PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG ĐỀ THAM KHẢO (Đề gồm trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN Ngày thi: Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Bài (3 điểm) a) Cho A = 13 - 42 Tính A b) Rút gọn biểu thức B = + 2 − + Bài (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số tự nhiên ab + ba chia hết cho 11 b) Phân tích đa thức sau thành nhân từ: x4 + 2x2 – Bài (2 điểm) 6 6 80 + + + + + 15.18 18.21 21.24 87.90 90 b) Tìm số ab cho bbb = ab.a.b a) Tính tổng sau: M = Bài (2 điểm) Có hai đội cờ thi đấu với Mỗi đối thủ đội phải thi đấu ván cờ với đấu thủ đội Cho biết tổng số ván cờ lần tổng số đấu thủ hai đội hai đội có số đấu thủ lẻ Vậy đội có đối thủ ? Bài (3 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 4(1 − x)2 − = b) (x + 3)3 – (x + 1)3 = 56 xy − = − y c) xy = + x (1) (2) Bài (5 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB= 6cm, BC= 10 cm, CA= 8cm Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I tâm đường nội tiếp tam giác ABC Tính độ dài IO ? 2) Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm cạnh BC Lấy điểm D · E = B µ Chứng minh: thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho DM a) Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE b) Tia DM tia phân giác góc BDE -1- Bài (3 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO cho AO = 3.IO Qua I vẽ dây cung CD vuông góc với AB, đoạn CD lấy điểm K tuỳ ý Tia AK cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M Chứng minh: Bốn điểm I, K, M, B thuộc đường tròn Chứng minh tâm F đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm đường thẳng cố định Khi K di động đoạn CD, tính độ dài nhỏ đoạn DF HẾT Họ tên giám thị 1: Chữ ký: Họ tên giám thị 2: Chữ ký: Họ tên thí sinh: Số báo danh: ……… Giám thị coi thi không cần giải thích thêm -2- PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO HSG CẤP TỈNH Nội dung a) A = 13 − 42 = ( − 6) = 7− = 7− Điểm 1đ b) B = + 2 − + = + 2 − ( + 1) = + 2 − 2đ = + − = + 2( − 1) = + = +1 a) ab + ba =10a+ b+ 10b+ a= 11(a+b) nên chia hết cho 11 b) x4 + 2x2 – = [(x2)2 + 1]2 – 22 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 3) 1đ 1đ 6 6 80 + + + + + 15.18 18.21 21.24 87.90 90 1 1 = − + + − ÷+ 87 90 15 18 M = 3a b 1 8 = − ÷+ = + = 15 90 9 Ta có bbb = ab.a.b ⇔ 3.37.b = a.b.ab 2đ ⇔ 3.37 = a.ab Vậy a= 3, b=7 Số ab = 37 Gọi x, y số đối thủ đội (ĐK: x,y số nguyên dương) Vì đấu thủ đội phải thi đấu ván cờ với đối thủ đội kia, nên tổng số ván cờ thi đấu là: x.y Theo giả thiết, ta có: xy= 4(x+y) ⇔ ⇔ (x-4)(y-4)= 16 = 1.16= 2.8=4.4 x y số lẻ, nên ta đồng x- 4= y- 4=16 Suy x= 5; y= 10 Vậy: Một đội có đấu thủ, đội có 20 đối thủ a) 4(1 − x)2 − = ⇔ − x = (1) * Nếu x ≤ 1, (1) ⇔ 2(1- x) = ⇔ x = - (thỏa mãn đk) * Nếu x > 1, (1) ⇔ (x - 1) = ⇔ x = (thỏa mãn đk) Vậy, S = {- 3; 5} b)(x + 3)3 – (x + 1)3 = 56 ⇔ x3 + 9x2 +27x + 27 – x3 – 3x2 – 3x – = 56 ⇔ 6x2 + 24x + 26 = 56 ⇔ 6(x2 + 4x - 5) = -3- 2đ 1đ 1đ ⇔ x(x- 1) + 5(x - 1) = ⇔ (x - 1)(x + 5) = ⇔ x = x = - 5.Vậy S = {1; - 5} xy − = − y c) xy = + x (1) (2) Từ pt (1) suy − y ≥ hay y ≤ Từ pt (2) suy x + = x y ≤ 2 x ⇒ x − 2 x + 22 ≤ ⇒ ( x − 2)2 ≤ ⇒ x = Nếu x = ⇒ y = 2 Nếu x = − ⇒ y = −2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: 1đ x = x = − y = 2 y = −2 ⇒x=± 1) Trong tam giác ABC có BC = 100; AB + AC = 100 Vậy tam giác ABC vuông A (theo ĐL Pytago đảo) Ta có S = p.r ⇔ ⇔ 6.8 = ( + + 10 ) r ⇔ r = 2cm I giao điểm ba phân giác tam giác ABC, kẻ IH ⊥ BC H, IK ⊥ CA K, ; IL ⊥ AB L Suy tứ giác ALIK hình vuông cạnh r Ta có BL= BH= AB- r= 6- 2= 4cm O trung điểm BC Nên BO= 5cm, HO= BO- BH= 1cm Trong tam giác OIH vuông H có: OI = + = 5cm 2) Vẽ hình -4- 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ a) ¶ +M ¶ +M ¶ = 1800 M ¶M + B µ +D ¶ = 1800 1 ¶ =B µ ,⇒ D ¶ =M ¶ Mà M Mặt khác: Bµ = Cµ (do ∆ ABC cân) Nên ∆ DBM đồng dạng ∆ MCE (g.g) DB DM DB DM = , Do BM = MC nên = c) Từ a) suy ra: MC ME BM ME ¶ , nên ∆ DBM đồng dạng ∆ DME (c.g.c) Mà Bµ = M ¶ ¶ Vậy DM tia phân giác · Suy D1 = D BDE Câu 7.1 Câu 7.2 Câu 7.3 Chứng minh : Bốn điểm I, K, M, B thuộc đường tròn · Ta có KMB = 900 ( chắn nửa đường tròn (O) · Lại có KIB = 900 (gt) nên tam giác KMB, KIB nội tiếp đường tròn đường kính cạnh huyền BK Hay bốn điểm I, K, M, B thuộc đường tròn Chứng minh : Tâm F (CKM) thuộc đường cố định Vẽ đường kính CE (CKM) , ta có KE // AB · · ( ⊥ CD) ⇒ MKE (đ/vị) = MAB · · ¼ (F) ) Lại có MKE (cùng chắn cung ME = MCE · · » (O) ) (cùng chắn cung MB MAB = MCB · · Suy MCE = MCB ⇒ C, E, B thẳng hàng ⇒ C, F, B thẳng hàng Suy F thuộc đường thẳng CB cố định Tính độ dài ngắn DF Kẻ DH ⊥ CB H ⇒ DH không đổi Ta có DF ≥ DH nên DF ngắn DH -5- 2đ 1đ 1đ 1đ 1đ R2 2R 4R = ⇒ CD = 3 4R 8R 2R CB = BI BA = R = ⇒ CB = 3 BI CD Lại có DH.CB=BI.CD ( nửa S ∆ CBD) ⇒ DH = CB 4R 4R 3 = R Vậy DF ngắn R DH = 2R Ta có CI = CO − IO = R − Ghi chú: Học sinh làm theo cách khác hợp lí đạt điểm tối đa -6- ... Chữ ký: Họ tên thí sinh: Số báo danh: ……… Giám thị coi thi không cần giải thích thêm -2- PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG Câu ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO HSG CẤP TỈNH... 1)(x2 + 3) 1đ 1đ 6 6 80 + + + + + 15.18 18.21 21.24 87 .90 90 1 1 = − + + − ÷+ 87 90 15 18 M = 3a b 1 8 = − ÷+ = + = 15 90 9 Ta có bbb = ab.a.b ⇔ 3.37.b = a.b.ab 2đ ⇔ 3.37 = a.ab... đối thủ đội (ĐK: x,y số nguyên dương) Vì đấu thủ đội phải thi đấu ván cờ với đối thủ đội kia, nên tổng số ván cờ thi đấu là: x.y Theo giả thi t, ta có: xy= 4(x+y) ⇔ ⇔ (x-4)(y-4)= 16 = 1.16= 2.8=4.4