Đề thi học sinh giỏi toán 7 có đáp án

Phòng gd & đt sơn dơng đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7 Trờng thcs HồNG THáI Năm học 2011 - 2012 Môn thi : TON Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề ) Câu 1:(3điểm): a) So sánh hai số : 3 30 và 5 20 b) Tính : A = 3 10 9 6 12 11 16 .3 120.6 4 .3 6 + + Câu 2:(2điểm): Cho x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z Câu 3:(4điểm) a) Tìm x biết : 1 2 3 4 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + b) Cho hai đại lợng tỉ lệ nghịch x và y ; x 1 , x 2 là hai giá trị bất kì của x; y 1 , y 2 là hai giá trị tơng ứng của y. Tính y 1 , y 2 biết y 1 2 + y 2 2 = 52 và x 1 =2 , x 2 = 3. Câu 4:(2điểm) Cho hàm số : f(x) = a.x 2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết (1) 3; (0) 3; ( 1) 3f f f M M M .Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 Câu 5:(3điểm) Cho đa thức A(x) = x + x 2 + x 3 + + x 99 + x 100 . a) Chứng minh rằng x=-1 là nghiệm của A(x) b)Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 1 2 Câu 6:(6điểm) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lợt lấy hai điểm M và N sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC . a) Chứng minh AM = AN và AH BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chứng minh MAN > BAM = CAN Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Hớng dẫn chấm toán 7 Câu Nội dung Điểm 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 3 2 30 10 20 10 10 30 20 )3 3 27 ;5 5 25 27 3 5a = = = = < > 1.5đ 1.5đ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 9 10 2 12 10 12 10 10 12 6 12 12 11 11 11 11 2 11 12 12 10 11 11 11 11 11 11 2 .3 3.2.5.2 . 2.3 2 .3 1 5 2 .3 3 .2 .5 ) 2 .3 2 .3 2 3 2.3 1 2 .3 2.3 6.2 .3 4.2 .3 4 7.2 .3 7.2 .3 7 b A + + + = = = + + + = = = 2 Vì x, y, z là các số khác 0 và x 2 = yz , y 2 = xz , z 2 = xy ; ; x z y x z y x y z y x z y x z y z x = = = = = .áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 1 x y z x y z x y z y z x y z x + + = = = = = = + + 1đ 1đ 3 a 1 2 3 4 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 1 2 3 4 1 1 1 1 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 2009 2008 2007 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 0 2009 2008 2007 2006 x x x x + = ( ) 1 1 1 1 2010 0 2009 2008 2007 2006 x + = ữ 2010 0 2010x x = = 1đ 1đ b Vì x, y là hai đại lợng tỉ lệ nghịch nên: 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 52 4 3 2 3 2 3 9 4 9 4 13 ) 36 6 x y y y y y y y y y y x y y y y + = = = = = = = = ữ ữ + + = = Với y 1 = - 6 thì y 2 = - 4 ; Với y 1 = 6 thì y 2 = 4 . 1đ 1đ 4 Ta có: f(0) = c; f(1) = a + b + c; f(-1) = a - b +c ( ) ( ) ) (0) 3 3 ) (1) 3 3 3 1 ) ( 1) 3 3 3 2 f c f a b c a b f a b c a b + + + + + + + M M M M M M M M Từ (1) và (2) Suy ra (a + b) +(a - b) 3 2 3 3a a M M M vì ( 2; 3) = 1 3b M Vậy a , b , c đều chia hết cho 3 1đ 1đ 5 a A(-1) = (-1)+ (-1) 2 + (-1) 3 + + (-1) 99 + (-1) 100 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0 ( vì có 50 số -1 và 50 số 1) Suy ra x = -1 là nghiệm của đa thức A(x) b Với x= 1 2 thì giá trị của đa thức A = 2 3 98 99 100 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + 2. 2A = ( 2 3 98 99 100 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ) = 2 3 98 99 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + + + + + + 1.5đ 2 A =( 2 3 98 99 100 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 + + + + + + ) +1 - 100 1 2 100 1 2 1 2 A A = + 100 1 1 2 A = 6 a Chứng minh ABM = ACN ( c- g- c) từ đó suy ra AM =AN Chứng minh ABH = ACH ( c- g- c) từ đó suy ra AHB =AHC= 90 0 AH BC 2đ b Tính AH: AH 2 = AB 2 - BH 2 = 5 2 - 3 2 = 16 AH = 4cm Tính AM : AM 2 = AH 2 + MH 2 = 4 2 + 1 2 = 17 AM = 17 cm 2đ c Trên tia AM lấy điểm K sao cho AM = MK ,suy ra AMN= KMB ( c- g- c) MAN = BKM và AN = AM =BK .Do BA > AM BA > BK BKA > BAK MAN >BAM=CAN 2đ Duyệt BGH Ngời ra đề P. Hiệu trởng Thân thị thuý hoàn TĂNG Bá DũNG A B M H N C K . sơn dơng đề thi chọn học sinh năng khiếu lớp 7 Trờng thcs HồNG THáI Năm học 2011 - 2012 Môn thi : TON Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian giao nhận đề ) Câu 1:(3điểm): a) So sánh hai. > BAM = CAN Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Hớng dẫn chấm toán 7 Câu Nội dung Điểm 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 10 10 3 2 30 10 20 10 10 30 20 )3 3 27 ;5 5 25 27 3 5a = = = = < > 1.5đ 1.5đ . 2008 20 07 2006 x x x x + = + 1 2 3 4 1 1 1 1 2009 2008 20 07 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 2009 2008 20 07 2006 x x x x + = + 2010 2010 2010 2010 0 2009 2008 20 07 2006 x