004.2009 là một số chẵn. Khi lấy ra hai số a, b và thay vào bằng hiệu của hai số thì tổng S bớt đi (a + b) – (a – b) = 2b là số chẵn. Nên tổng mới phải là một số chẵn. Vậy trên bảng không thể còn lại số 1 0,25 0,25 0,25 4 (2,5đ) Vẽ hình và GT-KL đúng, đẹp 0,25 a 1,5 Chứng minh ∆ KAF = ∆ HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh ∆ NFI = ∆ HCA ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN 0,5 0,5 0,5 b 0,75đ Chứng minh ∆ KEI = ∆ NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF 2 Mà AI = EF 2 (gt) => AI = EI = FI => · · IEA IAE= và · ¶ IAF IFA= => · EAF = 90 0 => · BAC = 90 0 Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A 0,25 0,25 0,25 5 (1,25đ) a 0,75đ Giả sử 0a b c d ≥ ≥ ≥ ≥ Ta có S = a b b c c d a c a d b d− + − + − + − + − + − => S = a – b + b – c + c – d + a – c + a – d + b – d => S = 3a + b – (c + 3d) Mà c + 3d ≥ 0 => S ≤ 3a + b Mặt khác a + b + c + d = 1 => a ≤ 1. Suy ra S = 3a + b = 2a + a + b ≤ 2.1 + 1 = 3 Dấu bằng xảy ra khi c 3d 0 1 1 a b c d a + =   + + + =   =  <=> 1 0 a b c d =   = = =  Vậy S lớn nhất bằng 3 khi trong bốn số a, b, c, d có một số bằng 1 còn ba số bằng 0 0,25 0,25 0,25 b 0,5đ Kẻ BH ⊥ AC 0,25 K I H N F E C B A Vì · BAC 60 0 => · ABH = 30 0 => AH = 2 AB (1) Áp dụng dịnh lí Pytago ta có AB 2 = AH 2 + BH 2 và BC 2 = BH 2 + HC 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + CH 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + (AC – AH) 2 => BC 2 = AB 2 – AH 2 + AC 2 – 2AH.AC + AH 2 => BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AH.AC (2) Từ (1) và (2) => ĐPCM 0,25 Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa H C B A . Hỏi có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 được không? Giải thích? C©u 4: TÝnh : a) B = 1+ )20 321( 20 1 )4321( 4 1 )321( 3 1 )21( 2 1 ++++++++++++++ ®Ò chän ĐỘI TUYỂN häc sinh giỎi NĂM HỌC. AB 2 + AC 2 – 2AH.AC (2) Từ (1) và (2) => ĐPCM 0,25 Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa H C B A . ã BAC = 60 0 . Chng minh rng BC 2 = AB 2 + AC 2 AB. AC. HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu MÔN: TOÁN 7 ======================================== Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm 1 (2đ) a

Ngày đăng: 01/06/2015, 19:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

Tài liệu liên quan