ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ĐỒNG THÁP NĂM 2013 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG THÁP KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP TỈNH NĂM HỌC 2013 - 2014 _ _ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Ngày thi: 09/3/2014 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) (Đề thi gồm có: 02 trang) Câu 1: (4,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức A = 10 + − 29 − 12  xy − x − y =  b) Tìm x, y, z thỏa:  yz − y − z =  zx − z − x =  Câu 2: (4,0 điểm) Cho P = − x + x − 11 + x+ x −2 x −2 − x −1 x +2 a) Tìm điều kiện x để P có nghĩa, rút gọn P, tìm x để P = b) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên Câu 3: (4,0 điểm) a) Hai hợp kim đồng–kẽm có tỉ lệ khác Thanh thứ có khối lượng 10kg có tỉ lệ đồng–kẽm 4:1 Thanh thứ hai có khối lượng 16kg, có tỉ lệ đồng–kẽm 1:3 Người ta cho hai hợp kim vào lò luyện kim cho thêm lượng đồng nguyên chất để hợp kim đồng–kẽm có tỉ lệ đồng–kẽm 3:2 Tính khối lượng hợp kim nhận b) Hai xe ô tô buýt tuyến đường hình vẽ (Hình 01) theo lộ trình từ ABCDA hay ADCBA, chạy liên tục không nghỉ, hết lộ trình lại tiếp Hình 01 tục lộ trình Cùng thời điểm, hai ô tô buýt xuất phát từ A khác tuyến sau 1,2 gặp nhau; chúng tuyến ô tô buýt thứ hai vượt ô tô buýt thứ sau 6,0 Tính thời gian mà xe từ A đến C, giả sử vận tốc ô tô buýt không đổi đoạn đường lộ trình Câu 4: (4,0 điểm ) a) Để đo gián tiếp chiều cao (không trèo lên được), bạn An sử dụng thước ngắm vuông góc để đo chiều cao Em cho biết bạn An vận dụng tính chất hình học thực đo nào? Em cho số liệu cụ thể để áp dụng tính chiều cao đó? (Hình 02) b) Cho tam giác ABC vuông A (với AB>AC) có đường cao AH, trung tuyến BM đường phân giác CN đồng quy I Chứng minh BH=AC Biết BC=x, tính AC theo x Hình 02 Câu 5: (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm B, đường kính AC=4cm Dựng nửa đường tròn (O), đường kính AB nằm nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn cho Từ C kẻ dây CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O) E cắt tiếp tuyến A nửa đường tròn (O) I a) Chứng minh AD song song OE Tính giá trị tích AI.EC b) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác EBC tính tỉ số đồng dạng chúng c) Tính gần (đến chữ số thập phân) diện tích hình giới hạn cung AC, đoạn AE đoạn EC (Cho π ≈ 3,14 ; ≈ 1, 41 ) - HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Câu 1: (4,0 điểm) NỘI DUNG a) Ta có A = 10 + − 29 − 12 = 10 + − (2 − 3) ĐIỂM 2,0 0,5 = 10 + − 2 − 0,5 = 10 + ( − 2) 0,5 = 6+2 = +1 0,5 b) 2,0  xy − x − y + = ( x − 1)( y − 1) =   Hệ cho tương đương  yz − y − z + = ⇔ ( y − 1)( z − 1) =  zx − z − x + = ( z − 1)( x − 1) =   0,5 Do [( x − 1)( y − 1)( z − 1)]2 = 192 0,5 ⇔ ( x − 1)( y − 1)( z − 1) = ±8 4   ( x − 1) = ( x − 1) = −   3   Ta có: ( y − 1) = ( y − 1) = −   ( z − 1) = ( z − 1) = −2   4   x = + x = −   3   ⇔  y = +  y = −   z = 1+ z = 1−   0,5 0,25 0,25 Câu 2: (4,0 điểm) NỘI DUNG ĐIỂM 2,0 0,5 a) Điều kiện để P có nghĩa x ≥ 0; x ≠ P = 1− x + x − 11 + x+ x −2 P=− x +7 x +2 x + x − 11 x −2 + − =1 − ( x − 1)( x + 2) x −1 x +2 0,25 0,5 Do P < nên P = ⇔ P = −2 hay − − x −2 − x −1 x +2 x +7 = −2 x +2 x +7 = −2 ⇔ x = ⇔ x = thỏa điều kiện x +2 b) 0,5 0,25 2,0 x +7 = −1 − , nên P < −1 (1) x +2 x +2 5 5 ≤ ⇒− ≥− Do x + ≥ ⇒ x +2 x +2 5 ⇒ −1 − ≥ −1 − ⇒ P ≥ − (2) 2 x +2 Từ (1) (2) ta có − < P < −1 Do P ∈ Z nên P = −2 hay P = −3 + Khi P = −2 x = + Khi P = −3 x = Từ câu a ta có P = − 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3: (4,0 điểm) NỘI DUNG a) Gọi m(kg), n(kg) khối lượng đồng, kẽm có thứ m n m + n 10 = = = = ⇒ m = 8kg ; n = 2kg Ta có: 5 Gọi m’ (kg), n’(kg) khối lượng đồng, kẽm có thứ hai m ' n ' m '+ n ' 16 = = = = ⇒ m ' = 4kg ; n ' = 12kg Ta có: 4 Gọi x (kg) khối lượng đồng nguyên chất cho vào thêm Ta có: m + m '+ x 12 + x = ⇒ = ⇒ x = (kg) n + n' 14 Vậy khối lượng hợp kim nhận 10+16+9 = 35 (kg) b) Gọi v1 (km/h) vận tốc ô tô buýt thứ nhất, v2 (km/h) vận tốc ô tô buýt thứ 2, v1>0, v2>0 v2>v1 + Khi từ A, ô tô di chuyển khác tuyến, chúng gặp tổng quãng đường hai xe là: 1, 2v1 + 1, 2v2 = AB + BC + CD + DA = 100 (km) ĐIỂM 2,0 0,5 0,5 0,5 0,5 2,0 0,25 0,25 + Khi từ A, ô tô di chuyển tuyến, ô tô thứ hai vượt ô tô thứ sau 6,0 giờ, nghĩa quãng đường mà ô tô thứ hai nhiều ô tô thứ 01 lộ trình, ta có: 6v2 − 6v1 = AB + BC + CD + DA = 100 (km) 0,25 1, 2v2 + 1, 2v1 = 100 + Khi ta có hệ:  6v2 − 6v1 = 100 0,25 100 (km / h); v2 = 50 (km / h) Đi từ A đến C: tuyến ABC ngắn tuyến ADC Nên thời gian từ A đến C ngăn cho ô tô là: 100 = 1,35 (giờ) + Thời gian ô tô buýt thứ từ A  C theo tuyến ABC: 45 : 45 = 0,9 (giờ) + Thời gian ô tô buýt thứ từ A  C theo tuyến ABC: 50 Giải hệ ta được: v1 = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4: (4,0 điểm) NỘI DUNG a) + Bạn An dùng tính chất tam giác vuông tam giác đồng dạng + Gọi vị trí A, B, C, D hình vẽ + Khi đặt thước ngắm vuông góc vào vị trí góc An đứng cách khoảng BC chiều cao từ chân đến vị trí mắt nhìn An DC Hai đoạn hoàn toàn đo cách đơn giản Như vậy, xét tam giác vuông BCD, vuông C ta có BD = BC + CD Hơn ∆ADB đồng dạng với ∆BCD , ta có AB BD BD BC + CD = Vậy AB = = BD CD CD CD + Giả sử BC=3m; DC=1,5m chiều cao là: AB= 7,5m b) ĐIỂM 2,0 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 2,0 Gọi E điểm đối xứng I qua M Tứ giác IAEC hình bình hành nên IA//EC, AE//IC BH BI = ∆BCE có IH//EC ⇒ (1) CH EI BI BN = ∆BAE có IN//EA ⇒ (2) EI AN BN BC = ∆ABC có CN đường phân giác ⇒ (3) AN AC BH BC = ⇒ BH AC = CH BC Từ (1), (2), (3) có CH AC Mặt khác, ∆ABC vuông A, ta có ⇒ AC = CH BC = BH AC ⇒ BH = AC + ∆ABC vuông A ⇒ AB + AC = BC Ta có AC.x + AC = x 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ⇒ x2 x2 + AC.x + AC = + x2 4 0,25 2 ( − 1) x x   5x  ⇒  + AC ÷ =  ÷ Vậy AC = 2    0,25 Câu 5: (4,0 điểm) NỘI DUNG a) OE ⊥ CI CI tiếp tuyến đường tròn (O), E tiếp điểm AD ⊥ CI (vì góc ADC=1v, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy OE//AD + Ta có hai tam giác OEC IAC đồng dạng (tam giác vuông, có chung góc nhọn C) OE EC ⇒ = IA AC ⇒ AI EC = OE AC = b) · · µ góc chung Hai tam giác AEC EBC đồng dạng, EAC = BEC , C AC AC = = Tỉ số đồng dạng k = = EC OC − OE c) Gọi S1, S2 diện tích nửa đường tròn (B) tam giác AEC Khi diện tích cần tìm S= S1 – S2 1 S1 = S( B ) = BC π ≈ 22.3,14 = 6, 28cm 2 ∆ADC đồng dạng ∆OEC , ta có AD OE OE = ⇒ AD = AC = AC OC OC 1 AD.EC = ≈ 1,88cm 2 ≈ Vậy S S1 – S2 =4,4 cm S = S ∆AEC = ĐIỂM 1,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 1,0 0,5 0,5 1,5 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Học sinh đưa phương án giải khác kết đúng, hợp lôgic, khoa học cho điểm tối đa phần -HẾT - ... tam giác OEC IAC đồng dạng (tam giác vuông, có chung góc nhọn C) OE EC ⇒ = IA AC ⇒ AI EC = OE AC = b) · · µ góc chung Hai tam giác AEC EBC đồng dạng, EAC = BEC , C AC AC = = Tỉ số đồng dạng k =... 0,25 0,25 0,25 0,5 1,0 0,5 0,5 1,5 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 Chú ý: Học sinh đưa phương án giải khác kết đúng, hợp lôgic, khoa học cho điểm tối đa phần -HẾT - ... điểm) NỘI DUNG a) Gọi m(kg), n(kg) khối lượng đồng, kẽm có thứ m n m + n 10 = = = = ⇒ m = 8kg ; n = 2kg Ta có: 5 Gọi m’ (kg), n’(kg) khối lượng đồng, kẽm có thứ hai m ' n ' m '+ n ' 16 = = =