đề thi học sinh giỏi toán 7 co đáp án

ĐỀ NGHIỆM THU HSG CẤP TRƯỜNG HỌC KÌ II- LỚP 7 MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài : 150 phút) Bài 1: (6 điểm) a) Cho các số: A = 11 … 11 (2m chữ số 1) B = 11 … 11 ((m+1) chữ số 1) C = 66 … 66 (m chữ số 6) Chứng minh rằng: A + B + C + 8 là một số chính phương. b) Chứng minh rằng: 3 2n + 1 + 2 n + 2 M 7 , n N∀ ∈ Bài 2: ( 3 điểm) Cho hai số dương x, y và x + y = 5. Tìm giá trò nhỏ nhất của tổng: P = 1 1 x y + . Bài 3: (3 điểm) Tìm đa thức P(x) rồi tìm nghiệm của đa thức P(x), biết rằng: x 3 + 2x 2 (4y – 1) – 4xy 2 – 9y 3 – P(x) = – 5x 3 + 8x 2 y – 4xy 2 – 9y 3 Bài 4 :(4 điểm) Cho ABC ∆ có 3 đường trung tuyến AM, BN và CP. Chứng minh rằng: 3 p AM BN CP p 4 < + + < (với p = AB + AC + BC). Bài 5: ( 6 điểm) Cho ABC∆ không là tam giác đều và có ba góc đều nhọn, đường cao AH, đường trung tuyến AM, đường phân giác CE cắt nhau tạo thành tam giác PQR. Chứng minh rằng: PQR∆ không thể là tam giác đều. ĐÁP ÁN ĐỀ NGHIỆM THU HSG CẤP TRƯỜNG HỌC KÌ II- LỚP 7 Câu Nội dung Biểu điểm 1 a) Ta có: A = 11 … 11 = 10 2m – 1 + 10 2m – 2 + … + 10 + 1 = m 1 10 1 9 + − B = 11 … 11 = 10 m + 10 m – 1 + … + 10 + 1 = m 1 10 1 9 + − C = 66 … 66 = 6.11 … 11 = 6. m 10 1 9 − 2m m 1 m 10 10 6.10 64 A B C 8 9 + + + + ⇒ + + + = 2 m 10 8 3   + =  ÷   (đpcm) Vậy: A + B + C + 8 là một số chính phương. b) Ta có: 3 2n + 1 = 3.9 n = 3(7 + 2) n = 3(7k + 2 n ) , k ∈ N = 7a + 3.2 n , a ∈ N Ta lại có: 2 n+2 = 4.2 n Do đó, ta có: 3 2n + 1 + 2 n + 2 = 7a + 7.2 n Vậy: 3 2n + 1 + 2 n + 2 M 7 , n N∀ ∈ . 0.5 điểm 0.5 điểm 0.5 điểm 1.0 điểm 0.5 điểm 1.0 điểm 0.5 điểm 1.0 điểm 0.5 điểm 2 Ta có: P = 2 1 1 x y 5 10 4 x y xy xy (x y) 5 + + = = ≥ = + Đẳng thức xảy ra khi: x = y = 5 2 Vậy: GTNN của P là 4 5 đạt được khi: x = y = 5 2 . 1.5 điểm 0.5 điểm 1.0 điểm 3 Ta có: x 3 + 2x 2 (4y – 1) – 4xy 2 – 9y 3 – P(x) = = – 5x 3 + 8x 2 y – 4xy 2 – 9y 3 ⇒ P(x) = [x 3 + 2x 2 (4y – 1) – 4xy 2 – 9y 3 ] – (– x 3 + 8x 2 y – 4xy 2 – 9y 3 ) = x 3 + 8x 2 y – 2x 2 – 4xy 2 – 8y 3 + 5x 3 – 8x 2 y – 4xy 2 + 9y 3 = 6x 3 – 2x 2 Xét P(x) = 0 ⇔ 6x 3 – 2x 2 = 0 ⇔ 2x 2 (3x – 1) = 0 ⇔ x 0 1 x 3 =    =  Vậy: Nghiệm của đa thức P(x) là x 1 = 0; x 2 = 1 3 1.0 điểm 1.5 điểm 0.5 điểm - Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA - CM: AMB DCM AB DC ∆ = ∆ ⇒ = (1) p dụng bất đẳng thức trong tam giác ACD có: AD < AC + CD Hay: 2AM <AC + AD AC CD AM 2 + ⇒ < (2) Từ (1) và (2) AC AB AM 2 + ⇒ < Tương tự: AB BC BN 2 + < ; CA CB CP 2 + < AC AB AB BC CA CB AM BN CP 2 + + + + + ⇒ + + < 0.5 điểm 0.5 điểm 0.25 điểm B H C R Q P E M A D P N M B C A G Mỗi cách giải khác (nếu đúng) đều được điểm tối đa --------------- hết ------------ DANH SÁCH HỌC SINH THI GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG - LỚP 7 1. Bùi Lê Kim Anh 2. Nguyễn Hoài Nghóa 3. Nguyễn Quốc Thông 4. Trần Trung Hiếu 5. Huỳnh Hiệp 6. Phạm Thuý Hằng 7. Nguyễn Văn Lập 8. Nguyễn Tấn Trường 9. Nguyễn Bá tấn 10. Trần Đức Lực . cách giải khác (nếu đúng) đều được điểm tối đa --------------- hết ------------ DANH SÁCH HỌC SINH THI GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG - LỚP 7 1. Bùi Lê Kim Anh 2. Nguyễn. 3 (7 + 2) n = 3(7k + 2 n ) , k ∈ N = 7a + 3.2 n , a ∈ N Ta lại có: 2 n+2 = 4.2 n Do đó, ta có: 3 2n + 1 + 2 n + 2 = 7a + 7. 2 n Vậy: 3 2n + 1 + 2 n + 2 M 7