TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ĐẦY ĐỦ DẠNG

TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ĐỊNH NGHĨA F(x) nguyên hàm f(x) (a, b) ⇔ F’(x) = f(x) ∫f(x)dx = F(x) + C : tích phân bất định BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM dx dx x 1/ ∫ = arctan x + C / ∫ 2 = arctan + C a 1+ x a +x a dx dx x 3/ ∫ = arcsin x + C 4/ ∫ = arcsin + C a − x2 a2 − x2 dx 5/ ∫ = ln x + x + k + C x +k x a x 2 2 / ∫ a − x dx = a − x + arcsin + C 2 a x k / ∫ x + kdx = x + k + ln x + x + k + C 2 BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM / ∫ cosh x dx = sinh x + C / ∫ sinh x dx = cosh x + C dx 10 / ∫ = x + C cosh x dx 11 / ∫ = − coth x + C sinh x dx x 12 / ∫ = ln tan + C sin x dx x π  13 / ∫ = ln tan  + ÷ + C cos x 2 4 Ví dụ ∫ dx 4− x x = arcsin + C dx ∫ x2 + x = arctan + C 2 ∫3 x x x = ∫ (3e) dx = (3e) + C ln + e dx x CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Đổi biến:  x = u ( t ) ⇒ dx = u′ ( t ) dt Đổi biến 1:   ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( u ( t ) ) u′ ( t ) dt t = u ( x ) ⇒ dt = u′ ( x ) dx Đổi biến 2:   ∫ f ( u ( x ) ) u′ ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt Tích phân phần: ∫ udv = uv − ∫ vdu Ví dụ ∫x x3 e dx x arctan dx ∫ + x2 x3 = ∫ e d (x ) x3 = e +C x  x = ∫ arctan d  arctan ÷ 2  2 Ví dụ I =∫ (x xdx + 1) 2 d ( x + 1) =∫2 2 ( x + 1) 1 =− +C 2 ( x + 1) I =∫ x dx (x + 1) 2x = ∫ x dx 2 ( x + 1) 2x u = x, dv = dx ⇒ du = dx, v = − 2 x +1 ( x + 1) 1 x dx  I = − +∫   x +1 x + 1 1 x  = − + arctan x  + C  x +1  Một số lưu ý dùng phần Pn ( x) đa thức bậc n ∫ Pn ln(α x)dx ∫ Pn arctan xdx ∫ Pn arcsin xdx dv = Pn dx, u phần lại αx ∫ Pn e dx ∫ Pn sin xdx u = Pn ( x), dv phần lại Ví dụ I =∫ dx 1 u= ⇒ x = +1 x −1 u x − x + x−2 ( ) − du du u I = ∫u = − ∫ 1  1  u 2+  + 1÷ +  + 1÷− u u u  u  = −∫ du =− 3u + + C 3u + Ví dụ ∫x dx x2 − 2x TÍCH PHÂN TREBUSEV ∫x m n p (ax + b) dx m,n, p số hữu tỷ TH 1: p số nguyên : Đặt x = tk, k BSCNN mẫu số m, n (bậc căn) TH 2: m + số nguyên: n Đặt axn +b = tk , k mẫu số p (bậc căn) TH 2: m +1 + p số nguyên: n m.n p −n p −n k x ( a + bx ) dx : Đặt bx +a = t , k mẫu ∫ số p (bậc căn) VÍ DỤ I =∫ dx x ( x + 1) 2 m = −1, n = 2, p = − Ví dụ I =∫ dx x4 + x2 m = −4, n = 2, p = − TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC I = ∫ sin x cos x dx m n * m =2k + I = − ∫ sin * n =2k + I = ∫ sin x cos x d (sin x) m 2k n x cos x d (cos x) 2k * m, n chẵn: dùng công thức hạ bậc sin x cos x = sin x, − cos x + cos x 2 sin x = , cos x = 2 TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC ∫ R(cos x,sin x)dx Thay x –x, biểu thức dấu không đổi ⇒ t = cos x Thay x π–x, biểu thức dấu không đổi ⇒ t = sin x Thay x π+x, biểu thức dấu không đổi ⇒ t = tan x x Tổng quát: ⇒ t = tan VÍ DỤ I = ∫ sin x cos x dx = − ∫ (1 − cos x)cos x d (cos x) = − ∫ (cos x − cos x) d (cos x) cos x cos x =− + +C dx I =∫ cos x sin x Ví dụ I = ∫ sin x cos x dx Ví dụ cos x I =∫ dx cos x + 2sin x Ví dụ dx I =∫ cos x + sin x + Một dạng đặc biệt hàm lượng giác a sin x + b cos x + c ∫ a′ sin x + b′ cos x + c′ dx Biểu diễn TỬ SỐ = A× (đạo hàm mẫu số) + B×(mẫu số) +C Tìm A, B, C đồng thức Ví dụ sin x + 2cos x − I =∫ dx sin x − 2cos x + sin x + 2cos x − = A(sin x − 2cos x + 3)'+ B(sin x − 2cos x + 3) + C ⇔ sin x + 2cos x − = A(cos x + 2sin x) + B(sin x − 2cos x + 3) + C ⇔ A= , B=− , C =− 5 d (sin x − 2cos x + 3) dx I= ∫ − x− ∫ sin x − 2cos x + 5 sin x − 2cos x + ln sin x − 2cos x + x t = tan Nhận xét a sin x + b cos x ∫ a′ sin x + b′ cos x dx [...]... = + (2n − 1) I n  2 2 2 2 2na  ( x + a )  TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển về các tích phân cơ bản dx ( Ax + B )dx ∫ ( x − a)m , ∫ 2 n x + px + q ( ) Trong đó: * m, n là các số tự nhiên, * Tam thức bậc 2 có ∆ = p2 - 4q< 0 Tích phân các phân thức cơ bản dx ∫ x − a = ln x − a + C dx 1 1 ∫ ( x − a)m = 1 − m ( x − a)m−1 + C (m > 1) Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B )dx ∫ x 2 + px + q Đạo... = ln( x − x + 1) 2 ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH Hàm hữu tỷ: p( x) f ( x) = m n 2 r ( x − a ) ( x − b) ( x + px + q) Với đa thức ở tử có bậc nhỏ hơn mẫu và tam thức ở mẫu có ∆ < 0, sẽ được phân tích ở dạng A1 A2 Am B1 Bn f ( x) = + + + + + + 2 m n x − a ( x − a) x−b ( x − a) ( x − b) C1 x + D1 C2 x + D2 Cr x + Dr + 2 + 2 + + 2 2 x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q) r Một số ví dụ phân tích 2x −1 2x − 1 A... của MS (lấy hết Ax) A 2x + p Ap  dx  = ∫ 2 dx +  B − ÷∫ 2 2 x + px + q 2  x + px + q  2x + p du ∫ x 2 + px + q dx = ∫ u = ln u + C Tích phân các phân thức cơ bản dx ∫ x 2 + px + q =∫ dx 2 x + p + q− p  ÷ 2 4  2 dv 1 v =∫ 2 = arctan + C 2 a a v +a Tích phân các phân thức cơ bản ( Ax + B)dx A (2 x + p)dx ∫ ( x 2 + px + q)n = 2 ∫ ( x 2 + px + q)n Ap dx + (B − )∫ 2 n 2 ( x + px + q) (2 x + p)dx... −1   Ví dụ tính tích phân 2x −1 ∫ ( x − 1)2 ( x + 3)dx 7 / 16 1/ 4 −7 / 16 =∫ dx + ∫ dx + ∫ dx 2 x −1 x+3 ( x − 1) 7 1 1 7 = ln x − 1 − − ln x + 3 + C 16 4 x − 1 16 2x −1 ∫ ( x 2 + x + 1)( x + 3) dx − dx xdx =∫ +∫ 2 x+3 x + x +1 = − ln x + 3 1 (2 x + 1)dx + ∫ 2 2 x + x +1 = − ln x + 3 1 2 + ln( x + x + 1) 2 1 dx − ∫ 2 2  1 3 x+ ÷ + 2 4  1 2 x +1/ 2 − arctan +C 2 3 3/2 TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ ∫ m1 ... x + a )  TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Nguyên tắc: chuyển tích phân dx ( Ax + B )dx ∫ ( x − a)m , ∫ n x + px + q ( ) Trong đó: * m, n số tự nhiên, * Tam thức bậc có ∆ = p2 - 4q< Tích phân phân thức dx... 1) Tích phân phân thức ( Ax + B )dx ∫ x + px + q Đạo hàm MS (lấy hết Ax) A 2x + p Ap  dx  = ∫ dx +  B − ÷∫ 2 x + px + q  x + px + q  2x + p du ∫ x + px + q dx = ∫ u = ln u + C Tích phân phân... arctan 2 3 = ln( x − x + 1) ĐỊNH LÝ PHÂN TÍCH Hàm hữu tỷ: p( x) f ( x) = m n r ( x − a ) ( x − b) ( x + px + q) Với đa thức tử có bậc nhỏ mẫu tam thức mẫu có ∆ < 0, phân tích dạng A1 A2 Am B1 Bn f